Lista 1

Prévia do material em texto

10 Lista de Exerćıcio: MAT0146, turma 2020121- noturno
Cálculo Diferencial e Integral I para Economia (10 semestre 2020)
Referências principais(nas quais a lista foi baseada):
1. J. Stewart ,Cálculo I Pioneira Thomson Learning, 4 Edição ou 5 Edição
2. J. E. Weber, Matemática para Economia e Administração, 2 Edição
3. S.T. Tan, Matemática Aplicada a Administração e Economia, Cengage
Learning
1 Parte 1:
1.1 I-Recordação
Problema 1.1. Determine a equação da reta do tipo y = mx+ b que passa
por (−1, 2) e (3,−4).
Problema 1.2. Esboce
(a) A reta C = {(x, y) ∈ R2|x+ 2y = 5}
(b) A região R = {(x, y) ∈ R2|x+ 2y > 5}
Problema 1.3. Resolva a desigualdade |x− 3|+ |x+ 2| < 11
Problema 1.4. Determine cos2(θ), sin2(θ) em termos de cos(2θ).
Problema 1.5. Dez revistas são vendidas a R $ 80,00. Vinte revistas são
vendidas a de R $ 60. Qual é a equação de demanda (linear)?
Problema 1.6. Quando o preço for de R $ 50,00, cinquenta revistas estão
dispońıveis no mercado. Quando o preço for de R $ 75,00, cem revistas estão
dispońıveis no mercado. Qual é a equação de oferta (linear)?
Problema 1.7. Considere as seguintes equações de oferta e de demanda:
y = 10− 2x
y =
3
2
x+ 1
1
(a) Desenhe as retas acima.
(b) Ache o ponto de equiĺıbrio para as seguintes equações de oferta e de
demanda
Problema 1.8. Considere as seguintes equações de oferta e demanda (onde
x representa quantidade e y preço):
2x+ y − 10 = 0
y2 − 8x− 4 = 0
(a) Esboce as curvas acima.
(b) Ache a quantidade e preço de equilibrio para as equações de oferta e
demanda.
Problema 1.9. Considere as seguintes equações de oferta e demanda (onde
x representa a quantidade e y o preço)
(x+ 12)(y + 6) = 169
x− y + 6 = 0
(a) Esboce as curvas acima.
(b) Ache a quantidade e preço de equiĺıbrio de mercado para as equações
de oferta e demanda acima.
Problema 1.10. Uma companhia produz quantidades x e y de 2 tecidos
diferentes, usando o mesmo processo de produção. A curva de transformação
do produto para o insumo usado é dada por:
y = 20− x
2
5
(a) Quais as maiores quantidades x e y que podem ser produzidas?
(b) Que quantidades x e y devem ser produzidas para se ter x = y?
2
1.2 Respostas Parte 1
Problema 1.1: y = −3
2
x+ 1
2
Problema 1.3: −5 < x < 6
Problema 1.4: cos2(θ) = 1+cos(2θ)
2
, sin2(θ) = 1−cos(2θ)
2
Problema 1.5: 2x+ y = 100
Problema 1.6: x− 2y = 50
Problema 1.7: (18
7
, 34
7
)
Problema 1.8: As interseções das curvas são: (6 − 2
√
3,−2 + 4
√
3) e
(6 + 2
√
3,−2− 4
√
3) Logo, o ponto de equiĺıbrio é: (6− 2
√
3,−2 + 4
√
3)
Problema 1.9: As interseções são: (1, 7) e (−25,−19). Logo o ponto de
equiĺıbrio é (1, 7)
Problema 1.10:
(a) Maior quantidade x é 10 (neste caso y = 0). Maior quantidade y é 20
(neste caso x = 0).
(b) x = y = (−5 + 5
√
17)/2
3
2 Parte 2
2.1 II -Limites e continuidade
Problema 2.1. Calcule os limites
(1) limx→2
x−2
x2−4
(2) limx→1 arcsin(
1−
√
x
1−x )
(3) limx→0 x
2 sin( 1
x
)
(4) limx→4 f(x) para f(x) =
{ √
x− 4 se x ≥ 4
8− 2x se x < 4
(5) limx→∞
2x4+8x3−2x2
5x4+10x3+x2
Problema 2.2. Calcule o limite se existir. Caso não exista, explique o por
quê.
(1) limx→2
x2+x−6
x−2
(2) limt→9
9−t
3−
√
t
(3) limx→−4
1
4
+ 1
x
4+x
(4) limx→0
√
(x3 + x2) sin(π
x
)
(5) limx→−1 f(x) onde 1 ≤ f(x) ≤ x2 + 2x+ 2
(6) limx→−4 |x+ 4|
(7) limx→2
|x−2|
x−2
Problema 2.3. Seja F (x) = x
2−1
|x−1|
(a) Encontre limx→1+ F (x) e limx→1− F (x).
(b) Existe limx→1 F (x) ?
4
Problema 2.4. Encontre os pontos nos quais f é descont́ınua. Em quais
desses pontos f é cont́ınua à direita, à esquerda ou em nenhum deles?
f(x) =

1 + x2 se x ≤ 0
2− x se 0 < x ≤ 2
(x− 2)2 se x > 2
Problema 2.5. Para quais valores da constante c a função f é cont́ınua em
(−∞,∞)
f(x) =
{
cx+ 1 se x ≤ 3
cx2 − 1 se x > 3
Problema 2.6. Calcule os limites
(1) limx→∞
3x2−x+4
2x2+5x−8
(2) limx→−∞
1−x−x2
2x2−7
(3) limx→∞
x3+5x
2x3−x2+4
(4) limx→∞
√
9x6−x
x3+1
(5) limx→−∞(x
4 + x5)
(6) limx→∞
x+x3+x5
1−x2+x4
Problema 2.7. Encontre as asśıntotas horizontais e verticais.
(1) y = x
x+4
(2) y = x
3
x2+3x−10
(3) h(x) = x4√x4+1
Problema 2.8. Uma refinaria de petróleo possui 5 torres de destilação e
opera tantas torres quantas forem necessárias para processar as matérias-
primas dispońıveis. As despesas gerais para operar cada torre de destilação
(operador, manutenção, etc) são de R$ 100,00 por semana. Além disto, o
custo das matérias-primas é de R$ 0,40 por galão de petróleo refinado. Cada
torre de destilação pode processar matérias-primas para produzir 10.000
5
galões de petróleo por semana. Se y for o custo de operação e x a quanti-
dade em galões de petróleo refinado, a função custo pode ser algebricamente
representada pela equação
f(x) = 100
(
[
x
10000
] + 1
)
+ 0, 4x
onde [t] denota o maior inteiro menor do que t (por exemplo [2] = 1, [2, 3] = 2
etc). Calcule os limites laterais a esquerda e a direita nos pontos x = 10000,
x = 20000, x = 30000, x = 40000 e x = 50000 e diga se a função f é cont́ınua
ou descontinua nestes pontos.
2.2 Respostas da Parte 2
Problema 2.1
(1) 1
4
(2) π
6
(3) 0
(4) 0
(5) 2
5
Problema 2.2
(1) 5
(2) 6
(3) −1
16
(4) 0
(5) 1
(6) 0
(7) não existe.
6
Problema 2.3
(a) limx→1+ F (x) = 2 e limx→1− F (x) = −2.
(b) Não.
Problema 2.4: 0, à esquerda.
Problema 2.5: 1
3
Problema 2.6
(1) 3
2
(2) −1
2
(3) 1
2
(4) 3
(5) −∞
(6) ∞
Problema 2.7
(1) y = 1, x = −4
(2) x = 2, x = −5
(3) y = 1, y = −1.
Problmea 2.8: A função f é descont́ınua em 10000, 20000, 30000, 40000
e 50000. Os limites laterais são:
limx→10000− f(x) = 4100, limx→10000+ f(x) = 4200,
limx→20000− f(x) = 8200, limx→20000+ f(x) = 8300,
limx→30000− f(x) = 12300, limx→30000+ f(x) = 12400,
limx→40000− f(x) = 16400, limx→40000+ f(x) = 16500,
limx→50000− f(x) = 20500,limx→50000+ f(x) = 20600
7
3 Parte 3:
3.1 III-Derivada
Problema 3.1. Suponha que o custo em dólares, para uma companhia pro-
duzir x novas linhas de jeans é:
C(x) = 2000 + 3x+ 0, 01x2 + 0, 0002x3
Encontre a função custo marginal, i.e., C ′(x).
Problema 3.2. Se p(x) for o valor total da produção quanto há x trabalha-
dores em uma fábrica, então a produtividade média da força de trabalho na
fábrica é
A(x) =
p(x)
x
(a) Encontre A′(x)
(b) Verifique que A′(x) > 0 se p′(x) for maior que a produtividade média.
Problema 3.3. Seja d(x) = 5
2
− 3
4
x a função demanda e R(x) = xd(x) a
função receita total. Calcule a receita marginal, i.e., R′(x).
Problema 3.4. Nas análises teóricas elementares da renda nacional, assume-
se que x = c(x) + p(x) onde c é a função consumo, p a função poupança e a
variável x representa a renda nacional total. Considere
c(x) = 10 + 0, 8x+ 0, 5
√
x
a função consumo. Calcule:
(a) A propensão marginal a consumir, i.e., c′(x)
(b) A propensão marginal a poupar, i.e., p′(x)
8
Problema 3.5. Calcule a derivada de f .
(1) f(x) =
√
x− 2 exp(x)
(2) f(x) = x
2+4x+3√
x
Problema 3.6. Ache uma equação da reta tangente à curva no ponto p.
(1) y = x4 + 2 exp(x), p = (0, 2).
(2) y = 3x2 − x3, p = (1, 2).
Problema 3.7. Ache os pontos sobre a curva y = 2x3 + 3x2 − 12x+ 1 onde
a tangente é horizontal.
Problema 3.8. Considere as funções trigonométricas:
sec(x) =
1
cos(x)
, cossec(x) =
1
sin(x)
, cotan(x) =
1
tan(x)
.
Verifique as igualdades abaixo:
(1) d
dx
tan(x) = sec2(x)
(2) d
dx
sec(x) = sec(x) tan(x)
(3) d
dx
cossec(x) = −cossec(x)cotan(x)
(4) d
dx
cotan(x) = −cossec2(x)
Problema 3.9. Considere as funções hiperbólicas:
cosh(x) =
exp(x) + exp(−x)
2
, senh (x) =
exp(x)− exp(−x)
2
.
Verifique as igualdades abaixo:
9
(1) d
dx
cosh(x) = senh (x)
(2) d
dx
senh (x) = cosh(x)
Problema 3.10. Encontre a derivada da função f
(1) f(x) = 4
√
1 + 2x+ x3
(2) f(t) = 1
(t4+1)3
(3) f(x) = cos(a3 + x3)
(4) f(x) = x exp(−x2)
(5) f(x) = tan(cos(x))
(6) f(x) = sec2(x) + tan2(x)
Problema 3.11. O deslocamento de uma part́ıcula sobreuma corda vibrante
é dado pela equação
s(t) = 10 +
1
4
sin(10πt)
onde s é medido em cent́ımetros e t em segundos. Encontre a velocidade da
part́ıcula após t segundos.
Problema 3.12. A equação y′′(x)+y′(x)−2y(x) = sin(x) é chamada equação
diferencial de segunda ordem, pois envolve a função desconhecida y e suas
derivadas y′ e y′′. Encontre as constantes A e B tal que a função y(x) =
A sin(x) +B cos(x) satisfaça essa equação.
Problema 3.13. Diferencie a função f
(1) f(x) = ln |2− x− 5x2|
(2) f(x) = ln(exp(−x) + x exp(−x))
10
Problema 3.14. Está sendo bombeado ar para dentro de um balão esférico,
e seu volume cresce a uma taxa de 100 cm3/s. Quão rápido o raio do balão
está crescendo quando o diâmetro é 50 cm?
Dica: Pode-se usar aqui o fato de V = 4
3
πr3 onde V é o volume da esfera
e r o seu raio.
Problema 3.15. Uma escada com 10 pés de comprimento está apoiada em
uma parede vertical. Se a base desliza, afastando-se da parede a uma taxa
de 1 pé/s, quão rápido o topo da escada está escorregando para baixo na
parede quando a base da escada está a 6 pés da parede?
Problema 3.16. Um tanque de água tem a forma de um cone circular
invertido com base de raio 2 m e altura igual a 4 m. Se a água está sendo
bombeada dentro do tanque a uma taxa de 2 m3/min, encontre a taxa na qual
o ńıvel da água estará elevado quando a água estiver a 3 m de profundidade.
Dica: Pode-se usar o fato de V = 1
3
πr2h onde V é o volume do cone, r
o raio da base e h a altura.
3.2 Respostas da Parte 3
Problema 3.1: C ′(x) = 3 + 0, 02x+ 0, 0006x2
Problema 3.2:(a) A′(x) = xp
′(x)−p(x)
x2
Problema 3.3: R′(x) = 5
2
− 3
2
x
Problema 3.4:
(a) c′(x) = 0, 8 + 0,25√
x
(b) p′(x) = 0, 2− 0,25√
x
11
Problema 3.5
(1) f ′(x) = 1
2
√
x
− 2 exp(x)
(2) f ′(x) = 3
2
√
x+ 2√
x
− 3
√
x
2x
Problema 3.6
(1) y = 2x+ 2
(2) y = 3x− 1
Problema 3.7: (−2, 21) e (1,−6).
Problema 3.10
(1) f ′(x) = 2+3x
2
4(1+2x+x3)
3
4
(2) f ′(t) = −12t
3
(t4+1)4
(3) f ′(x) = −3x2 sin(a3 + x3)
(4) f ′(x) = exp(−x2)(1− 2x2)
(5) f ′(x) = − sin(x) sec2(cos(x))
(6) f ′(x) = 4 sec2(x) tan(x)
Problema 3.11: v(t) = 5
2
π cos(10πt)cm/s
Problema 3.12: A = −3
10
, B = −1
10
Problema 3.13
(1) f ′(x) = 10x+1
5x2+x−2
(2) f ′(x) = −x
1+x
12
Problema 3.14: O raio do balão está crescendo a uma taxa de 1
25π
cm/s.
Problema 3.15: O topo da escada está deslizando para baixo a uma taxa
de 3
4
pé/s.
Problema 3.16: O ńıvel da água estará subindo uma taxa de 8
9π
m/min.
Observação: Os problemas 3.14, 3.15, 3.16 estão completamente
resolvidos na Seção 3.10 (exemplos resolvidos) do livro Stewart:
Cálculo Vol I. Quinta Edição.
13
4 Parte 4
4.1 IV-Máximos e Mı́nimos
Problema 4.1. Encontre os pontos e valores de máximo e mı́nimos absolutos
de f(x) = x3 − 3x2 + 1 no intervalo [−1
2
, 4].
Problema 4.2. Encontre os pontos cŕıticos da função
(1) f(θ) = 2 cos(θ) + sin2(θ)
(2) f(x) = x ln(x)
Problema 4.3. Encontre os valores máximos e mı́nimos absolutos de f no
intervalo I.
(1) f(x) = x4 − 2x2 + 3 e I = [−2, 3]
(2) f(x) = x
x2+1
e I = [0, 3]
(3) f(t) = t
√
4− t2 e I = [−1, 2]
(4) f(x) = sin(x) + cos(x) e I = [0, π/3]
(5) f(x) = x exp(−x) e I = [0, 2]
(6) f(x) = x− 3 ln(x) e I = [1, 4]
Problema 4.4. Um fazendeiro tem 2400 pés de cerca e quer cercar um
campo retangular que está na margem de um rio reto. Ele não precisa de
cerca ao longo do rio. Quais são as dimensões do campo que tem maior área?
Problema 4.5. Uma lata ciĺındrica é feita para receber 1 litro de óleo (o
qual ocupa volume de 1000 cm3). Encontre as dimensões que minimizarão o
custo do metal para produzir a lata.
14
Dica: Utilize que o volume é área da base multiplicada pela altura, i.e,
πr2h = 1000 onde h é a altura e r o raio da base.
Problema 4.6. Seja p(x) o preço por x unidades. A função rendimento
é definida como R(x) = xp(x). A função lucro é definida como L(x) =
R(x) − C(x) onde C(x) é o custo por x produtos. Determine o ńıvel de
produção que maximizará o lucro para uma companhia com funções custo e
preço definidas abaixo:
(a) C(x) = 84 + 1, 26x− 0, 01x2 + 0, 00007x3, p(x) = 3, 5− 0, 01x
(b) C(x) = 680 + 4x+ 0, 01x2, p(x) = 12
(c) C(x) = 1450 + 36x− x2 + 0, 001x3, p(x) = 60− 0, 01x
Problema 4.7. Uma loja começa a vender 200 aparelhos por semana a
R$350, 00 cada. Uma pesquisa de marcado indicou que, para cada abati-
mento de R$10 oferecido aos compradores, o número de aparelhos vendidos
aumenta em 20. Em outras palavras, a função preço pode ser modelada por
p(x) = 350− 10
20
(x− 200) = 450− 1
2
x
Qual deve ser o abatimento oferecido pela loja para maximizar seu rendi-
mento, i.e., R(x) = xp(x)?
4.2 V-Derivadas e Forma de Gráficos
Problema 4.8.
(a) Encontre os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente.
(b) Encontre os valores de máximo e mı́nimo local de f .
(c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão (i.e, de
mudança de concavidade).
(1) f(x) = x3 − 12x+ 1
15
(2) f(x) = x4 − 2x2 + 3
(3) f(x) = x− 2 sin(x) no dominio 0 < x < 3π
(4) f(x) = x exp(x)
(5) f(x) = ln(x)√
x
Problema 4.9.
(a) Encontre os intervalos em que a função é crescente ou descrescente.
(b) Encontre os valores de máximo ou mı́nimo locais.
(c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão (i.e, de
mudança de concavidade).
(d) Esboce o gráfico de f .
(1) f(x) = 2x3 − 3x2 − 12x
(2) f(x) = x4 − 6x2
(3) h(x) = 3x5 − 5x3 + 3
(4) A(x) = x
√
x+ 3
(5) C(x) = x1/3(x+ 4)
Problema 4.10.
(a) Encontre as asśıntotas vertical e horizontal.
(b) Encontre os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente.
(c) Encontre os valores de máximo e mı́nimo locais.
(d) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão (i.e, de
mudança de concavidade).
16
(e) Esboce o gráfico de f .
(1) f(x) = x
2
x2−1
(2) f(x) =
√
x2 + 1− x
(3) f(x) = ln(1− ln(x))
(4) f(x) = exp( −1
x+1
)
4.3 VI Regra de L’Hôspital
Problema 4.11. Calcule o limite
(1) limx→1
x9−1
x5−1
(2) limt→0
exp(t)−1
t3
(3) limx→∞
ln(x)
x
(4) limx→0+
ln(x)
x
(5) limt→0
5t−3t
t
(6) limx→0
1−cos(x)
x2
(7) limx→∞ x
3 exp(−x2)
(8) limx→0(1− 2x)1/x
4.4 Respostas da Parte 4
Problema 4.1: ponto de mı́nimo absoluto é x = 2 e valor mı́nimo absoluto é
f(2) = −3. O ponto de máximo absoluto é x = 4 e o valor máximo absoluto
é f(4) = 17.
Problema 4.2:
(1) nπ onde n é um inteiro
(2) 1
e
17
Problema 4.3:
(1) f(3) = 66, f(+1) = f(−1) = 2
(2) f(1) = 1
2
, f(0) = 0
(3) f(
√
2) = 2, f(−1) = −
√
3
(4) f(π/4) =
√
2, f(0) = 1
(5) f(1) = 1/e, f(0) = 0
(6) f(1) = 1, f(3) = 3− 3 ln(3)
Problema 4.4: O campo retangular deve ser de 600 pés de profundidade
e 1200 pés de extensão.
Problema 4.5: Para minimizar o custo da lata, o raio deve ser 3
√
500/πcm
e a altura duas vezes o raio.
Observação: Os problemas 4.4 e 4.5 estão completamente resol-
vidos na Seção 4.7 (exemplos resolvidos) do livro Stewart: Cálculo
Vol I. Quinta Edição.
Problema: 4.6
(a) x =
√
2,24
0,00021
(b) 400
(c) 672
Problema: 4.7: x = 450 é a quantidade onde o rendimento atinge seu
máximo. O preço correspondente é p(450) = R$225, 00. Assim sendo o
abatimento, i.e., diferença do preço de venda inicial (R$350, 00) e do preço
de venda atual (R$225 ), é R$125 = 350− 225
Problema 4.8:
18
(1) (a) Cresce em (−∞,−2),(2,∞); descresce em (−2, 2)
(b) Máximo local f(−2) = 17 mı́nimo local f(2) = −15
(c) Concavo para cima em (0,∞) e concavo para baixo em (−∞, 0),
ponto de inflexão (0, 1).
(2) (a) Cresce em (−1, 0), (1,∞), descresce em (−∞,−1), (0, 1).
(b) Máximo local f(0) = 3 mı́nimo local f(1) = f(−1) = 2
(c) Concavidade para cima em (−∞,−
√
3/3), (
√
3/3,∞)
Concavidade para baixo em (−
√
3/3,
√
3/3) e pontos de inflexão
(
√
3/3, 22/9) e (−
√
3/3, 22/9)
(3) (a) Cresce em (π/3, 5π/3),(7π/3, 3π) descresce em (0, π/3),(5π/3, 7π/3)
(b) Máximo local f(5π/3) = 5π/3+
√
3, mı́nimo local f(π/3) = π/3−√
3 f(7π/3) = 7π/3−
√
3
(c) Concavopara cima em (0, π) (2π, 3π) concavo para baixo em
(π, 2π), pontos de inflexão (π, π) e (2π, 2π).
(4) (a) Cresce em (−1,∞) descresce em (−∞,−1)
(b) Mı́nimo local f(−1) = −1/e
(c) Concavo para cima em (−2,∞) concavo para baixo em (−∞,−2),
ponto de inflexão (−2,−2 exp(−2))
(5) (a) Cresce em (0, exp(2)) decresce em (exp(2),∞)
(b) Máximo local f(exp(2)) = 2/e
(c) Concavo para cima em (exp(8/3),∞) concavo para baixo em (0, exp(8/3))
ponto de inflexão (exp(8/3), 8
3
exp(−4/3))
Problema 4.9:
(1) (a) Cresce em (−∞,−1),(2,∞) descresce em (−1, 2)
(b) Máximo local f(−1) = 7, mı́nimo local f(2) = −20
(c) Concavo para cima em (1/2,∞) concavo para baixo em (−∞, 1/2),
ponto de inflexão (1/2,−13/2)
(2) (a) Cresce em (−
√
3, 0),(
√
3,∞), descresce em (−∞,−
√
3),(0,
√
3)
19
(b) Mı́nimo local f(
√
3) = f(−
√
3) = −9, máximo local f(0) = 0
(c) Concavo para baixo em (−1, 1) e concavo para cima (−∞,−1)
(1,∞), pontos de inflexão (−1,−5), (1, 5)
(3) (a) Cresce em (−∞,−1) (1,∞) descresce em (−1, 1)
(b) Máximo local h(−1) = 5 mı́nimo local h(1) = 1
(c) Concavo para baixo em (−∞,−1/
√
2), (0, 1/
√
2) concavo para
cima em (−1/
√
2, 0)(1/
√
2,∞) pontos de inflexão (0, 3), (1/
√
2, 3−
7
8
√
2) (−1/
√
2, 3 + 7
8
√
2)
(4) (a) Cresce em (−2,∞) e descresce em (−3,−2)
(b) Mı́nimo local A(−2) = −2
(c) Concavo para cima em (−3,∞)
(5) (a) Cesce em (−1,∞) descresce em (−∞,−1)
(b) Mı́nimo local C(−1) = −3
(c) Concavo para cima em (−∞, 0) (2,∞) concavo para baixo em
(0, 2), pontos de inflexão (0, 0) (2, 6 3
√
2)
Problema 4.10:
(1) (a) Asśıntota horizontal y = 1, asśıntota vertical x = −1 x = 1
(b) Cresce em (−∞,−1), (−1, 0) descresce em (0, 1)(1,∞)
(c) Máximo local f(0) = 0
(d) Concavo para cima em (−∞,−1) (1,∞), concavo para baixo em
(−1, 1)
(2) (a) Asśıntota horizontal y = 0
(b) Decresce em (−∞,∞)
(c) nenhum
(d) Concavo para cima em (−∞,∞)
(3) (a) Asśıntota vertical x = 0 x = e
(b) Decresce em (0, e)
20
(c) Nenhum
(d) Concavo para cima em (0, 1), concavo para baixo em (1, e) ponto
de inflexão (1, 0)
(4) (a) Asśıntota horizontal y = 1 asśıntota vertical x = −1
(b) Cresce em (−∞,−1) (−1,∞)
(c) Nenhum
(d) Concavo para cima em (−∞,−1)(−1,−1/2) concavo para baixo
em (−1/2,∞) ponto de inflexão (−1/2, 1/ exp(2)).
Problema 4.11
(1) 9/5
(2) ∞
(3) 0
(4) −∞
(5) ln(5/3)
(6) 1/2
(7) 0
(8) exp(−2)
21