Informatica Aplicada a Educacao Matematica

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UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL
UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
Informática Aplicada à Educação Matemática
Salvador
2010
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ELABORAÇÃO
Adriano Pedreira Cattai
Gilclécio Dantas Santos
PROJETO GRÁFICO
Nilton Rezende
DIAGRAMAÇÃO
Fernando Luiz de Souza Junior
COLABORADORES DESTA EDIÇÃO
Editora da Universidade do Estado da Bahia - EDUNEB
Diretora
Maria Nadja Nunes Bittencourt 
Assessora Editorial
Carla Cristiani Honorato 
Colaboradores
Sidney Santos Silva
Teodomiro A. de Souza
João Victor Souza Dourado
Fernando Luiz de Souza Junior
Débora Alves Souza
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP). 
Catalogação na Fonte
BIBLIOTECA DO NÚCLEO DE EDUCAÇÃO À DISTÂNCIA – UNEB
Cattai, Adriano Pedreira; Santos, Giclécio Dantas. 
Informática aplicada à educação - Licenciatura em Matemática / 
Adriano Pedreira Cattai; Giclécio Dantas Santos. Salvador: UNEB / GEAD, 
2010.
100 p. 
 
 
1. Informática - educacão 2. software educativos 3. Winplot I. Título. 
II. Universidade Aberta do Brasil. III. UNEB / GEAD
 
 CDD: 512.94
 
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PRESIDENTE DA REPÚBLICA
Luis Inácio Lula da Silva
MINISTRO DA EDUCAÇÃO
Fernando Haddad
SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Carlos Eduardo Bielschowsky
DIRETOR DO DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Hélio Chaves Filho
SISTEMA UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL
DIRETOR DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA DA CAPES
Celso Costa
COORD. GERAL DE ARTICULAÇÃO ACADÊMICA DA CAPES
Nara Maria Pimentel
GOVERNO DO ESTADO DA BAHIA
GOVERNADOR
Jaques Wagner
VICE-GOVERNADOR
Edmundo Pereira Santos
SECRETÁRIO DA EDUCAÇÃO
Osvaldo Barreto Filho
UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA - UNEB
REITOR
Lourisvaldo Valentim da Silva
VICE-REITORA
Amélia Tereza Maraux
PRÓ-REITOR DE ENSINO DE GRADUAÇÃO
José Bites de Carvalho
COORDENADOR UAB/UNEB
Silvar Ferreira Ribeiro 
COORDENADOR UAB/UNEB ADJUNTO
Jader Cristiano Magalhães de Albuquerque
COORDENADOR DO CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
Daniel Cerqueira Góes 
COORDENADOR DE TUTORIA DO CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
Armando Luiz Andrade Peixoto
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Caro Cursista,
Estamos começando uma nova etapa de trabalho e, para auxiliá-lo no desenvolvimento da sua aprendizagem, 
estruturamos este material didático que atenderá ao Curso de Licenciatura em Matemática na modalidade à 
distância.
O componente curricular que agora lhe apresentamos foi preparado por profissionais habilitados, especialistas da 
área, pesquisadores, docentes que tiveram a preocupação em alinhar conhecimento teórico-prático de maneira 
contextualizada, fazendo uso de uma linguagem motivacional, capaz de aprofundar o conhecimento prévio dos 
envolvidos com a disciplina em questão. Cabe salientar, porém, que esse não deve ser o único material a ser 
utilizado na disciplina, além dele, o Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA), as atividades propostas pelo Professor 
Formador e pelo Tutor, as atividades complementares, os horários destinados aos estudos individuais, tudo isso 
somado compõe os estudos relacionados a EAD.
É importante também que vocês estejam sempre atentos as caixas de diálogos e ícones específicos que aparecem 
durante todo o texto apresentando informações complementares ao conteúdo. A idéia é mediar junto ao leitor, uma 
forma de dialogar questões para o aprofundamento dos assuntos, a fim de que o mesmo se torne interlocutor ativo 
desse material. 
São objetivos dos ícones em destaque:
Você sabia? – convida-o a conhecer outros aspectos daquele tema/conteúdo. São curiosidades ou 
informações relevantes que podem ser associadas à discussão proposta;
Saiba mais – apresenta notas ou aprofundamento da argumentação em desenvolvimento no texto, trazendo 
conceitos, fatos, biografias, enfim, elementos que o auxiliem a compreender melhor o conteúdo abordado;
Indicação de leituras – neste campo, você encontrará sugestão de livros, sites, vídeos. A partir deles, você 
poderá aprofundar seu estudo, conhecer melhor determinadas perspectivas teóricas ou outros olhares e 
interpretações sobre aquele tema;
Sugestões de atividades – consistem em indicações de atividades para você realizar autonomamente 
em seu processo de auto-estudo. Estas atividades podem (ou não) vir a ser aproveitadas pelo professor-
formador como instrumentos de avaliação, mas o objetivo primeiro delas é provocá-lo, desafiá-lo em seu 
processo de auto-aprendizagem.
Sua postura será essencial para o aproveitamento completo desta disciplina. Contamos com seu empenho e 
entusiasmo para, juntos, desenvolvermos uma prática pedagógica significativa. 
COORDENAÇÃO DE MATERIAL DIDÁTICO
Gestão dos Projetos e Atividades de Educação à Distância - GEAD
?? VOCÊ SABIA?
??? ??? SAIBA MAIS
INDICAÇÃO DE LEITURA
SUGESTÃO DE ATIVIDADE
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APRESENTAÇÃO 
As tecnologias da informação e da comunicação caracterizam a realidade contemporânea e, de alguma maneira, 
influenciam a vida cotidiana de professores e estudantes, assim como das instituições de formação.
A introdução do computador na Educação (Informática na Educação) tem provocado uma verdadeira revolução 
na nossa concepção de ensino e de aprendizagem. A quantidade de programas educacionais e as diferentes 
modalidades de uso do computador mostram que esta tecnologia pode ser bastante útil no processo de ensino e 
aprendizagem.
Analisar o uso da Informática em Educação, em particular, na Educação Matemática, significa não apenas 
desenvolver um estudo sobre a realidade específica representada pelo contexto onde se pretende introduzir o 
uso das tecnologias em atividades de ensino, mas, sobretudo, identificar grandes temas, aos quais seja possível 
extrair importantes elementos para a compreensão da complexa relação que envolve a Informática e a Educação 
Matemática.
Muitos educadores – em especial matemáticos – percebem por meio de diversas pesquisas ou experimentos, as 
grandes vantagens que a Informática proporciona para o ensino e aprendizagem da matemática. O computador, 
pelas suas potencialidades de cálculo, visualização, modelação e geração de micromundos, é um instrumento 
poderoso que atualmente dispõem os educadores matemáticos, permitindo, assim, aos estudantes, o acesso de 
mais ferramentas capazes de auxiliá-los na construção do conhecimento.
Escrevemos este texto, para atender às necessidades da disciplina Informática Aplicada a Educação Matemática, 
do curso de Licenciatura em Matemática da UNEB/EAD, servindo como um referencial básico. Nele, apresentamos 
uma breve descrição dos diversos tipos de softwares (novos ambientes de aprendizagem), bem como os fatores 
que devemos analisar sobre qualidade de um software; desenvolvimento de Sequências Didáticas a serem utilizadas 
em aulas de Matemática com o apoio computacional. 
Por fim, apresentamos o Geogebra e o Winplot. Para o primeiro sugerimos algumas atividades para o uso em sala 
de aula e, para o segundo, deixamos a indicação para um maior aprofundamento.
Bons estudos!
Os Autores
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 SUMÁRIO
1. TIPOS DE SOFTWARES EDUCATIVOS 13
1.1. Jogos Educativos 14
1.2. Exercício e Prática 16
1.3. Tutoriais 16
1.4. Simulação e Modelagem 17
1.5. Programação 17
1.6. Micromundos 18
1.6.1. Exemplos de Micromundos 18
1.7. Sistemas de Autoria 20
1.8. Tutoramento Inteligente 21
1.9. Sistemas de Computação Algébrica 21
1.9.1. Exemplos de Softwares CAS 22
1.10. Planilhas Eletrônicas 23
2. FATORES DE QUALIDADE DE UM SOFTWARE 25
2.1. Normas ISO 25
2.2. Questões a considerar antes de usar um Software Educativo 27
3. SEQUÊNCIAS DIDÁTICAS 293.1. Elementos de uma Sequência Didática 30
4. SOFTWARES EDUCATIVOS MATEMÁTICOS 31
4.1. Software de Geometria Dinâmica 31
4.1.1. Geogebra 32
5. UTILIZANDO O GEOGEBRA COMO FERRAMENTA DE ENSINO 52
5.1. Construções Geométricas (Elementares) com o Geogebra 52
5.2. Uma Sugestão para o Estudo de Funções 61
5.3. Um pouco de Cálculo Diferencial e Integral com o Geogebra 82
6. WINPLOT: UM FREEWARE MATEMÁTICO BASTANTE INTERESSANTE 92
7. REFERÊNCIAS 98
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A1. TIPOS DE SOFTWARES EDUCATIVOS
Para classificar as modalidades de software educacional, a forma que mais se utilizou foi proposta por Taylor, 
em 1980. O autor afirma que o computador em educação poderia ser utilizado como Ferramenta, Tutor ou Tutelado. 
Como Ferramenta, o computador seria utilizado para adquirir e manipular informações. Na modalidade de Tutor, o 
computador desempenharia o papel de professor, orientando o estudante para aquisição de um novo conhecimento 
e, como Tutelado, os estudantes ensinariam oao computador.
Os diversos tipos de softwares usados na Educação são classificados segundo a utilização, a função e os 
fundamentos educativos, que classificamos, em algumas categorias, de acordo com seus objetivos pedagógicos: 
Jogos, Exercícios e Práticas, Tutoriais, Simulação e Modelagem, Programação, Micromundos, Sistemas de Autoria, 
Sistemas Algébricos, Planilhas Eletrônicas e Multimídia e Internet.
A tabela abaixo traz uma síntese, conforme objetivo pedagógico, de qual tipo de software escolher.
Função Exemplos de software relacionados com a função
Promover a Motivação Jogos
Despertar estímulos novos
Programas que “imitam” o mundo real: versões informáticas de jogos de 
resolução de problemas; jogos de aventuras que representam atividades do 
mundo real, por exemplo, escavações arqueológicas; simulações de fenômenos 
científicos, condução de automóveis etc.
Ativar a resposta dos estudantes Programas que colocam problemas novos aos estudantes
Proporcionar Informação 
 
Exercícios, programas de aprendizagem dirigida, programas de manipulação de 
informação e linguagens de consulta.
Estimular a prática Exercícios
Estabelecer a sucessão de 
estudanteagens
Programas tutoriais
Proporcionar recursos Programas que carecem de modos previamente definidos de utilização.
Tabela 1.1: Resumo dos critérios para escolha de um software conforme objetivo pedagógico (Bastista, 2004)
INDICAÇÃO DE LEITURA
Um texto sobre os diversos tipos de ambientes computacionais utilizados no ensino, de Rosana Giaretta 
Sguerra Miskulin. 
Disponível em: http://www.cempem.fae.unicamp.br/lapemmec/softwares.htm 
Acesso em 20/05/2010
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Vejamos, por categoria, como eles se caracterizam, e exemplos.
1.1. Jogos Educativos
Os jogos devem ser fonte de recreação com vista à aquisição de um determinado tipo de aprendizagem. Em 
geral, envolvem elementos de desafio ou competição e correspondem a certo nível de desenvolvimento cognitivo. 
Com este tipo de software, os estudantes aprendem a negociar, a persuadir, a cooperar, a respeitar a inteligência 
dos adversários, a projetar consequências de longo prazo em um cenário e a ver o todo mais do que as partes. 
Porém, um grande problema enfrentado ao se utilizarem os jogos é que a competição, muitas vezes, pode desviar 
a atenção do estudante do conteúdo envolvido no jogo. Consequentemente, o objetivo passa a ser, unicamente, 
vencer o jogo, e o lado pedagógico fica em segundo plano.
A utilização de jogos educativos em conjunto com a aplicação de modelos de avaliação modernos tende a 
proporcionar ao estudante uma maneira lúdica de aprender. Conforme Silveira (1998, p.02):
[...] os jogos podem ser empregados em uma variedade de propósitos dentro do contexto de aprendizado. 
Um dos usos básicos e muito importante é a possibilidade de construir-se a autoconfiança. Outro é o 
incremento da motivação. [...] um método eficaz que possibilita uma prática significativa daquilo que 
está sendo aprendido. Até mesmo o mais simplório dos jogos pode ser empregado para proporcionar 
informações factuais e praticar habilidades, conferindo destreza e competência.
Ainda, segundo Silveira (1998, p. 02),
“os jogos educativos podem despertar no aluno: motivação, estímulo, curiosidade, interesse em aprender 
[...] o aluno constrói seu conhecimento de maneira lúdica e prazerosa”.
Como exemplo de jogo, citamos o Mr. Math 2000, desenvolvido no GEIAAM – UFSC (Grupo de Estudos de 
Informática Aplicada à Aprendizagem Matemática da Universidade Federal de Santa Catarina). Fonte: http://www.
mtm.ufsc.br/geiaam/
O protótipo Mr. Math 2000 pode ser utilizado como uma ferramenta para o estudante desenvolver a sua 
capacidade de raciocínio em resolução de problemas, em nível fundamental. Também servirá para o professor 
diagnosticar os tópicos onde deve ocorrer uma revisão do conteúdo. O público alvo deste modelo é constituído por 
estudantes que estão completando o ensino fundamental e os que estão iniciando o ensino médio. Isto não quer 
dizer que outros indivíduos não possam utilizá-lo, mas os iniciantes do ensino fundamental podem encontrar certas 
dificuldades, em virtude dos tópicos aqui abordados não terem sido ainda estudados por eles. 
Usuários que já concluíram o ensino fundamental serão bem aceitos, pois, dos tópicos já trabalhados, poderão 
fazer uma análise de seus conhecimentos matemáticos. A aventura contemplada pelo protótipo é do gênero futurista. 
O objetivo do jogo é reconquistar a terra, pois esta foi invadida por alienígenas, e a única maneira de (recuperá-la 
em parte) ou toda é encontrar uma pessoa que seja submetida a um teste determinado pelo alienígena mestre. 
Este teste envolve resoluções de problemas matemáticos, já que estes consideram a MATEMÁTICA uma grande 
potência de inteligência. Resolvendo corretamente os problemas propostos durante a aventura, o usuário conseguirá 
encontrar as peças necessárias para a construção de um robô capaz de expulsar os alienígenas e retomar a terra 
ou parte desta. Os problemas matemáticos estão inseridos em vários contextos, podendo abranger áreas como 
física e geografia, entre outras. 
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Outro exemplo de jogo é o famoso Tangran, muito utilizado em aulas de Geometria. O Tangram é um Puzzle 
(quebra-cabeça) chinês antigo. O nome significa “Tábua das 7 sabedorias”. Ele é composto de sete peças 
(chamadas de tans) que podem ser posicionadas de maneira a formar um quadrado: 05 triângulos; 01 quadrado 
e 01 paralelogramo.
Figura 1.2: As peças do Tangran. 
Fonte: própria
Além do quadrado, diversas outras formas podem ser obtidas, sempre observando duas regras:
−	 todas as peças devem ser usadas;
−	 não é permitido sobrepor as peças.
Baixe o freeware Tanzzle e crie diversos desenhos:
http://www.tanzzle.com/TZL.html
Figura 1.3: Tela de exibição do Tanzzle
Fonte: http://www.tanzzle.com/TZL.html
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1.2. Exercício e Prática
Enfatizam a apresentação das lições ou exercícios. A ação do estudante se restringe a virar a página de um livro 
eletrônico ou realizar exercícios, cujo resultado pode ser avaliado pelo próprio computador. As atividades exigem 
apenas o fazer, o memorizar informação, não importando a compreensão do que se está fazendo. Esses tipos de 
softwares são fáceis de serem desenvolvidos e utilizados: não inserem conteúdos novos, isto é, o conteúdo já é 
conhecido pelos estudantes, porém estes não os dominam por completo.
Uma das vantagens em se trabalhar com software deste tipo é que ele se adapta ao ritmo do estudante e 
proporciona uma correção imediata às respostas inseridas.
Exibimos dois exemplos para softwares desta natureza, o ParaWorld e o Polly 2000, ambos do GEIAAM.
O ParaWorld tem comoobjetivo construir uma ferramenta que auxilie professor e 
estudante no ensino do conteúdo “parábola”. Nele se encontra toda a teoria referente ao 
ensino de parábola, desde motivação, definição, construção até suas equações mais 
comuns. É possível, ainda, desafiar conhecimentos adquiridos com os exercícios 
propostos que incluem problemas do cotidiano. Ele é um freeware!
O Polly 2000 consiste em uma nova versão do Poli 1.0, que possui a finalidade de 
auxiliar o estudante na classificação de triângulos e quadriláteros, com uma filosofia 
diferente da versão anterior. É também um freeware.
Figura 1.4: Ícone do software ParaWorld
Fonte: http://www.mtm.ufsc.br/geiaam/
Onde encontrar ParaWorld e o Polly 2000: 
http://www.mtm.ufsc.br/geiaam/
1.3. Tutoriais
Caracterizam-se por transmitir informações pedagogicamente organizadas, como se fossem um livro animado, 
um vídeo interativo ou um professor eletrônico. A informação é apresentada ao estudante seguindo uma sequência, 
e o estudante pode escolher a informação que desejar. A informação que está disponível é definida e organizada 
previamente, assim o computador assume o papel de uma máquina de ensinar. A interação entre o estudante e o 
computador consiste na leitura da tela ou escuta da informação fornecida, avanço pelo material, apertando a tecla 
“Enter” ou usando o “mouse” para escolher a informação.
Eles são utilizados, geralmente, para introduzir novos conceitos, apresentar a aquisição de conceitos, princípios 
e/ou generalizações. Servem como apoio ou reforço para aulas, para preparação ou revisão de conteúdos, entre 
outros.
Esse programa só permite ao agente de aprendizagem verificar o produto final e não os processos utilizados 
para alcançá-lo. A sua limitação se encontra justamente em não possibilitar a verificação se a informação 
processada passou a ser conhecimento agregado aos esquemas mentais. (VALENTE, 1994 apud BATISTA, 
2004).
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Como exemplo, podemos citar o IEDer e o ApliDer, ambos do GEIAMM – UFSC. O IEDer é um software que 
tem por objetivo servir como instrumento para auxiliar o na aprendizagem do conteúdo Derivada. Através da 
interação com o mesmo, o estudante terá uma introdução ao estudo de Derivada. IEDer significa um sistema de 
Introdução ao Estudo da Derivada. Já o ApliDer tem por objetivo auxiliar na Resolução de Problemas de Aplicações 
da Derivada. Os dois são freewares.
Onde encontrar IEDer e o ApliDer:
http://www.mtm.ufsc.br/geiaam/
1.4. Simulação e Modelagem
A simulação envolve a criação de modelos dinâmicos e simplificados do mundo real. Softwares desta natureza 
constituem o ponto forte do computador na escola, pois permitem a exploração de situações fictícias, e com certo 
grau de risco, como: 
−	 manipulação de substância química ou objetos perigosos.
−	 de experimentos que são muito complicados, como simuladores de vôo.
−	 de experimentos caros ou que levam muito tempo para se processarem, como o crescimento de uma planta.
−	 de situações impossíveis de serem obtidas, como viagens na História.
Na modelagem, o modelo do fenômeno é criado pelo estudante que utiliza recursos de um sistema computacional 
para implementar esse modelo no computador, utilizando-o como se fosse uma simulação. Esse tipo de software 
exige certo grau de envolvimento na definição e representação computacional do fenômeno.
Quando se utilizam simuladores no processo ensino-aprendizagem, destacamos uma vantagem: é que eles 
oferecem a possibilidade de o estudante desenvolver hipóteses, testá-las, analisar resultados e refinar os conceitos. 
Mas é importante ressaltar que devem ser utilizados após a aprendizagem de conceitos e princípios básicos do 
tema em questão, pois a simulação não cria por si mesma a melhor situação de aprendizado.
Em geral, é complicado desenvolver um software de simulação, já que requer grande poder computacional, 
recursos gráficos e sonoros, de modo a tornar a situação problema o mais perto do real.
1.5. Programação
Estes softwares permitem que pessoas, professores ou estudantes criem seus próprios protótipos de programas, 
sem que tenham que possuir conhecimentos avançados de programação.
Ao programar o computador utilizando conceitos e estratégias, este pode ser visto como uma ferramenta para 
resolver problemas. A realização de um programa exige que o usuário processe a informação, transformando-a 
em conhecimento.
O programa representa a ideia do sujeito e existe uma correspondência direta entre cada comando e o 
comportamento do computador. As características disponíveis no processo de programação ajudam o a encontrar 
erros, e ao professor compreender o processo pelo qual o estudante construiu conceitos e estratégias envolvidas 
no programa.
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1.6. Micromundos
O conceito de micromundo pode ser empregado em diversos ambientes, mas trataremos da utilização deste 
conceito em ambientes informáticos. Os softwares atuais permitem o desenvolvimento de micromundos que são, 
no nosso entender, os principais representantes da categoria de AIA – Ambientes Interativos de Aprendizagem.
No micromundo, não há um direcionamento, como acontece nos softtwares tipo tutoriais, mas uma livre 
exploração do software. Nele, a ênfase é na construção de conhecimento, já que o próprio estudante, através 
de experimentos que ele conduzirá no micromundo, forjará um certo tipo de conhecimento. Um micromundo é 
caracterizado como sendo constituído de:
−	 um ambiente de objetos e de relações.
−	 um conjunto de operadores susceptíveis de operar sobre esses objetos. Criam-se, assim, novos objetos e 
novas relações.
A ideia básica sobre o uso de um micromundo, no aprendizado de Matemática, é a de encorajar o estudante 
a explorar o ambiente que está acessível através de alguma interface e que envolve um modelo de domínio de 
conhecimento matemático. 
A utilização de micromundos pode melhorar o desenvolvimento das estratégias utilizadas pelo estudante 
na resolução de alguma tarefa e contribuir na construção de significados, envolvendo relações entre objetos 
matemáticos e suas representações.
1.6.1. Exemplos de Micromundos
Apresentaremos, aqui, dois micromundos que são softwares de Geometria Dinâmica, o Cabri-Géomètre II e 
o Régua e Compasso. Posteriormente, voltaremos a tratar, com mais detalhes, sobre softwares dessa natureza.
Por Geometria Dinâmica (GD) devemos entender a Geometria proporcionada por programas gráficos que, numa 
área de desenho, permitem construções geométricas a partir de objetos-base, que atualizam, automaticamente, as 
construções, sempre que o usuário alterar um dos objetos-base. Pode-se, por exemplo, a partir de dois pontos A 
e B , construir a mediatriz do segmento AB . Assim, sempre que o ponto A ou B for movido na área de desenho, 
o programa redesenha automaticamente a mediatriz (normalmente de forma contínua, dando a impressão de 
movimento).
Na ilustração abaixo, o ponto B foi mantido fixo e o ponto A foi movido. Veja que a mediatriz (em vermelho) 
foi redesenhada em uma nova posição.
Figura 1.5: A mediatriz de um segmento
Fonte: criação própria 
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Vejamos os exemplos:
Cabri-Géomètre II: Caderno de Rascunho Interativo para Geometria
CAhier = caderno 
 BRouillon = rascunho 
 Interactif = interativo
Figura 1.6: Ícone do Cabri
Fonte: www.cabri.com 
Proposto para o ensino da Geometria Euclidiana Plana, é um software didático desenvolvido por Jean-Marie 
Laborde e Franck Bellemain no laboratório do Instituto de Informática e Matemática Aplicada da Universidade 
Joseph Fourier de Grenoble, França, em colaboração com o CNRS (Centro Nacional de Pesquisas Científicas) e 
Texas Instrumentos.
Com apenas alguns cliques, pode-se marcar pontos na tela, traçar retas e circunferências, transportar distâncias, 
construir retas paralelas, perpendiculares, entre outras. Todos os diagramastípicos de um texto de Geometria 
Plana podem ser feitos com precisão e rapidez, utilizando apenas o mouse. Mas, ao contrário dos desenhos feitos 
com régua e compasso no mundo real, as construções geométricas virtuais produzidas com o Cabri não ficam 
eternamente estáticas: elas se mexem sob o nosso comando. 
Mais precisamente, os pontos geométricos iniciais de uma construção podem ser arrastados com o mouse, 
sem destruir as relações matemáticas que vigoram entre eles e os demais objetos. Dessa maneira, pode-se estudar 
uma mesma construção para diferentes configurações de pontos – sem que seja necessário repetir a construção.
Esta é a principal característica dos programas de Geometria Dinâmica. Os usos e implicações desta tecnologia 
para o ensino e a pesquisa matemática são temas de artigos de muitos pesquisadores.
Características do Cabri-Géomètre II
−	 geometria dinâmica;
−	 construtivista;
−	 trabalhar conceitos;
−	 software aberto;
−	 construção de figuras geométricas;
−	 explorar propriedades dos objetos e suas relações;
−	 comprovar experimentalmente;
−	 formulação de hipóteses e conjecturas;
−	 históricos das construções;
−	 criação de macros.
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O Cabri-Géomètre II permite ao professor criar livremente atividades para suas aulas, por isso é caracterizado 
como um software aberto. Ele pode ser utilizado desde o primário até a Universidade, em diversas áreas como 
Matemática, Física e Desenho Artístico, por exemplo.
O Cabri-Géomètre II não é free. É representado no Brasil pela PROEM na PUC/SP. Você pode consultar o site 
http://www.cabri.com.br/ para encontrar exemplos de utilização do Cabri em sala de aula, fazer uma cópia do 
manual e baixar a versão demo do programa.
Régua e Compasso: C.a.R (Compass and Ruler)
Uma maneira rápida de apresentar o C.a.R, pelo menos para uma parte do público brasileiro, é dizer que se trata 
de um software da categoria do Cabri.
C.a.R é uma abreviação de Compass and Ruler, que significa Régua e Compasso. 
Como o nome sugere, este software contém ferramentas para construções geométricas 
(planas) com régua e compasso. O software Régua e Compasso (C.a.R.), desenvolvido 
pelo professor René Grothmann da Universidade Católica de Berlim, na Alemanha, é 
um software de geometria dinâmica plana gratuito
Figura 1.7: Ícone do C.a.R.
Fonte: http://zirkel.sourceforge.net/
Ele está escrito na linguagem Java, tem código aberto e roda em qualquer plataforma (Windows, Linux, 
Macintosh etc).
Acesse o endereço da web, abaixo, para baixar os arquivos de instalação, bem como fazer exercícios on-line 
e ter acesso a um excelente tutorial desenvolvido pelo Prof. Humberto José Bortolossi, da Universidade Federal 
Fluminense.
Humberto José Bortolossi & CaR:
www.professores.uff.br/hjbortol/car/
1.7. Sistemas de Autoria
Um software para ser caracterizado como programa de autoria ou sistema de autoria ele precisa dispor de 
ferramentas como sons, imagens, vídeo e animação, que permitem o desenvolvimento de projetos multimídia. 
Com um bom software de autoria o usuário, professor ou aluno, pode, sem necessariamente ter conhecimento 
em programação, criar, apresentar aulas, apostilas eletrônicas e outros tipos de softwares educacionais como 
exercício e prática, tutoriais e jogos.
Com estes tipos de softwares, alunos e professores podem criar seus próprios conteúdos, não precisando 
mais se adaptar aos produtos fechados. Com isso, eles passam de expectadores a criadores, que é muito mais 
estimulante. A relação ensino-aprendizagem fica mais dinâmica, com professores e alunos trabalhando juntos 
durante o processo de criação do projeto multimídia. Dessa forma, o aluno desenvolve sua autonomia, organizando 
as informações, podendo o professor assumir o papel de orientador dentro do processo de confecção dos projetos
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Um exemplo bem conhecido é o PowerPoint da Microsoft. Este é um sistema de autoria utilizado para efetuar 
apresentações gráficas atrativas no Sistema Operacional Windows.
 
Figura 1.8: Microsoft PowerPoint
Fonte: http://office.microsoft.com/
Para criar apresentações gráficas em PowerPoint, ele dispõe de processamento de textos, estrutura de tópicos, 
esquemas automáticos, modelos, desenhos, assistentes, gráficos e vários tipos de ferramentas para expressar 
ideias nas apresentações. Ele é basicamente usado para apresentações e aulas expositivas.
Outro exemplo bem mais sofisticado é o Adobe Flash (antigo Macromedia Flash), ou simplesmente Flash. 
Ele é um programa gráfico vetorial utilizado para se criar animações interativas que funcionam embutidas num 
navegador web.
 
Figura 1.9: Adobe Flash
Fonte: http://www.adobe.com/
Os arquivos executáveis gerados pelo Flash, chamados de “SWF” (Shockwave Flash File), podem ser visualizados 
em uma página web usando um navegador web ou utilizando-se o Flash Player. Os arquivos feitos em Flash são 
comumente utilizados para propaganda animada (banners) em páginas da web, mas não se limitando a isso, pois 
há também em abundância vários jogos, tutorias, exercício e prática e apresentações dos mais variados tipos 
utilizando tecnologia Flash, na internet.
1.8. Tutoramento Inteligente
O Tutoramento Inteligente – ITS (Intelligent Tutoring Systems), definido por alguns autores, aborda questões 
relacionadas ao que ensinar e como ensinar, de forma a adaptar o ensino de um dado conteúdo às necessidades 
do estudante, proporcionando um aprendizado individualizado. 
Através da análise de informações relevantes sobre as atividades do estudante que está sendo tutorado, o Tutor 
Inteligente possibilita apresentar o conhecimento de maneira compreensiva e autônoma. Assim, com o SATI – 
Sistema de Autoria e Tutor Inteligente, o professor poderá disponibilizar os conteúdos para o desenvolvimento de 
aulas, ou para a revisão dos conteúdos já ministrados, através das informações disponibilizadas dos conteúdos de 
acordo com suas dúvidas e interesses, pois o ambiente oferece ao usuário livre mobilidade.
1.9. Sistemas de Computação Algébrica
Um Sistema de Computação Algébrica (ou Sistema de Álgebra Computacional) (em inglês: CAS – Computer 
Algebra System) é um programa de software que facilita o cálculo na matemática simbólica. Programas desta 
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natureza permitem aos seus usuários fazerem cálculos não somente com números, mas também com símbolos, 
fórmulas, expressões, equações e assim por diante.
Normalmente, os Sistemas de Computação Algébrica incluem:
−	 precisão aritmética arbitrária, possibilitando, por exemplo, a avaliação de π (pi) a 10.000 dígitos;
−	 motor de manipulação simbólica para simplificar expressões algébricas, para diferenciar e para integrar 
funções e resolver equações;
−	 facilidades gráficas, para produzir gráficos de funções, normalmente a duas ou a três dimensões;
−	 um subsistema de álgebra linear, para permitir cálculo de matrizes e resolver sistemas de equações lineares;
−	 uma linguagem de programação de alto nível, permitindo aos utilizadores implementar os seus próprios 
algoritmos;
−	 um sistema de composição para expressões matemáticas.
Em geral, os softwares de computação algébrica não são desenvolvidos propriamente para o processo de 
ensino-aprendizagem. Para sua utilização no ensino é necessária a implementação de propostas pedagógicas. No 
entanto, estes softwares são muitos utilizados, pois, com eles, pode-se usar essa capacidade simbólica para obter 
soluções analíticas exatas para muitos problemas matemáticos, por exemplo, diferenciação, integração, sistemas 
de equações, expansão de funções em séries, problemas em Álgebra Linear etc. 
Sistemas de Computação Algébrica são poderosas ferramentas para matemáticos, físicos, químicos, 
engenheiros, enfim para todos aqueles que necessitam de respostas rápidas e precisas para determinados 
problemas matemáticos. Eles proporcionam um completo ambientematemático para a manipulação de expressões 
algébricas, simbólicas, precisão numérica arbitrária, gráficos em 2D e 3D e programação.
Estes tipos de softwares são utilizados por educadores, cientistas, engenheiros, pesquisadores e estudantes 
de ciências físicas, gerentes de negócios e economistas no mundo inteiro. Contudo, há um ponto fraco a se 
considerar: a inexistência de interatividade do usuário com o software, ou seja, quando há um erro por parte do 
usuário, normalmente, o software não emite mensagem clara, comunicando-o.
1.9.1. Exemplos de Softwares CAS
Maple
O Maple é um sistema de computação algébrica desenvolvido por Waterloo Maple Inc. (Ontário, Canadá). É 
comercializado pela Maplesoft (http://www.maplesoft.com/), uma companhia canadense também baseada em 
Waterloo, Ontário. A Maplesoft é o principal fornecedor de ferramentas de software de alto desempenho para 
engenharia, ciência e matemática. Sua suíte de produtos reflete a filosofia que, dado grandes ferramentas, as 
pessoas podem fazer grandes coisas. 
 
Figura 1.10: Maplesoft
Fonte: http://www.maplesoft.com/
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A Maplesoft comercializa o Maple em versão profissional e versão estudantil. A diferença de preços é substancial. 
Edições estudantis recentes (a partir da versão 6) não contêm limitações computacionais, mas trazem menos 
documentação impressa. Atualmente o Maple está na versão 14. O link abaixo fornece um breve histórico do Maple:
http://www.maplesoft.com/products/maple/history/
Maxima
 
Figura 1.11: Maxima
Fonte: http://maxima.sourceforge.net/
Maxima é um sistema para a manipulação de expressões simbólicas e numéricas, incluindo diferenciação, 
integração, séries de Taylor, transformadas de Laplace, equações diferenciais ordinárias, sistemas de equações 
lineares, polinômios, conjuntos, listas, vetores, matrizes e tensores.
Ele produz resultados numéricos de alta precisão usando frações exatas, inteiros de precisão arbitrária, e de 
precisão variável de números de ponto flutuante. Maxima pode traçar funções e dados em duas e três dimensões.
Por ser um software livre, seu código-fonte pode ser compilado em muitos sistemas, incluindo Windows, Linux 
e MacOS X. O código fonte para todos os sistemas e os binários pré-compilados para Windows e Linux estão 
disponíveis no gerenciador de arquivos SourceForge.
Maxima é um descendente de Macsyma, o legendário sistema de álgebra de computador desenvolvido no final 
dos anos 1960 no Massachusetts Institute of Technology. É o único sistema com base em que o esforço ainda 
publicamente disponíveis e com uma comunidade de usuários ativos, graças à sua natureza de código aberto. 
Macsyma foi revolucionário no seu dia, e muitos dos sistemas, tais como Maple e Mathematica, foram inspirados 
por ela.
O ramo Maxima do Macsyma foi mantido por William Schelter de 1982 até seu falecimento em 2001. Em 1998 
ele obteve permissão para liberar o código-fonte sob a GNU General Public License (GPL). Foi o seu esforço e 
habilidade que têm feito a sobrevivência do Maxima possível, e estamos muito gratos a ele por ter voluntariado 
seu tempo e conhecimento especializado para manter o código original DOE Macsyma vivo e bem. Desde o seu 
falecimento de um grupo de usuários e desenvolvedores formou para trazer ao Maxima para um público mais vasto.
O endereço para da web para baixar o instalador do Maxima é:
http://maxima.sourceforge.net/
1.10. Planilhas Eletrônicas
As planilhas eletrônicas são geralmente utilizadas por empresas para fazer planejamento financeiro, controle de 
despesas e faturas, orçamentos e previsões para usar projetos futuros.
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O software Microsoft Excel é um exemplo de uma planilha eletrônica. Ele é um processador de números que 
analisa dados em planilhas, gráficos e mapas.
 
Figura 1.12: Microsoft Excel
Fonte: http://office.microsoft.com/
Seus recursos incluem uma interface intuitiva e capacitadas ferramentas de cálculo e de construção de gráficos 
que, juntamente com marketing agressivo, tornaram o Excel um dos mais populares aplicativos de computador até 
hoje. 
O Excel não guarda na sua concepção a especificidade de ser um ambiente de aprendizagem. Pode constituir-
se numa fonte significativa para a apropriação de, por exemplo, conceitos algébricos não só elementares, como 
também alguns mais sofisticados. 
A título de ilustração, vamos considerar o problema de encontrar aproximações das raízes da equação polinomial 
3 22 1 0x x x− + − = . Uma técnica usualmente empregada consiste em usar um processo interativo que produz, 
sucessivamente, intervalos cada vez menores, de forma a encontrar que em cada um deles se verifique a mudança 
de sinal do polinômio. É possível prosseguir esse processo até se obter um valor com grau desejado de precisão.
A figura 1.13, abaixo, apresenta a resolução dessa equação polinomial empregando a planilha eletrônica Excel. 
São utilizados valores inteiros (incremento igual 1) para determinar os extremos dos intervalos de mudança de 
sinal. 
A seguir, pode-se usar essa informação para determinar um novo ponto inicial e um novo incremento. Neste 
caso particular, o próximo passo seria utilizar 1,0, como ponto inicial e 0,1, como incremento, ou seja, particionar 
o intervalo ( )1,2 da seguinte forma:
 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0< < < < < < < < < < .
 
Figura 1.13: Resolvendo equação 
algébrica com o Excel
Fonte: criação própria
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2. FATORES DE QUALIDADE DE UM SOFTWARE
A exemplo da seleção de livros-texto, o professor deve avaliar e selecionar software educacionais adequados 
ao programa e à sua metodologia de ensino. A primeira tarefa do professor que se propõe a analisar um software 
educativo é identificar a concepção teórica de aprendizagem que o orienta, pois um software, para ser educativo, 
deve ser pensado segundo uma teoria sobre como o sujeito aprende, como se apropria do conhecimento e o 
constrói.
Os softwares educacionais também necessitam de avaliação quanto a sua qualidade, uma vez que nem sempre 
possuem características adequadas, tanto no que se refere a aspectos técnicos, quanto a aspectos pedagógicos. 
Diversos softwares educacionais são colocados à disposição do professor e estudantes a cada ano, mas muitos 
são de má qualidade ou de uso inadequado.
Faremos, neste capítulo, uma breve discussão sobre a questão de levantar características (e subcaracterísticas) 
de um software educacional que achamos relevantes na avaliação da qualidade de um software.
2.1. Normas ISO
ISO é a sigla da Organização Internacional de Normalização (International Organization for Standardization), com 
sede em Genebra, Suíça, e que cuida da normalização em nível mundial. Esta organização cria normas nos mais 
diferentes segmentos, variando de normas e especificações de produtos e matérias-primas em todas as áreas 
(existem normas, por exemplo, para classificação de hotéis, café, usinas nucleares etc).
Os padrões da ISO estabelecem especificações técnicas, regras e critérios e definem características para 
garantir que produtos, serviços ou processos sejam adequados a seus propósitos.
ISO/IEC 9126/NBR 13596: Tecnologia de informação – Avaliação de produto de software – Características de 
qualidade e diretrizes para seu uso.
O padrão ISO/IEC 9126 representa a atual padronização mundial para a qualidade de software. É baseada 
em três níveis: Características, Subcaracterísticas e Métricas. Cada característica é refinada em um conjunto de 
subcaracterísticas e cada subcaracterística é avaliada por um conjunto de métricas.
Qualidade é um termo que pode ter diferentes interpretações. Existem muitas definições de qualidade de 
software propostas na literatura sob diferentes pontos de vistas. Conforme ISO 9126, Qualidade de um Software 
é a totalidade das características de um produto de software que lhe confere a capacidade desatisfazer às 
necessidades explícitas e implícitas.
Avaliar a qualidade de produto de um software vai muito além da preocupação com defeitos de funcionamento. 
Diversas características devem ser analisadas, tais como, as consideradas na versão brasileira da ISO 9126, a 
norma NBR 13596, visando a avaliação da qualidade interna e externa de produtos de software.
De acordo com a norma, foram definidas seis características de qualidade de um software.
−	 Funcionabilidade: satisfaz as necessidades?
Conjunto de atributos que evidenciam a existência de um conjunto de funções e suas propriedades especificadas. 
As funções são as que satisfazem as necessidades explícitas e implícitas.
−	 Confiabilidade: é imune a falhas?
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Conjunto de atributos que evidenciam a capacidade do software de manter seu nível de desempenho sob 
condições estabelecidas durante um período de tempo estabelecido.
−	 Usabilidade: é fácil de usar?
Conjunto de atributos que evidenciam o esforço necessário para se poder utilizar o software, bem como o 
julgamento individual desse uso por um conjunto explícito ou implícito de usuários.
−	 Eficiência: é rápido e “enxuto”?
Conjunto de atributos que evidenciam o relacionamento entre o nível de desempenho do software e a quantidade 
de recursos usados sob condições estabelecidas.
−	 Manutenibilidade: é fácil de modificar?
Conjunto de atributos que evidenciam o esforço necessário para fazer modificações especificadas no software.
−	 Portabilidade: é fácil de usar em outro ambiente?
Conjunto de atributos que evidenciam a capacidade do software de ser transferido de um ambiente para outro.
Cada uma destas características é, ainda, dividida em subcaracterísticas, que apresentamos resumidamente, de 
maneira simples, através de questões-chave, conforme tabela a seguir.
Característica Subcaracterística Questão-chave para a subcaracterística
Funcionabilidade
Adequação Propõe-se a fazer o que é apropriado?
Acurácia Faz o que foi proposto de forma correta?
Interoperabilidade Interage com os sistemas específicos?
Conformidade Está de acordo com as normas, leis etc?
Segurança de acesso Evita acesso não autorizado aos dados?
Confiabilidade
Maturidade Com que frequência apresenta falhas?
Tolerância a falhas Ocorrendo falhas, como ele reage?
Recuperabilidade É capaz de recuperar dados em caso de falha?
Usabilidade
Inteligibilidade É fácil de entender o conceito e a aplicação?
Apreensibilidade É fácil de aprender a usar?
Operacionabilidade É fácil de operar e controlar?
Eficiência
Tempo
Qual o tempo de resposta?
Qual é a velocidade de execução?
Recursos
Quantos recursos usa?
Durante quanto tempo?
Manutenibilidade
Analisabilidade É fácil de encontrar uma falha quando ocorre?
Modificabilidade É fácil de modificar e adaptar?
Estabilidade Há risco de efeitos quando se faz alterações?
Testabilidade É fácil de testar quando se faz modificações?
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Portabilidade
Adaptabilidade É fácil de se adaptar a outros ambientes?
Capacidade de instalar É fácil de instalar?
Conformidade Está de acordo com padrões de portabilidade?
Capacidade para substituir É fácil de usar para substituir outro?
Tabela 2.1: Características e Subcaraterísticas para Qualidade de Software
Fonte: Batista, 2004, p. 48
A norma NBR 13.596 não define como dar “nota’’ a um software em cada um dos itens. Para isso devem ser 
criados níveis de pontuação em cada uma das subcaracterísticas. 
É importante saber, também, que cada uma das diferentes características de qualidade varia dependendo do tipo 
do software; por exemplo, em softwares interativos, a característica usabilidade é de maior importância.
O que devemos considerar, também, ao analisar softwares educativos, além das características citadas na 
norma, são questões específicas sobre aprendizado, pois não basta o software ter uma interface amigável, ela tem 
que ser apropriada para uma perspectiva educacional.
2.2. Questões a considerar antes de usar um Software Educativo
O conjunto de softwares educativos disponíveis constitui uma biblioteca eletrônica à disposição do professor, 
bem como do estudante. Cada um deles deverá ser utilizado de acordo com o saber matemático em discussão. 
Nesse contexto, o professor, antes de utilizar um software em sala de aula, deve, antes de usar um software 
educativo, considerar algumas questões, tais como:
−	 qual saber ou conhecimento queremos ensinar?
−	 Qual software podemos utilizar?
−	 O software a ser utilizado permite:
	• a construção de situações nas quais as variáveis são controláveis?
	• A identificação e interpretação dos erros e as condições de seu aparecimento?
	• A construção de modelo provisor de processos errôneos?
	• A construção de situações nas quais esses processos seriam desequilibrados?
	• O alcance dos objetivos didáticos procurados pelo professor?
−	 Quais são:
	• os entraves que o software impõe ao usuário?
	• Os componentes que ele proporciona e o ensino e a aprendizagem que ele produz?
	• Os impactos que o ensino e a aprendizagem sofrem com um software educacional na transferência do 
conhecimento construído em sala de aula?
	• Os efeitos da transposição informática do saber matemático sobre o conhecimento construído pelo 
estudante na interação com o dispositivo informático?
−	 Que tipo de ajuda o software oferece ao estudante na resolução de problemas e qual o papel destinado ao 
professor na construção de situações didáticas?
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INDICAÇÃO DE LEITURA
1. Um texto sobre a avaliação de software educativo: reflexões para uma análise criteriosa, de Fábia Magali 
Santos Vieira. 
Disponível em http://edutec.net/Textos/Alia/MISC/edmagali2.htm
Acesso em 20/05/2010.
2. Um artigo que apresenta um instrumento para avaliar a qualidade de um produto de software educacional de 
Matemática apontando alguns aspectos técnicos e educacionais que devem ser considerados para o julgamento 
dessa qualidade. Das professoras Ana Paula Gladcheff, Edna Maura Zuffi Dilma Menezes da Silva. 
Disponível em http://www.ime.usp.br/dcc/posgrad/teses/anapaula/artigoWIE.PDF. 
Acesso em 20/05/2010.
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3. SEQUÊNCIAS DIDÁTICAS
Como sabemos, nosso propósito é estudar matemática e proporcionar ambientes de aprendizagem com apoio 
computacional para nossos estudantes. Sem muito esforço, percebemos, rapidamente, que a preparação de aulas 
com apoio computacional exige do professor, em especial de matemática, mais reflexão e também mais tempo do 
que na preparação das aulas tradicionais. Um pré-requisito para o sucesso é que o professor esteja convencido de 
que a ferramenta, o recurso didático a ser utilizado, trará benefícios ao processo ensino-aprendizagem.
Como vimos, na escolha de um software, por exemplo, é necessário que sejam analisadas suas limitações e 
seu potencial, de forma a dar ao professor autonomia em decidir qual a abordagem com que vai trabalhar para 
atingir seus objetivos.
Assim que o professor decidir usar recursos computacionais em sala de aula, é importante algumas reflexões 
que propiciem a convicção de que os recursos escolhidos são adequados. A seguir, é preciso definir os objetivos 
que devem ser alcançados ao término da aula. O professor pode usar a aula com computador, por exemplo, para 
motivar e/ou introduzir um novo conteúdo, revisar um conteúdo ou fixar um conteúdo.
Após a definição dos objetivos, o professor deve planejar a sua aula, em que uma boa técnica é questionar se:
−	os estudantes vão usar lápis e papel em paralelo?
−	 É necessária uma preparação anterior?
−	 Como será a participação do professor durante a aula?
−	 Os estudantes têm os pré-requisitos relativos ao conteúdo? Ao uso do computador? Ao uso do software?
−	 Como vão ser identificados os erros dos estudantes?
Note que estas e outras questões, ao serem respondidas, norteiamo planejamento da aula com computador. 
Ao preparar a aula, deve-se lembrar dos seguintes e básicos detalhes:
−	 a sala ambiente (laboratório) deve se adequar à quantidade de estudantes;
−	 o software escolhido deve estar instalado e em condições de uso;
−	 material de apoio (roteiros ou sequências de atividades, listas de exercícios etc) necessário no decorrer da 
aula deve estar preparado.
No decorrer da aula, o professor deve observar cuidadosa e rigorosamente todos os detalhes, para que possa 
fazer uma avaliação não somente dos estudantes, mas sim da metodologia escolhida; e é no decorrer da aula que 
surgem os indicadores de sucesso ou não das atividades propostas. Na hora de avaliar, o professor deve listar os 
indicadores de sucesso (por exemplo, participação e satisfação dos estudantes) e os problemas, para responder 
à seguinte questão:
os objetivos foram atingidos?
Sim: significa que a escolha dos procedimentos para a aula foi adequada.
Não: o professor deve refletir para encontrar as causa do insucesso e corrigi-las.
A metodologia utilizada produz um ciclo de atividades a serem desenvolvidas pelo professor. Essas atividades 
propiciam um apoio pedagógico fundamental para o ensino e a aprendizagem dos estudantes e, previamente 
definidas, são apresentadas aos estudantes sob a forma do que chamamos de sequências didáticas.
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Uma sequência didática, também chamada de sequência de ensino, é um conjunto de atividades, propostas 
pelo professor, para alcançar objetivos definidos anteriormente.
Henriques (2001) define como um esquema experimental de situações problemas desenvolvidos por sessões 
de ensino a partir de um estudo preliminar, caracterizando os objetivos específicos de cada problema, a análise 
matemática e a análise didática relativas às atividades propostas.
Na elaboração de uma sequência didática é importante que se promovam situações de ensino nas quais os 
estudantes possam utilizar os conhecimentos anteriores para buscar a solução de um problema e/ou exercício 
proposto. Também é interessante que o estudante seja confrontado com obstáculos que possam lhe fazer refletir 
e construir novos conhecimentos e lhe permitam perceber as limitações da máquina.
Para isso, uma sequência didática deve conter alguns elementos, como descreveremos a seguir.
3.1. Elementos de uma Sequência Didática
É altamente recomendável que uma sequência didática contenha os seguinte elementos:
−	 objetivos: deve ficar claro aos estudantes os objetivos a serem alcançados;
−	 atividades propostas: são as atividades a serem desenvolvidas no laboratório de informática com a presença 
do professor;
−	 atividades extraclasse: são exercícios e/ou situações-problemas dentro do conteúdo estudado a serem 
desenvolvidos pelos estudantes sem a presença do professor;
−	 análise crítica da aula: é um registro da aula feita após seu término pelo professor e pelos estudantes, que 
fornece ao professor um feedback para a avaliação e re-alimentação da mesma. Aqui o professor deve fazer 
a análise matemática e a análise didática.
	• Análise Matemática: destaca as resoluções possíveis, a forma de controle e os resultados esperados;
	• Análise Didática: preocupa-se com as variáveis didáticas 1d e situações, pré-requisitos e com a 
competência.
Conforme objetivos a serem alcançados, as sequências didáticas podem ter características diferentes. Vejamos 
algumas abaixo:
−	 as sequências didáticas cujo(s) objetivo(s) contempla(m) o motivar e o introduzir novos conteúdos. Nelas, 
são propostas situações cujas análises devem conduzir o estudante a novos conceitos e/ou possíveis 
generalizações;
−	 os objetivos são os de reforçar e fixar conteúdos previamente explorados. As atividades propostas aos 
estudantes são constituídas de exercícios e análises de situações envolvendo conteúdos já trabalhados em 
sala de aula.
−	 o objetivo é revisar conteúdos. Em geral, no laboratório computacional, os estudantes resolvem e comparam 
exercícios previamente resolvidos no ambiente lápis/papel.
1 Variáveis didáticas são elementos matemáticos que estão à disposição do professor e que permitem a análise de situações durante uma investigação.
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4. SOFTWARES EDUCATIVOS MATEMÁTICOS
Veremos um tipo de software educativo matemático capaz de auxiliar na aprendizagem dos diversos conteúdos 
da Matemática, como, por exemplo: Geometria Plana, Geometria Analítica e o Estudo das Funções.
Muitos softwares são lançados no mercado. São muitos softwares, e é impossível listarmos todos aqui. O que 
segue é uma sugestão nossa, e cabe ao professor pesquisar outros softwares, investigar suas potencialidades e 
características, conforme objetivos da aula e o saber matemático que se pretende ensinar.
Estudaremos uma classe de softwares fundamental quando o assunto é o uso da informática no ensino da 
matemática, a saber, os assim denominados softwares de geometria dinâmica.
4.1. Software de Geometria Dinâmica
Por Geometria Dinâmica (GD) entende-se a Geometria proporcionada por programas gráficos que, numa área 
de desenho, permitem construções geométricas a partir de objetos-base que atualizam automaticamente as 
construções, sempre que o usuário alterar um dos objetos-base Pode-se aplicá-la em programas desta natureza. 
Por exemplo, podemos deslocar o vértice de um ângulo inscrito num círculo e observar, de maneira contínua, a 
conservação do ângulo, conforme figura abaixo.
Figura 4.1: O ângulos inscritos na Geometria Dinâmica
Fonte: criação própria
Um software de geometria dinâmica é um ambiente que permite simular construções geométricas no 
computador. Diferentemente do que ocorre com a régua e o compasso tradicionais, as construções feitas com 
este tipo de software são dinâmicas e interativas, o que faz do programa um excelente laboratório de aprendizagem 
da geometria.
 
O estudante (ou o professor) pode testar suas conjecturas através de exemplos e contra-exemplos que ele pode 
facilmente gerar. Uma vez feita a construção, pontos, retas e círculos podem ser deslocados na tela mantendo-
se as relações geométricas (pertinência, paralelismo etc) previamente estabelecidas, permitindo assim que o 
estudante (ou o professor), ao invés de gastar o seu tempo com detalhes de construção repetitivos, se concentre 
na associação existente entre os objetos. Assim, ele possibilita ao estudante, a partir de uma única construção, 
efetuar um número arbitrário de testes para procurar ou verificar uma conjectura, o que seria virtualmente impossível 
com lápis e papel e, por isso, podemos dizer que é “1-construção” e “n-testes”. 
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Podemos usar o Teorema de Pitágoras para ilustrar como uma pesquisa pode ser catalizada pela Geometria 
Dinâmica:
O estudante pode construir um triângulo retângulo, tomar algumas medidas e alterar a posição dos vértices e, por 
si próprio, eventualmente, observar que o quadrado da hipotenusa sempre coincidirá com a soma dos quadrados 
dos catetos.
Vários softwares de geometria dinâmica estão disponíveis no mercado: Cabri-Géomètre, Geometry Sketchpad, 
Cinderella, Régua e Compasso, Geogebra, iGeom etc. Apesar de algumas diferenças, o princípio de funcionamento 
é o mesmo para todos eles, de modo que as atividades desenvolvidas com um podem, facilmente, ser adaptadas 
para qualquer outro.
Em nossa disciplina, usaremos o software “GeoGebra”, desenvolvido por Markus Hohenwarter. O GeoGebra 
é um software gratuito de matemática dinâmica que reúne recursos de geometria, álgebra e cálculo. É gratuito, 
você pode usá-lo e distribuí-lo para seus estudantes sem pagar nada por isto. Ele roda em qualquer plataforma 
(Microsoft Windows, Linux, Macintosh, etc).
Aprender a usar o software é apenas o começo. Espera-se que você, ao longo do curso, ganhe a habilidade de 
decidir criticamente quando e como usá-lo em seus estudos individuais e,principalmente, quando e como usá-lo 
com seus estudantes na sala de aula. A seguir, daremos um maior detalhamento sobre este software.
INDICAÇÃO DE LEITURA
Na Home Page do professor Humberto José Bortolossi, da Universidade Federal Fluminense, há um excelente 
tutorial para aprender a usar o Geogebra, bem como sua descrição de arquivos de instalação; biblioteca; galeria 
etc. Disponível em http://www.professores.uff.br/hjbortol/geogebra/
Acesso em 26/05/2010.
4.1.1. Geogebra
O GeoGebra é um software de matemática dinâmica gratuito e multiplataforma para todos os níveis de ensino, 
que combina geometria, álgebra, tabelas, gráficos, estatística e cálculo em um único sistema. Algumas vantagens 
de usar o GeoGebra:
−	 gráficos, álgebra e tabelas estão interconectados e possuem características dinâmicas.
−	 interface amigável, com vários recursos sofisticados.
−	 ferramenta de produção de aplicativos interativos em páginas WEB.
−	 disponível em vários idiomas para milhões de usuários em torno do mundo.
−	 software gratuito e de código aberto.
Por um lado, o GeoGebra possui todas as ferramentas tradicionais de um software de geometria dinâmica: 
pontos, segmentos, retas e seções cônicas. Por outro, equações e coordenadas podem ser inseridas diretamente. 
Assim, o GeoGebra tem a vantagem didática de apresentar, ao mesmo tempo, duas representações diferentes 
de um mesmo objeto que interagem entre si: sua representação geométrica e sua representação algébrica.
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Como ilustração, consideremos uma circunferência de centro ( )2,2A que passe pelo ponto ( )0,2B . Sua 
equação pode ser dada por ( ) ( )2 22 2 4x y− + − = . 
Veja que, na figura abaixo, numa janela, temos o desenho da circunferência e, na outra, as informações algébricas 
da mesma.
Figura 4.2: As duas janelas do Geogebra
Fonte: criação própria
Agora, pegando o mouse e mudando o ponto ( )2,2A , clicando e arrastando, por exemplo, para a posição 
( )1,0 , o programa desenhará uma nova circunferência e atualizará os dados na janela de álgebra, como mostra o 
resultado na figura abaixo.
Figura 4.3: As duas janelas do Geogebra
Fonte: criação própria
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Instalando o GeoGebra
Bem, o primeiro passo é instalar o programa em seu computador. Para isso, visite o site do GeoGebra (www.
geogebra.at) e, clicando em Download, escolha entre Baixar, Instalações ou Portátel, conforme descrição abaixo:
−	 baixar
	• Na opção WebStar é possível instalar e executar o GeoGebra em seu computador. Um ícone será criado 
na área de trabalho de seu computador para o uso offline também;
	• Na opção Applet Start o Geogebra será aberto em um applet GeoGebra completamente funcional em 
seu navegador. Nada será instalado em seu computador.
−	 Instalações (Programas Instaladores do GeoGebra): é possível baixar e instalar o GeoGebra em seu 
computador, usando um dos dos arquivos de instalação, entre a opção para Windows, para Mac OS X ou 
para Linux. Você pode copiar, distribuir e transmitir o GeoGebra para fins não comerciais.
−	 Portável: a vesão portável do GeoGebra roda em qualquer computador sem a necessidade de instalação. 
Baixe um dos pacotes, conforme seu sistema operacional, e o descompacte em seu Pen Drive. Você pode 
copiar, distribuir e transmitir o GeoGebra para fins não comerciais.
Figura 4.4: Página de Downlod do Geogebra
Fonte: http://www.geogebra.org/cms/pt_BR/download
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Escolhido a opção, por exemplo, baixando o arquivo GeoGebra-Windows-Installer-3-2-41-0.exe, ao executar 
aparecerá a seguinte tela:
Figura 4.5: Instalando o Geogebra
Fonte: Própria 
Clique em Próximo e depois em Eu Concordo para aceitar os termos de acordo. Feito isso, na próxima tela tem 
a opção Standard (padrão) ou Custom (para usuários avançados). Aconselha-se a opção Custom. Em seguida, é 
só ir clicando em Próximo até aparecer a opção Instalar. Ao término, aparecerá a seguinte tela:
Figura 4.6: Instalando o Geogebra
Fonte: Própria 
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Finalmente, clique em Terminar, com a opção Executar Geogebra ativada, e o programa se iniciará, conforme 
ilustra a figura abaixo:
Figura 4.7: Tela início do Geogebra
Fonte: Própria 
Uma vez instalado o programa, passamos a conhecê-lo. Abaixo apresentaremos telas que apresentarão o 
programa referente à versão 3.2.41.0 de 26 de março de 2010, como ilustra a figura abaixo.
Figura 4.8: Tela Sobre/Licença do Geogebra
Fonte: Própria 
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Conhecendo o GeoGebra
O GeoGebra possui cinco grandes áreas de trabalho, a saber.
−	 Menu principal (1)
Figura 4.9: Menu Principal do Geogebra
Fonte: www.professores.uff.br/hjbortol 
−	 Barra de Ferramentas (2)
Figura 4.10: Barra de Ferramentas do Geogebra
Fonte: www.professores.uff.br/hjbortol 
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−	 Janela de Álgebra (3)
Figura 4.11: Janela de Algebra do Geogebra
Fonte: www.professores.uff.br/hjbortol 
−	 Janela de Visualização Geométrica (4)
Figura 4.12: Janela Geométrica do Geogebra
Fonte: www.professores.uff.br/hjbortol 
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−	 Campo de Entrada ou Linha de Comandos (5)
Figura 4.13: Campo de Entrada do Geogebra
Fonte: www.professores.uff.br/hjbortol 
Com a ajuda do mouse e com os botões da barra de ferramentas, é possível construir figuras sobre a janela 
de geometria dinâmica. Assim, as coordenadas e equações aparecem na janela de álgebra. Na linha de comandos 
(campo de entrada), podemos introduzir diretamente as coordenadas, as condições, comandos, e as expressões 
que definem as funções que, logo em seguida, são representados na janela de geometria, ao acionar-se a tecla 
Enter.
É possível ativar/desativar, conforme conveniência, a janela de álgebra, a janela de geometria dinâmica, os 
eixos, a malha, a linha de comandos etc., como ilustra a figura abaixo.
Figura 4.14: Tela exibir/ocultar alguma janela do Geogebra 
Fonte: criação própria
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A Barra de Ferramentas do GeoGebra
A barra de ferramentas do GeoGebra está dividida em onze janelas, como mostra a figura abaixo.
Figura 4.15: A barra de ferramentas do Geogebra
Fonte: criação própria
Vejamos os botões que cada janela possui. Para abrir cada janela, basta clicar na setinha, no canto inferior 
direito, de cada ícone na barra de ferramentas.
−	 Caixa de Ferramentas Ponteiro
−	 Caixa de Ferramentas Ponteiro
Figura 4.16: Caixa de Ferramentas Ponteiro
Fonte: criação própria
−	 Caixa de Ferramentas Pontos
Figura 4.17: Caixa de Ferramentas Pontos
Fonte: criação própria
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−	 Caixa de Ferramentas Retas (1)
Figura 4.18: Caixa de Ferramentas Retas
Fonte: criação própria
−	 Caixa de Ferramentas Retas (2)
Figura 4.19: Caixa de Ferramentas Retas
Fonte: criação própria
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−	 Caixa de Ferramentas Polígonos
Figura 4.20: Caixa de Ferramentas Polígonos
Fonte: criação própria
−	 Caixa de Ferramentas Curvas: círculos e arcos
Figura 4.21: Caixa de Ferramentas Curvas: círculos e arcos
Fonte: própria
−	 Caixa de Ferramentas Curvas: cônicas
Figura 4.22: Caixa de Ferramentas Curvas: cônicas
Fonte: própria
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−	 Caixa de Ferramentas Medir
Figura 4.23: Caixa de Ferramentas Medir
Fonte: própria
−	 Caixa de Ferramentas Transformar
Figura 4.24: Caixa de Ferramentas Transformar
Fonte: criação própria
−	 Caixa de Ferramentas Inserir Objetos
Figura 4.25: Caixa de Ferramentas Inserir Objetos
Fonte: criação própria
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−	 Caixa de Ferramentas Exibir/Mostrar
Figura 4.26: Caixa de Ferramentas Exibir/Mostrar
Fonte: criação própria
Algumas Vantagensdo Geogebra
Além de ser gratuito de código aberto, podemos listar outras vantagens na utilização deste software, a saber:
−	 seletores: pode-se construir, por exemplo, o gráfico da função 2( ) ( )f x x a b= − + , em que os valores 
de a e de b são dados nos seletores, podendo assim o estudante interagir, modificando estes valores e 
percebendo o movimento no plano da função 2( )f x x= . Abaixo, ilustrações de como construir seletores.
	• Ativando a ferramenta Seletor
Figura 4.27: Inserindo seletor no Geogebra
Fonte: criação própria
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	• Construindo o primeiro seletor, denotando-o por a. Depois, repita o processo e construa outra seletor, 
agora com nome de b.
Figura 4.28: Rotulando um Seletor
Fonte: criação própria
	• Digite, no campo de entrada, (x-a)^2+b, para que o GeoGebra construa a função 
2( ) ( )f x x a b= − + . Não se esqueça de teclar Enter, após a digitação.
Figura 4.29: Seletores no Geogebra
Fonte: criação própria
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	• Surgirá o esboço gráfico da função, como figura abaixo.
Figura 4.30: Gráfico da função, no Geogebra, com seletores
Fonte: criação própria
	• Com o mouse, altere os valores para os seletores de a e de b. A figura abaixo ilustra uma nova construção, 
feita pelo Geogebra, quando os valores de a e b foram alterados.
Figura 4.31: Novo gráfico para novos valores do seletores
Fonte: criação própria
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−	 Expressões em LaTeX: pode-se inserir expressões digitando em LaTeX, como, por exemplo, digitando 
f(x)=\frac{1}{x-1}, a visualização é ( ) 1
1
f x
x
=
−
. As figuras abaixo ilustram como inserir textos com 
escrita em LaTeX.
	• Inserindo um texto:
Figura 4.32: Inserindo texto no Geogebra
Fonte: criação própria
	• Digitando a expressão em LaTeX. Não se esqueça de marcar Fórmula LaTeX, na janela Texto.
Figura 4.33: Escrevendo em Latex no Geogebra
Fonte: criação própria
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	• Visualizando
Figura 4.34: Expressão em Latex no Geogebra
Fonte: criação própria
??? ??? SAIBA MAIS
O Wiki do TeX-BR é um repositório de conhecimento sobre o TeX, o LaTeX e assuntos relacionados, que 
qualquer um pode editar, para tomar conhecimento sobre a linguagem de macros LaTeX: o que é, como usar e 
onde encontrar. 
http://www.tex-br.org/ 
Acesso em 27/05/2010.
−	 Textos Dinâmicos: o Geogebra permite inserir textos que, quando um parâmetro é modificado, o texto 
também é modificado. Vejamos um exemplo. 
	• Crie dois seletores, digamos “a” e “b”;
	• No campo de entrada, digite: f(x) = (x-a)^2 + b. Aperte enter e edite as opções de gráfico do gráfico 
da função f;
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Figura 4.35: Textos dinâmicos no Geogebra
Fonte: criação própria
	• ative a ferramenta “Inserir Texto”. Faremos um texto em que aparecerá uma mensagem fixa com outra 
que varia. A parte fixa deverá ficar entre aspas. O sinal + liga a parte fixa com a arte variável e a parte 
variável ficará, preferencialmente, entre parênteses. Digite assim:
 “f(x) = (x-a)^2 + b = (x-(“ + a + “))^2 + (“ + b + “)”
Figura 4.36: Inserindo textos dinâmicos no Geogebra
Fonte: criação própria
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	• Altere com o mouse os valores de “a” e/ou “b” e veja o resultado.
−	 Figuras de Fundo: é possível inserir uma figura servindo de imagem de fundo. Veja as ilustrações abaixo de 
como fazer isso.
	• Ativando o botão Incluir Imagem:
Figura 4.37: Inserindo figura de fundo no Geogebra
Fonte: criação própria
	• Escolhendo a imagem para ser inserida. Busque em alguma pasta do computador.
Figura 4.38: Escolhendo imagem para inserir no Geogenta
Fonte: criação própria
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	• Você pode redimensionar e reposicionar a figura de fundo.
Figura 4.39: Figura de fundo no Geogebra
Fonte: criação própria
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5. UTILIZANDO O GEOGEBRA COMO FERRAMENTA DE ENSINO
Aprender a usar o software é apenas o começo. Espera-se que, na medida em que o professor vai se familiarizando 
com os diversos tipos de softwares, o mesmo tenha a habilidade de decidir criticamente quando e como usá-lo em 
seus estudos individuais e, principalmente, quando e como usá-lo com seus estudantes.
Agora, veremos algumas indicações de como é possível utilizar o GeoGebra como uma ferramenta didática para 
o ensino da Matemática.
5.1. Construções Geométricas (Elementares) com o Geogebra
Trataremos, inicialmente, de problemas e exercícios ligados à Geometria Euclidiana Plana. Vamos nos concentrar 
em algumas construções elementares da geometria com o uso do software Geogebra, para irmos nos familiarizando 
com o software.
Primeiramente, veremos sequências de procedimentos capazes de construir triângulos com o uso do Geogebra, 
levando em conta o conceito e as propriedades específicas. Em seguida, exibiremos outras construções elementares, 
não fugindo do propósito que é a familiarização com o Geogebra. Claro que não esgotaremos todas as construções 
elementares, apenas exibiremos algumas, conforme nosso propósito.
Triângulo Equilátero
−	 Construa o segmento AB:
	• na terceira caixa de ferramentas, ative a função “Segmento definido por dois pontos” e, então, clique na 
área de desenho em dois locais distintos;
(a) Ativando a ferramenta segmento
Fonte: criação própria
(b) Construindo o segmento
Fonte: criação própria
Figura 5.1 Construindo segmento no Geogebra
−	 Construa a circunferência com centro no ponto A passando em B;
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	• Na sexta caixa de ferramentas, ative a primeira função, como na figura abaixo.
Figura 5.2: Ativando a ferramenta círcuclo
Fonte: criação própria
	• Com a ferramenta ativa, clique no ponto A e depois no B. Assim a circunferência será construída.
Figura 5.3: Círculo construído no Geogebra
Fonte: criação própria
−	 Sobre a circunferência, crie o ponto C e construa os segmentos AC e BC;
Figura 5.4: Construindo o triângulo ABC
Fonte: criação própria
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−	 Na oitava caixa de ferramentas, ative a função “Distância, comprimento ou perímetro” e meça os segmentos 
AB, AC e BC.
Figura 5.5: Ativando a ferramenta medir
Fonte: criação própria
	• O triângulo é equilátero?
−	 Construa a circunferência com centro no ponto B, passando em A.
−	 Movimente o ponto C, de modo que o triângulo ABC seja equilátero. Em seguida, movimento o ponto A ou o 
ponto B e verifique se o triângulo ainda é equilátero.
−	 Identifique o ponto D de interseção entre as circunferências. Movimente os pontos A ou B.
Figura 5.6: Construindo outro círculo
Fonte: criação própria
−	 Qual a diferença entre determinar o triângulo ABC e determinar o triângulo ABD?
Triângulo Isósceles
−	 Construa o segmento de reta AB e Identifique o ponto médio C deste segmento;
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	• Na segunda caixa de ferramenta, ative a função “Ponto Médio” e então clique no segmento AB
(a) Ativando a função ponto médio
Fonte: criação própria
(b) Criando o ponto médio do segmento
Fonte: criação própria
Figura 5.7: Ponto Médio do Segmento
−	 Trace a reta perpendicular ao segmento AB que passa em C;
	• Na quarta caixa de ferramenta, ative a função “Reta Perpendicular”, em seguida clique no ponto C e 
depois no segmento AB.
Figura 5.8: Ativando a ferramenta Reta Perpendicular
Fonte: criação própria
−	 Marque um ponto D sobre a perpendicular e trace os segmentos AD e BD.
−	 Meça os segmentos AD e BD;
Figura 5.9: Medidas dos segmentos
Fonte: criação própria
−	 Movimente os pontos A, B e/ou D. O que podemos afirmar sobre as distâncias AD e BD?
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?? VOCÊ SABIA?
Pontos Notáveis do Triângulo1. Ortocentro: dá-se o nome de ortocentro ao ponto de interseção das retas suportes das alturas de um 
triângulo. 
SUGESTÃO DE ATIVIDADE
Utilize o Geogebra para identificar este ponto e analisar a seguinte afirmação:
“O ortocentro pertence à região interna do triângulo, se o triângulo for acutângulo.”
Para tanto, siga da seguinte forma:
(a) construa um triângulo ABC qualquer;
(b) construa as retas perpendiculares aos lados desse triângulo que passa em cada vértice oposto ao lado;
(c) identifique o ponto de interseção entre essas retas;
(d) altere a posição dos vértices e constate a afirmação acima;
(e) a partir desta construção, responda: 
(e1) quando o triângulo for retângulo, onde estará localizado o ortocentro?
(e2) Quando o triângulo for obtusângulo, onde estará localizado o ortocentro?
?? VOCÊ SABIA?
2. Incentro: dá-se o nome de incentro ao ponto de interseção das bissetrizes dos ângulos internos de um 
triângulo. Este ponto é útil para desenhar o círculo inscrito a um triângulo, pois ele é o centro desste círculo. 
Assim, com o Goegebra, construa um triângulo qualquer e desenhe o círculo inscrito a esse triângulo.
3. Circuncentro: dá-se o nome de circuncentro ao ponto de interseção das mediatrizes dos lados de um 
triângulo. . Este ponto é útil para desenhar o círculo que circunscreve um triângulo, pois ele é o centro desse 
círculo. Assim, com o Goegebra, construa um triângulo qualquer, localize o circuncentro e trace o círculo que 
circunscreve esse triângulo.
4. Baricentro: dá-se o nome de baricentro ao ponto de interseção das medianas de um triângulo. Este ponto 
divide toda mediana a que pertence em dois segmentos numa razão 1 para 2. Constate, com o auxílio do 
Geogebra, essa propriedade.
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SUGESTÃO DE ATIVIDADE
Pontos Notáveis do Triângulo e a Reta de Euler 
Construa, no Geogebra, os quatro pontos notáveis de um triângulo (numa mesma figura). Construa uma reta 
que passa pelo ortocentro e pelo circuncentro. Feito isso, responda:
(a) o baricentro pertence a esta reta?
(b) Se o triângulo for equilátero, qual a relação entre os quatro pontos notáveis do triângulo? E se o triângulo 
for isóscele?
A reta de Euler: um dos resultados mais curiosos da geometria plana elementar é o fato de que, para qualquer 
triângulo, o ortocentro H, o baricentro G e o circuncentro O estão sobre a mesma linha reta.
SUGESTÃO DE ATIVIDADE
É ou não é um paralelogramo?
1. Construa no Geogebra um triângulo ABC qualquer. Sobre os lados AB e AC construa, respectivamente, 
triângulos equiláteros PAB e RCA “para fora” do triângulo ABC. Sobre o lado BC, construa o triângulo equilátero 
QCB “para dentro” do triângulo ABC. Por fim, trace os segmentos PQ e QR. Responda:
(1.1) que propriedade marcante o quadrilátero PQRA possui?
2. Construa no Geogebra um quadrilátero ABCD qualquer e, em seguida, marque os pontos médios X, Y, W e 
Z dos segmentos AB, BC, DC e DA, respectivamente.
(2.1) Que propriedade marcante o quadrilátero XYWZ possui?
SUGESTÃO DE ATIVIDADE
Teorema de Napoleão 
Construa, no Geogebra, um triângulo qualquer. Em cada lado desse triângulo forme um triângulo equilátero, 
contudo marcando o baricentro de cada triângulo eqüilátero. Construa o triângulo formado por esses baricentros. 
Responda:
esse novo triângulo é equilátero?
Teorema de Thébault 
Construa, no Geogebra, um paralelogramo. Em cada lado desse polígono forme um quadrado, contudo 
marcando o baricentro de cada quadrado. Construa o quadrilátero formado por esses baricentros. Responda:
esse quadrilátero é um quadrado?
Se no lugar de paralelogramo fizéssemos essa construção com um quadrilátero qualquer, poderíamos concluir 
algo sobre o novo quadrilátero, ou seja, o Teorema de Napoleão se estenderia para um quadrilátero qualquer?
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Triângulo Retângulo de Hipotenusa dada
Dado um segmento AB, vamos ver como obter todos os triângulos retângulos cuja hipotenusa seja o segmento 
AB.
−	 Construa o segmento de reta AB e marque o ponto médio C deste segmento.
−	 Construa a circunferência com centro no ponto C, passando em A. Crie o ponto D sobre a circunferência.
Figura 5.10: Ponto sobre a circunferência
Fonte: criação própria
−	 Determine os segmentos AD e BD. Marque o ângulo ADB.
	• Na nona caixa de ferramentas, ative a função “Ângulo”. Clique, nesta ordem, nos pontos A, D e B.
(a) Ferramenta ângulo
Fonte: criação própria
(b) Medindo Ângulo
Fonte: criação própria
Figura 5.11: Medindo ângulo no Geogebra
−	 Movimente o ponto D. O que se pode dizer sobre a natureza do triângulo ADB?
Quadrado tendo como lado o segmento AB
−	 Construa o segmento de reta AB.
−	 Construa duas circunferências:
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	• uma com centro em A, passando em B;
	• outra com centro em B, passando em A.
−	 Trace as perpendiculares ao segmento AB passando nas extremidades A e B.
−	 Identifique os pontos C e D, interseção entre as retas e as circunferências.
Figura 5.12: Construindo o quadrado
Fonte: criação própria
−	 Determine o polígono ABCD:
	• na quinta caixa de ferramentas, ative a função “Polígono” e depois clique nos pontos A, B, D e C, nesta 
ordem:
Figura 5.13: Construindo o polígono
Fonte: criação própria
−	 Marque os ângulos internos do polígono.
−	 Movimente os pontos A e/ou B. O que acontece com as medidas dos lados desse polígono? E com as 
medidas dos ângulos?
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O teorema de Pitágoras
Este teorema diz que, em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma 
dos quadrados das medidas dos catetos. Em símbolos, se representa a medida da hipotenusa e e representam 
a medida dos catetos, então
 2 2 2a b c= +
Podemos usar o Geogebra para ilustrar, geometricamente, essa relação. Para tanto, construa, no Geogebra, 
faça como indicado:
1. construa um triângulo qualquer e marque o ângulo cujo vértice seja o ponto A;
2. em cada lado do triângulo, construa o quadrado cujo lado coincida com o lado do triângulo;
3. na oitava caixa de ferramenta, ative a opção Área e clique em cada quadrado;
4. certificado de que a hipotenusa está representada pela letra a e os catetos pelas letras b e c, insira os 
seguintes textos (ative Fórmula LaTeX):
“a^2=(“+a+”)^2=”+a^2
“b^2+c^2=(“+b+”)^2+(“+c+”)^2 =”+(b^2+c^2)
5. varie a posição do ponto A e perceba quando haverá igualdade entre os textos acima.
O teorema de Pitágoras segundo Euclides:
No livro I dos Elementos, Euclides apresenta uma demonstração (proposição 47) para o teorema de Pitágoras 
fundamentado na seguinte afirmação:
“A área de um triângulo é igual à metade da área de um paralelogramo com a mesma base e a mesma altura.”
Figura 5.14: Teorema de Pitágoras segundo Euclides
Fonte: criação própria
Use o Geogebra para fazer a construção indicada na figura acima e provar o teorema de Pitágoras, segundo 
Euclides.
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5.2. Uma Sugestão para o Estudo de Funções
No que segue, sugerimos uma proposta de abordagem para o estudo de funções, baseado nas seguintes 
palavras-chave: motivação, contextualização e representação gráfica. Dividimos em etapas, a saber.
−	 Etapa 01: exploração de gráficos da vida cotidiana. Nesta etapa podem ser exploradas questões como:
	• quais as grandezas envolvidas?
	• Quais são as variáveis?
	• Uma variável depende da outra?
	• Existem padrões de regularidade?
−	 Etapa 02: análise gráfica. É interessante, aqui, explorar aspectos gerais do estudo de funções, como domínio, 
imagem, crescimento, decrescimento, raízes, máximo, mínimos etc. Esta etapa pode ser finalizada numa 
aula expositiva dialogada em que, com a participação dos estudantes, o professor formaliza os conceitos 
novos trabalhados.
−	 Etapa 03: introdução das funções de primeiro grau, quadrática e modular. É importante explicar, aqui, 
algumas situações práticas