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FERRAMENTAS COMPUTACIONAIS 
PARA O ENSINO DA MATEMÁTICA
Maria Carla Ferreira Pereira Tavares
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Curitiba
2016
Ferramentas 
Computacionais 
para o Ensino da 
Matemática
Maria Carla Ferreira Pereira Tavares
Ficha Catalográfica elaborada pela Fael. Bibliotecária – Cassiana Souza CRB9/1501
T231f Tavares, Maria Carla Ferreira Pereira
Ferramentas computacionais para o ensino da matemática / Maria
Carla Ferreira Pereira Tavares. – Curitiba: Fael, 2016.
320 p.: il.
ISBN 978-85-60531-60-8
1. Matemática – Estudo e ensino 2. Tecnologia e educação I.
Título
CDD 510.7
Direitos desta edição reservados à Fael.
É proibida a reprodução total ou parcial desta obra sem autorização expressa da Fael.
FAEL
Direção Acadêmica Francisco Carlos Sardo
Coordenação Editorial Raquel Andrade Lorenz
Revisão e Diagramação Editora Coletânea
Projeto Gráfico Sandro Niemicz
Capa Vitor Bernardo Backes Lopes
Imagem da Capa Shutterstock.com/Trybex/Marina Sun
Revisão de Diagramação Evelyn Caroline dos Santos Betim
Sumário
 Carta ao Aluno | 5
1. A Evolução Computacional e a Matemática | 7
2. Importância das Ferramentas Computacionais | 25
3. Funcionalidades e Aplicações do WINARC | 43
4. Funcionalidades e Aplicações do WINMAT | 73
5. Funcionalidades e Aplicações do WINPLOT | 103
6. Funcionalidades e Aplicações do MATHGV | 159
7. Funcionalidades e Aplicações do Graphmatica | 183
8. Funcionalidades e Aplicações do POLY | 199
9. Funcionalidades e aplicações do GeoGebra | 235
10. Funcionalidades e Aplicações do MATLAB | 283
 Conclusão | 311
 Referências | 313
Carta ao aluno
Prezado(a) aluno(a),
Ao abordar o uso de ferramentas computacionais no ensino 
da matemática, é importante investigar a história dos instrumentos 
e ferramentas que fizeram parte da evolução humana, e que estão 
intimamente ligados ao desenvolvimento da própria matemática. 
Ao longo dessa história, muitos pesquisadores e cientistas dedica-
ram tempo e esforço para desenvolver várias ferramentas e instru-
mentos, visando facilitar os cálculos matemáticos nas mais diversas 
áreas de atuação humana.
– 6 –
Ferramentas Computacionais para o Ensino da Matemática
Pode-se dizer que desde o ábaco, considerado a primeira calculadora da 
história, a ciência vivenciou inúmeras evoluções, entre quais: o desenvolvi-
mento da primeira calculadora mecânica, da régua de cálculo, da máquina de 
Pascal, da calculadora universal de Leibnitz, do tear programável de Jacquard 
e da máquina analítica de Babbage.
Todas essas ferramentas precederam o primeiro computador, desenvol-
vido por Von Neumann, inspiração para todos os demais computadores. O 
desenvolvimento da informática foi rápido, devido a pesquisas desenvolvidas 
por grandes matemáticos e cientistas como Hollerith, Allan Turing e Tommy 
Flowers, até chegarmos aos computadores portáteis e pessoais, desenvolvidos 
por Steven Jobs, Steven Wozniak e Bill Gates.
Com o avanço das ferramentas computacionais, muitas áreas do conhe-
cimento sofreram evoluções, entre elas a educação. A história da informá-
tica educativa está diretamente associada à chamada Era do Conhecimento. 
No Brasil, o histórico de desenvolvimento da informática educativa se deu 
por meio de projetos de algumas universidades, bem como do governo, que 
incentivaram o uso da informática em sala de aula.
Contudo, o uso de ferramentas computacionais como recurso pedagó-
gico encontrou inúmeros desafios em sua aplicação. Esta inclusão trouxe à 
tona um conjunto de discussões importantes sobre o processo de aprendiza-
gem, o papel do professor, do aluno e da comunidade escolar, além de refor-
çar o papel do planejamento e desenvolvimento de um projeto pedagógico 
adequado e integrado ao uso destas ferramentas.
A informática educativa para ensino da matemática, uma ciência apoiada 
em cálculos e fórmulas, apresenta potencial para uso no processo pedagógico. 
A inserção desses recursos tecnológicos pode trazer um incentivo à criativi-
dade dos alunos, facilitando a descoberta de soluções e uma melhor com-
preensão dos conteúdos em sala de aula. O conhecimento, as experiências 
e as ferramentas estão à disposição para fazer do ensino da matemática uma 
disciplina instigante e motivadora.
Bons estudos!
O autor
1
A Evolução 
Computacional e 
a Matemática
A história do computador se confunde com a evolução do 
homem e sua relação com a matemática. O termo “computar”, que 
significa determinar uma quantidade, e que é sinônimo de estimar, 
contar ou calcular, remete diretamente às necessidades humanas de 
realizar operações matemáticas em seu cotidiano. Tal necessidade 
fez evoluir, ao longo do tempo, as ferramentas e conhecimentos 
empregados na computação e matemática, permitindo descobertas 
científicas e tecnológicas, bem como avanços na matemática.
Foram as necessidades de interação humana, ligadas ao 
desenvolvimento de áreas como o comércio e a engenharia, que 
contribuíram para a criação de objetos com a finalidade de reali-
zar desde operações mais básicas, como soma e subtração, até mais 
complexas, como as de apoio a projetos e construções de grandes 
– 8 –
Ferramentas Computacionais para o Ensino da Matemática
monumentos históricos. Os grandes pensadores e estudiosos das ciências 
aperfeiçoaram, desde a antiguidade e ao longo do tempo, esses objetos de 
apoio à matemática e ao cálculo. Assim, passaram de coadjuvantes a impor-
tantes ferramentas no desenvolvimento das ciências e, dentre elas, especial-
mente da matemática.
Desta forma, podemos destacar um dos primeiros objetos voltados a 
operações matemáticas, e que desde o ano 5.500 a.C. é usado pelo homem: 
o ábaco (figura 1). Considerado a primeira calculadora da história, o ábaco 
tem sua primeira aparição na Mesopotâmia, sendo usado também por 
outros povos da antiguidade, como Babilônia, Egito, Grécia e Roma, além 
de China, Japão e Índia.
Figura 1 – Modelos de ábaco
Fonte: Shutterstock.com/Sarycheva Olesia / Shutterstock.com/Kokliang.
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A Evolução Computacional e a Matemática
É um objeto de cálculo simples, mas eficiente para operações básicas 
de soma e subtração. É composto por varetas paralelas com um conjunto 
de anéis em cada uma, que por sua vez são os responsáveis pelas opera- 
ções matemáticas.
O ábaco se popularizou em sua época em vários povos, devido ao 
desenvolvimento do comércio e à necessidade de um padrão de representa-
ção matemática. Entretanto, sua utilização foi sendo aperfeiçoada e substi-
tuída por outros instrumentos, pela necessidade de realizar outras operações 
matemáticas, como a divisão e a multiplicação, mais complexas nos ábacos.
A calculadora desenvolvida na Alemanha por Wilhelm Schickard, em 
1623, é considerada a primeira calculadora mecânica (figura 2). O cientista, 
que era dedicado à astronomia, conseguiu aliar seus conhecimentos sobre 
esse assunto ao desenvolvimento do equipamento, que era capaz de realizar 
as quatro operações básicas, com numeral de até seis dígitos, a partir de um 
mecanismo de rodas dentadas.
Figura 2 – Calculadora de Wilhelm Schickard
Fonte: Deustches Museum (2016).
Wilhelm teve também um papel importante no desenvolvimento de outro 
equipamento destinado ao cálculo de datas astronômicas. Os dois objetos foram 
de grande importância para outro cientista de sua época, Johannes Kepler, que 
desenvolveu inúmeros conceitos da física e revolucionou a astronomia.
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Ferramentas Computacionais para o Ensino da Matemática
O Renascimento continuou a trazer avanços na criação e aprimoramento 
de objetos voltados para os cálculos. Devido à necessidade de operações com 
números de muitos dígitos, o inglês William Oughtred desenvolveu em 1638 
um objeto muito conhecido ainda hoje, a Régua de Cálculo (figura 3).
Figura 3 – Exemplo de Régua de Cálculo
Fonte: Shutterstock.com/Coprid.A régua de cálculo permitia principalmente a multiplicação com núme-
ros grandes, pois já possuía uma quantidade significativa de valores pré-deter-
minados e distribuídos ao longo de sua base, de forma que os resultados eram 
indicados de forma rápida a partir de um ponteiro.
Esse instrumento foi desenvolvido com base em pesquisas de outro mate-
mático importante da época, o escocês John Napier, que concentrou seus esfor-
ços em descobrir várias propriedades matemáticas denominadas logaritmos. 
Suas descobertas facilitaram a realização das operações de multiplicação.
Como os valores ainda eram pré-determinados, ainda havia a necessi-
dade de um instrumento que realizasse cálculos com qualquer número. Por 
volta de 1642, o matemático francês Blaise Pascal desenvolveu a primeira 
evolução para uma calculadora mecânica, conhecida como Máquina de Pas-
cal ou La Pascaline.
A Máquina de Pascal (figura 4), funcionava a partir de rodas interligadas 
que se moviam à medida que realizavam os cálculos. Apesar de possibilitar 
cálculos com combinações de até seis dígitos, o invento de Pascal ficou limi-
tado a operações de soma e subtração.
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A Evolução Computacional e a Matemática
Figura 4 – Máquina de Pascal
Fonte: © Enciclopédia Britannica/global.britannica.com.
Em 1672, o alemão Gottfried Leibnitz superou Pascal ao construir uma 
máquina denominada calculadora universal (figura 5), que conseguia efetuar 
operações básicas e raiz quadrada. Entretanto, devido a sua complexidade, 
não foi possível torná-la comercial.
Figura 5 – Calculadora Universal de Leibnitz
Fonte: Deustches Museum (2016).
Todas as máquinas desenvolvidas até então se concentravam em realizar 
operações pré-definidas, o que limitava sua adoção e, principalmente, sua 
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Ferramentas Computacionais para o Ensino da Matemática
produção em larga escala. E foi exatamente da área de produção industrial 
que veio a inspiração para novos avanços.
Em 1801, um tecelão francês chamado Joseph Marie Jacquard precisava 
diminuir o tempo que levava com a tecelagem. Essa tarefa era completamente 
manual, o que demandava muito tempo e resultava em baixa lucratividade.
Ele observou que essa tarefa manual se repetia com determinada lógica, 
e assim criou o primeiro tear programável (figura 6). Para programar tal 
máquina, desenvolveu cartões perfurados que determinavam os movimentos 
que deveriam ser realizados pelo tear. Por sua vez, o tear interpretava estes 
cartões e produzia os tecidos.
Figura 6 – Tear Programável de Jacquard
Fonte: Deustches Museum (2016).
A possibilidade de programar uma máquina com cartões perfurados 
incentivou a programação de máquinas para realização de tarefas repetitivas 
e, por consequência, para a realização de cálculos matemáticos.
Desta forma, encerrava-se um período de desenvolvimento de máquinas 
limitadas a realizar tarefas pré-definidas e dava-se início aos estudos para o 
desenvolvimento de máquinas que realizam tarefas e cálculos programados, 
que foi a inspiração para os computadores de hoje.
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A Evolução Computacional e a Matemática
O precursor desses novos conceitos foi o inglês Charles Babbage, que em 
1822 iniciou a publicação de pesquisas científicas acerca de cálculo eletrônico 
e afirmou que a máquina criada por ele poderia realizar cálculos de funções 
polinomiais, trigonométricas e até logarítmicas de maneira simples.
A Máquina de Diferenças, como foi denominada, poderia computar e 
imprimir tabelas matemáticas e científicas a partir de rodas dentadas fixadas 
em eixos que giravam com a ajuda de uma manivela. Empolgado com um 
pequeno protótipo, Babbage buscou apoio para produzir uma máquina em 
grande escala, porém seu esforço não obteve êxito.
Entretanto, ele não desistiu de desenvolver uma máquina capaz de 
trazer precisão e rapidez na realização dos cálculos matemáticos. Em 1837 
lançou uma nova invenção, denominada “engenho analítico” ou “máquina 
analítica” (figura 7).
Desta vez, usando os conceitos do 
tear programável com foco no uso de 
cartões perfurados, buscava produzir 
uma máquina capaz de realizar qual-
quer cálculo e atingir uma precisão 
de mais de cinquenta casas decimais. 
Contudo, mais uma vez as limitações 
técnicas e industriais da época não per-
mitiram que ela fosse completamente 
desenvolvida. Apesar disso, seu projeto 
contribuiu para a descoberta de concei-
tos avançados que ainda são utilizados 
nos computadores modernos.
A partir dos conceitos de Babbage, 
as máquinas de calcular passaram a ter 
uma complexidade maior. Um novo 
caminho de pesquisa se abriu com os 
estudos de lógica do britânico George 
Boole. Em 1847 ele desenvolveu a cha-
mada Teoria de Boole, um sistema de 
representação de valores que utilizava 
Figura 7 – Máquina Analítica de 
Babbage
Fonte: Shutterstock.com/Tim Jenner.
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Ferramentas Computacionais para o Ensino da Matemática
apenas os algarismos 0 e 1, e que ficou conhecido mais tarde como os Bits. 
No conhecido sistema binário, utilizado ainda nos dias de hoje, o número 1 
tinha como significado inicial “verdadeiro”, “ativo”, “ligado” ou “existente”; 
enquanto o número zero significava “falso”, “inativo”, “desligado” ou “não 
existente”. Os valores intermediários poderiam ser representados pela asso-
ciação desses dois algarismos. O primeiro computador com essa estrutura foi 
desenvolvido pelo matemático Von Neumann, em 1945.
Na mesma época, apoiado na teoria dos cartões perfurados da máquina 
de tear programável, Hermann Hollerith desenvolveu uma máquina própria 
(figura 8), voltada para a realização de um processo de computação de infor-
mações mais acelerado.
Em 1890 essa máquina foi utilizada no censo dos Estados Unidos para 
processar os cartões das pesquisas, onde as alternativas eram perfuradas e pos-
teriormente processadas, demandando um terço do tempo estimado. Esse 
processo foi considerado um exemplo de evolução na computação.
Figura 8 – Máquina tabular de Hollerith
Fonte: Adam Schuster/CC BY-SA 2.0.
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A Evolução Computacional e a Matemática
A história de Hollerith foi marcada por forte empreendedorismo na 
área do desenvolvimento de tecnologias para computação, até sua morte. Sua 
empresa foi vendida em 1916, tornando-se a conhecida International Busi-
ness Machines (IBM).
Nos anos que se seguiram até o início da Segunda Guerra Mundial, 
foram observados vários avanços nas máquinas e computadores, embora esses 
equipamentos permanecessem em seu modo analógico e pouco flexível à 
resolução de problemas complexos.
Com a Segunda Guerra Mundial, alguns países envolvidos investiram 
em equipamentos e computadores voltados para uso militar, com foco na área 
de comunicação.
Se por um lado os alemães desenvolveram a máquina Lorenz (figura 9), 
voltada para a criptografia de suas comunicações, o Reino Unido se dedi-
cou a desenvolver um “desencriptador”, com o objetivo de obter conheci-
mento sobre as ações inimigas. Os principais computadores para pesquisa 
desenvolvidos foram o Mark I, feito em Manchester, e o Colossus, feito em 
Londres (figura 10).
Figura 9 – Máquina Lorenz, desenvolvida pela Alemanha
Fonte: Shutterstock.com/Everett Historical.
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Ferramentas Computacionais para o Ensino da Matemática
Figura 10 – Máquina Colossus, desenvolvida pelo Reino Unido
Fonte: The National Museum of Computing.
Uma das figuras mais importantes para a história da computação foi 
Allan Turing. Com o objetivo de descobrir o conteúdo das mensagens crip-
tografadas da Alemanha, ele e uma equipe de cientistas conseguiram desen-
volver uma máquina denominada Bomba Eletromecânica que, com base no 
sistema da Colossus, desenvolvido por Tommy Flowers, conseguiu decifrar as 
mensagens da Lorenz.
Além disso, Allan Turing teve grande contribuição na solução de problemas 
matemáticos com o auxílio de um computador. Destacou-se em suas pesquisas 
e descobertas sobre a resolução de problemas formais e práticos, em que a partir 
de um número finito de operações era possível resolverproblemas de diversas 
ordens. Com base nestas pesquisas foi desenvolvida a Máquina de Turing.
Pode-se considerar que a partir do fim da Segunda Guerra Mundial se 
iniciou a era moderna dos computadores. O avanço foi verificado principal-
mente na substituição dos componentes mecânicos e eletromecânicos dos 
computadores por componentes eletrônicos e digitais.
A primeira geração de computadores teve como principal evolução o uso 
de válvulas eletrônicas. Contudo, esses componentes eletrônicos ainda tinham 
grandes dimensões, uma quantidade enorme de fios e pouca refrigeração, 
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A Evolução Computacional e a Matemática
o que gerava temperatura elevada e problemas de funcionamento. Também 
eram limitados em sua programação, sendo necessário ainda que a linguagem 
adotada fosse exclusiva da própria máquina. O principal computador desen-
volvido na década de 50 com essas características foi o Electrical Numerical 
Integrator and Calculator (ENIAC), ilustrado na figura 11. Com seu lança-
mento em 1946, uma revolução da computação foi vivenciada, pois era mil 
vezes mais rápido que qualquer outro computador de sua época. Foi desen-
volvido pelos norte-americanos John Eckert e John Mauchly. 
Figura 11– Computador ENIAC
Fonte: Shutterstock.com/ Everett Historical.
Como se pode verificar parcialmente na ilustração, esse computador era 
muito grande. Possuía dimensões aproximadas de 25 metros de comprimento 
por 5,5 metros de altura, e peso estimado de 30 toneladas, tomando pratica-
mente um andar inteiro de um prédio.
O ENIAC inovou com a computação digital, superando em muito os 
computadores mecânicos e analógicos desenvolvidos até o momento. As ope-
rações eram realizadas a partir da entrada de dados em seu painel de controle, 
sem peças mecânicas de acionamento. Além disso, as operações podiam ser 
acessadas pelas configurações de seus componentes.
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Ferramentas Computacionais para o Ensino da Matemática
Devido às características do ENIAC, tanto de dimensão quanto de cons-
trução, as pesquisas se voltaram para a criação de novos componentes, de 
dimensões menores e de funcionamento mais eficiente.
Assim, a segunda geração de computadores, desenvolvidos na década de 
60, trouxe como inovação a substituição das válvulas eletrônicas por transis-
tores (figura 12), reduzindo o tamanho dos equipamentos. Houve também a 
substituição da grande quantidade de fios e cabos por uma tecnologia inova-
dora, a de circuitos impressos (figura 13).
Figura 12 – Transistores
Fonte: Shutterstock.com/Sergiy Kuzmin.
Figura 13 – Circuito Impresso
Fonte: Shutterstock.com/samodelkin8.
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A Evolução Computacional e a Matemática
Desta forma, deu-se início ao desenvolvimento dos supercomputadores, 
e um dos modelos mais representativos deste momento foi o 7030 Strech, 
da IBM (figura 14). Ele já possuía dimensões bem menores se comparado ao 
ENIAC, mas ainda ocupava uma sala inteira e era voltado ao uso de grandes 
corporações. Quanto ao tempo de processamento, tinha a capacidade de um 
milhão de operações por segundo, e realizava cálculos na ordem dos micros-
segundos. Assim, trouxe um novo horizonte na velocidade e confiabilidade 
do processamento de dados, ainda utilizado.
Figura 14 – Computador IBM 7030 Strech
Fonte: www.ibm.com.
Os supercomputadores, também denominados Mainframes, possibilita-
vam a utilização de diversas linguagens de programação. Devido a essa caracte-
rística, várias linguagens foram criadas, como o Fortran, Cobol e Algol, abrindo 
um novo campo de estudos focado nos programas e soluções facilitadas.
Ainda na década de 60, iniciou-se a busca pelo desenvolvimento de 
minicomputadores, com capacidade inferior e de menor valor. Os mini-
computadores eram menores que os Mainframes, mas ainda ocupavam um 
espaço significativo de uma sala. O principal modelo desenvolvido foi o 
PDP-8 (figura 15), da empresa Digital Equipament Corporation (DEC), tor-
nando-se o maior sucesso comercial, com dimensões de um frigobar e mais 
de 50 mil unidades comercializadas.
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Ferramentas Computacionais para o Ensino da Matemática
Figura 15 – Computador PDP-8
Fonte: CC BY-SA 4.0.
A terceira geração de computadores é identificada pelo início do uso 
de vários circuitos integrados, associados a uma placa única que podia se 
comunicar com outras placas do computador ao mesmo tempo. Isso permitiu 
a realização de um número maior de operações em menor tempo, além de 
menor custo de comercialização. O exemplar de maior sucesso dessa geração 
foi o modelo IBM 360/91 (figura 16), apresentando evoluções como disposi-
tivos de entrada e saída mais modernos, possibilidade de mídias de gravação 
de dados como fitas e discos de armazenamento, e ainda a impressão dos 
resultados em papel.
Esse modelo da IBM também foi pioneiro na programação de uma Cen-
tral Processing Unit (CPU) por microcódigo, quando as operações utilizadas 
por um processador podem ser gravadas por meio de uma linguagem de pro-
gramação, sem a necessidade de um circuito exclusivo para a operação.
– 21 –
A Evolução Computacional e a Matemática
Esses avanços deram início ao desenvolvimento mais apurado de progra-
mas voltados para os computadores, já que várias linguagens de programação 
estavam disponíveis, os equipamentos possuíam maior capacidade de proces-
samento, porém havia necessidade de programas mais eficientes.
Figura 16 – Computador IBM-360/9
Fonte: ©Columbia University.
A quarta e atual geração de computadores teve seu início com o desen-
volvimento dos microprocessadores e Personal Computers (PCs), apresen-
tando uma redução significativa de dimensões e custos. As CPUs passaram a 
ter uma maior capacidade de processamento, na ordem de bilhões de opera-
ções por segundo.
O desenvolvimento dos microprocessadores foi reflexo da evolução dos 
circuitos, já menores e mais integrados. Juntamente com os computadores 
pessoais vieram os programas e sistemas, criados para facilitar a interação do 
usuário com a máquina.
O exemplar mais compacto do início desse período foi o Altair 8800 
(figura 17), que já era pequeno o suficiente para caber numa mesa, e mais 
rápido que os computadores existentes. Ele utilizava um processador 8080 
da Intel, empresa que já dominava o mercado de processadores. Funcionava 
com uma entrada e saída de dados com o uso de cartões sem uma interface 
– 22 –
Ferramentas Computacionais para o Ensino da Matemática
digital. As facilidades e funcionalidades fizeram dele um equipamento 
muito utilizado.
Figura 17 – Computador Altair 8800
Fonte: ©Enciclopédia Britannica/global.britannica.com.
A falta de interfaces que permitissem ao usuário acompanhar o que 
ocorria no computador fez com que novos projetos fossem desenvolvidos. 
O projeto que alcançou maior impacto foi desenvolvido por Steven Jobs e 
Steven Wozniak, o Apple I (figura 18), que trazia um monitor gráfico para 
visualizar o que era processado.
Figura 18 – Computador Apple I
Fonte: AppleMuseum.com.
– 23 –
A Evolução Computacional e a Matemática
Já na década de 80, foram lançados os computadores Lisa (figura 19) 
e Macintosh (figura 20), trazendo a inovação do uso do mouse e de uma 
interface gráfica semelhante à que existe na atualidade, com a possibilidade 
de armazenar dados em pastas e a existência de área de trabalho e menus 
específicos em seus programas.
Figura 19 – Computador Lisa
Fonte: ©Enciclopédia Britannica/global.britannica.com.
Figura 20 – Computador Macintosh
Fonte: AppleMuseum.com.
Ao mesmo tempo em que os computadores da Apple evoluíam, outro 
“gigante” surgia pelas mãos de Bill Gates. A Microsoft partiu das evoluções 
– 24 –
Ferramentas Computacionais para o Ensino da Matemática
dos demais equipamentos para colocar no mercado computadores de 
grande porte e mais tarde microcomputadores, usando processadores 8086 
da Intel. Contudo, somente após a saída de Steven Jobs da Apple é que 
a Microsoft conseguiu assumir papel importante no mercado de compu-
tadores. Abandonou o sistemaoperacional MS-DOS e, com a tecnologia 
inovadora do Windows, rivalizou com o Macintosh. Em pouco tempo, a 
Microsoft tornou-se a líder no mercado de computadores pessoais, e até 
hoje inspira todos os lançamentos.
Na atualidade, as pesquisas e lançamentos têm como objetivo o aumento da 
capacidade dos processadores, bem como a ampliação da quantidade de CPU´s 
e seu funcionamento em paralelo (figura 21), permitindo maior confiabilidade.
Além disso, a transferência da tecnologia de processamento para equi-
pamentos móveis e portáteis abriu novos horizontes. Os celulares deixaram 
de ser apenas um equipamento de comunicação para se tornarem um aparato 
com muitas funcionalidades. Os tablets também trouxeram novas experiên-
cias de portabilidade e processamento.
Figura 21 – CPU e Processadores
Fonte: Shutterstock.com/Iaroslav Neliubov.
A portabilidade desses equipamentos, aliada à capacidade de processa-
mento e interface completamente digital, podem transformar áreas como a 
educação, possibilitando maior interatividade de conteúdos, mídias acessíveis 
e conectividade entre professores e estudantes.
2
Importância das 
Ferramentas 
Computacionais
As ferramentas computacionais vêm ganhando espaço e 
importância na escola de forma lenta e localizada. Embora vários 
projetos governamentais busquem ao longo dos últimos cinquenta 
anos planejar e desenvolver ações para disseminar seu uso, esse 
processo ainda encontra muitas barreiras. A informática educativa 
requer muito mais que equipamentos e programas para a obten-
ção de bons resultados em sala de aula. É necessária uma discussão 
acerca de projetos pedagógicos apropriados, capacitação técnica e 
comportamental dos professores e apoio da gestão escolar.
A evolução rápida da informática, ilustrada pela figura 22, 
aliada à comunicação, à capacidade de processamento de dados 
e à velocidade em que as informações são produzidas e apresen-
tadas, consolida-se como uma das revoluções humanas de grande 
impacto na sociedade.
– 26 –
Ferramentas Computacionais para o Ensino da Matemática
Figura 22 – Ilustração representativa da evolução 
das ferramentas computacionais
Fonte: Shutterstock.com/dny3d.
A chamada Era do Conhecimento está diretamente relacionada às 
possibilidades que a informática oferece e ao desenvolvimento presen-
ciado nas mais variadas áreas do conhecimento. Nesse sentido, há um 
maior número de estudos na área de educação na tentativa de incluir de 
forma mais consolidada a informática em seus processos e projetos. A 
informática educativa ainda sofre com várias barreiras e dificuldades no 
Brasil, mas é imprescindível que as discussões sobre a sua importância 
sejam ampliadas, para que a educação se aproprie destas ferramentas de 
forma construtiva.
2.1 Breve histórico 
da informática educativa no Brasil 
A informática educativa no Brasil teve início nos anos 70, no ambiente 
acadêmico, primeiramente na Universidade de São Paulo, campus São Car-
los, no curso de física, e, posteriormente, em outras três universidades: Uni-
versidade Federal do Rio de Janeiro, Universidade Estadual de Campinas e 
Universidade Federal do Rio Grande do Sul. A Universidade Federal do Rio 
de Janeiro foi considerada pioneira no âmbito acadêmico, inclusive com a 
implantação de um núcleo de computação eletrônica.
– 27 –
Importância das Ferramentas Computacionais
À medida que essas experiências foram ganhando espaço, vários cursos 
e núcleos de disseminação foram sendo criados com os mais variados enfo-
ques, desde a simulação e modelagem até o processo de formação e avaliação. 
A visão do computador ainda era a de um equipamento de possível auxílio 
ao professor. Contudo, a discussão de levar a informática às escolas brasilei-
ras passou a estar presente em vários grupos de pesquisa, como exemplo na 
década de 70, onde um grupo de pesquisadores estabeleceu um convênio 
com o Instituto de Tecnologia de Massachusetts (MIT) nos Estados Unidos, 
junto aos pesquisadores Seymour Papert e Marvin Minsky.
Em suas pesquisas, Papert (2008) cunhou a expressão construcionismo 
como o ato de alfabetizar as crianças na apropriação da informática, apoiado 
na visão construtivista de Piaget, considerando que as crianças constroem 
um conhecimento no ambiente virtual e valem-se desse conhecimento para a 
solução de problemas em sala de aula.
Na década de 80, um grupo de estudo formado por várias entidades 
como, Secretaria Especial da Informática, Ministério da Educação, Conse-
lho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq), Finan-
ciadora de Estudos e Projetos (FINEP) e algumas universidades, reuniu-se 
para estabelecer propostas de políticas públicas sobre a inserção da informá-
tica educativa, respeitando os valores culturais, políticos e pedagógicos do 
país e reconhecendo a importância do computador como uma ferramenta 
de ampliação das atribuições do professor, e não para substituí-lo.
Ao longo desse período, várias ações e encontros foram realizados para 
que o país desenvolvesse uma política de inserção da informática na edu-
cação em todos os níveis escolares. Estas ações resultaram num documento 
denominado Projeto EDUCOM, que estabeleceu a criação de centros piloto, 
investimento em pesquisas para conhecimento científico e pedagógico, além 
de diretrizes de capacitação dos professores.
Esse projeto obteve inúmeros resultados, mas não se sustentou como 
norteador das políticas de informática na educação. Foi substituído em vários 
momentos por comitês, órgãos especiais e comissões que tentavam se apro-
ximar mais das salas de aula e da operacionalização da informática educativa.
Entre os principais resultados dessas políticas pode-se citar:
 2 a criação de infraestrutura junto às secretarias estaduais de educação;
– 28 –
Ferramentas Computacionais para o Ensino da Matemática
 2 a criação de programa de capacitação de professores;
 2 o incentivo à produção de softwares voltados à educação;
 2 a integração das pesquisas desenvolvidas nos processos anteriores, 
principalmente dentro das universidades.
Uma das principais ações realizadas foi o Projeto Formar, que teve 
como objetivo iniciar uma transição na cultura de formação dos profes-
sores. Segundo Moraes (1997), pretendia-se fazer uma distinção entre os 
termos formação e treinamento, porque não se desejava um adestramento, 
ou então apenas adicionar uma técnica ao conhecimento, mas sim ampliar 
a forma de atuação do professor em sala de aula, ao propiciar condições 
de mudanças em sua prática pedagógica., levando-o a assumir uma nova 
postura como educador.
Ao longo da década de 90, os programas de infraestrutura e capacita-
ção, bem como a responsabilidade das políticas de desenvolvimento da infor-
mática educativa passaram por várias mudanças, o que resultou em ações 
repetidas e com poucos avanços. Contudo, o principal foco passou a ser a 
capacitação dos professores e sua atuação em sala de aula.
E, no final dessa década, uma nova concepção de programa foi estabe-
lecida. O Programa Nacional de Informática na Educação (Proinfo) deveria 
funcionar de forma descentralizada, sendo a responsabilidade de coordenação 
do Governo Federal e a operacionalização realizada pelos governos Estadu-
ais e Municipais, a partir de núcleos regionais voltados para a capacitação e 
suporte. A forma descentralizada de desenvolvimento deste programa se mos-
trou mais adequada. Segundo Borba e Penteado (2003, p 27), era “preciso 
enfatizar que, num país com as dimensões do Brasil, não é possível pensarmos 
num programa nacional de informática que seja adequada a todas as escolas”. 
Dessa forma, o tratamento regionalizado adotado permitiu maior participa-
ção da comunidade escolar.
Esse programa, conforme o Ministério da Educação, já implantou mais 
de 85 mil laboratórios de informática em escolas de todas as regiões, sendo 
que a região nordeste recebeu aproximadamente 40% das unidades e a região 
sul aproximadamente 10%. Além disso, mais de 350 mil professores já foramcapacitados em todos os estados da federação e foram atingidos mais de 25 
milhões de estudantes.
– 29 –
Importância das Ferramentas Computacionais
Outra informação importante é que o Brasil já possui praticamente um 
computador por habitante. Esse cenário teve impulso com o uso de mais de 
cinco milhões de tablets incluídos no mercado. Essas informações são da Pes-
quisa Anual do Uso de TI, da Fundação Getúlio Vargas publicada em 2016.
A possibilidade desse cenário ainda apresentar desigualdades regionais e 
sociais de impacto direto no processo de inclusão digital é grande, devido às 
dificuldades ainda verificadas em infraestrutura básica de escolas, principal-
mente no interior e nos pequenos municípios. Além disso, a evolução tecno-
lógica dos equipamentos acontece de forma acelerada, trazendo uma variável 
ainda mais complexa no sentido de manter atualizados os laboratórios de 
informática, bem como o nível adequado de capacitação dos professores. Por 
isso, programas governamentais nessa área devem ter caráter permanente, 
para que haja um cenário propício de desenvolvimento.
2.2 O uso de ferramentas 
computacionais como recurso pedagógico 
Por muito tempo, os recursos pedagógicos tiveram pequenas evoluções, 
deixando o protagonismo do quadro e giz com o professor, assim como do 
papel e lápis com o aluno. Outros recursos foram utilizados apenas como 
acessórios no processo pedagógico, coadjuvantes de pouca expressão na 
aprendizagem pela forma estática e fixa na apresentação das informações.
A informática se apresentou neste cenário como um “mundo novo”, 
cheio de possibilidades, e, na mesma medida, cheio de desafios e obstácu-
los para seu uso. A inclusão de ferramentas computacionais trouxe à tona 
um conjunto de discussões importantes sobre o processo de aprendizagem, o 
papel do professor, do aluno e da comunidade escolar.
Segundo Borba e Penteado (2003, p. 17), “o acesso à informática deve 
ser visto como um direito e, portanto, nas escolas públicas e particulares 
o estudante deve poder usufruir de uma educação que no momento atual 
inclua, no mínimo, uma alfabetização tecnológica ”.
A informática educativa pressupõe o uso das mais variadas ferramentas 
computacionais disponibilizadas (figura 23), desde computadores pessoais, 
tablets, celulares, calculadoras, câmeras fotográficas e de filmagem, até softwares 
– 30 –
Ferramentas Computacionais para o Ensino da Matemática
instalados nestes equipamentos, seja para processamentos, cálculos ou para pre-
parar materiais e informações audiovisuais, além do uso da internet.
Figura 23 – Ferramentas computacionais
Fonte: Shutterstock.com/ouh_desire.
Nesse sentido, Borba e Penteado (2003, p. 48) afirmam que
a informática é uma nova extensão de memória, com diferenças qua-
litativas em relação às outras tecnologias da inteligência e permite que 
a linearidade de raciocínios seja desafiada por modos de pensar, base-
ados na simulação, na experimentação e em uma nova linguagem que 
envolve escrita, oralidade, imagens e comunicação instantânea.
Contudo, imaginar que o simples ato de levar para dentro da sala de aula 
um computador e seus aplicativos, inseri-lo no processo de aprendizagem 
sem o devido planejamento, e esperar que isso de imediato fosse suficiente 
para a evolução dos resultados, seguramente levou à frustração das expectati-
vas sobre a tecnologia.
Além do grupo que tinha este tipo de pensamento, havia outro grupo, 
talvez em maior número, que se atemorizava com a inserção da informática na 
sala de aula. Essa dicotomia é relatada por Moran, Masetto e Behrens (2013, p. 
11), indicando que “o avanço do mundo digital traz inúmeras possibilidades, 
ao mesmo tempo em que deixa perplexas as instituições sobre o manter, o que 
alterar, o que adotar”. A necessidade de o professor sair da zona de conforto 
das aulas e recursos pedagógicos já conhecidos e experimentar novas formas de 
– 31 –
Importância das Ferramentas Computacionais
construção do conhecimento se transformou num grande desafio na inserção 
da informática. Vencer alguns medos, como o de que “o aluno iria só apertar 
teclas e obedecer à orientação dada pela máquina” e que este processo “con-
tribuiria ainda mais para torná-lo um mero repetidor de tarefas” (BORBA; 
PENTEADO, 2003, p. 11), permeavam muitas discussões.
Com o tempo, esses desafios foram sendo superados com planejamento e 
desenvolvimento de projetos pedagógicos adequados ao uso da informática em 
sala de aula. Moran, Masetto e Behrens (2013. p. 8) corroboram afirmando que 
“sem dúvida, as tecnologias nos permitem ampliar o conceito de aula, de espaço 
e de tempo, estabelecendo novas pontes entre o estar juntos fisicamente e virtual-
mente”. E reforça que são as pessoas, o projeto pedagógico, as interações e a gestão 
que definem a aprendizagem (MORAN; MASETTO; BEHRENS, 2013).
Após vencido o desafio da adequação do projeto pedagógico, é impor-
tante ressaltar que as gerações que estão adentrando as salas de aula são nativas 
do mundo informatizado (Figura 24). Essa convivência com equipamentos e 
aplicativos podem facilitar a execução de projetos pedagógicos e o alcance de 
resultados mais consistentes de aprendizado devido à motivação de estudar com 
ferramentas de domínio próprio. Por isso, Borba e Penteado (2003) reiteram 
que o apoio ao uso de computadores ganha espaço devido à motivação que 
traria à sala de aula.
Concomitante a isso, a capacitação dos atores tem importância rele-
vante para ultrapassar estes 
desafios. Segundo Borba e 
Penteado (2003, p. 15), “... 
quem já trabalhou de forma 
mais constante com infor-
mática educativa sabe que, 
de modo geral, é verdade 
que alunos ou professores 
que participam de cursos 
ganham novo ímpeto com o 
uso da informática, caso pos-
síveis medos iniciais sejam 
superados”.
Figura 24 – Alunos nativos de informática
Fonte: Shutterstock.com/Syda Productions.
– 32 –
Ferramentas Computacionais para o Ensino da Matemática
O projeto pedagógico pode considerar o uso dos recursos de informática 
de duas formas (figura 25):
 2 por disciplina, onde o professor utiliza computadores como 
reforço, introdução de assuntos a serem abordados ou mesmo com-
plementação de conteúdo;
 2 por projetos educacionais, utilizando os recursos de forma integrada 
entre várias disciplinas, mas atendendo a seus conteúdos específicos.
Figura 25 – Projeto Pedagógico Integrado
Tema Gerador
Informática
Geografia
EPIDEMIA
Mapa de incidência e riscos
História
Pesquisa de dados históricos
Matemática
Gráficos estatísticos da doença
Fonte: Shutterstock.com/Everett Historical / Shutterstock.
com/Alex Mit / Shutterstock.com/Becris.
– 33 –
Importância das Ferramentas Computacionais
A figura 25 exemplifica como é possível desenvolver um projeto peda-
gógico integrado a partir de um tema gerador, utilizando as ferramentas da 
informática. Nesse caso, apresentamos um projeto a partir do tema gerador 
“epidemia de uma doença”.
Na disciplina de história podem ser realizadas pesquisas históricas sobre 
a doença. Na disciplina de geografia podem ser desenvolvidos mapas de loca-
lização da doença e áreas de risco. Já na disciplina de matemática podem 
ser desenvolvidos gráficos estatísticos a partir de dados tabulares sobre vários 
aspectos da doença. Todas essas atividades podem ser realizadas utilizando os 
recursos tecnológicos disponíveis (computador, celular, tablets e programas), 
além da internet.
A importância da integração entre o projeto pedagógico e seus vários 
atores é vital para o sucesso da adoção da informática educativa. Para atingir 
esse patamar, Borba e Penteado (2003, p. 56) defendem que na prática da 
docência se façam presentes
as propostas pedagógicas, os recursos técnicos, as peculiaridades da dis-
ciplina que se ensina, as leis que estruturam o funcionamento da escola, 
os alunos, seus pais, a direção, a supervisão, os educadores de professo-
res, os professores, os pesquisadores, entre outros.
2.3 O projeto pedagógico 
e a informáticaeducativa 
A importância do projeto pedagógico está baseada em vários fatores, 
como na definição dos objetivos que devem considerar os interesses, as neces-
sidades e características locais, de forma a integrar as ferramentas computa-
cionais ao processo educacional na busca por resultados inovadores.
Moraes (1997, p. 43) corrobora com esse pensamento quando reitera 
que “os projetos precisam ser contextualizados, estar em sintonia com os inte-
resses de comunidades regionais e locais, incluindo aqui a proposta peda-
gógica”, e diz ainda que deve-se condicionar os resultados de forma que o 
produto de qualquer empresa possa responder aos interesses de sua clientela, 
para somente assim obter aceitação (figura 26).
– 34 –
Ferramentas Computacionais para o Ensino da Matemática
Figura 26 – Contexto regional e local
Fonte: Shutterstock.com/William Perugini.
Dessa forma, o projeto pedagógico deve ser elaborado em consonância 
com a comunidade escolar, refletindo seus anseios, opiniões e os recursos dis-
poníveis para a informática. Além disso, o projeto pedagógico não pode ser 
um documento ficcional, mas sim um documento vivo, que evolui ao longo 
da prática e dos resultados da sala de aula, sendo constantemente avaliado, 
revisado e atualizado.
Um fator importante a ser considerado no projeto pedagógico são os 
programas, softwares e aplicativos disponíveis. Pode-se considerar inicial-
mente que apenas programas educacionais seriam interessantes na proposta 
de desenvolvimento da informática educativa. Contudo, há uma variedade 
considerável de programas desenvolvidos para outras finalidades que são pas-
síveis de uso em sala de aula. Como exemplo, podemos apresentar alguns 
tipos de softwares como:
 2 Tutoriais, que são programas com instruções para realização de 
tarefas específicas.
 2 de Investigação ou Pesquisa, que permitem localizar e filtrar 
informações na internet.
 2 de Simulação, que relacionam a teoria e a prática dentro do 
ambiente virtual.
 2 Jogos Educativos, que são programas de grande interatividade e 
qualidade gráfica.
– 35 –
Importância das Ferramentas Computacionais
 2 Abertos, que permitem programação e desenvolvimento de soluções.
É necessário considerar também os softwares de edição de texto, as plani-
lhas eletrônicas, os bancos de dados, os softwares de apresentação multimídia 
e as linguagens de programação, que são ferramentas importantes nas ações 
de um projeto pedagógico de informática educativa. Ao serem avaliados os 
recursos disponíveis, Borba e Penteado (2003, p. 45) reforçam que “uma nova 
mídia, como a informática, abre possibilidades de mudanças dentro do pró-
prio conhecimento e que é possível haver uma ressonância entre uma dada 
pedagogia, uma mídia e uma visão de conhecimento”. Contudo, isso não 
garante o sucesso do processo pedagógico, já que a prática pedagógica não é 
determinada apenas por uma mídia (BORBA; PENTEADO, 2003).
O planejamento para a realização de um projeto pedagógico com 
informática educativa deve considerar algumas etapas primordiais, como 
o diagnóstico do corpo discente e sua relação com a informática. Com o 
diagnóstico avaliado, deve-se realizar um plano específico de ações, dentre as 
principais a pesquisa e análise dos softwares disponíveis e a respectiva previsão 
de capacitação dos professores, essenciais para o desenvolvimento do projeto 
pedagógico. A elaboração do projeto pedagógico vai considerar todas estas 
etapas, norteando o uso da informática em disciplinas específicas e em proje-
tos educacionais interdisciplinares, integrando conteúdos e conhecimentos.
Os resultados podem surpreender, à medida que “a inserção da tecno-
logia de informática no ambiente escolar tem sido vista como um potencia-
lizador das ideias de se quebrar a hegemonia das disciplinas e impulsionar a 
interdisciplinaridade” (BORBA; PENTEADO, 2003, p. 65) (figura 27).
Figura 27 – Ambiente digital interdisciplinar
Fonte: Shutterstock.com/Monkey Business Images.
– 36 –
Ferramentas Computacionais para o Ensino da Matemática
2.4 O papel do professor e a 
importância da capacitação
O sucesso da informática educativa está diretamente associado ao novo 
papel que o professor precisa desempenhar em sala de aula, na integração dos 
conteúdos de suas disciplinas com o cotidiano do aluno, tendo como suporte 
os recursos tecnológicos disponíveis.
O comportamento do professor como transmissor de conhecimento já 
não consegue suprir a realidade dos jovens de hoje, que têm acesso a um 
conjunto cada vez maior de informações de forma fácil e rápida, embora 
muitas vezes sejam pouco confiáveis. Este “novo” professor precisa considerar 
as várias nuances do ato de ensinar e estar aberto a aprender, em um processo 
de troca de conhecimento com seus alunos (figura 28).
Figura 28 – Exemplos de comportamento do professor
Fonte: Shutterstock.com/Marzolino / Shutterstock.
com/racorn / Shutterstock.com/DGLimages.
– 37 –
Importância das Ferramentas Computacionais
Segundo Moran, Masetto e Behrens (2013, p. 13),
uma educação inovadora se apoia em um conjunto de propostas com 
alguns grandes eixos que lhe servem de guia e de base: o conhecimento 
integrador e inovador; o desenvolvimento da autoestima e autoconhe-
cimento (valorização de todos); a formação de alunos empreendedores 
(criativos, com iniciativa) e a construção de alunos cidadãos (com valo-
res individuais e sociais).
E é neste novo cenário que o professor precisa desempenhar o papel 
de facilitador, coordenador, organizador e parceiro, mas acima de tudo de 
mediador da construção do conhecimento, liderando o processo de atender 
as demandas e necessidades dos alunos. Além disso, também precisa desem-
penhar o papel de difusor de experiências e vivências para a comunidade 
escolar, com o objetivo de aperfeiçoar os projetos pedagógicos.
Almeida (1998), citado por Nascimento (2009, p. 61) corrobora com 
esse pensamento quando afirma que
esse novo papel exige maior empenho do professor, algo que não é adqui-
rido em treinamentos técnicos ou em cursos em que os conceitos edu-
cacionais e o domínio do computador são trabalhados separadamente, 
esperando-se que os participantes façam a integração entre ambos.
É preciso um processo de formação continuada do professor, que se realiza 
na articulação entre a exploração da tecnologia computacional, a ação pedagó-
gica com o uso do computador e as teorias educacionais. O professor deve ter a 
oportunidade de discutir como se aprende e como se ensina. Deve também ter 
a chance de poder compreender a própria prática e de transformá-la.
Esse processo de adequação do papel do professor apresenta a demanda 
inadiável de um programa de capacitação contínua, não apenas voltado para 
o domínio dos recursos tecnológicos existentes, mas também para o desenvol-
vimento de novas propostas pedagógicas de tratamento da realidade aliada a 
estes recursos, além de técnicas de mediação que explorem os conhecimentos 
trazidos pelos alunos.
Moran, Masetto e Behrens (2013, p 30) reforçam que
as tecnologias digitais móveis desafiam as instituições a sair do ensino 
tradicional, em que o professor é o centro, para uma aprendizagem 
mais participativa e integrada, com momentos presenciais e outros com 
atividades à distância, mantendo vínculos pessoais e afetivos, estando 
juntos virtualmente.
– 38 –
Ferramentas Computacionais para o Ensino da Matemática
Na busca para criar ambientes propícios de aprendizagem, de constru-
ção e reconstrução do conhecimento, tanto professores quanto profissionais 
de suporte em informática devem trabalhar com temas emergentes e atuais, 
promover a cooperação entre os alunos, motivar a reflexão sobre o pensar e 
mediar a troca de conhecimento.
Como esse contexto educacional se modifica rapidamente, os profissio-
nais devem ser flexíveis e dinâmicos. A capacitação tem papel fundamental e 
auxilia o professor a incorporar os recursos tecnológicos no projeto pedagó-
gico, resultando em aulas mais criativas, integradas edinâmicas (figura 29).
Figura 29 – Aulas criativas e dinâmicas
Fonte: Shutterstock.com/Rawpixel.com.
De ordem prática, também é importante manter um profissional de 
informática capacitado e dedicado a atender as demandas que a informá-
tica apresenta, como problemas com instalação de softwares, manuten-
ção e troca de hardwares, manuseio de arquivos e transferência de dados, 
e falhas na rede de comunicação interna e internet.Estas são ocorrências 
que podem trazer prejuízo ao andamento da aula e abalar a confiança nos 
recursos adotados.
– 39 –
Importância das Ferramentas Computacionais
É importante que o processo tenha uma rotina de troca de experiências 
e vivências entre todos os profissionais envolvidos, para garantir a discussão 
e avaliação das ações, visando à melhoria contínua e à validação das soluções 
adotadas. Essa avaliação pode ser feita a partir de reuniões periódicas, inclu-
sive utilizando-se recursos tecnológicos de comunicação, como videoconfe-
rências, blogs e listas de discussão.
2.5 A informática educativa no 
ensino da matemática 
A matemática, por ser uma ciência apoiada em cálculos e fórmulas, apre-
senta muitas potencialidades na utilização da informática e de recursos com-
putacionais em seu processo pedagógico.
Não podemos deixar de recuperar do capítulo 1 a história dos compu-
tadores, originados graças aos esforços de muitos matemáticos, que partiram 
de calculadoras até chegar aos tablets. Várias descobertas matemáticas foram 
realizadas a partir da evolução dos equipamentos usados em processos e 
cálculos. Dessa forma, o uso de ferramentas no ensino da matemática não é 
uma novidade.
Entretanto, o uso de equipamentos eletrônicos não se tornou presença 
constante nas aulas de matemática. Uma das motivações para isso é a pre-
missa de que o aluno poderia ter dificuldade em aprender a matemática se 
usasse computadores para realização de cálculos.
Borba e Penteado (2003, p. 11) indicam que pensam desta maneira “... 
aqueles que concebem a matemática como a matriz do pensamento lógico. 
Nesse sentido, se o raciocínio matemático passa a ser realizado pelo compu-
tador, o aluno não precisará racionar mais e deixará de desenvolver sua inteli-
gência”. Entretanto, a geração nativa dos equipamentos tecnológicos, imersos 
no seu uso cotidiano, não veem os computadores e demais equipamentos 
como acessórios de auxílio, mas sim parte de suas ações e vivências. Nesse 
contexto, proibir seu uso no processo educacional pode gerar mais uma bar-
reira em relação à disciplina. Além disso, devido a várias outras deficiências 
do processo pedagógico geral, a matemática é considerada pela maioria dos 
estudantes como uma disciplina muito complexa.
– 40 –
Ferramentas Computacionais para o Ensino da Matemática
A inserção desses recursos tecnológicos poderia trazer um incentivo à cria-
tividade dos alunos, seja pela descoberta de soluções aos problemas apresenta-
dos, como por uma melhor compreensão do conteúdo trabalhado em sala de 
aula. Com essa melhor compreensão, é possível estabelecer uma sintonia maior 
com a disciplina e suas potencialidades. Paques et al (2002, p. 4) apresenta os 
principais objetivos para a utilização da informática na matemática:
1. libertar o ensino e a aprendizagem da matemática do peso das aulas 
exclusivamente expositivas;
2. estimular diversas formas de raciocínio;
3. diversificar estratégias de resolução de problemas;
4. estimular a atividade matemática de investigação;
5. permitir que o aluno seja mais autônomo;
6. criticar os resultados que a máquina fornece e de avaliar a sua 
razoabilidade;
7. trabalhar com dados reais do cotidiano.
A quantidade de programas e aplicativos voltados para a área educacional é 
significativa em todas as disciplinas, mas em especial na área da matemática, em 
que há uma grande quantidade de aplicativos, programas, simuladores e jogos 
(figura 30). Todos eles têm como base conceitual a modelagem matemática, 
que permite a simulação de fenô-
menos reais de qualquer natureza, 
descrevendo-os matematicamente. 
Dessa forma, podemos considerar 
que a modelagem matemática per-
mite relacionar, interpretar e inter-
vir em problemas reais por meio de 
soluções matemáticas.
De acordo com Gonçalves 
(2007, p. 4), a modelagem é um 
“processo que envolve a realidade 
e a matemática mediante o qual se 
definem estratégias de ação e pro-
porciona ao aluno uma análise glo-
bal da realidade em que ele age.”. 
Figura 30 – Jogos interativos
Fonte: Shutterstock.com/aurielaki.
– 41 –
Importância das Ferramentas Computacionais
Esta concepção pressupõe que a matemática nasce a partir de uma realidade 
e a ela retoma com suas propriedades.
Além da variedade de programas voltados a matemática, há ainda um 
movimento disseminador de conhecimento pela internet, caracterizado pelos 
programas freewares, ou programas de uso gratuito, e programas sharewares, 
que possuem alguma limitação em sua versão gratuita. Vários destes progra-
mas são desenvolvidos em universidades e centros de pesquisa renomados 
em todo o mundo, e disponibilizados na internet para uso de professores 
e estudantes. Entre os freewares e sharewares disponibilizados, pode-se citar 
indicar o WINMAT, o WINPLOT, o Graphmática, o MATHGV, o Geoge-
bra, o POLY, o WINARC e o OOG (figura 31). Além destes, há programas 
que possuem custos de aquisição, como o Graphequation, o Geospace, o 
Geoplan, o Cabri Géométre e o MATLAB. Contudo, eles possuem versão 
de demonstração e licenças especiais para escolas e centros de pesquisa.
Figura 31 – Funcionalidades de softwares de matemática
Fonte: Shutterstock.com/ MSSA / Shutterstock.com/attaphong.
O conhecimento, as experiências e as ferramentas estão à disposição dos 
educadores para fazer da matemática uma disciplina instigante e motivadora. 
É importante ressaltar que muitas áreas voltadas ao desenvolvimento cientí-
fico, tecnológico e à melhoria da qualidade de vida dependem da matemática 
e de profissionais com formação sólida na disciplina.
3
 Funcionalidades e 
Aplicações do WINARC
Há opções de ferramentas computacionais para o ensino da 
matemática, dentre elas jogos educativos que estimulam o racio-
cínio dos alunos. Os jogos tradicionais que foram migrados para 
o mundo virtual, como os jogos de tabuleiro, Sudoku, memória 
e cubo mágico, são ferramentas simples para introdução da infor-
mática educativa na matemática. O WINARC é um aplicativo 
que reúne vários jogos tradicionais que podem ser praticados em 
um computador.
– 44 –
Ferramentas Computacionais para o Ensino da Matemática
O aplicativo WINARC foi desenvolvido na Phillips Exeter Academy, em 
seu departamento de matemática, sob a coordenação do professor Richard 
Parris, no ano de 2007. A Phillips Exeter Academy é um importante centro 
de ensino e pesquisa dos Estados Unidos e está localizado em Exeter, ao sul 
da cidade de New Hampshire.
Richard Parris foi um influente professor de matemática nos Estados 
Unidos e em outros países. Nascido em 1945 na cidade de Boston, formou-
-se na Tufts University em 1967 e recebeu o título de doutor em 1978 pela 
Universidade de Princeton. Depois de completar seu doutorado, iniciou sua 
carreira acadêmica na Phillips Exeter Academy, onde trabalhou pelo restante 
de sua vida. Recebeu premiações por seu trabalho, e faleceu em 2012. Ele é 
o autor do Peanut Software, um conjunto de aplicativos de matemática sha-
reware utilizado em todo o mundo por educadores e estudantes. O Peanut 
Software permite que os alunos interajam com a matemática por meio de 
ferramentas computacionais. Foi direcionado também a professores de países 
em desenvolvimento, que receberam computadores, porém poucos aplicati-
vos para sala de aula. Nessa obra serão abordados os programas WINMAT e 
WINPLOT do Peanut Software.
3.1 Ficha técnica do aplicativo WINARC 
O aplicativo WINARC está disponível para download gratuito em inglês 
e português nos seguintes endereços eletrônicos:
1. Phillips Exeter Academy (inglês)— http://math.exeter.edu/rparris/
winarc.html
2. Ministério da Educação (português) — http://objetoseducacio-
nais2.mec.gov.br/handle/mec/2210
3. Universidade Federal do Rio Grande do Sul (português) — http://
www2.mat.ufrgs.br/edumatec/softwares/soft_recreativos.php
O aplicativo é executado na plataforma Windows, disponível nas versões 
95, 98, ME, 2K, XP, Vista e 7. O tamanho do arquivo do aplicativo é de 491 
Kilobytes. Necessita de uma configuração básica para funcionamento. Para 
– 45 –
 Funcionalidades e Aplicações do WINARC
instalação deverá ser realizado o download do arquivo de instalação. Ele é auto 
executável e gera o ícone para iniciar o aplicativo.
3.2 Funcionalidades
O programa inicia com a tela de abertura (figura 32). O menu Janela 
apresenta as opções de jogos contidos no aplicativo. O menu Ajuda contém 
as instruções gerais sobre o WINARC e informações sobre o programa.
Figura 32 – Tela de abertura do WINARC
Fonte: WINARC (2016).
3.2.1 Jogo Caixas
O objetivo do jogo é juntar o maior número de caixas (quadrados) pre-
enchidas. Para isso, o jogador deve escolher a cada jogada um segmento, de 
forma que suas escolhas fechem uma caixa (figura 33). Os jogadores devem 
continuar escolhendo os segmentos para fechar as caixas até que nenhuma 
caixa nova seja fechada (figura 34).
– 46 –
Ferramentas Computacionais para o Ensino da Matemática
Figura 33 – Tela inicial do jogo Caixas
Fonte: WINARC (2016).
Figura 34 – Visualização do jogo Caixas
Fonte: WINARC (2016).
– 47 –
 Funcionalidades e Aplicações do WINARC
Antes que o jogo inicie, é possível configurar e ajustar a quantidade de 
caixas que farão parte do jogo. Para isso, é preciso clicar no menu Editar 
(figura 35) e selecionar a opção Dimensões (figura 36), onde será possível 
determinar o número de linhas e colunas para o jogo.
Figura 35 – Menu Editar
Fonte: WINARC (2016).
Figura 36 – Opção Dimensões
Fonte: WINARC (2016).
As ações do jogador que realizar o primeiro movimento serão marcadas 
com a cor vermelha. Para marcar um segmento é necessário selecioná-lo com 
um clique. Se sua escolha fechar uma caixa, ela aparecerá colorida. É possível 
jogar contra outro jogador, ou então contra o computador. Também é pos-
sível verificar o resultado parcial ou final selecionando o menu Pontuação.
Para iniciar um novo jogo é necessário selecionar, no menu Arquivo, a 
opção Novo, ou então pressionar a tecla F2. É possível salvar o jogo atual ou 
finalizado clicando no menu Arquivo, para em seguida escolher a opção Sal-
var. Outras configurações gráficas e de armazenamento podem ser realizadas, 
como pode-se verificar na figura 37.
– 48 –
Ferramentas Computacionais para o Ensino da Matemática
Figura 37 – Menu Arquivo. Configurações
Fonte: WINARC (2016).
3.2.2 Jogo Hexágonos 
O objetivo do jogo é construir uma corrente de hexágonos que ligue 
linhas em paralelo de mesma cor (figura 38). O jogo pode ser realizado com 
dois jogadores ou com o computador. As ações dos jogadores são diferencia-
das pelas cores vermelha e azul. A cada jogada, os jogadores deverão selecio-
nar um hexágono vazio, até que uma corrente seja construída. O primeiro a 
terminar a corrente é o vencedor da partida (figura 39).
– 49 –
 Funcionalidades e Aplicações do WINARC
Figura 38 – Tela inicial do jogo Hexágonos
Fonte: WINARC (2016).
Figura 39 – Visualização do jogo Hexágonos
Fonte: WINARC (2016).
– 50 –
Ferramentas Computacionais para o Ensino da Matemática
É possível dimensionar o campo do jogo Hexágonos. Para isso, é neces-
sário selecionar o menu Editar (figura 40) e a opção Tamanho (figura 41), e 
digitar em seguida a quantidade de hexágonos desejada.
Figura 40 – Menu Editar
Fonte: WINARC (2016).
Figura 41 – Opção Tamanho
Fonte: WINARC (2016).
Para iniciar um novo jogo, é necessário selecionar o menu Arquivo e 
escolher a opção Novo, ou então pressionar a tecla F2. É possível salvar o 
jogo atual ou finalizado clicando no menu Arquivo e em seguida na opção 
Salvar. Além disso, outras configurações gráficas e de armazenamento podem 
ser realizadas, como pode-se verificar na figura 42.
– 51 –
 Funcionalidades e Aplicações do WINARC
Figura 42 – Menu Arquivo. Configurações
Fonte: WINARC (2016).
3.2.3 Jogo Criptografia 
O objetivo desse jogo é encontrar soluções para enigmas aritméticos 
propostos aleatoriamente. Para iniciar um novo jogo é necessário selecionar 
o menu Arquivo e em seguida a opção Novo, ou então pressionar a tecla F2. 
Após apresentado o enigma, o jogo pode ser resolvido por vários jogadores, 
sem um tempo pré-estabelecido. À medida que as soluções são apresenta-
das pelos jogadores, é possível validá-las selecionando o menu Arquivo e em 
seguida a opção Confirmar Solução.
– 52 –
Ferramentas Computacionais para o Ensino da Matemática
Figura 43 – Tela inicial do jogo Criptografia Figura 44 – Visualização do jogo Criptografia
Fonte: WINARC (2016).
É possível fazer o computador resolver o enigma. Para isso é necessário 
selecionar o menu Arquivo e em seguida a opção Procurar Soluções. Nesse 
caso, o computador irá realizar a operação em poucos segundos e calcular 
todas as possibilidades para o enigma. Para verificar as soluções encontradas, 
basta selecionar o menu Arquivo e em seguida a opção Mostrar.
Figura 45 – Visualização das soluções encontradas
Fonte: WINARC (2016).
É possível estabelecer os intervalos das soluções para o problema pro-
posto antes do início do jogo. Para isso, é necessário selecionar o menu Editar 
(figura 46) e em seguida a opção Intervalos (figura 47).
– 53 –
 Funcionalidades e Aplicações do WINARC
Figura 46 – Menu Editar
Fonte: WINARC (2016).
Figura 47 – Opção Intervalos
Fonte: WINARC (2016).
A configuração da opção Intervalos da figura 47 indica que, para a gera-
ção do problema proposto, os números inteiros aleatórios apresentados para 
solucionar o problema estarão no intervalo entre 2 e 25, e o alvo a ser encon-
trado estará no intervalo entre 10 e 50.
Para propor um enigma é necessário selecionar o menu Arquivo e em 
seguida a opção Propor Problema. Para verificar se o enigma proposto tem 
solução, é necessário selecionar o menu Arquivo e em seguida a opção Con-
firmar Solução.
Outra configuração importante se refere ao grau de dificuldade do jogo, 
que pode ser pré-estabelecido no menu Arquivo, e em seguida pode-se esco-
lher as opções Quatro, para um grau de dificuldade menor, ou Cinco, para 
um grau de dificuldade maior.
– 54 –
Ferramentas Computacionais para o Ensino da Matemática
Figura 48 – Menu Arquivo. Configurações
Fonte: WINARC (2016).
3.2.4 Jogo Ordenar 
O objetivo desse jogo é ordenar de forma crescente as peças numera-
das sobre um tabuleiro (figura 49), deixando vazio o espaço inferior direito 
(figura 50). É possível dimensionar o tamanho do tabuleiro ao máximo de 
onze linhas e onze colunas. Para isso, é necessário selecionar o menu Editar e 
em seguida a opção Dimensões do Tabuleiro.
Para alcançar o objetivo, o jogador deve mover os números para cima, 
para baixo, para a esquerda ou para a direita, de maneira que se consiga 
ordenar os números, como pode ser observado na figura 50, que representa 
o fim do jogo.
– 55 –
 Funcionalidades e Aplicações do WINARC
Figura 49 – Tela inicial do jogo Ordenar
Fonte: WINARC (2016).
Figura 50 – Visualização do jogo Ordenar
Fonte: WINARC (2016).
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Ferramentas Computacionais para o Ensino da Matemática
O programa contabiliza a quantidade de movimentos que o jogador 
realizou para alcançar o resultado final do jogo. Além disso, é possível con-
figurar outras variáveis e formas de apresentação do jogo, como fontes do 
texto e cores.
3.2.5 Jogo Cubo Mágico 
O objetivo desse jogo é ordenar as faces do cubo (figura 51), girando as 
linhas e colunas para obter seis faces de apenas uma cor (figura 52). Para isso 
é necessário resolver os inúmeros problemas de permutação entre as faces. O 
cubo mágico tradicional possui seis faces com dimensões de 3 x 3 x 3 Unida-des de volume.
Figura 51 – Tela inicial do jogo Cubo Mágico
Fonte: WINARC (2016).
– 57 –
 Funcionalidades e Aplicações do WINARC
Figura 52 – Visualização do jogo Cubo Mágico
Fonte: WINARC (2016).
Para que as faces do cubo girem é necessário clicar nas faces colori-
das. Os movimentos dependem das faces selecionadas. Ao clicar num qua-
drado central com a tecla esquerda do mouse, o movimento é de rotação 
desta face no sentido anti-horário, e ao clicar neste mesmo quadrado com 
a tecla direita do mouse, o movimento é de rotação desta face no senti- 
do horário.
Ao selecionar uma das faces entre os vértices, o movimento é de rotação 
no sentido do impulso da seta, independente do botão do mouse. No menu 
Movimentos há várias opções e exemplos de movimentos que poderão auxi-
liar na solução do cubo mágico.
Para movimentar o cubo como um todo é necessário utilizar as setas de 
posição para cima, para baixo, para a esquerda ou para a direita, permitindo-
-se ver todas as faces principais do cubo.
– 58 –
Ferramentas Computacionais para o Ensino da Matemática
O aplicativo também permite dimensionar o cubo mágico, alterando a 
quantidade de unidades por face e gerando os cubos em 2 x 2 x 2 (figura 53), 
em 4 x 4 x 4 (figura 54) e em 5 x 5 x 5 unidades de volume (figura 55).
Além disso, o programa apresenta outras formas geométricas distintas 
do cubo para jogar, como o tetraedro ou pirâmide (figura 56), o grande dode-
caedro, formado por doze pentágonos (figura 57) e o cubo com pirâmides, 
formado por um cubo cortado em suas diagonais, de modo a formar quatro 
pirâmides quadrangulares na diagonal (figura 58).
Figura 53 – Cubo Mágico de 2 x 2 x 2 unidades de volume
Fonte: WINARC (2016).
– 59 –
 Funcionalidades e Aplicações do WINARC
Figura 54 – Cubo Mágico de 4 x 4 x 4 unidades de volume
Fonte: WINARC (2016).
Figura 55 – Cubo Mágico de 5 x 5 x 5 unidades de volume
Fonte: WINARC (2016).
– 60 –
Ferramentas Computacionais para o Ensino da Matemática
Figura 56 – Tetraedro
Fonte: WINARC (2016).
Figura 57 – Dodecaedro
Fonte: WINARC (2016).
– 61 –
 Funcionalidades e Aplicações do WINARC
Figura 58 – Cubo com pirâmides
Fonte: WINARC (2016).
3.2.6 Jogo Sudoku 
O objetivo desse jogo é preencher as casas vazias com números entre 1 
e 9 (figura 59), desde que cada número esteja presente apenas uma vez tanto 
na linha quanto na coluna, e apenas uma vez em cada uma das nove regiões 
de 3 x 3 casas (figura 60).
Figura 59 – Tela inicial do jogo Sudoku
Fonte: WINARC (2016).
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Ferramentas Computacionais para o Ensino da Matemática
Figura 60 – Visualização do jogo Sudoku
Fonte: WINARC (2016).
Para iniciar um novo jogo 
é necessário selecionar o menu 
Arquivo e em seguida a opção Novo.
Figura 61 – Menu Arquivo. 
Configuração
Fonte: WINARC (2016).
– 63 –
 Funcionalidades e Aplicações do WINARC
O grau de dificuldade pode ser selecionado no menu Arquivo, opção 
Nível. Para que os números apresentem simetria de rotação, pode ser selecio-
nada a opção Simetria (figura 61).
Durante o jogo é possível desfazer uma jogada selecionando o menu 
Editar e a opção Desfazer. Para refazer uma jogada, é necessário selecionar o 
menu Editar, e em seguida a opção Refazer a jogada. Para recomeçar o jogo, 
é possível apagar os números inicialmente escolhidos. Para isso, é necessário 
selecionar o menu Editar e em seguida a opção Iniciais.
Para verificar o resumo dos números usados, pode-se selecionar o menu 
Ajuda e a opção Usados. É possível determinar uma solução para um jogo 
parcial. Para isso, é necessário selecionar o menu Ajuda, e em seguida a opção 
Solução. Se a solução for impossível devido às escolhas já realizadas, o pro-
grama informará essa situação.
Figura 62 – Menu Editar. Configuração
Fonte: WINARC (2016).
– 64 –
Ferramentas Computacionais para o Ensino da Matemática
Figura 63 – Menu Ajuda. Configuração
Fonte: WINARC (2016).
3.2.7 Jogo Tríades 
O jogo Tríades é formado por um conjunto de cartas, cada qual com um 
atributo e três valores possíveis. Os atributos, suas características e respectivos 
valores são apresentados na figura a seguir.
Quadro 1 – Atributos do jogo Tríades
Forma Cor
 
Círculo, quadrado ou triângulo. Verde, vermelho ou azul.
Quantidade Preenchimento
 
1 ícone, 2 ícones ou .3 ícones. Vazio, sólido ou hachurado em “x”.
Fonte: elaborado pelo autor (2016).
– 65 –
 Funcionalidades e Aplicações do WINARC
O objetivo desse jogo é selecionar as cartas que formam uma tríade com 
um atributo constante, ou com suas três possibilidades (figura 64).
Figura 64 – Exemplo de tríade com as três possibilidades do atributo cor
 
Fonte: WINARC (2016).
Para iniciar um novo jogo é necessário selecionar o menu Arquivo, e em 
seguida a opção Novo (figura 65). Para formar a tríade é preciso clicar sobre 
as cartas desejadas. Se a terceira carta escolhida formar uma tríade, a barra de 
título informará isso ao jogador (figura 66).
Figura 65 – Tela inicial do jogo Tríades
Fonte: WINARC (2016).
– 66 –
Ferramentas Computacionais para o Ensino da Matemática
Figura 66 – Visualização do jogo Tríades.
Fonte: WINARC (2016).
É possível alterar o grau de dificuldade do jogo selecionando o menu 
Editar, e em seguida a opção Atributos, para alterar a quantidade de atribu-
tos. A quantidade padrão de atributos é quatro, mas é possível alterá-la para 
três ou dois atributos, para jogos com menor grau de dificuldade.
Para alterar a quantidade de cartas envolvidas no jogo é necessário sele-
cionar o menu Editar e em seguida a opção Escolher quantas. Também é 
possível selecionar um grupo de cartas para o jogo, selecionando o menu 
Editar e em seguida a opção Selecionar Baralho. Para selecionar todas as 
cartas existentes, clique no menu Editar e em seguida na opção Selecionar 
tudo. Para visualizar uma tríade é necessário selecionar o menu Arquivo e em 
seguida a opção Solução. Caso as cartas selecionadas não formem uma tríade, 
a barra de títulos informará isso ao jogador.
– 67 –
 Funcionalidades e Aplicações do WINARC
3.2.8 Jogo Peneira 
Apresentado um dado conjunto de cartas aleatórias (figura 67), sele-
ciona-se uma carta como resposta (figura 68). Em seguida, é necessário clicar 
no menu Começar para iniciar o jogo O objetivo é adivinhar a carta-reposta 
selecionada, a partir de interações com subconjuntos de números. As inte-
rações ocorrem a cada rodada, e o programa questiona se a carta-resposta 
escolhida está presente no subconjunto. O jogador deve pressionar a tecla M 
caso a carta-resposta esteja no subconjunto, ou então pressionar a tecla N caso 
a carta-resposta não esteja no subconjunto apresentado (figura 69). As várias 
interações permitem que o computador apresente qual foi a carta-resposta 
selecionada (figura 70).
Figura 67 – Tela inicial do jogo Peneira
Fonte: WINARC (2016).
– 68 –
Ferramentas Computacionais para o Ensino da Matemática
Figura 68 – Seleção da carta a ser descoberta
Fonte: WINARC (2016).
Figura 69 – Menu Começar no jogo Peneira
Fonte: WINARC (2016).
– 69 –
 Funcionalidades e Aplicações do WINARC
Figura 70 – Resultado das interações no jogo Peneira
Fonte: WINARC (2016).
3.3 Aplicações 
Os jogos educativos voltados à disciplina de matemática podem ter 
papel importante na complementação de conteúdos, na melhoria do entendi-
mento de conceitos, bem como no desenvolvimento do raciocínio e incentivo 
à aprendizagem.
Segundo Moran, Masetto e Behrens (2013, p. 105), “os jogos são 
oferecidos com a finalidade de lazer. Podem vir a permitir a utilização com 
uso educacional, se forem integrados a outras atividades propostas pelo 
professor”. A integração entre recursos e a proposta pedagógica também 
são reiteradas por Tajra (2012, p. 44), quando afirma que “o que define 
a atuação de uma escola quanto ao uso da informática é como essa tec-
nologia está sendo utilizada: se integrada aos interesses educacionais e de 
formação dos alunos”.
– 70 –
Ferramentas Computacionais para o Ensino da MatemáticaNos jogos apresentados nesse capítulo, várias atividades e desenvolvi-
mentos podem ser vivenciados pelos alunos no processo de aprendizagem, 
além de ampliar o repertório de atividades do professor dentro e fora da 
sala de aula.
Nos jogos Caixas e Hexágonos, várias aplicações para o ensino funda-
mental I e II podem ser planejadas, pois envolvem o conceito de geome-
tria plana. Nesse sentido, é possível realizar atividades sobre aresta, vértice, 
polígono côncavo e convexo e o dimensionamento de perímetro e área, além 
de incentivar o raciocínio lógico e espacial dos alunos.
Já o jogo Criptografia é fundamentado em quatro operações básicas para 
números naturais. Sua aplicação proporciona aos alunos do ensino funda-
mental I e II o desafio de resolver um enigma aritmético, buscando várias 
soluções possíveis. O jogo também oferece alternativas de soluções que con-
tribuem para demonstrar aos alunos as possibilidades matemáticas para se 
atingir um mesmo resultado.
O jogo Ordenar pode ser avaliado inicialmente como de pouca rele-
vância no processo pedagógico da matemática devido a sua simplicidade. 
Entretanto, ele permite a interação dos alunos do ensino fundamental I 
e II com o conhecimento dos números, sua ordem de grandeza, além de 
atividades sobre quantidade e estímulo para a ampliação de habilida-
des que permitirão o desenvolvimento de um senso de organização e pla-
nejamento prévio, as quais geram impacto na solução de problemas 
mais complexos.
O jogo Cubo Mágico é um quebra-cabeça modular, que desafia os alu-
nos do ensino fundamental I e II na busca pela solução única. É possível uti-
lizá-lo em atividades que envolvam conceitos de geometria plana e espacial. 
Já para os alunos do ensino médio, o cubo mágico pode apresentar conteúdos 
de estatística, probabilidade e combinação. Além disso, proporciona o desen-
volvimento de habilidades cognitivas importantes ao aprendizado dos alunos, 
tais como concentração, organização espacial, previsibilidade nos movimen-
tos e perseverança na busca por uma solução.
Já o jogo Sudoku é um quebra-cabeça numérico, que proporciona o 
desafio de estabelecer soluções matemáticas integradas, porém com várias 
possibilidades de solução para o problema apresentado. Ele proporciona aos 
– 71 –
 Funcionalidades e Aplicações do WINARC
alunos de diversos níveis o desenvolvimento do raciocínio lógico e da concen-
tração para a análise das possíveis soluções.
O jogo Tríades é um jogo de cartas que permite ao professor desenvolver 
atividades relacionadas a geometria plana, conceitos de quantidade e combi-
nações matemáticas. A busca pela solução da tríade, inclusive com a possibi-
lidade de mais de uma tríade no conjunto de cartas proposto, proporciona 
aos alunos dos ensinos fundamental II e médio o aprendizado sobre percen-
tual de amostras formadas em relação ao conjunto apresentado, bem como o 
desenvolvimento do raciocínio lógico para a solução do problema proposto.
Com o jogo Peneira é possível desenvolver atividades para alunos do 
ensino médio relacionadas aos processos estatísticos de interação matemática, 
percentual amostral e análise de conjuntos numéricos. Esses conceitos estão 
inclusos nas soluções que o jogo desenvolve e apresenta ao aluno.
Pode-se concluir que os jogos educacionais e de apoio ao processo de 
aprendizagem podem tornar-se ferramentas de grande potencial para o ensino 
da matemática. Além dos jogos abordados nesse capítulo, considerados de 
simples assimilação e já conhecidos em sua versão tradicional, a indústria de 
desenvolvimento de programas tem investido fortemente em novos aplicati-
vos e games de ensino. Mas, segundo Tajra (2012, p. 46), “quando tivermos 
softwares educativos com as características de um jogo de videogame, teremos 
softwares mais inteligentes e com maior aceitação por parte dos alunos”. E 
Moran Masetto e Behrens (2013, p. 106) ressaltam também que “o recurso 
por si só não garante a inovação, mas depende de um projeto bem arquite-
tado, alimentado pelos professores e alunos que são usuários. O computador 
é a ferramenta auxiliar no processo de ‘aprender a aprender’”.
4
Funcionalidades e 
Aplicações do WINMAT
Há alguns conteúdos de matemática que exigem operações 
complexas, mas possuem propriedades capazes de solucionar inú-
meras situações-problema. As operações com matrizes se enqua-
dram nessa situação. Matrizes são elementos matemáticos formados 
por números reais, inteiros ou complexos, em forma de tabela e 
distribuídos em linhas e colunas. Permitem resolver problemas com 
várias incógnitas, considerando suas propriedades particulares. O 
uso de softwares para auxiliar nesses cálculos vem ganhando espaço 
nas aulas de matemática.
O aplicativo WINMAT, assim como o WINARC, foi 
desenvolvido na Phillips Exeter Academy, em seu departamento 
de matemática, sob a coordenação do Professor Richard Parris, no 
ano de 2007.
– 74 –
Ferramentas Computacionais para o Ensino da Matemática
4.1 Ficha técnica do aplicativo WINMAT 
O aplicativo WINMAT está disponível para download gratuito em 
inglês e português nos seguintes endereços eletrônicos:
 2 Phillips Exeter Academy (inglês) – http://math.exeter.edu/rparris/
winmat.html.
 2 Universidade Federal do Rio Grande do Sul (português) – http://
www2.mat.ufrgs.br/edumatec/softwares/soft_algebra.php.
O aplicativo é executado na plataforma Windows, disponível nas versões 
95, 98, ME, 2K, XP, Vista e 7. O tamanho do arquivo do aplicativo é de 388 
Kilobytes. Necessita de uma configuração básica para funcionamento. Para 
instalação deve ser realizado o download do arquivo de instalação nos endere-
ços indicados. O arquivo de instalação é autoexecutável e gera o ícone 
 
 
 
1 0
0 1 para iniciar o aplicativo.
4.2 Funcionalidades 
O programa inicia com a tela de abertura (figura 71). O menu Matriz 
apresenta as opções de entrada de dados e configurações necessárias (figura 72). 
O menu Calc apresenta as opções de cálculo e suas configurações (figura 73). O 
menu Ver apresenta alternativas de visualização dos dados e resultados das opera-
ções (figura 74). O menu Ajuda contém as instruções gerais sobre o WINMAT.
Figura 71 – Tela de abertura do WINMAT
Fonte: WINMAT (2016).
– 75 –
Funcionalidades e Aplicações do WINMAT
Figura 72 – Opções do menu Matriz
Fonte: WINMAT (2016).
Figura 73 – Opções do menu Calc
Fonte: WINMAT (2016).
– 76 –
Ferramentas Computacionais para o Ensino da Matemática
Figura 74 – Menu Ver
Fonte: WINMAT (2016).
É necessário configurar na entrada de dados o tipo de número que 
será utilizado na criação da matriz. Para isso, é necessário selecionar o menu 
Matriz, e em seguida a opção Modo (figura 75), para escolher entre as alter-
nativas possíveis: Real, Complexo ou Inteiro.
Figura 75 – Menu Matriz, opção Modo
Fonte: WINMAT (2016).
Para realizar qualquer nova operação é necessário introduzir os dados 
das matrizes envolvidas. As novas matrizes são preparadas selecionando 
o menu Matriz, e em seguida a opção Nova. O programa apresenta uma 
janela de configuração da nova matriz (figura 76). Nessa janela é possível 
dimensionar o tamanho da matriz, ou seja, a quantidade de linhas e colu-
nas. Cada matriz gerada deve ser identificada por uma letra do alfabeto no 
campo nome.
Para inserir os valores desejados na matriz estabelecida, é necessário 
primeiramente marcar o campo zeros, e assim a matriz será criada apenas 
com zeros (figura 77). Cada unidade pode ser alterada com um clique sobre 
o valor a ser editado. Deve-se apertar o botão Enter para confirmar o novo 
valor (figura 78).
– 77 –
Funcionalidades e Aplicações do WINMAT
Figura 76 – Menu Matriz, opção Nova
Fonte: WINMAT (2016).
Figura 77 – Matriz zero
Fonte: WINMAT (2016).
Figura 78 – Edição da matriz
Fonte: WINMAT (2016).
– 78 –
Ferramentas Computacionais para o Ensino da Matemática
Para gerar uma matriz diagonal, deve-se escolher os valores dos campos 
na diagonal de uma matriz quadrada, enquanto os valores dos demais campos