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Universidade de São Paulo - Departamento de Economia EAE 0325 - Econometria II Prof. Dr. Ricardo Avelino 2o Semestre de 2008 Lista de Exercícios 6 - Data de Entrega: 28/11 Você deve sempre explicar todas as suas respostas, a menos que seja dito para responder uma questão sem provar. Questão 1 Considere o seguinte modelo de equações simultâneas: Ct = α0 + α1yt + u1t It = β0 + β1∆yt + u2t yt ≡ Ct + It +Gt Determine quais variáveis são endógenas e exógenas. Escreva as condições de identificação das diferentes equações. Elas são sobreidentificadas, subidenti- ficadas ou exatamente identificadas? Questão 2 Considere o modelo de três equações: y1 = β13y3 + γ12x2 + u1 y2 = β21y1 + β23y3 + γ21x1 + γ22x2 + u2 y3 = γ33x3 + u3 no qual y1, y2, y3 são endógenos e x1, x2, x3 são exógenos. Discuta a identifi- cação de cada uma das equações do modelo baseado nas condições de ordem e posto. Agora suponha que você queira estimar a primeira equação por míni- mos quadrados em dois estágios, mas você tem apenas um progama de mínimos quadrados ordinários disponível. Explique cuidadosamente, passo por passo, como você estimaria β13, γ12 , var(u1). Questão 3 Considere o modelo: y1 = αy2 + δx+ u1 y2 = βy1 + γx+ u2 1 no qual x é exógeno e os termos de erro u1 e u2 tem média zero e não são serialmente correlacionados. a) Escreva as equações na forma reduzida expressando-as em termos dos parâmetros estruturais. b) Mostre que, se γ = 0, então β pode ser identificado. Os parâmetros α e δ são identificados neste caso? Por quê? c) No caso em que γ = 0, qual fórmula você usaria para estimar β? Qual a variância assintótica do seu estimador de β? Questão 4 Considere o seguinte modelo de regressão y∗i = x 0 iβ + εi, i = 1, ..., n no qual εi|xi ∼ N (0, 1) Todas as hipóteses usuais são satisfeitas. Entretanto, y∗i é uma variável latente. Nós observamos somente yi = ½ 1 se y∗i ≥ 0 0 caso contrário a) Derive a função de log verossimilhança lnL com base numa amostra de n observações independentes e identicamente distribuídas. b) Mostre que H = ∂2 lnL ∂β∂β0 = − nX i=1 λi (λi + x 0 iβ)xix 0 i para λi = qiφ (qix 0 iβ) Φ (qix0iβ) e qi = 2yi − 1 c) Prove que E · ∂2 lnL ∂β∂β0 ¯¯¯¯ X ¸ = nX i=1 λ0iλ1ixix 0 i para λ1i = φ (x0iβ) Φ (x0iβ) 2 e λ0i = −φ (x0iβ) Φ (−x0iβ) d) Derive a distribuição assintótica de βˆ MLE . e) Derive a distribuição assintótica dos efeitos marginais γˆ = φˆ ³ x0iβˆ ´ βˆ. f) Explique detalhadamente como você testaria a hipótese de que β1 + β 2 2 = 0 Questão 5 Ache o sinal da derivada de V ar (Z|Z > C) com relação à C para os seguintes modelos: (a) Z ∼ N (0, 1) (b) Z ∼ K1Z−α, K1 > 0, Z > K2 > 0, α > 2 (c) Z ∼ θe−Zθ, θ > 0, Z ≥ 0 (d) Z ∼ U (0, 1) 3
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