2 Nota de aula - conjuntos numéricos

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NOTAS DE AULA - Introdução ao Cálculo - Curso de Engenharia Civil – 1º período 
Prof. Sérgio Magalhães 
Revisão de Conjuntos 
 
Def.1.1: Conjuntos Numéricos: são conjuntos de elementos que guardam entre si uma 
característica em comum. 
Ex: 
1) Conjunto dos números naturais (N): {0,1,2,3,4,...} 
2) Conjunto dos números inteiros (Z): {...,-3,-2,-1,0,1,2,3...} 
 
Obs: 1) Um conjunto qualquer A é igual a um conjunto qualquer B, se e somente se, todos 
os elementos de A estão em B, e todos os elementos B estão em A, ou seja, se os 
elementos de A são iguais aos elementos de B. 
Obs: 2) Um conjunto sem elementos é chamado de conjunto vazio. Denotamos por: ∅ ou 
{ }. 
Notação: 
1 - Se um elemento está em um conjunto, dizemos que esse elemento pertence (∈) a 
esse conjunto. Ex: 
1∈ N 
Lê-se: “um pertence aos naturais”. 
 
2 – a) Se conjunto de elementos está em um conjunto, dizemos que esse conjunto está 
contido (⊂) nesse conjunto. Ex: 
N ⊂ Z 
b) Também podemos dizer que se um conjunto A está contido em um conjunto B, então o 
conjunto A é um “subconjunto” do conjunto B. 
No exemplo anterior, podemos dizer que o conjunto dos naturais é um subconjunto do 
conjunto dos inteiros. 
Def.1.2: União de conjuntos: Dados dois conjuntos A e B, podemos escrever o conjunto 
C com os elementos que pertencem a A e pertencem a B. Denotamos por: A ∪ B. 
Ex: A = {1,4,5} e B = {2,4,7}, → A ∪ B = C ={1,2,4,5,7} 
Obs: Se A ⊂ B então A ∪ B = B 
Def.1.3: Intersecção de conjuntos: Dados dois conjuntos A e B, podemos escrever o 
conjunto C com os elementos que pertencem a A e pertencem a B simultaneamente, ou 
seja, os elementos que pertencem a A e pertencem a B ao mesmo tempo. Denotamos 
por: A ∩ B. 
No exemplo anterior: A = {1,4,5} e B = {2,4,7}, → A ∩ B = C ={4}. 
Obs: Se A e B não possuem elementos em comum, então A ∩ B = ∅ ou { }. 
 
Intervalos Reais 
 Certos subconjuntos dos reais, determinados por desigualdades, têm grande 
importância: são os intervalos. Assim, dados dois números reais e , com , tem-
se: 
 
a) Intervalo aberto: 
 
. A bolinha vazia (o) indica que os extremos e 
não pertencem ao intervalo. 
 
b) Intervalo fechado: 
 
. A bolinha vazia (•) indica que os extremos e 
pertencem ao intervalo. 
 
c) Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita: 
 
 . 
 
d) Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita: 
 
 . 
 
e) Semirreta esquerda, fechado em : 
 
 . 
 
f) Semirreta direita, aberta em : 
 
 . 
 
g) Reta real: 
 
 . 
 
Operações com intervalos 
 
 Como intervalos são subconjuntos de R, é possível fazer operações com eles. As 
operações de intersecção e união são exemplos. 
 Dados: 
 A 
B 
Temos: 
a) A ∪ B: 
 
 
b) A ∩ B: 
 
 
 
Referência: 
IEZZI, G. Fundamentos de Matemática Elementar 1: conjuntos e funções. 8 ed. São Paulo: Atual, 2009.