GEOMETRIA ANALÍTICA - reta

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GEOMETRIA ANALÍTICA
Prof. Fernando
Como surgiu?
 Todas as ideias matemáticas relacionam-se entre si, num dado momento ou em outro, porém o fato é que existe uma relação explícita ou implícita entre elas. Foi dessa forma, que o matemático e filósofo francês René Descartes concebeu a geometria analítica. Como à época álgebra e geometria eram cartas do mesmo baralho, mas tratadas como disjuntas, Descartes se dedicou a união dessas duas áreas do conhecimento matemático, para ele claramente correlacionáveis.
 
 
 
 Pierre de Fermat (1601-1665)
 Em seu livro, o discurso do método, publicado em 1637, Descartes mostra que as ciências deveriam ser guiadas pela matemática, isso devido a sua exatidão e possibilidades de experimentação. Foi nesse mesmo livro que René demonstrou o grande campo de aplicabilidades da geometria analítica. Porém, as indicações sobre quem possivelmente seria o patrono da G.A. (Geometria Analítica) não formam um senso comum. Muitos historiadores dão crédito também ao matemático Pierre de Fermat, vistos os seus estudos no campo das equações que representavam curvas no plano. Além disso, outros estudiosos apontam esse conhecimento como advindo, ora dos egípcios, ora dos gregos ou romanos.
O que é Geometria Analítica?
A geometria analítica, veio do ideal de unir álgebra e geometria. Num plano coordenado, podem ser localizadas retas, curvas, círculos, ou seja, todos os conceitos fundamentados na ideia primitiva de ponto, afinal todas essas figuras nada mais são que conjuntos de pontos.
Plano Cartesiano
 O plano coordenado, mais conhecido como Plano Cartesiano, é formado por dois eixos, um vertical, eixo y (eixo das ordenadas) e um horizontal, eixo x (eixo das abscissas), que formam quatro quadrantes, como mostra a figura ao lado. Esses dois eixos se coincidem num ponto comum chamado origem do plano, ou ponto (0,0). Um ponto é, desta forma, representado por dois valores numéricos, sendo que o primeiro corresponde a x e o segundo a y , ou seja, (x,y) . Esse par, ou par ordenado, ou ainda coordenadas cartesianas, no plano, indica um ponto.
Perceba que, a partir da álgebra, poderemos chegar a uma representação geométrica
no plano, e vice-versa. No Plano de Descartes estão localizadas as definições
matemáticas, antes apenas embutidas na geometria euclidiana (plana). Vejam na
figura a seguir a representação de pontos no plano e entenda como ele funciona.
A (3,3) 
B (-3,2) 
C (2,0) 
D (-2,-4) 
E (4,-3) 
F (0, -2) 
 Onde usá-la ou encontrá-la?
 A geometria analítica é a base de grandes campos de estudos matemáticos em dias atuais, mas também é muito utilizadas em atividades não explicitamente matemáticas. Seja na geometria algébrica, física, geometria diferencial, engenharia e outras, ou ainda na vida prática como nos mapas, satélites e no moderno Sistema de Posicionamento Global, GPS (sigla em inglês) ela está presente.
 Podemos utilizar o sistema de coordenadas para nos localizar, localizar pessoas ou imóveis, tendo por referência um ponto de origem (no qual estamos no momento), os eixos (ruas, avenidas, etc.) e um ponto de chegada (local no qual queremos chegar), como ilustra a imagem ao lado.
EXEMPLOS:
Igreja (D, 9)
Cinema (L, 5)
Para finalizar
 Não importa quem foi o criador da geometria analítica, embora todos os seus contribuintes tenham muito mérito e mereçam a nossa admiração, gratidão e respeito, o importante é que essa descoberta revolucionou as nossas vidas, tornando-as mais práticas, convenientes e esclarecidas. Saber se deslocar num determinar espaço, mesmo que ele ainda lhe seja desconhecido, nos permite conhecer novos mundos, novos campos de conhecimentos, de conquistas, de descobertas.
 A geometria analítica guia os nossos passos a cada instante das nossas vidas. Em momentos ela é útil aos profissionais da matemática, da física, da engenharia, etc. Em outros ela favorece aqueles que utilizam a matemática ou outras ciências inconscientemente, os leigos dos aspectos técnicos, porém essenciais ao funcionamento do mundo.
 “A cada ponto, uma localização; a cada localização, um mundo que se revela”.
Distância entre dois pontos
1º Caso:
2º Caso:
3º Caso:
Pelo teorema de Pitágoras:
Exemplos:
Calcule a distância entre os pontos, sendo:
a) A(5, 4) e B(5, -7)
b) C(4, 2) e B(10, 2)
c) M(5, 7) e N(9, 4)
Ponto médio
 Sejam A(xA, yA) e B(xB, yB) então o ponto médio do segmento AB é dado pela média aritmética das coordenadas de suas extremidades, ou seja, o ponto médio M(xM, yM) é obtido da seguinte forma:
Exemplos:
Ache as coordenadas do ponto médio sdo segmento LR, nos seguintes casos abaixo:
a) L(3, 5) e R(9, 13)
b) L(-4, 8) e R(8, -6)
Baricentro de um triângulo
 Quando um corpo é apoiado ou suspenso pelo seu baricentro ele fica em equilíbrio em qualquer posição em que for abandonado. Esse conhecimento físico é importante, pois o correto posicionamento da carga no veículo é um fator que influi na sua dirigibilidade pois pode alterar sua estabilidade direcional. Dependendo da acomodação da carga na carroçaria, o centro de gravidade do corpo (nesse caso, o veículo) será deslocado mais para frente ou para trás, alterando o seu comportamento dinâmico e podendo comprometer a direção.
Cálculo do baricentro de um triângulo
Seja um triângulo com vértices A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC)
Então o baricentro, ou seja, G(xG, yG) pode ser obtido da seguinte forma:
Exemplo: Calcule o baricentro do triângulo ABC, sabendo que A(0, 4), B(5, 2) e C (1, 6)
Resolução:
G (2, 4)
Condição de alinhamento de três pontos
 Sejam três pontos distintos A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC), então uma condição para que os três pontos estejam alinhados (pertencerem a uma mesma reta) poderá ser verificada da seguinte forma:
Se o determinante for igual a zero, os três pontos estão alinhados; caso contrário (diferente de zero) não estão alinhados.
OBS: SE NÃO ESTIVEREM ALINHADOS, OS TRÊS PONTOS PODERÃO SER VÉRTICES DE UM TRIÂNGULO.
Consequência: cálculo da área de um triângulo qualquer
Sejam três pontos distintos A(xA, yA), B(xB, yB) e 
C(xC, yC), não alinhados. A área do triângulo formado com vértices nesses três pontos , pode ser obtido da seguinte forma:
Exemplos:
 Verifique se os pontos A, B e C estão alinhados.
a) A(-2, 6), B(4, 8) e C(1, 7)
b) A(0, 2), B(-3, 1) e C(4, 5)
Resolução:
Estão alinhados
Não estão alinhados
Resolução
Área do quadrilátero ABCD = 15 + 15 = 30 u.a.
Estudo da reta
Equação geral da reta
 Sejam dois pontos distintos A(xA, yA) e B(xB, yB) pertencentes à reta r e um ponto qualquer P(x, y) que também pertence a reta r. 
 Então, a equação geral da reta r poderá ser obtida da seguinte forma:
 
Exemplo: Obtenha a equação geral da reta r que passa pelos pontos A(-1, 3) e B(3, 2)
Portanto, toda equação geral da reta é do tipo:
ax + by + c = 0
Inclinação e coeficiente angular de uma reta
 Veja a representação:
 A medida α do ângulo indicado acima é chamado de inclinação da reta e é obtida girando-se a reta no sentido anti-horário, com relação ao eixo x.
 Chamamos de coeficiente angular ou declividade de uma reta, o número real m que representa a tangente de α.
Possibilidades:
Conclusão:
Como:
Também temos que:
 
Equação da reta dado o coeficiente angular (m) e que passa por um ponto A(xA, yA)
Seja P(x, y) um ponto qualquer que pertença à reta r
Então:
Exemplos:
Sejam A(-1, 2) e B(3, 4) pontos de uma reta s.
Calcule o coeficiente angular (m) da reta s.
Obtenha a equação geral da reta s.
Resolução:
Veja a representação da reta r abaixo:
Determine:
O coeficiente angular (m).
A equação geral da reta r
Equação reduzida da reta
Exemplo: Seja uma reta r com equação geral:
Isolando a variável y no 1º membro:
A equação obtida é chamada de equação reduzida da reta.
Geometricamente:
Conclusão:A equação reduzida de uma reta é do tipo:
y = m.x + n
Sabendo que:
m= coeficiente angular e
n = coeficiente linear (ponto em que a reta intercepta o eixo y) 
Outro exemplo:
Escreva a equação reduzida da reta s representada abaixo:
Posição relativa entre duas retas
Sejam duas retas r e s tais que:
Então:
Retas Paralelas (distintas)
 Retas Coincidentes (paralelas coincidentes)
 Retas Concorrentes
 Se duas retas r e s forem concorrentes e perpendiculares (formam um ângulo reto entre si), então:
Exemplos:
 Verifique em cada item abaixo se o par de retas é:
Concorrentes
Paralelas
Coincidentes
Resolução
Resolução
B
A
B
A
y
y
d
-
=
,
B
A
B
A
x
x
d
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B
A
B
A
B
A
y
y
x
x
d
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-
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4
4
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6
6
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2
2
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,
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-
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D
C
B
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c
d
b
d
a
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2
B
A
M
B
A
M
y
y
y
x
x
x
+
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2
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2
8
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9
,
6
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2
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13
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6
2
12
2
9
3
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M
y
x
b
M
y
x
a
M
M
M
M
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C
B
B
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A
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x
y
x
y
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C
C
B
B
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A
y
x
y
x
y
x
D
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2
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3
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2
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5
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0
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0
18
18
24
14
8
28
6
16
7
1
1
7
1
8
4
1
8
4
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2
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2
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7
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8
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b
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30
15
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0
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15
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1
0
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1
0
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4
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0
5
:
2
15
2
30
30
29
1
)
29
(
1
0
20
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16
0
15
4
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0
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1
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x
y
x
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y
y
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