ciclo 1 VetGeoAna-U1

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1
EA
D
Revisão da Geometria 
Analítica Plana
1. OBjETIVOS
• Conceituar sistema de eixos perpendiculares.
• Identificar e representar pontos no plano cartesiano.
• Compreender o conceito de distância entre dois pontos e 
a forma de calcular essa distância.
• Identificar e determinar o ponto médio de um segmento 
no plano cartesiano.
• Compreender o conceito de coeficiente angular e sua re-
lação com a equação da reta.
• Escrever a equação de uma reta conhecendo-se dois pon-
tos.
• Utilizar os raciocínios lógico, algébrico e geométrico de 
modo a poder argumentar com clareza e objetividade.
• Desenvolver a capacidade dedutiva com sistemas axio-
máticos e a percepção geométrica.
© Vetores e Geometria Analítica28
2. CONTEÚDOS
• Plano cartesiano.
• Representação de pontos no plano cartesiano.
• Distância entre dois pontos.
• Ponto médio de um segmento.
• Equação de reta no plano cartesiano.
3. ORIENTAÇÕES PARA O ESTUDO DA UNIDADE
Antes de iniciar o estudo desta unidade, é importante que 
você leia as orientações a seguir:
1) Tenha sempre à mão o significado dos conceitos expli-
citados no Glossário e suas ligações pelo Esquema de 
Conceitos-chave para o estudo de todas as unidades 
deste CRC. Isso poderá facilitar sua aprendizagem e seu 
desempenho.
2) Lembre-se de que a construção da Matemática que co-
nhecemos e utilizamos hoje se iniciou há milhares de 
anos e evoluiu graças ao empenho e brilhantismo de 
muitos filósofos, matemáticos, astrônomos e outros 
tantos pesquisadores. Pesquise em livros ou na internet 
a importância de alguns matemáticos, como René Des-
cartes e Pierre de Fermat, para o avanço da Geometria 
Analítica e, se encontrar algo interessante, disponibilize 
a informação para seus colegas na Lista. Lembre-se de 
que você é protagonista do processo educativo.
3) Ao ler os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), algo 
que não deve ser uma obrigação a você – antes, deve 
ser uma maneira de "estar por dentro" do que acontece 
com a educação em nossas escolas –, procure descobrir 
quais são as propostas essenciais contempladas neles. A 
que tipo de perfil de egresso ele quer levar?
4) Leia a obra Cálculo com Geometria Analítica, de George 
Simmons. Essa obra ajudará você a recordar a represen-
tação de números reais na reta numérica.
Claretiano - Centro Universitário
29© U1 – Revisão da Geometria Analítica Plana
5) Leia os livros da bibliografia indicada para que você am-
plie seus horizontes teóricos. Coteje-os com o material 
didático e discuta a unidade com seus colegas e com o 
tutor.
6) Para saber mais sobre a história da Geometria Analítica 
e seus elementos, leia a dissertação de Manuel José De-
con, diponível no seguinte site: <http://www.dominio-
publico.gov.br/download/texto/me001384.pdf>. Aces-
so em: 22 mar. 2013.
7) Para fortalecer os conceitos estudados, resolva as ques-
tões autoavaliativas, dispostas ao final desta unidade.
4. INTRODUÇÃO À UNIDADE
Antes de iniciarmos nossos estudos acerca dos conceitos 
da Geometria Analítica, é importante conhecer um pouco da im-
portância desse assunto para o desenvolvimento da ciência, bem 
como para sua formação docente.
Quando se pensa em Geometria Analítica, a primeira coisa 
que vem à mente é um par de retas perpendiculares, chamadas de 
eixos x e y, formando o famoso sistema de coordenadas cartesia-
nas. Essa história inicia-se no Egito Antigo, quando agrimensores 
utilizavam malhas retangulares para dividir as terras em distritos. 
Desse modo, era possível registrar a localização de cada distrito 
usando apenas dois números: um para a posição da linha e outro, 
para a coluna.
Esse foi tão somente o passo inicial para a conexão entre a 
Geometria e a álgebra, que atualmente designamos ao ramo da 
Matemática chamado Geometria Analítica. De acordo com Berlin-
ghoff e Gouvêa (2008, p. 173):
Sem essa ponte entre a geometria e a álgebra, não existiria o cálcu-
lo para a ciência, nem tomografia computadorizada para a medici-
na, nem ferramentas automatizadas para a indústria, nem compu-
tação gráfica para arte e divertimento. Muitas coisas que tomamos 
como certas simplesmente não existiriam.
© Vetores e Geometria Analítica30
Conhecendo a importância desse tema para os avanços tec-
nológicos e científicos de nossa sociedade, compreendemos a re-
levância de seu estudo nos diversos níveis de ensino, bem como 
nas várias áreas de formação, como engenharias, Arquitetura, Eco-
nomia, Contabilidade, Estatística, Física, Medicina etc.
A representação de duas grandezas por meio de duas coor-
denadas permite o estudo e a análise de diversas situações práti-
cas. Essa forma de representação é chamada de plano cartesiano, 
e será tema de nosso estudo no decorrer desta unidade.
5. PlANO CARTESIANO
O plano cartesiano surgiu por meio da ideia de Pierre de 
Fermat (1601-1665), considerado por muitos o maior matemático 
amador do mundo. Fermat era advogado e funcionário público, 
mas tinha a Matemática como diversão. Durante seus estudos, 
teve a ideia de relacionar duas quantidades desconhecidas (A e B) 
por meio de um sistema de coordenadas.
Analisando a equação que estava estudando, Fermat perce-
beu que o comprimento de uma quantidade (A) aumentava quan-
do o comprimento da outra (B) era aumentado, formando uma 
curva. Fermat, notavelmente, percebeu que toda equação que re-
lacionava duas variáveis podia ser representada por uma curva (Fi-
gura 1). Infelizmente, Fermat faleceu e suas descobertas só foram 
publicadas mais tarde.
Figura 1 Relação entre as quantidades A e B por meio de coordenadas.
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31© U1 – Revisão da Geometria Analítica Plana
Por sua vez, René Descartes (1596-1650), um nobre fran-
cês, filósofo e matemático, apresentou em suas publicações ideias 
muito semelhantes às de Fermat, inclusive o sistema gráfico. En-
tretanto, o sistema de eixos perpendiculares, assim como a inclu-
são dos números negativos, surgiu somente cerca de meio século 
depois. Mesmo assim, o crédito da criação desse sistema foi dado 
a Descartes, e batizado de sistema cartesiano (Figura 2). O nome 
cartesiano vem de "Cartesius", ou Descartes em latim.
Figura 2 Sistema de eixos coordenados verticais.
A Geometria de coordenadas, ou Geometria Analítica, per-
mitiu grandes avanços na Matemática, como apontam Berlinghoff 
e Gouvêa (2008, p. 178):
Assim como o desenvolvimento da álgebra simbólica abriu cami-
nho para a geometria analítica, também, por sua vez, a geometria 
analítica abriu caminho para o cálculo. O cálculo, por sua vez, abriu 
as portas para a física moderna e muitas outras áreas da ciência e 
da tecnologia. [...] esse modo algébrico de descrever formas tam-
bém se combinou sinergicamente com a velocidade de cálculo dos 
computadores modernos, produzindo imagens visuais cada vez 
mais assombrosas visando a uma ampla gama de aplicações. Tudo 
isso repousa sobre a ideia verdadeiramente simples de dar a cada 
ponto um endereço numérico, de modo que possamos descrever 
formas por números.
O sistema de eixos coordenados, ou sistema cartesiano, uti-
lizado atualmente é formado por duas retas perpendiculares: uma 
horizontal denominada x, e outra vertical denominada y (Figura 3). 
O ponto de interseção dessas retas é chamado origem ou ponto 
O, e divide cada reta em duas semirretas: uma representa valores 
positivos e outra representa valores negativos.
© Vetores e Geometria Analítica32
Figura 3 Sistema de coordenadas cartesianas.
Com o sistema cartesiano de coordenadas, é possível esbo-
çar pontos de curvas que representam equações quaisquer. Para 
isso, é fundamental adotar uma unidade de medida como padrão, 
isto é, representar a sequência de números inteiros a uma mesma 
distância uns dos outros, como na Figura 3.
Agora que você conhece um pouco mais sobre a origem do 
sistema cartesiano de eixos, você recordará sua utilização na re-
presentação de pontos no plano. Essa representação tem inúme-
ras aplicações algébricas e geométricas, como você verá nos tópi-
cosseguintes.
6. REPRESENTAÇÃO DE PONTOS NO PlANO CARTE-
SIANO
Para indicar a posição de um ponto qualquer no plano, bas-
ta tomarmos um sistema de eixos coordenados conveniente. Por 
exemplo, observando um ponto A no plano, podemos inserir um 
sistema de eixos como mostra a Figura 4. Desse modo, é possível 
indicar a posição do ponto A no plano ligando-o aos eixos x e y por 
um segmento vertical e outro horizontal. Dizemos, então, que o 
ponto A tem coordenadas (3, 2).
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33© U1 – Revisão da Geometria Analítica Plana
Figura 4 Ponto A representado no sistema de coordenadas cartesianas.
Os eixos cartesianos dividem o plano em quatro quadrantes:
• 1º Quadrante (ou Q1): os valores dos eixos x e y são po-
sitivos.
• 2º Quadrante (ou Q2): os valores do eixo y são positivos e 
os do eixo x são negativos.
• 3º Quadrante (ou Q3): os valores dos eixos x e y são ne-
gativos.
• 4º Quadrante (ou Q4): os valores do eixo x são positivos e 
os do eixo y são negativos.
Observe, na Figura 5, a representação dos quadrantes em 
um sistema de coordenadas cartesianas.
Figura 5 Representação dos pontos A, B, C, D e E no sistema de coordenadas cartesianas.
© Vetores e Geometria Analítica34
Podemos observar na Figura 5 que:
1) O ponto A pertence ao 1º quadrante e tem coordenadas 
3x = e 2y = .
2) O ponto B pertence ao 2º quadrante e tem coordenadas 
B(-4, 1) .
3) O ponto C pertence ao 3º quadrante e tem coordenadas 
C(-3, -3) .
4) O ponto D pertence ao 4º quadrante e tem coordenadas 
D(1, -3) .
5) O ponto E não pertence a nenhum dos quadrantes e tem 
coordenadas E(0, 0).
Utilizaremos essa representação de pontos no plano para 
determinar comprimentos. Para isso, é preciso determinar a dis-
tância entre dois pontos.
7. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
O sistema de eixos coordenados nos permite calcular a dis-
tância entre quaisquer dois pontos do plano. Observe os pontos P 
e Q na Figura 6.
Figura 6 Segmento de reta representando a distância entre os pontos P e Q.
Para calcularmos a distância entre os pontos P e Q, utiliza-
mos o triângulo retângulo formado pelo segmento PQ (Figura 7).
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35© U1 – Revisão da Geometria Analítica Plana
Figura 7 Triângulo retângulo formado pelo segmento de reta P e Q e os dois segmentos 
logo abaixo.
Em seguida, aplicamos o teorema de Pitágoras: 
( ) ( ) ( )2 2 2hipotenusa cateto1 cateto 2= + . A hipotenusa correspon-
de à distância entre os pontos P e Q. O cateto horizontal (cateto 
1), paralelo ao eixo x, mede 5 2 3− = . O cateto vertical (cateto 2), 
paralelo ao eixo y, tem comprimento 3 1 2− = (Figura 8).
Figura 8 Triângulo retângulo de catetos medindo 3 e 2.
Aplicando a fórmula chegamos a:
( )
( )
( )
2 2 2
2
2
3 2
9 4
13
13
3,6
= +
= +
=
=
≅
PQ
PQ
PQ
PQ
PQ
É possível generalizar essa equação do teorema de Pitágoras 
escrevendo somente uma fórmula para calcular a distância entre 
© Vetores e Geometria Analítica36
dois pontos quaisquer do plano. Para isso, consideremos dois pon-
tos ( , )a aA x y e ( , )b bB x y genéricos (Figura 9).
Figura 9 Triângulo retângulo formado por um segmento de reta AB qualquer e os 
segmentos de reta logo abaixo.
Utilizando o teorema de Pitágoras, calculamos a medida do 
segmento de extremidades A e B, e denotado por AB :
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 2
2 2
= − + −
= − + −
b a b a
b a b a
AB x x y y
AB x x y y
A equação vale para calcular pontos em qualquer quadrante 
do sistema de coordenadas cartesianas.
Já sabemos identificar a distância entre dois pontos de um 
plano. Agora veremos como se determina o ponto que divide um 
segmento ao meio, também chamado de ponto médio.
8. PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO
O ponto médio de um segmento é o ponto que se encontra 
no meio do segmento, isto é, que o divide em duas partes iguais.
Analise a Figura 10, que contém os pontos A e B, e o ponto 
médio M, o qual divide o segmento AB em duas partes iguais.
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37© U1 – Revisão da Geometria Analítica Plana
Figura 10 Ponto médio M do segmento AB.
Notamos que a coordenada mx do ponto M divide o seg-
mento a bx x ao meio. O mesmo acontece com a coordenada my 
do ponto M: ela divide o segmento a by y em duas partes iguais.
Podemos concluir, então, que o ponto médio M do segmen-
to AB tem coordenadas: 
2
+
= a bm
x xx e 2
+
= a bm
y yy .
Podemos descrever também: ,
2 2
+ + =  
 
a b a bx x y yM .
Exemplo
Vamos encontrar o ponto médio M dos pontos (3, 6)A − e 
( 3, 2)B − , isto é, o ponto que divide o segmento AB ao meio.
Aplicaremos as equações para encontrar os valores das 
coordenadas x e y do ponto M:
( )3 3 3 3 0 0
2 2 2 2
+ −+ −
= = = = =a bm
x xx
6 2 4 2
2 2 2
+ − + −
= = = = −a bm
y yy
Logo, o ponto médio M tem coordenadas (0, -2).
Aprendemos até o momento a calcular a medida de com-
primento de um segmento e já sabemos identificar o seu ponto 
© Vetores e Geometria Analítica38
médio. A partir de agora, vamos descobrir como se representa o 
conjunto de pontos que formam uma reta.
9. EQUAÇÃO DE RETA NO PlANO CARTESIANO
Quando escrevemos a equação de uma reta, utilizamos a lin-
guagem algébrica. Essa equação representará o conjunto de todos 
os pontos que formam a reta. Para construí-la, basta conhecermos 
dois pontos da reta e com eles determinar o coeficiente angular 
da reta.
Mas o que é coeficiente angular?
O coeficiente angular, ou declive, é um número que especi-
fica a inclinação da reta, desde que esta não seja vertical. Observe 
atentamente a reta que passa pelos pontos A e B na Figura 11.
Figura 11 Ângulo α de inclinação da reta que contém os pontos A e B.
O coeficiente angular da reta é denotado por m e, para cal-
cularmos, dividimos a variação de y pela variação de x.
−
=
−
b a
b a
y ym
x x
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O valor de m será:
• Positivo: para reta crescente.
• Negativo: para reta decrescente.
• Nulo: para retas horizontais.
Exemplo 1
A reta que passa pelos pontos (1, 6)A − e ( 3, 2)B − tem 
como coeficiente angular:
( )2 6 2 6 8 2
3 1 4 4
− −− +
= = = = = −
− − − − −
b a
b a
y ym
x x
Sabendo que o coeficiente angular é negativo ( 2)m = − , 
concluímos que a reta é decrescente. Observe a Figura 12.
Figura 12 Esboço da reta que contém os pontos A e B.
Exemplo 2
A reta que contém os pontos (5, 4)C e ( 1, 1)D − tem como 
coeficiente angular:
© Vetores e Geometria Analítica40
( )
4 1 3 3 1
5 1 5 1 6 2
− −
= = = = =
− − − +
c d
c d
y ym
x x
Note que, se invertermos a ordem da subtração no numera-
dor e no denominador, o sinal de cada um vai mudar, mas o valor 
do coeficiente angular continua o mesmo.
Sabendo que o coeficiente angular é positivo 1
2
=m , conclu-
ímos que a reta é crescente (Figura 13).
Figura 13 Esboço da reta que contém os pontos C e D.
Exemplo 3
Dados três pontos quaisquer: A, B e C.
Sejam:
•	 ABm o coeficiente angular entre os pontos A e B;
•	 ACm o coeficiente angular entre os pontos A e C;
•	 BCM o coeficiente angular entre os pontos B e C.
Teremos, então, duas situações:
• Se AB AC BCm m m= = , os três pontos pertencem a uma 
mesma reta – dizemos que A, B, e C são colineares;
• Caso não seja atendida a condição anterior, podemos 
concluir que os três pontos – A, B, e C – determinam um 
triângulo.
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41© U1 – Revisão da Geometria Analítica Plana
Mas, como fazemos para escrever uma equação algébrica 
que represente uma reta?
Bem, agora que conhecemos o coeficiente angular, fica sim-
ples escrever a equação. Sabemos que o coeficiente angular da 
reta é dado pela fórmula: 
−
=
−
b a
b a
y ym
x x
.
Se multiplicarmos os dois lados da equação por −b ax x , ob-
teremos a seguinte equação: ( )− ⋅ = −b a b ax x m y y .
Trocando os termos de lado, temos: ( )− = ⋅ −b a b ay y m x x .
Observe que a borda da equação ( )− = ⋅ −b a b ay y m x x está 
deslocada. Essa é a fórmula da equação da reta. Para utilizá-la,basta substituir o valor do coeficiente angular e um dos pontos em 
ax e ay . Observe os exemplos a seguir.
Exemplo 4
A reta que passa pelos pontos (1, 6)A − e ( 3, 2)B − tem 
como coeficiente angular 2m = − . Substituímos o valor de m e um 
dos pontos, por exemplo, o ponto A:
( )
( ) ( )6 2 1
6 2 1
2 1 6
2 5
− = ⋅ −
− − = − ⋅ −
+ = − +
= − + −
= − −
b a b ay y m x x
y x
y x
y x
y x
Assim, a equação da reta que passa pelo ponto (1, 6)A − e 
( 3, 2)B − é 2 5= − −y x .
Exemplo 5
A reta que contém os pontos (5, 4)C e ( 1, 1)D − tem como 
coeficiente angular 1
2
=m . Substituímos o valor de m e um dos 
pontos, como por exemplo, o ponto D.
© Vetores e Geometria Analítica42
( )
( )( )
( )
11 1
2
11 1
2
1 1
2 2
1 2
2 2 2
3
2 2
− = ⋅ −
− = ⋅ − −
− = ⋅ +
= + +
= + +
= +
b a b ay y m x x
y x
y x
xy
xy
xy
A equação da reta que passa pelo ponto (5, 4)C e ( 1, 1)D − 
é 3
2 2
= +
xy .
A distância entre dois pontos no espaço, assim como a deter-
minação do ponto médio de um segmento, serão estudadas com 
mais detalhes na Unidade 3, na qual estudaremos vetores. A equa-
ção da reta no espaço será assunto da Unidade 4.
A seguir, você encontrará um texto complementar a respeito 
da história dos principais personagens que desencadearam o de-
senvolvimento da Geometria Analítica. Não se esqueça de conferir 
os sites pesquisados para a elaboração desta unidade, bem como 
a bibliografia adotada. Esses materiais consistem em fonte impor-
tantíssima de pesquisa e complementação do seu estudo.
10. TEXTO COMPlEMENTAR
Conhecer a história da Geometria é fundamental para o en-
tendimento de sua importância e das suas diversas aplicações. Co-
locamos a seguir um trecho da dissertação de Manoel José Decon, 
que trata com mais detalhes os trabalhos de Fermat e Descartes. 
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Fermat ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Embora a Geometria Analítica faça referência a Descartes como o seu criador, foi 
Fermat (1601-1665) quem estabeleceu os métodos característicos desta Geome-
tria. Fermat não era um matemático profissional. Estudou Direito em Toulouse, ten-
do trabalhado como advogado e depois como Conselheiro no Parlamento. Era um 
estudioso da literatura clássica e tratava a matemática e a ciência por puro prazer. 
Em 1629, começou a fazer descobertas importantes na matemática, quando prati-
cava um dos esportes favoritos da época: a "restauração" de obras perdidas da an-
tiguidade baseadas nas informações preservadas. Fermat se dispôs a reconstruir 
o Lugares Planos de Apolônio, a partir de informações de Coleção Matemática, de 
Pápus. A consequência desse estudo gerou, em 1636, a descoberta do princípio 
fundamental da Geometria Analítica:
"Sempre que em uma equação final encontram-se duas quantidades incógnitas, 
temos um lugar, a extremidade de uma delas descrevendo uma linha reta ou curva" 
(Boyer, 1974, p. 253).
Essa afirmação surgiu um ano antes do aparecimento da Geometria de Descartes, 
sendo provavelmente o resultado da aplicação de Fermat na análise de Viéte sobre 
o estudo dos lugares de Apolônio. Daí, acreditar-se que o uso de coordenadas não 
veio por considerações práticas e nem das representações gráficas medievais de 
funções, mas sim da aplicação da álgebra da Renascença a problemas geométri-
cos.
[...]
A "Introdução dos Lugares" de Fermat somente foi publicada após a sua morte, 
o que nos leva a pensar que a Geometria Analítica tenha sido objeto de estudo 
apenas por Descartes. Além de a exposição de Fermat ser mais sistemática e 
didática que a de Descartes, sua Geometria se aproxima muito da atual por serem 
as ordenadas tomadas perpendicularmente ao eixo das abscissas. Fermat também 
percebia a existência de uma Geometria Analítica a mais que duas dimensões, pois 
afirmou que:
"Há certos problemas que envolvem somente uma incógnita e que podem ser cha-
mados de determinados, para distingui-los dos problemas de lugares. Há outros 
que envolvem duas incógnitas e que nunca podem ser reduzidas a uma só; e 
esses são os problemas de lugares. Nos primeiros problemas, procuramos um 
ponto único e nos segundos uma curva. Mas se o problema proposto envolve três 
incógnitas, deve-se achar, para satisfazer a equação, não apenas um ponto ou 
uma curva, mas toda uma superfície. Assim aparecem superfícies como lugares, 
etc". (Boyer, 1974, p.255)
O "et coetera" da afirmação sugere uma geometria a mais que três dimensões, e 
isso só foi desenvolvido efetivamente a partir do século XVIII.
Descartes
René Descartes (1596-1650), oriundo de família abastada, recebeu educação em 
colégio jesuíta, em La Flèche, e estudou Direito em Poitier. Viveu muitos anos em 
Paris e mais tarde alistou-se no exército holandês, como era de costume fazer os 
nascidos em famílias de posses, como a sua. Participou das campanhas militares 
na Holanda com Maurice, o Príncipe de Nassau (personagem conhecido na his-
tória do Brasil) depois com o Duque Maximiliano I, da Baviera, e mais tarde com 
o exército francês no cerco de La Rocchelle. Descartes, no entanto, não era um 
soldado profissional. Durante as campanhas procurava entrar em contato com os 
© Vetores e Geometria Analítica44
sábios da época. Foi assim que conheceu Faulhaber na Alemanha e Desargues 
na França. Em Paris conheceu Marin Mersenne (1588-1648) que era considerado 
o maior divulgador das descobertas científicas, pois quando ele sabia de alguma 
coisa, toda a "República das Letras" era logo informada. Incentivado, Descartes 
transformou-se no "pai da filosofia moderna", por apresentar uma visão científica 
transformada do mundo e estabelecer um novo ramo da matemática.
Em 1637 publicou a sua mais famosa obra: Discours de là méthode pour bien con-
duire La raison et chercher la verité dans les sciences (Discurso sobre o método 
para raciocinar bem e procurar a verdade nas ciências).
[...]
Em resumo, o Discurso do Método contém as soluções apontadas por Descartes 
aos principais problemas da filosofia. Seu valor biográfico nos mostra a evolução 
de sua mente e menciona acontecimentos de sua vida à medida que explica a 
formação de seu pensamento. Em outras palavras, Descartes revela-se por inteiro, 
como podemos ver, pela sua forma de apresentar sua vocação filosófica. Para Des-
cartes, o conhecimento matemático é o modelo de todo conhecimento verdadeiro. 
Deve-se estudar matemática para poder acostumar o espírito a "alimentar-se 
da verdade" e nunca "contentar-se com razões falsas". (Collette, 1985. p. 9-10)
[...]
Faziam parte do Discurso os apêndices:
La Géométrie que tratava do estudo da Geometria a partir da Análise; La Dioptrique 
que continha as primeiras publicações sobre a lei da refração e Les Métèores que 
tratava das primeiras explicações sobre o arco-íris.
No programa de pesquisas filosóficas, Descartes admitia que tudo era explicável 
em termos de matéria e movimento. Ele postulou que o universo todo era feito de 
matéria em movimento incessante de vértices, e todos os movimentos deveriam 
ser explicados mecanicamente em termos de forças exercidas pela matéria con-
tígua. Enquanto que a filosofia e a ciência de Descartes eram revolucionárias e 
primavam pela ruptura com o passado, a matemática tinha fortes laços tradicionais. 
Este fato se justifica quando se viu que o crescimento da matemática é mais acu-
mulativo que os outros ramos da ciência. A matemática cresce por acumulações 
com pouco desprezo e irrelevâncias, e as ciências crescem por substituições quan-
do coisas melhores são encontradas.
[...]
Embora Fermat tenha sido o idealizador dos métodos característicos da Geometria 
Analítica, Descartes é quem estabelece a equivalência entre a curva e a equação 
que a representa em um determinado sistema de coordenadas. Introduzindo este 
conceito, os problemas da geometria se transformam em problemas de álgebra, ou 
de modo mais geral, em problemas de Análise Matemática, razão pela qual o con-
junto de métodos que permitemestudar as figuras, com o auxílio de coordenadas, 
recebe o nome de Geometria Analítica.
[...]
Em 1649, Descartes foi convidado pela rainha Cristina para residir na Suécia, onde 
contraiu uma doença pulmonar, que o levou à morte, no ano seguinte. Foi enter-
rado em Estocolmo e, após dezessete anos de esforços do governo francês, seus 
ossos foram transladados e enterrados em Paris, exceto os da mão direita que 
foram guardados como "souvenir" pelo alto funcionário francês encarregado do 
transporte da ossada.
Meio século após a publicação do Discurso, Newton e Leibnitz criam o cálculo 
diferencial que dará à geometria analítica um alcance que Descartes jamais tinha 
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imaginado. Mais tarde Bernoulli, Euler e Lagrange vão completar a "redução" da 
geometria à análise (DECON, 2000, p. 9-14, grifos nossos).
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
11. QUESTÕES AUTOAVAlIATIVAS
Sugerimos que você procure responder, discutir e comentar 
as questões a seguir que tratam da temática desenvolvida nesta 
unidade, ou seja, do uso do sistema de eixos cartesianos para re-
presentar e analisar pontos e retas no plano.
A autoavaliação pode ser uma ferramenta importante para 
você testar o seu desempenho. Se você encontrar dificuldades em 
responder a essas questões, procure revisar os conteúdos estuda-
dos para sanar as suas dúvidas. Esse é o momento ideal para que 
você faça uma revisão desta unidade. Lembre-se de que, na Edu-
cação a Distância, a construção do conhecimento ocorre de forma 
cooperativa e colaborativa; compartilhe, portanto, as suas desco-
bertas com os seus colegas.
Confira, a seguir, as questões propostas para verificar o seu 
desempenho no estudo desta unidade:
1) Desenhe, utilizando régua e folha de papel, um sistema de eixos 
perpendiculares, adote uma unidade de comprimento para marcar os 
números inteiros em cada reta e depois marque os oito pontos a seguir:
(2, 1)F , ( 2, 1)G − , ( 2, 1)H − − , (2, 1)I − , (3, 0)J , (0, 3)K , 
1 ,3
2
L   
 
 e 
14,
3
M  − 
 
.
2) Determine a distância entre os pontos ( 3, 5)R − − e (1, 2)S − geométrica 
e algebricamente. Para isso, construa, em uma folha de papel, um sistema 
de eixos perpendiculares utilizando 1 cm como unidade de medida. Desenhe 
os pontos R e S, e depois meça a distância entre eles com uma régua. Em 
seguida, calcule a distância entre R e S usando o teorema de Pitágoras. Qual 
é a medida encontrada para o segmento RS?
3) Em uma folha de papel, desenhe os pontos (3, 6)A − e ( 3, 2)B − no 
sistema cartesiano, utilizando 1 cm como unidade de medida. Depois, trace 
o segmento AB e meça seu comprimento com a régua. Marque o ponto M 
sobre AB, dividindo-o em duas metades. Ligue o ponto M aos eixos x e y com 
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um segmento vertical e outro, horizontal. Observando a figura obtida, você 
deve responder: quais são as coordenadas do ponto M?
4) Por que as retas verticais não possuem coeficiente angular?
a) Porque o cálculo do coeficiente angular resulta em zero.
b) Porque o cálculo do coeficiente angular resulta em uma divisão por zero.
c) Porque os valores de x são iguais a zero.
d) Porque os valores de y são iguais a zero.
Gabarito
Confira, a seguir, as respostas corretas para as questões au-
toavaliativas propostas:
1) RS= 5 cm.
2) O segmento AB deve ter medida 10 cm. Logo, o ponto M o dividirá em dois 
segmentos de 5 cm. Ao ligar o ponto M aos eixos x e y, verifica-se que suas 
coordenadas são M(0, -2).
4) b.
12. CONSIDERAÇÕES
Nesta primeira unidade, conhecemos um pouco da origem 
do sistema cartesiano de eixos e seus principais fundamentadores. 
Estudamos a representação de pontos no sistema cartesiano e a 
determinação da distância entre dois pontos quaisquer do plano. 
Aprendemos a identificar as coordenadas do ponto médio de um 
segmento. Por fim, recordamos o conceito de coeficiente angular 
de uma reta e sua utilização para determinar a equação das retas.
As cônicas serão o tema da Unidade 2. As seções cônicas pos-
suem diversas aplicações na construção civil, no desenvolvimento 
de tecnologias, entre outros. Esse também é um assunto essencial 
para você, licenciando, que poderá deparar-se com tal conteúdo 
nas aulas do Ensino Médio.
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47© U1 – Revisão da Geometria Analítica Plana
13. e-referênCias
DECON, M. J. Concepção de um ambiente hipermídia para a aprendizagem da Geometria 
Analítica. Florianópolis: UFSC, 2000. (Dissertação de Mestrado). Disponível em: <www.
dominiopublico.gov.br/download/texto/me001384.pdf>. Acesso em: 1 abr. 2013.
NOÉ, M. Plano cartesiano. Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/
plano-cartesiano.htm>. Acesso em: 1 abr. 2013.
14. REFERÊNCIAS BIBlIOGRÁFICAS
BERLINGHOFF, W.; GOUVêA, F. Q. A Matemática através dos tempos: um guia fácil e 
prático para professores e entusiastas. Trad. Elza Gomide e Helena Castro. São Paulo: 
Edgard Blücher, 2008.
SIMMONS, G. F. Cálculo com Geometria Analítica. Trad. Seiji Hariki. Revisão téc. Rodney 
Carlos Bassanezi e Silvio de Alencastro Pregnolatto. São Paulo: Pearson Makron Books, 
1987. v. 1.