Aula 11 - Equa+º+úo do 1-¦ grau - Papirando

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ÁLGEBRA 
EQUAÇÃO DO 1º GRAU 
/mestreviana /canalmestreviana 
 
SENTENÇAS MATEMÁTICAS 
 
Sentença fechada 
É aquela que pode ser classificada em 
verdadeira ou falsa. 
Exemplos: 
a) 5 + 2 < 1 + 4 → é uma sentença fechada 
e falsa. 
b) A capital do Brasil é Brasília. → é uma 
sentença fechada e verdadeira. 
 
Variável ou incógnita 
É um símbolo que substitui um elemento 
não conhecido em uma expressão. 
Exemplos: 
 
As letras x, y, t, z... representam qualquer 
número, sendo chamadas de variáveis ou 
incógnitas. 
 
Sentença aberta 
É aquela que não pode ser classificada em 
verdadeira ou falsa. 
Exemplos: 
a) 3x + 4 = 1 → é sentença aberta, pois 
dependemos do valor de x para classificá-
la em verdadeira ou falsa. 
b) x + 3 > 4 → é sentença aberta, pelo 
mesmo motivo anterior 
 
EQUAÇÃO DO 1° GRAU COM 
UMA INCÓGNITA 
É uma sentença aberta, relacionada pelo 
sinal de igual, composta por termos 
algébricos cujas partes literais têm todas a 
mesma variável, elevada a expoentes 
0(zero) ou 1. 
Exemplos: 
a) 4x – 5 = 3 
b) 
7 3 1
x
5 2 4
  
 
Toda equação tem dois membros, um antes 
e outro depois do sinal de igualdade. Cada 
membro é constituído de termos. Os 
números que multiplicam as variáveis são 
chamados de coeficientes, e os números 
que não estão associados a variáveis são 
ditos termos independentes. 
Exemplos: 
Seja a equação: 3x + 5 = 4x – 8, temos: 
 
1° membro → 3x + 5 
2° membro → 4x – 8 
termos → 3x; 5; 4x e – 8 
coeficientes → 3 e 4 
termos independentes → 5 e – 8 
 
CONJUNTO UNIVERSO E 
CONJUNTO-VERDADE OU 
CONJUNTO-SOLUÇÃO 
Conjunto Universo de uma equação é o 
conjunto do qual são escolhidos os valores 
a serem atribuídos à variável 
Linguagem 
Corrente 
 
Linguagem 
Simbólica 
Um número mais dois → x +2 
O dobro de um número → 2x 
A metade de um número → 
y
2
 
O triplo de um número, 
mais um 
→ 3z + 1 
O triplo de um número 
mais um 
→ 3(t + 1) 
 
 
ÁLGEBRA 
EQUAÇÃO DO 1º GRAU 
/mestreviana /canalmestreviana 
É representado pelo símbolo U. 
Quando não for citado o conjunto universo, 
devemos considera-lo máximo, ou seja 
U = R. 
 
Conjunto-verdade ou conjunto-solução de 
uma equação é formado pelos elementos 
do conjunto universo que tornam a 
sentença verdadeira. 
 
Podemos representar o conjunto-verdade 
ou solução pelas letras V ou S, 
respectivamente. 
Exemplo: 
Sendo U = N, a equação x – 3 = 4, tem 
S = {7}. 
 
Observações: 
1) Resolver uma equação é obter o seu 
conjunto-solução. 
2) O elemento no conjunto-solução é 
chamado de raiz, solução ou zero da 
equação. 
3) Equações equivalentes são aquelas que 
apresentam o mesmo conjunto universo e 
o mesmo conjunto-solução. 
Exemplo: 
Considerando U = Z, as equações 
x + 1 = 2, cujo conjunto-solução é S = {1}, 
e 
2x + 2 = 4, cujo conjunto-solução é S = {1}, 
verificamos que elas são equivalentes. 
RESOLUÇÃO DE UMA 
EQUAÇÃO DO 1° GRAU 
O objetivo nesse caso, é obter a raiz, o que 
é conseguido isolando-se a variável em um 
dos membros, lembrando algumas regras 
básicas: 
I) Qualquer termo ao ser transposto para 
outro membro tem o seu sinal trocado. Se 
for positivo, torna-se negativo e vice-versa. 
II) Isolada a variável em um dos membros, 
seu coeficiente deve ser levado para o 
outro membro fazendo a operação inversa 
da que ele fazia em relação à variável, ou 
seja, a divisão. 
III) No caso de haver fração, devemos tirar 
o MMC dos denominadores, o qual poderá 
ser abandonado, desde que ele seja tirado 
de ambos os membros. 
Exemplos: 
Seja resolver, com U = Q, as equações: 
a) x + 5 = 8 
Resolução: 
x = 8 – 5 
x = 3, logo S = {3} 
 
b) 2x – 3 = 5 
Resolução: 
2x = 5 + 3 
2x = 8 
8
x
2
 
x = 4, logo S = {4} 
 
c) – 4x + 1 = 6 
Resolução: 
– 4x = 6 – 1 
– 4x = 5 x(=1) 
4x = – 5 
5 5
x , logo S
4 4
  
    
  
 
 
 
 
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d) 3x + 1 = 2x – 5 
Resolução: 
3x – 2x = – 5 – 1 
x = – 6, logo S = {– 6} 
 
e) 
x 3x
4 1
2 5
   
Resolução: 
MMC = 10 
x 4 3x 1
2 1 5 1
5 10 102
   
5x + 40 = 6x – 10 
5x – 6x = – 10 – 40 
– x = – 50 
x = 50, logo S = {50} 
 
O NÚMERO 0 (ZERO) E AS 
FRAÇÕES 
Um fator complicador para a determinação 
do valor de uma fração é quando um ou 
ambos os seus termos são iguais a zero. 
Vamos agora buscar uma solução definitiva 
para a eliminação dessa dificuldade. Basta 
para isto, que lembremos as próprias 
definições de fração e divisão. Por exemplo, 
o que representa a fração 
6
3
? Significa a 
divisão do número 6 pelo número 3. E o 
que significa dividir 6 por 3? É obviamente 
descobrir um número que multiplicado por 
3 dê 6. E que número é este? Ora bolas, é o 
número 2! Pois bem, vamos utilizar este 
raciocínio simples para o bom 
entendimento dos três casos 
"problemáticos" com os quais deparamos 
quando o número zero é termo de uma 
fração. 
1° caso: Apenas o numerador vale zero 
A fração é do tipo 
0
n
 com n 0 . Assim, 
devemos dividir 0 por n, ou seja, descobrir 
um número que multiplicado por n dê 0. 
Que número é esse? Zero é claro. Então, 
toda a fração cujo numerador é zero, e o 
denominador diferente de zero, vale zero. 
Exemplo: 
0
0
3
 
 
2° caso: Apenas o denominador vale 
zero 
Neste caso a fração é do tipo 
n
0
 com n 0 . 
Portanto, devemos dividir n por 0. O que 
significa descobrir um número que 
multiplicado por 0 dê resultado n 0 . Isto 
é impossível! Logo, toda fração cujo 
denominador é zero e o numerador é 
diferente de zero, é impossível de ser 
calculada. 
Exemplo: 
7
 é impossível
0
 
 
3° caso: Numerador e denominador 
são iguais a zero 
Desta feita a fração é 
0
0
. Daí devemos 
dividir 0 por 0. Assim sendo, procuramos 
um número que multiplicado por 0 dê o 
resultado 0. Com isto, concluímos que 
qualquer número serve, e tal fração tem 
infinitos valores, é indeterminada. Então, 
toda fração, com numerador e 
denominador iguais a zero tem valor 
indeterminado. 
 
 
 
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DISCUSSÃO DAS SOLUÇÕES 
DE UMA EQUAÇÃO DO 1° 
GRAU 
Discutir uma equação do 1° grau, é prever 
o tipo de raiz a ser obtida em função dos 
seus coeficientes. 
Seja discutir a equação abaixo: 
ax + b = 0 
Vamos resolvê-la 
ax = – b 
b
x
a
  
 
Como o valor de x é uma fração, podemos 
nos reportar às conclusões anteriores, nas 
quais verificamos que uma fração cujo 
denominador é zero não tem valor 
definido, ou é impossível ou é 
indeterminada. Daí, temos três casos a 
considerar: 
1° caso: 
a 0 → Equação possível e determinada 
A equação é compatível (possível) e possui 
uma única solução (determinada) 
b
S
a
  
  
  
 
 
2° caso: 
a = 0 e b 0 → Equação Impossível 
A equação é incompatível (impossível) e, 
portanto, não tem solução. 
S   
 
3° caso: 
a = 0 e b = 0 → Equação possível e 
indeterminada 
A equação é compatível (possível) e possui 
infinitas soluções (indeterminada). 
S = U 
 
O conjunto-solução é qualquer elemento 
do conjunto universo que estiver sendo 
utilizado. 
Exemplos: 
a) Discutir as soluções, em IR da equação 
 m 1 x n 3 0     
Resolução: 
Em primeiro lugar vamos resolvê-la: 
 
 
m 1 x n 3 0
m 1 x n 3
    
   
 
a m 1n 3
x
b n 3m 1
   
  
  
 
 
1ª Hipótese: a 0 
m 1 0
m 1
 

 
 
Se m 1 e n R , a equação é possível e 
determinada 
 
2ª Hipótese: a = 0 e b 0 
m + 1 = 0 e n 3 0  
m = – 1 e n 3 
 
Se m = – 1 e n 3 , a equação é impossível. 
 
3ª Hipótese: a = 0 e b = 0 
m + 1 = 0 e n – 3 = 0 
m = – 1 e n = 3 
 
Se m = – 1 e n = 3, a equação é possível e 
indeterminada. 
 
b) Determine os valores de k e y de modo 
que seja impossível a equação 
 5 y x k 1 0     
 
 
 
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Resolução: 
 
 
5 y x k 1 0
5 y x k 1
    
    
 
a 5 yk 1
x
b k 15 y
    
  
   
 
Para que a equação seja impossível, 
devemos ter: a = 0e b 0 
5 – y = 0 e k 1 0   
y = 5 e k 1 
 
EQUAÇÕES FRACIONÁRIAS 
Equação fracionária é aquela que possui 
variável no denominador. Muitas questões 
utilizadas em concursos sobre equações 
fracionárias recaem em equações do 2° 
grau. Neste capítulo iremos mostrar a 
resolução passo a passo, no entanto, as 
equações que recaírem em equações do 
grau 2, serão apresentadas sob a forma de 
exercícios no capítulo “Equações do 2° 
grau”, já que o processo resolutório é 
similar ao que ora apresentaremos. 
Exemplos ilustrativos: 
Resolver as equações que se seguem: 
a) 
2x x 3
3
x 1 x 6

 
 
 
Resolução: 
1° Passo: Fatorar os denominadores. Note 
que, neste caso, os denominadores estão 
fatorados. 
2° Passo: Calcular o MMC dos 
denominadores. 
     MMC x 1, x 6 x 1 x 6       
3° Passo: Estabelecer as chamadas 
RESTRIÇÕES, já que não podemos correr o 
risco de estarmos trabalhando com uma 
fração de denominador zero. Por isto, 
devemos excluir as raízes dos 
denominadores, que são as mesmas do 
MMC, dos possíveis valores de x, já que elas 
tornam tais denominadores iguais a zero. 
Restrições: 
x 1 0 x 1
x 6 0 x 6
    

   
 
 
4° Passo: Como as restrições garantem que 
os denominadores são diferentes de zero, 
podemos então eliminá-los, resolvendo a 
equação obtida. 
   
2x x 3 3
x 1 x 6 1
x 6 x 1 x 1 x 6

 
 
    
 
2x(x – 6) + (x + 3)·(x + 1) = 3· (x+ 1) · (x 
– 6) 
2x² – 12x + x² + x + 3x + 3 = 
= 3x² – 18x + 3x – 18 
3x² – 8x + 3 = 3x² – 15x – 18 
7x = – 21 
x = – 3 
 
Como este valor não contraria nenhuma 
restrição, temos que: S = {– 3} 
 
b) 
2 5 23
6 3x 6x 30 3x² 9x 30
  
   
 
 
1° Passo: Fatorar os denominadores. 
6 – 3x = 3·(2 – x) = – 3·(x – 2) 
6x + 30 = 6 – (x + 5) 
3x² + 9x – 30 = 3·(x² + 3x – 10) = 
= 3·(x – 2)·(x + 5) 
 
2° Passo: MMC dos denominadores. 
MMC [– 3·(x – 2); 6·(x + 5): 3·(x – 2)· 
· (x + 5)] = – 6·(x – 2)·(x+ 5) 
 
 
 
 
 
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3° Passo: 
Restrições
x 2 0 x 2
x 5 0 x 5
    

   
 
 
4° Passo: Abandonar denominadores. 
 
 
 
 
   
2 5
3 x 2 6 x 5
2 x 5 x 2
3
3 x 2 x 5
2
 
    
   

   

 
2·2·(x + 5) – 5·[ – (x – 2)] = – 23·( – 2) 
4x + 20 + 5x – 10 = 46 
9x = 46 – 20 + 10 
9x = 36 
x = 4 (não contraria as restrições) 
S = {4} 
 
 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 
1) Resolver em Z, as equações: 
a) x + 3 = – 5 
b) 2x – 3 = 7 
c) – x + 2 = 2x – 4 
d) 
x 2x 1
1
2 3 3
  
 
e) 4x + 1 = x – 3 
 
2) Resolva as equações em Q: 
a) 3 + 2·(x – 1) = – x + 10 
b) 5 – {x – 3·[1 – 4·(x – 3)] + 2} = 1 – x 
c) 2·(x – 4) = 3 – 2·(5 – x) 
d) 3·(5 – x) – x·(– 2 – 3 + 6) = – x – 3·(x 
– 5) 
e) 
1 x x 2 x 8
5 x
7 5 4
  
   
 
f) 
 
4 x
3x 1 2 2x 3 x 3
2

      
 
 
3) Resolvendo 3x – 4(x – 2) = 8, 
encontramos para x o valor: 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
 
4) A raiz da equação 
9x 7 x 2
x 36
2 7
  
    
 
 por: 
a) 2 
b) 3 
c) 5 
d) 7 
 
5) Resolver em R as equações fracionárias 
a) 
2 3 18
x 2 x 2 x² 4
 
   
b) 
6 x 3
3
x 2x

  
 
6) (CN) A solução real da equação 
7 8 9
x 1 x 1 x² 1
 
  
 é um divisor de 
a) 12 
b) 14 
c) 15 
d) 16 
e) 19 
 
 
 
 
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GABARITO 
1. c) S = Q 
a) S = {– 8} d) S = {8} 
b) S = {5} e) S = {4} 
c) S = {2} 3. A 
d) S = {8} 4. B 
e) S = Ø 5. 
2. a) S = {4} 
a) S = {3} b) S = {3} 
b) 
41
S
12
  
  
  
 6. A 
c) S = Ø