Aula 12 - Problemas do 2-¦ grau - Papirando

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ÁLGEBRA 
PROBLEMAS DO 2º GRAU 
/mestreviana /canalmestreviana 
 
Neste capitulo vamos estudar como 
equacionar e resolver problemas que 
recaiam em equações do grau 2. Para isso 
vamos nos valer de uma série de exemplos 
para ilustrar os métodos de resolução. 
Exemplos ilustrativos: 
1) Determine os valores de dois números 
pares positivos consecutivos cujo produto 
vale 168. 
Resolução: 
Como os números desejados são pares 
consecutivos, então diferem de duas 
unidades. 
Números: x e x + 2 
Vamos equacionar e resolver o problema. 
Produto = 168 
 x x 2 168   
x² 2x 168  
x² 2x 168 0   
 2 2² 4 1 168 2 4 672
x
2 1 2
        
 

 
2 676 2 26
x
2 2
   
  
x 12 ou x 14  
 
Os números pedidos são positivos, logo: x 
= 12 e x + 2 = 14. 
Estes são os números desejados. 
 
2) A medida, em cm², da área de um 
quadrado excede em 21 unidades a 
medida, em cm, de seu perímetro. Quanto 
mede cada lado desse quadrado? 
Resolução: 
Neste problema, a incógnita é o lado. Então: 
Lado = x 
A área de um quadrado é igual ao quadrado 
de seu lado. Logo: 
Área = x² 
Como os quatro lados do quadrado são 
congruentes, seu perímetro, que é a soma 
dos lados, equivale ao quádruplo de um dos 
lados. Dai: 
Perímetro: 4x 
Como no enunciado é dito que a área 
excede, ou seja, tem a mais 21 unidades que 
o perímetro, vamos montar a equação e em 
seguida resolvê-la. 
Área = Perímetro + 21 
x² 4x 21  
x² 4x 21 0   
     4 4 ² 4 1 21 4 16 84
x
2 1 2
         
 

 
4 100 4 10
x
2 2
 
  
x 7 ou x 3  
 
Como o lado de um quadrado não pode ser 
negativo, temos que: 
Lado = 7 cm 
 
3) A diferença entre um número e o seu 
inverso é 712 . Calcule esse número. 
Resolução: 
Número desejado = x 
Inverso do número = 
1
x
 
Diferença: 
7
12
 
x 1 7
1 x 12
12x 12 x
  
12x² 12 7x  
12x² 7x 12 0   
 
 
ÁLGEBRA 
PROBLEMAS DO 2º GRAU 
/mestreviana /canalmestreviana 
     7 7 ² 4 12 12
x
2 12
       


 
7 49 576
x
24
 
 
7 625 7 25
x
24 24
 
  
7 25 32 4
x
24 24 3

   
ou 
7 25 18 3
x
24 24 4

     
 
Como não foi citado o sinal do número, 
ambos os números, 
4
3
 e 
3
4
 , servem como 
resposta. 
 
4) Daqui a 24 anos a minha idade será o 
quadrado da idade que eu tinha há 18 anos 
atrás. Qual é a minha idade hoje? 
Resolução: 
Idade atual = x 
Idade daqui a 24 anos = x + 24 
Idade há 18 anos = x – 18 
 
Equacionando: 
x + 24 = (x – 18)² 
x + 24 = x² – 36x + 324 
x + 24 – x² + 36x – 324 = 0 
– x² + 37x – 300 = 0 
 
Multiplicando-se ambos os membros por – 
1: 
x² 37x 300 0   
   37 37 ² 4 1 300
x
2 1
      


 
37 1369 1200
x
2
 
 
37 169 37 13
x
2 2
 
  
x 25 ou x 12 
O valor 12 deve ser descartado, pois há 18 
anos atrás eu teria idade negativa! Então, 
minha idade é 25 anos. 
 
5) Um grupo de amigos fretou um ônibus 
para realizar uma excursão, pagando um 
total de $ 810,00. Este valor deveria ser 
rateado em partes iguais entre todos os 
integrantes do grupo. Invocando a sua 
condição de "fragilidade", as doze meninas 
do grupo foram dispensadas do pagamento 
de suas respectivas cotas, o que fez com 
que cada menino desembolsasse mais $ 
18,00. De quantas pessoas era composto 
esse grupo? 
Resolução: 
Total de pessoas = x 
Valor que cada um pagaria =
810
x
 
Número de meninas = 12 
Número de meninos = x – 12 
Valor que cada menino pagou =
810
x 12
 
Vamos equacionar o problema: 
Valor que cada menino pagou = valor que 
cada menino pagaria + 18. 
810 810
18
x 12 x
 

 
MMC dos denominadores =  x x 12  
 
810 810 18
x 12 x 1
x x 12 x x 12
 

  
 
   810 x 810 x 12 18 x x 12        
 
 
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PROBLEMAS DO 2º GRAU 
/mestreviana /canalmestreviana 
Vamos dividir todos os termos por 18 para 
facilitar. 
   45x 45 x 12 x x 12      
45x 45x 540 x² 12x    
x² 12x 540 0    
x² 12x 540 0   
     12 12 ² 4 1 540
x
2 1
       


 
12 144 2160
x
2
 
 
12 2304 12 48
x
2 2
 
  
x 30 ou x 18  
 
É óbvio que devemos descartar a opção 
negativa. Portanto havia 30 pessoas neste 
grupo. 
 
 
 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 
1) O produto de dois números é 44 e a 
soma é 15. O menor deles é: 
a) Múltiplo de 3 
b) Múltiplo de 4 
c) Múltiplo de 5 
d) Múltiplo de 6 
e) Múltiplo de 7 
 
2) Um número natural é o dobro do outro 
e a diferença entre seus quadrados é 108. A 
soma desses números vale: 
a) 15 
b) 16 
c) 17 
d) 18 
e) 19 
 
3) A soma dos quadrados de dois números 
é 10 e um deles é a terça parte do outro. A 
diferença entre eles vale: 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
 
4) Encontre dois números naturais pares 
consecutivos cujo produto seja igual a 48. 
5) Qual é o número cujo quadrado, 
acrescido do triplo de seu simétrico é igual 
a 40 unidades? 
6) As dimensões de um retângulo diferem 
de uma unidade. Determine-as, sabendo 
que a área do retângulo mede 12m². 
7) A soma dos três quocientes das divisões 
do produto de três números naturais 
ímpares consecutivos por eles mesmos é 
239. Calcule-os. 
8) A diferença entre dois números 
positivos é igual a 3 e a diferença dos seus 
quadrados é 33. Calcule esses números. 
9) A soma de um número natural com seu 
respectivo quadrado é igual a 12. Calcule 
esse número. 
10) Calcule dois números ímpares 
positivos consecutivos, tais que o produto 
deles vale 15. 
 
 
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PROBLEMAS DO 2º GRAU 
/mestreviana /canalmestreviana 
11) Três números positivos e 
consecutivos são tais que o quadrado do 
maior é igual ao quádruplo da soma dos 
outros dois. Determine-os. 
12) Um número natural é tal que o seu 
quadrado, acrescido do dobro de seu 
simétrico dá 15. Determine-o 
13) A soma de um número natural com 
seu inverso é igual a 
17
4 . Determine-o 
14) Um número natural somado com o seu 
inverso é igual ao seu dobro. Este número 
é: 
a) Primo 
b) Ímpar 
c) Múltiplo de 3 
d) Múltiplo de 5 
 
15) O produto de dois números positivos 
vale 30. Aumentando-se um dos fatores de 
2 unidades, e diminuindo-se o outro de 3 
unidades, o produto diminui de 14 
unidades. Quais são esses números? 
16) A soma das idades de um pai e um 
filho é 52 anos. Dentro de dois anos, a idade 
do pai será o quadrado da idade do filho. 
Calcule as idades atuais. 
17) Daqui a três anos, a idade de um 
menino será o quadrado da idade que ele 
tinha há três anos atrás. A idade desse 
menino não é um múltiplo de: 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 6 
 
 
18) Um menino plantou 600 bananeiras 
em linhas e colunas. O número de plantas 
de cada coluna é 10 menos que o dobro do 
número de plantas em cada linha. Quantas 
plantas há em cada linha? 
19) Duas torneiras enchem, juntas um 
reservatório em duas horas, sendo que 
uma leva três horas a mais que a outra para 
enchê-lo sozinha. Então, o tempo que uma 
delas levará para encher sozinha o 
reservatório é: 
a) 4h 
b) 5h 
c) 6h 
d) 7h 
e) 8h 
 
20) Duas torneiras podem encher um 
tanque isoladamente em tempos que 
diferem de 18 minutos. Se, no entanto, o 
tanque estiver vazio e as duas torneiras 
forem abertas, ele demorará 12 minutos 
para encher totalmente. Quanto tempo 
cada torneira leva para encher 
separadamente esse tanque? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÁLGEBRA 
PROBLEMAS DO 2º GRAU 
/mestreviana /canalmestreviana 
 
 
GABARITO 
1. B 11. 4; 5 e 6 
2. D 12. 5 
3. B 13. 4 
4. 6 e 8 14. B 
5. – 5 ou 8 15. 6 e 5 
6. 4 m e 3 m 16. 47 e 5 
7. 7; 9 e 11 17. C 
8. 7 e 4 18. 20 
9. 3 19. C 
10. 3 e 5 20. 36 min e 18 min