Conjuntos - Papirando

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ÁLGEBRA 
CONJUNTOS 
/mestreviana /canalmestreviana 
 
CONCEITUAÇÃO 
 
O conceito de conjunto é um dos mais 
fundamentais em toda a Matemática e tal 
como ponto, reta e plano não tem definição. 
Sua percepção é intuitiva. Os componentes 
de um conjunto são chamados de 
elementos. É importante saber a 
simbologia utilizada no tratamento de 
conjuntos. Dentre os principais símbolos 
podemos destacar: 
 
A, B, C, ...→ letras maiúsculas indicam 
conjuntos 
a, b, c, ... → letras minúsculas indicam 
elementos 
| → tal que 
 → existe 
 → existe um único 
 → não existe 
→ para todo, qualquer que seja 
→ 
→ ou 
n(A) → n° de elementos do conjunto A 
 
REPRESENTAÇÃO DE UM 
CONJUNTO 
 
Podemos representar um conjunto 
segundo três formas: 
 
I) Por extensão: 
Os elementos são mostrados 
explicitamente no conjunto, colocados 
entre chaves e separados por virgulas. 
Ex.: A = {0, 1, 4} 
 
II) Por compreensão 
Os elementos são dados de forma implícita 
por intermédio de uma propriedade 
característica dos elementos do conjunto. 
Ex.: A = {x|x é vogal} 
 
III) Por diagramas 
Utilizam-se linhas fechadas não 
entrecruzadas em cujo interior são 
dispostos os elementos do conjunto. 
Quando a linha utilizada é um círculo, 
estamos diante de um diagrama de VENN. 
 
Ex.: 
 
 
Observações: 
1) Os elementos repetidos de um conjunto 
são contados uma única vez. Assim sendo, 
não é aconselhável a repetição de 
elementos, o que seria de todo supérfluo. 
Ex.: Sendo A = {1, 1, 2, 2, 3, 3}, B = 
{1, 2, 2, 2, 3} e C = {1, 2, 3}, temos que n(A) 
= n(B) = n(C) = 3. 
 
2) A ordem em que os elementos aparecem 
no conjunto é irrelevante. Logo, dois 
conjuntos que apresentam os mesmos 
elementos, em qualquer ordem, são iguais. 
Ex.: Se A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 1}, 
então A = B 
 
 
 
 
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CONJUNTOS 
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CONJUNTOS IMPORTANTES 
I) Conjunto vazio 
É aquele que não possui elementos. É 
representado por {} ou Ø. 
Ex.: A = {y|y é estado brasileiro 
iniciado pela letra y) = Ø 
 
II) Conjunto unitário 
É aquele que apresenta um único elemento. 
Ex.: A = {2} → lê-se: "conjunto 
unitário 2". 
 
III) Conjunto universo 
É o conjunto de onde são retiradas as 
soluções de determinado problema. É 
representado pelo símbolo U. 
 
RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA 
A relação de pertinência é utilizada 
somente entre ELEMENTO e CONJUNTO. 
Os símbolos usados são: 
 
 → pertence a 
 
 → não pertence a 
 
Exemplos: 
Dado o conjunto A = {a, b, c, d}, podemos 
afirmar que: 
a A 
c A 
e A 
g A 
 
Observação: 
Todo conjunto pode ser elemento de um 
outro conjunto, conjunto este chamado de 
FAMÍLIA DE CONJUNTOS. 
 
 
Exemplo: 
a) O conjunto {1, 2} é elemento do conjunto 
A = {{1, 2}, 3, 4}. Assim, {1,2}  A. 
b) O conjunto X = {1, {2}, {3, 5}} possui três 
elementos que são 1, {2} e {3, 5}. 
 
RELAÇÃO DE INCLUSÃO 
Para o relacionamento entre dois 
conjuntos, utiliza-se a inclusão, que é 
regida pelos seguintes símbolos: 
 
 → está contido em 
 → não está contido em 
 → contém 
 → não contem 
 
Exemplos: 
{1,2} {1,2,3}
{0,1,2,3,4} {1}


 
 
Observações: 
a) O conjunto vazio está contido em 
qualquer conjunto. 
Ex.: Ø {1,2} 
b) Todo conjunto está contido e contém ele 
mesmo. 
Ex.: {2,5} {2,5} {2,5} {2,5}   
c) Chamamos de SUBCONJUNTO de um 
conjunto, todo conjunto nele contido. 
Como o conjunto vazio está contido em 
qualquer conjunto, ele é subconjunto de 
qualquer conjunto. 
 
Importante 
Se um conjunto tem n elementos, então 
terá n2 subconjuntos. 
 
 
 
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Ex.: Dado o conjunto A = {1,2,3}, 
temos que n(A) = 3, logo terá 
n 32 2 8  subconjuntos, quais sejam: 
Ø, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} e {1, 2, 3} 
 
CONJUNTOS NUMÉRICOS 
I) Conjunto dos números naturais (IN) 
IN = {0, 1, 2, ........} 
II) Conjunto dos números inteiros (Z) 
Z= {......., - 2, - 1,0,1,2.........} 
Observação: 
A letra Z foi escolhida para representar o 
conjunto dos números inteiros pois inicia a 
palavra ZAHL que, em alemão, significa 
número. 
 
III) Conjunto dos números racionais 
(Q) 
p
Q x | x ,p q Z q 0
q
  
      
  
 
Observação: 
Cabe ressaltar que o conjunto Q é formado 
por todos os números que podem ser 
expressos sob forma fracionária de 
numerador e denominador inteiros e este 
não nulo. Nesse conjunto figuram as 
frações ordinárias, os números decimais 
exatos, as dízimas periódicas e os números 
inteiros. 
Ex.: 
2
3
; - 0,78; 4,333...; - 11; 
43
10
; 0; 
0,8 
 
IV) Conjunto dos números irracionais 
(I) 
p
I x | x ,p q Z q 0
q
  
      
  
 
Observação: 
No conjunto aparecem todos os números 
que não pertencem ao conjunto Q, tais 
como as raízes inexatas e as dízimas não 
periódicas. 
Ex.: 2 ; 19 ;  ; 4,913762104... 
 
V) Conjunto dos números reais (R) 
 R x | x Q x I    
Observação: 
O conjunto R é formado pelos números 
racionais e irracionais. 
 
A RETA REAL 
Os conjuntos N, dos números naturais, e Z, 
dos números inteiros, são infinitos, porém 
enumeráveis. Isso significa que dado um 
elemento x de qualquer um desses 
conjuntos podemos identificar o seu 
sucessor, que seria o menor elemento do 
conjunto que é maior do que x . Assim, por 
exemplo, o sucessor do número 2, nos 
conjuntos N e Z, é o número 3, cujo 
sucessor é o número 4, cujo sucessor é o 
número 5, e assim por diante. Note que 
poderíamos determinar os sucessores 
infinitamente, pois, como citamos 
anteriormente, esses conjuntos (N e Z), 
apesar de infinitos são enumeráveis. 
Consideremos agora o conjunto R, dos 
números reais. Lembre-se que, nesse 
conjunto, encontram-se todos os números 
racionais e irracionais. Você poderia 
identificar o sucessor real do número 2? Se 
você disser que é o 3, eu posso dizer, por 
exemplo, que é o 2,1. Você pode dizer que é 
o 2,01, e eu posso dizer que é o 2,001. Ou 
seria o 2,0001? Ou o número 2,00001? 
Certo é que a cada número citado como 
postulante sucessor do número 2, existe 
 
 
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um outro mais "próximo" do 2. Isto ocorre 
porque o conjunto dos números reais é 
infinito e não enumerável, haja vista que 
entre dois números reais quaisquer existe 
um outro número real. Devido à 
necessidade de uma representação gráfica 
para a melhor visualização dos elementos 
do conjunto R, buscou-se um elemento 
geométrico que possuísse características 
análogas a ele. Escolheu-se a reta como 
modelo para representar os números reais, 
pois, além de ser formada por infinitos 
pontos, é impossível identificar o sucessor 
de cada um deles, visto 
que entre dois pontos quaisquer de uma 
reta há sempre um terceiro, fato 
semelhante ao que ocorre com os números 
reais. A reta utilizada, nesse caso, é 
chamada de RETA NUMERADA A ou RETA 
REAL. A reta real é orientada, pois 
estabelece-se um ponto como origem, 
associado ao número 0 (zero) e faz-se uma 
convenção de sinais: os pontos situados à 
direita do ponto origem estão associados 
aos números positivos e os situados à 
esquerda estão associados aos números 
negativos. Os números devem ser 
marcados em ordem crescente da 
esquerda para a direita, através de uma 
correspondência biunívoca, em que a cada 
número real está associado um único ponto 
da reta e vice-versa. Na figura a seguir, 
mostramos a reta numerada e alguns 
elementos do conjunto R. 
 
 
VI) Conjunto dos números complexos 
ou imaginários (C) 
 C x | x a bi,a b R,i 1       
Nota: 
O conjunto C dos números complexos é o 
conjunto mais abrangente de todos. Será 
objeto de estudo no ensino médio. 
 
Observações: 
1) A exclusão do ZERO de um conjunto 
deve ser feita usando-se um ASTERISCO 
(*). 
Ex.: 
IN* = {1, 2, 3......} 
Z* = {..., - 2, - 1, 1, 2, ...} 
 
II) A exclusão dos NÚMEROS NEGATIVOS 
deve ser feita usando-se um SINAL 
POSITIVO (+). 
Ex.: 
Z = {0, 1, 2, 3,...} → inteiros não negativos. 
 
III)A exclusão dos NÚMEROS POSITIVOS 
deve ser feita usando-se um SINAL 
NEGATIVO (-). 
Ex.: 
Z = {..., - 3, - 2, - 1, 0} → inteiros não 
positivos. 
 
OPERAÇÕES COM 
CONJUNTOS 
 
1) União 
A união de dois conjuntos é o conjunto 
formado pelos elementos que pertencem a 
um ou ao outro conjunto. 
 A B x | x A x B     
 
Nos diagramas de VENN abaixo, A B é 
representado pela região sombreada. 
 
 
 
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1° Caso: Os conjuntos possuem ao menos 
um elemento comum. 
 
Ex.: A = {1,2,3} e B = {2,3,4,5,7} → 
A B = {1,2,3,4,5,7} 
 
2° Caso: Os conjuntos não possuem 
elementos comuns. 
 
Ex.: A {0,2,3} e B {1,4,5,6} → A B
= {0,1,2,3,4,5,6} 
 
3° Caso: O conjunto A está contido no 
conjunto B. 
 
 
Ex.: A = {1,2} e B = {0,1,2,3,4} → 
A B = {0,1,2,3,4} 
 
4° Caso: O conjunto B está contido no 
conjunto A. 
 
Ex.: A= {1,2,3,5,7} e B = {2,7} → 
A B = {1,2,3,5,7} 
 
Propriedades 
1) A A A  
2) A A  
3) A B B A   
4)    A B C A B C     
 
2) Interseção 
A interseção de dois conjuntos é o conjunto 
formado pelos elementos que pertencem a 
ambos simultaneamente. 
 A B x | x A x B     
Nos diagramas de VENN abaixo, A B é 
representado 
pela região sombreada. 
 
1° Caso: Os conjuntos possuem ao menos 
um elemento comum. 
 
Ex.: A = {0, 1, 2} e B = {1, 3, 4} → 
A B = {1} 
 
2° Caso: Os conjuntos não possuem 
elementos comuns. 
 
 
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Ex.: A = {0,2} e B = {3,4,7} → 
A B   
 
Observação: 
Dois conjuntos que não possuem 
elementos comuns são chamados de 
CONJUNTOS DISJUNTOS. Portanto, se M e N 
são dois conjuntos disjuntos, teremos: 
M N   
 
3° Caso: O conjunto A está contido no 
conjunto B. 
 
Ex.: A = {0, 1} e B = {0, 1, 2, 8} → 
 A B 0,1  
Note que, se A B , então A B A  
 
4° Caso: O conjunto B está contido no 
conjunto A. 
 
 
 
Ex.: A = {1, 2, 3, 5} e B = {2,3} → 
 A B 2,3 B   
 
Propriedades 
1) A A A  
2) A    
3) A U A  
4) A B B A   
5)    A B C A B C     
6)      A B C A B A C      
7)      A B C A B A C      
 
3) Diferença 
A diferença entre dois conjuntos é o 
conjunto formado pelos elementos que 
pertencem ao primeiro conjunto e não 
pertencem ao segundo. 
 A B x | x A x B     
Nos diagramas de Venn abaixo, A – B é 
representado pela região sombreada. 
 
1° Caso: Os conjuntos possuem ao menos 
um elemento comum. 
 
Ex.: A = {0, 1, 2, 4} e B = {1, 2, 5} → 
A – B = {0,4} 
 
2° Caso: Os conjuntos são disjuntos. 
 
 
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Ex.: A = {1, 3, 5} e B = {2, 4, 6} → A 
– B = {1,3,5} 
Note que, se A B   então A – B = A 
 
3° Caso: O conjunto A está contido no 
conjunto B. 
 
Ex.: A = {1, 4} e B = {0, 1, 2, 3, 4} → 
A B   
Note que, se A B , então A B   
 
4° Caso: O conjunto B está contido no 
conjunto A. 
 
Ex.: A = {2, 3, 4, 5} e B = {2, 4} → A 
– B = {3, 5} 
 
Propriedades 
1) A A   
2) A A   
3) A B B A A B     
 
4) Complementar 
Se um conjunto A está contido em um 
conjunto B, chamamos de complementar 
de A em B ao conjunto B – A, isto é, o 
conjunto dos elementos de B que não 
pertencem a A. 
A
BC B A  
 
No diagrama de VENN acima, ABC é 
representado pela região sombreada. 
 
Nota: 
A ausência do conjunto inferior no 
complementar indica que este é feito em 
relação ao conjunto universo. 
A A
UC A A' C U A     
 
Ex.: Dados os conjuntos A = {0, 1, 2}, 
B = {0, 1, 2, 3, 4} e C = {2, 3, 5}, se 
considerarmos como universo o conjunto 
U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, temos que: 
a) ABC B A {3,4}   
b) CUC C U C {0,1,4,6}    
c) ACC não está definido, pois A C 
 
Propriedades 
1) AAC   
2) AC A
  
 
5) Diferença simétrica 
A diferença simétrica de dois conjuntos é o 
conjunto formado pelos elementos que 
pertencem a apenas um dos conjuntos. 
 
 
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 A B x | x A B x A B       
ou 
 A B x | x A B x B A       
 
 
No diagrama de Venn acima, 
representamos A B no caso em que A e 
B têm ao menos um elemento comum. 
Diagrame você, leitor, os outros casos e 
constate as propriedades abaixo 
 
Propriedades 
1) A A   
2) A A   
3) A B A B A B     
4) A B A B B A    
 
INTERVALOS REAIS 
Denomina-se intervalo real, a qualquer 
subconjunto dos números reais. Sejam a e 
b números reais, com a < b. Vamos 
destacar todas as hipóteses possíveis. 
 
1) Intervalo aberto 
 
 x R | a x b (a,b) ou ]a,b[    
 
2) Intervalo fechado 
 
 x R | a x b [a,b]    
 
3) Intervalo semiaberto à direita 
 
 x R | a x b [a,b) ou [a,b[    
 
4) Intervalo semiaberto à esquerda 
 
 x R | a x b (a,b] ou ]a,b]    
 
5) Intervalos infinitos 
 
 
 x R | x a (a, ) ou ]a, [     
 
 
 x R | x a [a, ) ou [a, [     
 
 
 x R | x b ( ,b) ou ] ,b[     
 
 
 x R | x b ( ,b] ou ] ,b]     
 
Observação: 
a) Quando um elemento extremo não 
pertence ao conjunto, dizemos que este 
conjunto está ABERTO neste elemento. 
b) Quando um elemento extremo pertence 
ao conjunto, dizemos que este conjunto 
está FECHADO neste elemento. 
c) O símbolo  significa INFINITO. Assim 
 significa um número infinitamente 
 
 
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grande, enquanto que  representa um 
número infinitamente pequeno, e por 
serem inatingíveis, por convenção, estarão 
sempre abertos. 
 
Exemplos: 
 
a) 
 A x R | 2 x 5 (2,5] ]2,5]      
 
b) 
 B x R | x 1 [ 1, ) [ 1, [          
 
 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 
1) Escreva os conjuntos por extensão. 
a) A = {x|x é vogal} 
b) B = {x|x é um número par positivo} 
c) C = {x|x é capital da Bahia} 
d) D = {x|x é um número primo, 
positivo e par} 
e) E = {x|x é cor da bandeira nacional 
iniciada pela letra P} 
 
2) Escreva os conjuntos por compreensão. 
a) A = {norte, sul, leste, oeste} 
b) B = {1, 3, 5, 7} 
c) C = {cabeça, tronco, membros} 
d) D = {1, 2, 3, 4, 6, 12} 
3) Assinale os itens em que encontramos 
números racionais. 
a) 2 
b) – 4 
c) 1,32 
d)  
e) 3,212121... 
f) 4,001761943... 
g) 
3
2 
h) – 1,5 
i) 3,1415926 
 
4) Utilize os símbolos  , ,  ,  ,  ou  
corretamente, em: 
a) 2_____ {1, 2} 
b) 3_____ {1, 2} 
c) _____ {2,3} 
d) {1, 2}_____{1, 2, 3} 
e) {1}_____ {1, 2} 
f) {1,2,3}_____ {1, 3} 
g) ______ { , 1} 
h) {1}______ {{1}, 2, 3} 
i) {0}______ {{0}, 1, 2} 
j) {1, {2}}______ {1, {2}, 3} 
k) {{1, 2}}_____ {{1}, {2}, {1, 2}} 
l) {Ø, {1}}_____ {0, {{1}}, 2} 
m) {0}______ {0, {0}, Ø} 
n) {2, 3}______ {2, 3} 
 
5) Complete com  ou  : 
a) 1____ {1,2} 
b) 1____ {1} 
c) {1,2}____ {1,2,3} 
d) {1}_____ {1,2,3} 
e) {1}_____ {0, {1}} 
f) Ø_____ { Ø,{1}} 
g) {1}_____ {1, {1}} 
 
 
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h) {{{ }}}______ {{{{}}}} 
 
6) Assinale a afirmativa falsa: 
a)  4 x N | 2 x 4    
b)  2 x Z | 2 x 1      
c)  2 x Q | 2 x 2      
d)  
3 8 x Z | 3 x 1     
 
 
7) Se A = {0, {0}, Ø, {Ø}}, assinale a 
afirmativa FALSA. 
a) A 
b) A 
c) {0} A 
d) {0} A 
e) {0, } A  
 
8) Sendo A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 3, 4}, C = 
{1, 4} e D = {0, 2, 5}, calculo: 
a) C D 
b) A B D  
c) A B 
d) C D 
e) B – C 
f) C – A 
g) B – A 
h) D – C 
i) 
B
AC 
j) 
C
BC 
k) 
D
AC 
l) 
C
AC 
m) A B 
n) B C 
o) C D 
p)  A C B  
q)  B D C  
r)    A B B C   
s)    B A D C   
t)    A B C D   
u)    C B D A   
v)    A B C D   
w)    B C C B   
 
9) Sejam os conjuntos A = {a, b, c, d} e B = 
{f, b, d, g}, então A – B é: 
a) {a, g} 
b) {a, f} 
c) {a, d} 
d) {a, c} 
 
10) Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3, 4}, B = 
{2, 4, 6, 8} e C = {3,4,5,6}, determinar 
 A B C  . 
a) {1,4} 
b) {2,6}c) {4,5} 
d) {4} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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GABARITO 
1. e)  
a) A = {a, e, i, o, u} f)  ou  
b) B = {2, 4, 6, 8,...} g)  ou  
c) C = {Salvador} h)  
d) D = {2} 6. A 
e) E = Ø 7. E 
2. 8. 
a) A = {x|x é ponto 
cardeal} 
a) {0, 1, 2, 4, 5} 
b) B = {x|x é ímpar 
positivo menor 
do que 8} 
b) {0, 1, 2, 3, 4, 5} 
c) C = (x|x é parte 
do corpo 
humano} 
c) {1, 3, 4} 
d) D = {x|x é 
divisor positivo 
de 12} 
d) Ø 
3. a; b; c; e; h; i e) {3} 
4. f) Ø 
a)  g) Ø 
b)  h) {0, 2, 5} 
c)  i) {2} 
d)  j) {3} 
e)  k) não está definido 
pois D Ë A 
f)  l) {2, 3} 
g)  ou  m) {2} 
h)  n) {3} 
i)  o) {0, 1, 2, 4, 5} 
j)  p) {1, 3, 4} 
k)  q) {1, 4} 
l)  r) {1, 2, 4} 
m)  ou  s) Ø 
n)  ou  t) {1, 3, 4} 
5. u) Ø 
a)  v) {1, 2, 3, 4} 
b)  w) Ø 
c)  9. D 
d)  10. D