Aula 12 - Equa+º+úo do 2-¦ grau - Papirando

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ÁLGEBRA 
EQUAÇÃO DO 2º GRAU 
/mestreviana /canalmestreviana 
 
Sendo a, b e c números reais e a diferente 
de zero, definimos a equação do 2° grau 
como sendo: 
ax² bx c 0   
Os números reais a, b e c são chamados de 
coeficientes. 
Os valores de x que satisfazem à equação, 
são chamados de raízes ou zeros da 
equação. 
 
CÁLCULO DAS RAÍZES 
As raízes da equação ax² bx c 0   , a, b e 
c pertencentes a R e a 0 , podem ser 
obtidas através da fórmula de Báskara: 
b b² 4ac
x
2a
  
 
Assim sendo, uma das raízes é 
1
b b² 4ac
x
2a
  
 , e a outra é 
 2
b b² 4ac
x
2a
  
 . 
A expressão b² 4ac é chamada de 
DISCRIMINANTE da equação e é 
representado pela letra grega Δ. Assim, 
Δ = b² – 4ac. 
 
DISCUSSÃO DA NATUREZA 
DAS RAÍZES DA EQUAÇÃO DO 
2° GRAU 
Consideremos três exemplos distintos: 
1° exemplo: 
x² – 3x + 2 = 0 
Δ = b² – 4ac 
Δ = (– 3)² – 4 · 1 · 2 
Δ = 1 > 0 
 3 1b 3 1x
2a 2 1 2
     
  

 
 
Duas raízes reais e 
diferentes 
 
 
2° exemplo: 
x² – 6x + 9 = 0 
Δ = b² – 4ac 
Δ = (– 6)² – 4 · 1 · 9 
Δ = 0 
 6 0b 6 0x
2a 2 1 2
     
  

 
 
Duas raízes reais e iguais 
(raiz dupla) 
 
 
3° exemplo: 
x² – x + 4 = 0 
Δ = b² – 4ac 
Δ = (– 1)² – 4 · 1 · 4 
Δ = – 15 < 0 
 1 15bx R
2a 2 1
     
  

 
Duas raízes complexas 
Conclusão: 
Δ > 0 → duas raízes reais e diferentes 
Δ = 0 → duas raízes reais e iguais 
Δ  0 → duas raízes reais 
Δ < 0 → duas raízes complexas 
1
2
3 1
x 2
2
3 1
x 1
2

 

 
1
2
6 0
x 3
2
6 0
x 3
2

 

 
 
 
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EQUAÇÃO DO 2º GRAU 
/mestreviana /canalmestreviana 
RELAÇÕES ENTRE 
COEFICIENTE E RAÍZES 
Seja a equação ax² + bx + c = 0, a, b, c R
e a 0 . Suas raízes são: 
 
1
b b² 4ac
x
2a
  
 e 2
b b² 4ac
x
2a
  
 
 
I) Soma das raízes 
1 2
b b² 4ac b b² 4ac
S x x
2a 2a
     
    
b b² 4ac b b² 4ac
x
2a
     
 
2b b
S S
2a a
     
 
II) Produto das raízes 
1 2
b b² 4ac b b² 4ac
P x x
2a 2a
     
    
   
22
2
b b b² 4ac b b² 4ac b² 4ac
4a
        
 
b² b² 4ac 4ac c
= P
4a² 4a² a
 
   
Exemplo: 
Dê a soma e o produto das raízes da 
equação 3x² – 6x + 4 = 0 
Resolução: 
 6bS S 2
a 3
 
     
c 4
P P
a 3
   
 
 
III) Diferença entre as raízes 
Supondo que 1 2x x , calculemos a 
diferença não negativa entre elas. 
1 2
b b
D x x
2a 2a
    
    
b b 2
2a 2a
     
  
D
a

 
Exemplo: 
Determine a diferença entre as raízes da 
equação 2x² – 5x – 8 = 0. 
Resolução: 
   
2
b² 4ac 5 4 2 8 25 64 89           
89
a 2

   
 
IV) Soma dos inversos das raízes 
1 2
inv
1 2 1 2
x x1 1
S
x x x x

  

 
inv
S
S
P
 
Podemos desenvolver mais ainda esta 
relação: 
inv
b
S b aaS
cP a c
a

     
inv
b
S
c
  
Exemplo: 
Determine a soma dos inversos das raízes 
da equação 3x² – 8x + 4 = 0. 
 
 
 
 
 
 
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Resolução: 
inv
b 8
S
c 4

    
invS 2 
 
IV) Soma dos quadrados das raízes 
 
22 2
1 2 1 2 1 2S x x x x 2x x     (verifique!) 
S S² 2P  
 
Nota do autor: 
Para o melhor entendimento da 
demonstração anterior, sugere-se uma 
prévia leitura do capítulo "Produtos 
notáveis", item "Quadrado de uma soma". 
Exemplo: 
Determine a soma dos quadrados das 
raízes da equação 5x² + 2x + 8 = 0. 
Resolução: 
b 2
S
a 5
    
c 8
P
a 5
  
2
2 8 4 16
S S² 2P 2
25 55 5
1 5

 
        
 
 
4 80
S
25

 
76
S
25
  
 
PRINCIPAIS TIPOS DE RAÍZES 
No quadro abaixo destacamos os principais 
tipos de raízes e as condições para que elas 
ocorram. 
 
Tipos de Raízes Condições 
Raízes simétricas b = 0 
Uma raiz nula c = 0 
Raízes nulas b = 0 e c = 0 
Raízes inversas c = a 
Exemplos: 
a) Determine o m para que as raízes da 
equação 4x² + (3 – m) · x – 2 = 0 sejam 
simétricas. 
Resolução: 
Condição: b = 0 
3 – m = 0 ∴ m = 3 
 
b) Uma das raízes da equação 7x² – 4x + 3k 
– 1 = 0 é nula. Determine o valor de k. 
Resolução: 
Condição: c = 0 
3k – 1 = 0 
3k = 1 ∴ 1k 3 
 
c) A equação 7x² + (m – 4) · x + 5 + k = 0 
só admite raízes nulas. Determine os 
valores de m e k. 
Resolução: 
Condição: b = 0 e c = 0 
m – 4 = 0 
m = 4 
 
5 + k = 0 
k = – 5 
 
d) Determine o valor de m de modo que a 
equação 3x² – 5x + 6 m – 3 = 0 admita 
raízes inversas. 
 
 
 
 
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Resolução: 
Condição: c = a 
6m – 3 = 3 
6m = 6 ∴ m = 1 
 
RAÍZES MÚLTIPLAS 
Para que uma equação do 2° grau da forma 
ax² + bx + c = 0, com a 0 , possua uma 
de suas raízes igual a k vezes a outra raiz, é 
necessário que seja satisfeita a relação 
abaixo: 
 
2
k b² a c k 1     
Exemplo: 
Determine o valor de m de modo que uma 
das raízes da equação x² – 18x + m = 0 seja 
o óctuplo da outra. 
1ª Resolução: 
Podemos resolver tal exercício sem a 
utilização da relação anterior. Em primeiro 
lugar vamos estabelecer quais são as 
raízes. 
Raízes: 1 1x ;8x . 
Podemos determinar a soma delas: 
b
S
a
  
 
1 1
18
x 8x
1

   
19x 18 
1x 2 
 
Já determinamos uma das raízes. Agora, 
basta substituir seu valor no lugar da 
variável da equação. 
x² – 18 x + m = 0 
2² – 18 · 2 + m = 0 
4 – 36 + m = 0 
m = 32 
2° Resolução: 
Vamos aplicar a relação citada. 
 
2
k b² a c k 1     
Como uma raiz é o óctuplo da outra, 
teremos k = 8. 
8 · (– 18)² = 1 · m · (8 + 1)² 
8 · 324 = m · 81 
81m = 2592 ∴ m = 32 
 
COMPOSIÇÃO DA EQUAÇÃO 
DADA AS RAÍZES 
Seja a equação ax² + bx + c = 0, a, b, c R
e a 0 . 
Dividindo-se ambos os termos por a, 
teremos: 
a b c 0
x² x
a a a a
     
b c
x² x 0
a a
    
x² S x P 0    
Exemplo: 
Qual a equação do 2° grau que tem raízes 
iguais a – 2 e 6? 
Resolução: 
S = – 2 + 6 = 4 
P = – 2 · 6 = – 12 
x² – S · x + P= 0 
x² – 4x – 12 = 0 
 
 
 
 
 
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LISTA DE EXERCÍCIOS 
1) Resolva as equações que se seguem, 
sendo U = R. 
a) x² = 5x 
b) 4x² + 32x = 0 
c) 5x² + 4 = 2(x + 2) 
d) 
x² x 9 1
3 6 3

 
 
e) x² – 9 = 0 
f) 3x² = 48 
g) 
1 1 1
x x
3 3 3
   
         
    
h) x² + 4 = 0 
i) 6x² = 0 
j)        
2
3 x 2 x 4 x 2 2 2 3x       
 
2) Dada a equação 5x² + 2x + 4 = 0, 
determine a(o): 
a) soma das raízes. 
b) produto das raízes. 
c) soma dos quadrados das raízes. 
d) soma dos inversos das raízes. 
 
3) Com relação à equação 3x² – 8x + 5 = 
0, determine: 
a) A soma das raízes. 
b) O produto das raízes. 
c) A diferença das raízes. 
d) A soma dos quadrados das raízes. 
e) A média aritmética das raízes. 
f) A média geométrica das raízes. 
g) A média harmônica das raízes. 
h) A soma dos inversos das raízes. 
i) A soma entre os cubos das raízes. 
j) A diferença entre os cubos das raízes. 
 
4) Determine o valor de k de modo que as 
raízes da equação 3x² + (– k + 5) · x – k² = 
0 sejam simétricas. 
5) Apenas uma das raízes da equação 5x² 
+ (2 – k) · x + 4 – k² = 0 é nula. Calcule k. 
6) A equação 4x² + (m² – 9) · x + 3 – m = 
0 admite raízes nulas. Determine o valor de 
m. 
7) Determine o valor de p para que a 
equação (p – 1) · x² + 5x + 3p + 6 = 0 
admita raízes inversas. 
8) O número – 4 é raiz da equação 3x² – mx 
– 1 = 0. Determine o valor de m. 
9) Sendo “m" e "n" raízes da equação x² – 
x + 2 = 0, determine: 
a) A soma dos inversos das raízes, ou 
seja: 
1 1
m n

 
b) soma dos quadrados das raízes, ou 
seja m² + n². 
c) A soma dos cubos das raízes, ou seja 
m³ + n³. 
 
10) Determine m de modo que a equação 
mx² – 5x + 2 = 0 tenha raízes reais. 
11) Determine m de modo que a equação 
9x² + mx + 4 = 0 tenha raízes duplas. 
 
 
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12) A equação 2x² – 3x + 4m = 0, não tem 
raízes reais. Determine o valor de m. 
13) Uma das raízes da equação 2x² – 12x 
+ k – 2 = 0 excede a outra em 3 unidades. 
Determine o valor de k. 
14) Calcule m de modo que uma das raízes 
da equação 2x² – kx – 54 = 0 seja o 
quadrado da outra 
15) As raízes da equação 3x² – 10x + m – 
2 = 0 são inversas. Calcule m. 
16) Apenas uma das raízes da equação 4x² 
+ (k – 3) · x + k² – 9 = 0 é nula. Determine 
o valor de k. 
17) Uma das raízes da equação 2x² – 32x 
+ k = 0 é o triplo da outra. Determine o 
valor de k. 
18) Uma das raízes da equação x² + mx + 
100 = 0 é o quádruplo da outra. Determine 
o valor de m. 
19) Determine "p" para que a equação px² 
+ (8 – p) x + p² – 64 = 0, tenha somente 
uma raiz nula. 
20) O produto das raízes da equação 
1
x² 1 x
4
  
 é: 
a) – 12 
b) 
3
4 
c) 2 6 
d) 
3
4 
 
21) Que valores reais deve assumir “m" 
para que a equação 3x² – 8x + 3m = 0, 
tenha raízes reais e diferentes? 
a) 
16
m
9

 
b) 
16
m
9

 
c) 
16
m
9

 
d) 
16
m
9

 
 
22) Na equação x² – (m – 6) · x + 5 – m = 
0, para que as raízes sejam reais e iguais, o 
valor de m deve ser: 
a) 4 
b) 6 
c) 10 
d) 12 
 
23) Dada a equação x² – kx + 21 = 0, 
determine o valor de k, para que uma das 
raízes seja o triplo da outra (U = R). 
a) 7 
b) 7 
c) 4 7 
d) 28 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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GABARITO 
1. h) 
a) S = {0, 5} i) 152 27
 
b) S = {0, -8} j) 98 27
 
c)  2S 0, 3 4. 5 
d)  1S 0, 2 5. – 2 
e) S = {-3, 3} 6. 3 
f) S = {-4, 4} 7. 
7
2
 
g)  2 2S ,3 3  8. 
47
4
 
h) S= Ø 9. 
i) S = {0} 
a) 
1
2 
j) S = {0} b) – 3 
2. c) – 5 
a) 2
5
 10. 
25
m
8
 
b) 4
5
 11. 12 
c) 36
25
 12. 
9
m
32
 
d) 1
2
 
13. 
31
2 
3. 14. 12 
a) 
8
3 
15. 5 
b) 
5
3 
16. – 3 
c) 
2
3 
17. 96 
d) 
34
9 
18. 25 
e) 
4
3 
19. – 8 
f) 
5
3 
20. D 
g) 
5
4 
21. B 
h) 
8
5 
22. A 
 23. C