A_03_MAT_VAR

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Derivada 
O conceito de derivada envolve o limite da taxa de variação média de uma função. 
Para construir o conceito matemático de derivada e interpretá-lo em suas aplicações iniciais, 
estudaremos em sequência: taxa de variação média; taxa de variação instantânea; derivada 
de uma função num ponto; interpretação gráfica da derivada e função derivada. 
O problema de encontrar a reta tangente a uma curva e o problema de encontrar a 
velocidade de um objeto envolvem determinar o mesmo tipo de limite. Este tipo especial de 
limite é chamado derivada e veremos que ele pode ser interpretado como uma taxa de 
variação tanto nas ciências naturais ou sociais quanto na engenharia. 
O Problema da Tangente 
A palavra tangente vem do latim tangens, que significa “tocando”. Assim, uma 
tangente a uma curva é uma reta que toca a curva. Em outros termos, uma reta tangente deve 
ter a mesma direção que a curva no ponto de contato. Como tornar precisa essa ideia? 
Para um círculo, poderíamos simplesmente, como Euclides, dizer que a tangente é 
uma reta que intercepta o círculo uma única vez, conforme a Figura (a). Para as curvas mais 
complicadas essa definição é inadequada. A Figura (b) mostra duas retas, 𝑙 e 𝑡, passando 
através de um ponto P em uma curva C. A reta 𝑙 intersecta C somente uma vez, mas 
certamente não se parece com o que pensamos ser uma tangente. A reta 𝑡, por outro lado, 
parece ser uma tangente, mas intercepta C duas vezes. 
 
Exemplo 
Encontre uma equação da reta tangente à parábola 𝑦 = 𝑥² no ponto 𝑃(1, 1). 
 
SOLUÇA ̃O: Podemos encontrar uma equação da reta tangente 𝑡 assim que soubermos 
sua inclinação 𝑚. A dificuldade está no fato de conhecermos somente o ponto P, em 𝑡, quando 
precisamos de dois pontos para calcular a inclinação. Observe, porém, que podemos calcular 
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a aproximação de 𝑚 escolhendo um ponto próximo 𝑄 (𝑥, 𝑥²), por exemplo 𝑄(2, 4) sobre a 
parábola e encontrar a inclinação 𝑚𝑃𝑄 da reta secante 𝑃𝑄. Uma reta secante, do latim secans, 
significando corte, é uma linha que corta (intersecta) uma curva mais de uma vez. 
O valor do coeficiente 𝑚𝑃𝑄 pode ser encontrado fazendo: 
𝑚𝑃𝑄 =
𝑥² − 1
𝑥 − 1
=
𝑦𝑄 − 𝑦𝑃
𝑥𝑄 − 𝑥𝑝
 =
4 − 1
2 − 1
 = 3 
 
Para encontrarmos o coeficiente da reta tangente que passa por P, podemos tomar 
pontos sobre a curva cada vez mais próximos de P. As tabelas abaixo mostram os valores de 
𝑚𝑃𝑄 para vários valores de x próximos a 1. Quanto mais próximo 𝑸 estiver de 𝑷, mais 
próximo 𝒙 estará de 𝟏, e a tabela indica que 𝑚𝑃𝑄 estará mais próximo de 2. Isso sugere que 
a inclinac ̧ão da reta tangente 𝑡 deve ser m = 2. 
 
Dizemos que a inclinac ̧ão da reta tangente é o limite das inclinacõ̃es das retas secantes 
e expressamos isso simbolicamente escrevendo que: 
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Sendo a inclinac ̧ão da reta tangente m = 2, podemos usar a forma da equac ̧ão de uma 
reta 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) para escrever a equação da tangente no ponto 𝑃 = (1, 1) como: 
 
 
 
Taxa de variação média – velocidade média. 
Velocidade média é definida como a razão entre o deslocamento e o intervalo de 
tempo em que ocorreu um movimento. Nesse sentido a velocidade média trata-se de 
uma grandeza vetorial. 
 
𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑚é𝑑𝑖𝑎 =
𝑑𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜
 → �⃗⃗� 𝒎 =
∆𝑺⃗⃗⃗⃗ ⃗
∆𝒕
 
 
Em linguagem matemática a velocidade média pode estar definida por: 
 
𝑣𝑚 =
∆𝑆
∆𝑡
=
𝑆2 − 𝑆1
𝑡2−𝑡1
 
https://brasilescola.uol.com.br/fisica/grandezas-vetoriais-escalares.htm
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Por exemplo, para se deslocar da Sede Acadêmica da UNIJUÍ em Ijuí até o Campus da 
UNIJUÍ em Santa Rosa, podemos estimar a velocidade média do percurso, sendo o 
deslocamento de carro, utilizando as informações fornecidas pelo Google Maps, como 
apresenta a imagem abaixo. 
 
 Nesta situação a e velocidade média do percurso seria dada por: 
𝑣𝑚 =
∆𝑆
∆𝑡
=
𝑆2−𝑆1
𝑡2−𝑡1
=
111
1,5333
≅ 72,39𝑘𝑚/ℎ. 
Esse resultado de 72,39 km/h representa uma taxa de variação média, que neste 
contexto se refere a velocidade média do percurso. 
Mas se gostaríamos de saber qual a velocidade do veículo no instante de tempo, t = 1h 
de viagem como deveríamos proceder? Como definir essa velocidade “instantânea”? 
 
Taxa de variação instantânea 
Suponha que uma bola seja solta a partir do ponto de observação no alto da Torre CN, 
em Toronto, 450 m acima do solo. Encontre a velocidade da bola após 5 segundos. 
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Solução: Por meio de experimentos feitos séculos atrás, Galileu descobriu que a 
distância percorrida por qualquer objeto em queda livre é proporcional ao quadrado do 
tempo de queda. (Esse modelo para a queda livre despreza a resistência do ar.) Se a distância 
percorrida após t segundos for chamada 𝑠(𝑡) e medida em metros, então a Lei de Galileu 
pode ser expressa pela equação 
 
 
 
A dificuldade em encontrar a velocidade após 5 segundos está em tratarmos de um 
único instante de tempo (t = 5), ou seja, não temos um intervalo de tempo. Porém, podemos 
aproximar a quantidade desejada calculando a velocidade média sobre o breve intervalo de 
tempo de um décimo de segundo, de t = 5 até ́ t = 5,1: 
 
 
Neste caso precisarmos determinar a velocidade instantânea e para determiná-la 
devemos utilizar a ideia aplicada nos limites das funções, estudados anteriormente. 
A tabela ao lado mostra os resultados de 
cálculos similares da velocidade média em 
períodos de tempo cada vez menores. Parece 
que, à medida que encurtamos o período do 
tempo, a velocidade média fica cada vez mais 
próxima de 49 m/s. A velocidade instantânea 
quando t = 5 é definida como o valor limite 
dessas velocidades médias em períodos de 
tempo cada vez menores, começando em t = 5. Assim, parece que a velocidade (instantânea) 
após 5 segundos e ́ de 49 m/s. 
Você deve ter percebido que os cálculos usados na solução desse problema são muito 
semelhantes àqueles usados para encontrar as tangentes. Na realidade, há uma estreita 
relação entre o problema da tangente e o cálculo de velocidades. Se traçarmos o gráfico da 
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função distância percorrida pela bola e considerarmos os pontos 𝑃(𝑎; 4,9𝑎²) e 
𝑄(𝑎 + ℎ; 4,9(𝑎 + ℎ²) sobre o gráfico, então a inclinação da reta secante PQ será́ 
 
 
que é igual à velocidade média no intervalo de tempo (𝑎, 𝑎 + ℎ). Logo, a velocidade no 
instante 𝑡 = 𝑎 (o limite dessas velocidades médias quando h tende a 0) deve ser igual à 
inclinação da reta tangente em P (o limite das inclinações das retas secantes). 
 
Vamos utilizar o limite para encontrar a velocidade instantânea para qualquer tempo 
𝑡 = 𝑎. 
 
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Para encontrar a velocidade no instante 𝑡 = 5 basta utilizarmos o resultado do limite acima, 
que representa a função velocidade no contexto do exemplo dado. 
 
Utilizando o Geogebra podemos perceber que a velocidade no instante 𝑡 = 5 
corresponde ao coeficiente angular da reta tangente a função 𝑓(𝑡) no valor calculado. 
 
Considerando os exemplos acima discutidos podemos perceber que para resolver 
problemas de velocidade e de tangente precisamos encontrar limites. Este tipo especial de 
limite é chamado derivada e veremos que ele pode ser interpretado como uma taxa de 
variação tanto nas ciências naturais ou sociais quanto na engenharia. 
 
Derivada de uma função num ponto 
Vimos que o mesmo tipo de limite aparece ao encontrar a inclinação de uma reta 
tangente ou a velocidade de um objeto. De fato, os limites do tipo surgem sempre que 
calculamos uma taxa de variação em qualquer ramo das ciências ou engenharia, tais como a 
taxa de uma reação química ou o custo marginal em economia. Uma vez que esse tipo de 
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limite ocorre amplamente, ele recebe nome e notação especiais. 
 
Se escrevermos 𝑥 = 𝑎 + ℎ, então ℎ = 𝑥 − 𝑎 e ℎ tende a 0 se, e somente se, x tende a 𝑎. 
Consequentemente, uma maneira equivalentede enunciar a definição da derivada, como 
vimos na determinação das retas tangentes, é 
 
Exemplo 
Encontre a derivada da função 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 8𝑥 + 9 em um número 𝑎. 
Solução: 
 
 
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Então a derivada de 𝑓(𝑥) em 𝑥 = 𝑎 é dada por 𝑓´(𝑎) = 2𝑎 − 8. 
 
 A equação da reta tangente à curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) no ponto (𝑎, 𝑓 (𝑎)) é dada por: 
 
 
Exemplo 
Encontre uma equação da reta tangente à parábola 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 8𝑥 + 9 no ponto (3,−6). 
Solução: 
 Do exemplo anterior, sabemos que a derivada de 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 8𝑥 + 9 em 𝑥 = 𝑎 é 
𝑓´(𝑎) = 2𝑎 − 8. A inclinação da reta tangente (coeficiente angular da reta) em (3,−6) será 
𝑓´(3) = 2(3) − 8 = −2 . A equação da reta tangente nesse ponto será dada por: 
 
𝑦 − (−6) = −2(𝑥 − 3) 
𝑦 = −2𝑥 
. 
 
 
 
Outros Exemplos 
 
1) Calcular a derivada de f(x)=x² + x em 𝑥 = 1. 
 
2) Calcular a derivada de 𝑓(𝑥) = √𝑥
3
 em 𝑥 = 0. 
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3) Uma partícula move-se com a equação do movimento 𝑆(𝑡) = −2𝑡² + 3𝑡 +1, S é dado em 
metros e t em segundos. Encontre: 
a) O deslocamento da partícula nos 3 primeiros segundos. 
b) A velocidade média da partícula no intervalo [0, 3]. 
c) A velocidade no instante em que t = 2 segundos. 
 
A derivada como uma função 
Anteriormente consideramos a derivada de uma função 𝑓 em um número fixo 𝑎. 
Agora mudamos nosso ponto de vista e deixamos o número 𝑎 variar. Se substituirmos 𝑎 por 
uma variável 𝑥, obtemos 
 
Dado qualquer número 𝑥 para o qual esse limite exista, atribuímos a 𝑥 o número 𝒇´(𝒙). 
Assim, podemos considerar 𝑓´(𝑥) como uma nova função, chamada derivada de 𝒇, a qual 
corresponde geometricamente a inclinação da reta tangente ao gráfico de 𝑓 no ponto 
(𝑥, 𝑓(𝑥)). 
A função 𝑓´ é denominada derivada de 𝑓, pois foi “derivada” a partir de 𝑓 pela 
operação do limite. O domínio de 𝑓´ é o conjunto {𝑥/𝑓´(𝑥) 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒} e pode ser menor que o 
domínio e 𝑓. 
Outras notações para derivada de uma função 
Podemos indicar a derivada de 𝑓 seguintes formas: 
 
Se usarmos a notação 𝑦 = 𝑓(𝑥) para indicar que a variável independente é 𝑥 e a 
variável dependente é 𝑦, então as notações alternativas para derivada são: 
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Os símbolos 𝐷 e 𝑑/𝑑𝑥 são chamados operadores diferenciais, pois indicam a operação 
de diferenciação, que é o processo de cálculo de uma derivada. 
 Para indicar o valor de uma derivada 𝑑𝑦/𝑑𝑥 na notação de Leibniz em um número 
especifico 𝑎, usamos a notação abaixo que é um sinônimo para 𝑓´(𝑎). A barra vertical significa 
“calculado em”. 
 
 
 
Exemplos 
 
1) Encontre a função derivada 𝑓´(𝑥) das funções dadas. Represente graficamente ambas as 
funções e analise o domínio da função e de sua derivada. 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 𝑥 b) 𝑓(𝑥) = √𝑥 
 
2) Calcule a derivada da função 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 𝑥 nos valores de x = -1; x = 0,5 e x = 2. Analise 
os resultados obtidos com a representação gráfica das funções 𝑓(𝑥) e 𝑓´(𝑥). 
 
 
Exercícios 
 
1) Determine, em cada caso, a equação da reta tangente ao gráfico de 𝑓 em 𝑥 = 1. 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 𝑥 b) 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
 
 
2) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de 𝑓(𝑥) no ponto 𝑥 = −2 sabendo que 
𝑓(−2) = 3 e 𝑓´(−2) = −1. 
 
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3) Considere o gráfico de y=g(x) na figura abaixo. Determine o sinal da derivada em cada 
um dos valores indicados. 
 
 
a) g’(2) 
b) g’(5) 
c) g’(6) 
d) g’(8) 
 
 
4) As curvas abaixo mostram as curvas de posição versus tempo para quatro partículas 
diferentes movendo-se sobre linhas retas. Para cada partícula, determine se a velocidade 
instantânea está aumentando ou diminuindo. 
 
 
 
5) A quantidade de oxigênio que pode ser dissolvido em água depende da temperatura da 
água. A poluição térmica influencia o nível de oxigênio da água. O gráfico abaixo 
mostra como a solubilidade do oxigênio varia em função da temperatura 𝑇 da água. 
a) Qual o significado da 𝑆´(𝑇)? Quais são suas unidades? 
b) Dê uma estimativa do valor 𝑆´(16) e interprete-o. 
 
 
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6) O custo (em dólares) de produzir 𝑥 unidades de uma certa mercadoria é determinado 
pelo modelo 𝐶(𝑥) = 5.000 + 10𝑥 + 0,05𝑥². 
a) Encontre a taxa média da variação de C em relação a 𝑥 quando os níveis de produção 
estiverem variando (i) de x = 100 a x = 105 e (ii) x = 100 a x = 101 
b) Encontre a taxa instantânea da variação de C em relação a x quando x = 100. Isso é 
chamado custo marginal que em economia e finanças, custo marginal é a mudança no 
custo total de produção advinda da variação em uma unidade da quantidade 
produzida. 
 
7) Associe o gráfico de cada função em (a)-(d) com o gráfico de sua derivada em I–IV. Dê razões 
para suas escolhas. 
 
 
 
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8) Uma pilha recarregável é colocada no carregador. O gráfico mostra 𝐶(𝑡), a porcentagem 
de capacidade total que a pilha alcança como uma a função do tempo t decorrido (em 
horas. 
a) Qual o significado da derivada 𝐶´(𝑡)? 
b) Esboce o gráfico de 𝐶´(𝑡)? O que o gráfico representa? 
 
 
Respostas 
1) a) reta tangente 1 y b) reta tangente 2 xy 
2) 1 xy 
3) a) g’(2) > 0 b) g’(5) < 0 c) g’(6) = 0 d) g’(8) > 0 
4) a) diminuindo b) aumentando c) diminuindo d) cresce negativamente 
5) a) a taxa em que a solubilidade do oxigênio varia com relação à temperatura da água; (𝑚𝑔/𝐿)/°𝐶 
b) 𝑆´(16) ≈ −0,25; à medida em que a temperatura aumenta após 16ºC, a solubilidade do oxigênio 
está decrescendo a uma taxa de 0,25(𝑚𝑔/𝐿)/°𝐶. 
6) a) (i) $20,25/unidade (ii) $ 20,05/unidade b) $ 20/unidade 
7) (a) II (b) IV (c) I (d) III 
8) (a) A taxa instantânea de variação da porcentagem da capacidade total em relação ao tempo 
decorrido em horas. 
(b) A taxa de variação da porcentagem da capacidade total está decrescendo e se aproximando de 0.