Álgebra Linear I - Lista 1

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Universidade Federal de Campina Grande
Centro de Ciências e Tecnologia
Unidade Acadêmica de Matemática
Disciplina: Álgebra Linear I – 2019.2
Lista 1 – Matrizes
PARTE 1: Questões tipo VERDADEIRO ou FALSO, com justificativa.
1. Se A e B são matrizes quadradas de ordem n, então AB é uma matriz quadrada de mesma
ordem.
2. Se AB é uma matriz quadrada, tem-se que A e B também são matrizes quadradas.
3. Se A e AB são matrizes quadradas, então B é uma matriz quadrada.
4. Se A e B são matrizes quadradas e tais que AB é também uma matriz quadrada, então
A e B têm a mesma ordem.
5. Se A é uma matriz qualquer e At denota a matriz transposta de A, então (−A)t = −(At).
6. Se A e B são matrizes tais que AB = 0, então A = 0 ou B = 0.
7. Se A e B são matrizes simétricas, então AB = BA.
8. Se A e B são matrizes tais que AB = 0, então BA = 0.
9. Se podemos efetuar o produto AA, então A é uma matriz quadrada.
10. Se A é uma matriz qualquer, então o produto AAt está definido.
11. Se A é uma matriz quadrada qualquer, então a matriz A3 − 2A2 − 7A comuta com a
matriz An para todo inteiro positivo n.
12. A matriz A =
[
−1 0
0 −1
]
satisfaz a expressão A2 − I2 = 02x2.
PARTE 2: Problemas.
1. Seja A =
[
2 x2
2x− 1 0
]
. Ache x de modo que A = At.
2. Seja A uma matriz qualquer. Mostre que AAt é uma matriz simétrica.
3. Ache x, y, z, w de modo que [
x y
z w
] [
2 3
3 4
]
=
[
1 0
0 1
]
.
1
4. Se A =
[
3 −2
−4 3
]
, ache B, de modo que B2 = A.
5. Sejam A e B são matrizes tais que AB = BA. Mostre que
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2 e (A + B)(A−B) = A2 − A2.
6. Seja X =
{[
a 0
0 a
]
| a ∈ R
}
. Mostre que a multiplicação de matrizes em X é comuta-
tiva, tem elemento neutro em X e para cada elemento A 6= 0 em X , existe B ∈ X tal que
AB = I2.
7. Sejam A e B são matrizes quadradas de ordem 3 tais que: A é simétrica, B é triangular
inferior, aij = 2j − i se i ≤ j e bij = 2i− j se i ≥ j. Determine (2A−B)t.
8. Sabendo-se que A =
[
1 a2
5 2
]
, B =
[
1 a 0
1 0 a
]
e C =
 1 20 −1
a 0
 são matrizes com
entradas reais, determine, se posśıvel, a ∈ R de modo que A = BC.
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