A matriz de uma trasnformaçao linear

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1 A matriz de uma transformação linear
Vimos que se A = (aij) é matriz de ordem m� n, a transformação de�nida
por
T : Rn ! Rm
T (v) = Av
é linear. O teorema seguinte mostra que toda transformação linear é da
forma acima.
Teorema. Seja T : V ! W transformação linear, dimV = n,dimW =
m. Sejam B = fe1; e2; :::; eng base de V , eB = ff1; f2; :::; fmg base de W .
Existe uma matriz A m� n tal que
[T (v)] eB = A [v]B
Demonstração. Para simpli�car a notação vamos considerarm = n = 3.
Escrevendo v 2 V na base B = fe1; e2; e3g temos
v = x1e1 + x2e2 + x3e3
[v]B =
0@ x1x2
x3
1A
e daí, sendo T linear,
T (v) = T (x1e1 + x2e2 + x3e3) = x1T (e1) + x2T (e2) + x3T (e3) :
Como T (e1), T (e2) ; T (e3) 2 W expressamos T (e1),T (e2) ; T (e3) na baseeB = ff1; f2; f3g de W :
T (e1) = a11f1 + a21f2 + a31f3
T (e2) = a12f1 + a22f2 + a32f3
T (e3) = a13f1 + a23f2 + a33f3
A�rmamos que a matriz A procurada é
A =
0@ a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
1A .
1
De fato,
A [v]B =
0@ a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
1A0@ x1x2
x3
1A =
0@ x1a11 + x2a12 + x3a13x1a21 + x2a22 + x3a23
x1a31 + x2a32 + x3a33
1A
= x1
0@ a11a21
a31
1A+ x2
0@ a12a22
a32
1A+ x3
0@ a13a23
a33
1A = x1 [T (e1)] eB + x2 [T (e2)] eB + x3 [T (e3)] eB
= [T (v)] eB :
�nalizando a demonstração.
A = (aij) dada pelo teorema acima é dita matriz da tranformação T em
relação as bases B e eB.
Exemplos
1) Sejam V; W espaços vetoriais,dimV = n,dimW = m. Obviamente
a matriz da transformação identicamente nula T : V ! W; T (v) = 0 para
todo v 2 V é
A =
0@ 0 0 ::: 0: : ::: :
0 0 ::: 0
1A
quaisquer que sejam as bases B de V e eB de W .
2) Sejam V espaço vetorial com dimV = n e B = fe1; e2; :::; eng base de
V . A matriz da aplicação identidade Id : V ! V em relação a base B é a
matriz identidade de ordemn. De fato,
Id (e1) = e1 = 1e1 + 0e2 + :::+ 0 en
Id (e2) = e2 = 0e1 + 1e2 + :::+ 0en;
:::
Id (en) = en = 0e1 + 0e2 + :::+ 1en:
3) Determinar a matriz da transformação linearR� : R2 ! R2 rotação de
ângulo � em relação a base canônica de R2.
A base canônica de R2 é B = fe1 = (1; 0); e2 = (0; 1)g. Então,
R�(1; 0) = (cos �; sen �) = cos �(1; 0) + sen �(0; 1)
= cos �e1 + sen �e2 ;
R�(0; 1) = (� sen �; cos �) = � sen �(1; 0) + cos �(0; 1)
= � sen �e1 + cos �e2:
2
Logo, a matriz de R� em relação a base canônica é
A =
�
cos � � sen �
sen � cos �
�
:
4) Seja a transformação linear
T : R3 ! R2
T (x; ; y; z) = (2x+ y � z; 3x� 2y + 4z)
Determinar a matriz da T em relação às bases
B = fe1 = (1; 1; 1) ; e2 = (1; 1; 0); e3 = (1; 0; 0)g ;eB = ff1 = (1; 3) ; f2 = (1; 4)g :
Seja A esta matriz. Então,
A =
�
a11 a12 a13
a21 a22 a23
�
onde, como vimos,
T (e1) = T (1; 1; 1) = a11f1 + a21f2
T (e2) = T (1; 1; 0) = a12f1 + a22f2
T (e3) = T (1; 0; 0) = a13f1 + a23f2
(2; 5) = a11 (1; 3) + a21(1; 4) = (a11 + a21; 3a11 + 4a21)
(3; 1) = a12 (1; 3) + a22(1; 4) = (a12 + a22; 3a12 + 4a22)
(2; 3) = a13 (1; 3) + a23(1; 4) = (a13 + a23; 3a13 + 4a23)
assim, obtemos os sistemas lineares�
a11 + a21 = 2
3a11 + 4a21 = 5
;
�
a12 + a22 = 3
3a12 + 4a22 = 1
;
�
a13 + a23 = 2
3a13 + 4a23 = 3
cujas soluções são
a11 = 3; a21 = �1; a12 = 11; a22 = �8; a13 = 5; a23 = �3:
Logo,
A =
�
a11 a12 a13
a21 a22 a23
�
=
�
3 11 5
�1 �8 �3
�
3
5) Dadas as bases
B = fe1 = (1; 1) ; e2 = (0; 1)g
de R2 e eB = ff1 = (0; 3; 0) ; f2 = (�1; 0; 0); f3 = (0; 1; 1)g
de R3; encontrar a transformação linear T : R2 ! R3 tal que a matriz de T
em relação às bases B e eB é
A =
0@ 0 2�1 0
�1 3
1A
Primeiro modo. Temos
T (e1) = T (1; 1) = 0f1 � 1f2 � f3 = (1; 0; 0) + (0; �1; �1) = (1; �1; �1)
T (e2) = T (0; 1) = 2f1 + 0f2 + 3f3 = (0; 6; 0) + (0; 3; 3) = (0; 9; 3)
Escrevendo v = (x; y) na base B = fe1 = (1; 1) ; e2 = (0; 1)g de R2, obtemos
(x; y) = a (1; 1) + b(0; 1) = (a; a+ b), a = x; b = y � x
v = (x; y) = xe1 + (y � x) e2
Como T é linear
T (x; y) = xT (e1) + (y � x)T (e2)
= x(1; �1; �1) + (y � x) (0; 9; 3)
= (x; � 10x+ 9y; � 4x+ 3y)
Segundo modo. Temos [T (v)] eB = A [v]B : Já temos
[v]B =
�
x
y � x
�
então
[T (v)] eB =
0@ 0 2�1 0
�1 3
1A� x
y � x
�
=
0@ �2x+ 2y�x
�4x+ 3y
1A
e portanto,
T (v) = (�2x+ 2y) f1 � xf2 + (�4x+ 3y) f3
= (�2x+ 2y) (0; 3; 0)� x(�1; 0; 0) + (�4x+ 3y) (0; 1; 1)
= (x; � 10x+ 9y; � 4x+ 3y)
T (x; y) = (x; � 10x+ 9y; � 4x+ 3y)
4
6) Determinar a matriz da transformação linear D : P2 ! P2 de�nida por
D(p(x)) =
d p(x)
dx
em relação a base B = f1; x; x2g de P2.
Temos
D (1) = 0 = 0:1 + 0: x+ 0:x2;
D (x) = 1 = 1:1 + 0: x+ 0:x2;
D
�
x2
�
= 2x = 0:1 + 2: x+ 0:x2:
Logo, a matriz de D é
A =
0@ 0 1 00 0 2
0 0 0
1A :
5) Seja a transformação linear T : R3 ! R4 de�nida por
T (x; y; z) = (2x+ y; 3x+ 4z; x� y � z; x+ z)
Determinar a matriz de T em relação as bases canônicas de R3 e R4.
A base canônica de R3 é
B = fe1 = (1; 0; 0); e2 = (0; 1; 0); e3 = (0; 0; 1)g
a base canônica de R4 éeB = ff1 = (1; 0; 0; 0); f2 = (0; 1; 0; 0); f3 = (0; 0; 1; 0); f4 = (0; 0; 0; 1)g :
Temos
T (e1) = T (1; 0; 0) = (2; 3; 1; 1) = 2f1 + 3f2 + 1f3 + 1f4;
T (e2) = T (0; 1; 0) = (1; 0;�1; 0) = 1f1 + 0f2 + (�1) f3 + 0f4;
T (e3) = T (0; 0; 1) = (0; 4;�1; 1) = 0f1 + 4f2 + (�1)f3 + 1f4:
Logo a matriz de T em relação as bases dadas é
A =
0BB@
2 1 0
3 0 4
1 �1 �1
1 0 1
1CCA :
Por exemplo, T (3; 4; 7) pode ser obtido do seguinte modo
T (3; 4; 7) = A �
0@ 34
7
1A =
0BB@
2 1 0
3 0 4
1 �1 �1
1 0 1
1CCA �
0@ 34
7
1A =
0BB@
10
37
�8
10
1CCA :
5