L2 - retas e planos

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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
Departamento Acadêmico de Matemática - DAMAT
Geometria Anaĺıtica e Álgebra Linear (MA71B)
Profa. Dra. Nara Bobko
Lista de Exerćıcios 2
(Retas e Planos)
1. Considere o ponto A = (2, 3,−4) e o vetor ~v = (1,−2, 3).
a) Escreva as equações vetoriais da reta r que passa por A e tem a direção de ~v.
b) Encontre os pontos B e C de r de parâmetros t = 1 e t = 4, respectivamente.
c) Verifique se os pontos D = (4,−1, 2) e E = (5,−4, 3) pertencem a r.
d) Determinar os valores de m e n tal que o ponto (m, 5, n) pertence a reta r
2. O ponto P = (m, 1, n) pertence à reta que passa pelos pontos A = (3,−1, 4) e B = (4,−3,−1).
Determine P .
3. Sejam r1 : (x, y, z) = (2mt − 3, 1 + 3t,−4t) e r2 = {(x, y, z) ∈ R3;x = 2y − 1 e z = −y + 4}.
Determine m para que as retas sejam ortogonais.
4. Escrever a equação geral do plano que passa por A = (−1, 2,−1) e é paralelo as retas r1 =
{(x, y, z) ∈ R3; y = x e z = 1− 3x} e r2 = {(x, y, z) ∈ R3; 2x = y = 3z}.
5. Considere os planos π1 : mx+ y − 3z − 1 = 0 e π2 : 2x− 3my + 4z + 1 = 0. Determinar m para
que os planos π1 e π2 sejam perpendiculares.
6. Considere as retas
r1 :=
{
3x− y − z = 0
8x− 2y − 3z + 1 = 0
r2 :=
{
x− 3y + z + 3 = 0
3x− y − z + 5 = 0
.
Mostre que as retas são paralelas e encontre uma equação geral para o plano determinado por
essas retas.
7. Calcule a distância entre o ponto P = (1,−1, 0) e a reta r : (x, y, z) = (2− t, 0, t).
8. Calcule a distância entre o ponto P = (0, 0, 0) e o plano π : 3x− 4y + 20 = 0.
9. Considere os pontos A = (3, 6,−7), B = (−5, 2, 3) e C = (4,−7,−6).
(a) Mostre que A,B e C são vértices de um triângulo.
(b) Escreva equações paramétricas da reta que contém a mediana relativa ao vértice C.
10. Considere os pontos A = (1, 2, 5) e B = (0, 1, 0). Determine o ponto P da reta que passa pelos
pontos A e B de modo que ‖
−−→
PB‖ = 3‖
−→
PA‖.
11. Considere o ponto A = (0, 2, 1) e a reta r : X = (0, 2,−2) + λ(1,−1, 2). Obtenha os pontos de
r que distam
√
3 de A. Em seguida, verifique se a distância do ponto A à reta r é maior, menor
ou igual a
√
3 e justifique sua resposta.
12. Sejam A(1, 1, 1), B(0, 0, 1) e r : X = (1, 0, 0)+λ(1, 1, 1). Determine os pontos de r equidistantes
de A e B.
1
13. Uma part́ıcula realiza o movimento descrito pela equação X = (2, 1, 5)+ t(2,−1, 3), onde t ∈ R.
Uma segunda part́ıcula, também em movimento ret́ılinio uniforme, ocupa, no instante −2, a
posição P = (−24, 14,−34) e no instante 3, a posição Q = (26,−11, 41).
a) Verifique se as trajetórias são concorrentes e se há perigo de colisão.
b) Qual é a equação do movimento da segunda part́ıcula?
14. As equações X = (0, 0, 0) + tα(1, 2, 4) e X = (1, 0,−2) + t(−1,−1,−1), t ∈ R, descrevem os
movimentos de duas part́ıculas no instante t (o parâmetro t é o mesmo em ambas as equações).
Determine o valor de α para que haja colisão. Em que instante ela ocorre?
15. Obtenha equações da reta perpendicular comum às retas r : x = y − 1 = z + 3 e s : 2x − y =
y + z = 2x− z + 1.
16. Determine as coordenadas da projeção ortogonal do ponto P sobre o plano π, nos casos:
a) P = (1, 0, 1) e π : x− 2y + 4z = 1.
b) P = (4, 0, 1) e π : 3x− 4y + 2 = 0.
17. Obtenha o simétrico do ponto P em relação ao plano π, nos casos:
a) P = (1, 4, 2) e π : x− y + z − 2 = 0.
b) P = (1, 1, 1) e π : 4y − 2z + 3 = 0.
18. Prove que o lugar geométrico dos pontos do espaço que são equidistantes dos pontos A =
(1,−1, 2) e B = (4, 3, 1) é um plano. Mostre em seguida que esse plano é perpendicular ao
segmento AB e passa pelo seu ponto médio.
19. Achar a distância entre r1 : x = t+ 1, y = t+ 2, z = −2t− 2 e r2 : y = 3x+ 1, z = −4x.
20. Sejam r : x− 1 = 2y = z, s1 : x = y = 0 e s2 : x− 2 = z = 0. Obtenha os pontos da reta r que
equidistam das retas s1 e s2.
21. Sejam r : (0, 0, 0) + λ(1, 0, 0) e P = (1, 0, 2), com r ⊂ π e dist(P, π) = 2, determine π.
Respostas
1. a) (x, y, z) = (2, 3,−4) + t(1,−2, 3), t ∈ R b) B = (3, 1,−1) e C = (6,−5, 8) c) D sim e E
não d) m = 1 e n = −7
2. P = (2, 1, 9)
3. m = −7/4
4. 20x− 11y + 3z + 45 = 0
5. m = −12
6. 4x+ 2y − 3z + 5 = 0
7.
√
6/2
8. 4
9. a) Dica: prove que os pontos não são colineares.
18. Dica: manipule ‖
−→
AP‖ = ‖
−−→
BP‖ até obter a equação geral de um plano. Em seguida analise o
vetor normal deste plano.
19. 0
20. X = (1, 0, 0) ou X = 1
3
(19, 8, 16)
21.π : z = 0
OBS.: Para verificar se a resposta obtida nos demais exerćıcios está correta, você poderá utilizar
algum software matemático, tal como o GeoGebra ou WolframAlpha (www.wolframalpha.com).
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