Exercícios Resolvidos - Integrais duplas sobre regiões gerais

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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
CAPÍTULO 15.3 - INTEGRAIS DUPLAS SOBRE REGIÕES GERAIS 
 
03. Calcule a integral iterada: 
∫ ∫ (1 + 2𝑦)
𝑥
𝑥2
𝑑𝑦 𝑑𝑥
1
0
 
Temos que: 
 
∫ ∫ (1 + 2𝑦)
𝑥
𝑥2
𝑑𝑦 𝑑𝑥
1
0
= ∫ [𝑦 + 𝑦2]
𝑦 = 𝑥
𝑦 = 𝑥2
 𝑑𝑥
1
0
= ∫ [𝑥 + 𝑥2 − 𝑥2 − (𝑥2)2] 𝑑𝑥
1
0
 
= ∫ [𝑥 − 𝑥4] 𝑑𝑥
1
0
= [
𝑥²
2
−
𝑥5
5
]
1
0
=
1
2
−
1
5
− 0 + 0 =
3
10
 
 
05. Calcule a integral iterada: 
∫ ∫ (𝑒𝑠𝑒𝑛 𝜃)
𝑥
0
𝑑𝑟 𝑑𝜃
𝜋
2
0
 
Temos que: 
 
∫ ∫ (𝑒𝑠𝑒𝑛 𝜃)
𝑥
0
𝑑𝑟 𝑑𝜃
𝜋
2
0
= ∫ [𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛 𝜃]
𝑟 = cos 𝜃
𝑟 = 0
 𝑑𝜃
𝜋
2
0
= ∫ cos 𝜃 ∙
𝜋
2
0
𝑒𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝜃 
= [𝑒𝑠𝑒𝑛 𝜃 ]
𝜋
2
0
= 𝑒𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
2
) − 𝑒0 = 𝑒 − 1 
 
 
 STEWART, James. Cálculo: volume 2. 6. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010