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Disc.: MODELAGEM MATEMÁTICA Aluno(a): WILLIAN LISBOA DOS SANTOS 202004126083 Acertos: 10,0 de 10,0 17/05/2022 1a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 Sabendo-se que a=3, b=5 e c='3', assinale a alternativa que possui uma expressão em cujo resultado o compilador Python será True. a=b a>b a=c a != c b>c Respondido em 17/05/2022 16:00:45 Explicação: Gabarito: a != c Justificativa: As variáveis a e b são números inteiros e c é uma string, pois encontra-se entre aspas simples, logo, embora a representação numérica seja a mesma, a e c são de tipos diferentes. 2a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 Determine a raiz da função: f(x)=x4−2,4x3+1,03x2+0,6x−0,32f(x)=x4−2,4x3+1,03x2+0,6x−0,32 Calcule, a partir de um método que não recorre ao cálculo de derivadas, utilizando um intervalo inicial [0,3;0,6] e com 9 iterações. 0,50000 0,60000 0,31000 0,45000 0,48000 Respondido em 17/05/2022 16:00:57 Explicação: Gabarito: 0,50000 Justificativa: Aplicando o método da secante: def f(x): return x**4 -2.4*x**3 + 1.03*x**2 +0.6*x -0.32 def secante(a, b, iteracoes): x_0 = a x_1 = b for i in range(iteracoes): chute = x_0 - f(x_0) * (x_1 - x_0) / (f(x_1) - f(x_0)) x_0 = x_1 x_1 = chute erro_rel = (x_1 - x_0)/ x_1 * 100 return x_1, '{:.2f}%'.format(erro_rel) print(secante(0.3, 0.6, 8)) 0.5000 3a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 Quando queremos ajustar a uma linha reta um conjunto de m dados é necessário determinar dois parâmetros e para isso devemos resolver um sistema Ax=b, onde a matriz A é na ordem mxn e m é número de linhas e n é o número de colunas, então podemos afirma que n é igual a: 5 4 2 3 m Respondido em 17/05/2022 16:05:37 Explicação: Como temos 2 parâmetros a quantidade de colunas de A é diretamente relacionada a quantidade de parâmetros , ou seja 2. 4a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 A equação ATAx=ATy é conhecida como equação normal e usada para realizar ajustamento de curvas, que corresponde a solução de minimizar: ∑|yi−Axi|∑|yi−Axi| A norma ∥y−Ax∥|22‖y−Ax‖|22 A norma ∥y−Ax∥‖y−Ax‖ ∑|axi+b−yi|∑|axi+b−yi| A norma ∥y−Ax∥p‖y−Ax‖p Respondido em 17/05/2022 16:08:03 Explicação: 5a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor da integral de sen2(x) no intervalo de 0 a 1. Utilize o método de Romberg, com aproximação até n = 2: 0,21268 0,23268 0,27268 0,29268 0,25268 Respondido em 17/05/2022 16:01:26 Explicação: A resolução do problema de integração numérica em um intervalo definido requer que o enunciado forneça alguns elementos importantes, como: - A função a ser integrada; - A técnica de integração a ser utilizada; - O valor inicial do intervalo de integração; - O valor final do intervalo de integração; e - A quantidade de partições (n) Neste exemplo, temos que: - A função a ser integrada é f(x) = sen2(x); - A técnica de integração a ser utilizada é a Extrapolação de Romberg; - O valor inicial do intervalo de integração é 0; - O valor final do intervalo de integração é 1; e - A quantidade de partições é dada por 2n, sendo n = 2. Assim, aplicando os conceitos para o método de Romberg, temos o código em Python indicado a seguir: import scipy as sp from scipy import integrate func = lambda x: sp.sin(x)**2 result = integrate.romberg(func, 0, 1, show=True) 6a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor da integral de cos(-x) no intervalo de 0 a 1. Divida o intervalo de integração em 10 partes. Utilize o método dos Retângulos: 0,942 0,842 0,542 0,642 0,742 Respondido em 17/05/2022 16:01:54 Explicação: A resolução do problema de integração numérica em um intervalo definido requer que o enunciado forneça alguns elementos importantes, como: - A função a ser integrada; - O valor inicial do intervalo de integração; - O valor final do intervalo de integração; e - A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo). Neste exemplo, temos que: - A função a ser integrada é f(x) = cos(-x); - O valor inicial do intervalo de integração é 0; - O valor final do intervalo de integração é 1; e - O intervalo de integração é dividido em 10 partes, de modo que o tamanho de cada intervalo é 0,1. Assim, aplicando os conceitos do método dos Retângulos, temos o seguinte código em Python: import numpy as np import math f = lambda x: np.cos(-x) a = 0; b = 1; N = 10 x = np.linspace(a,b,N+1) y = f(x) dx = (b-a)/N x_medio = np.linspace(dx/2,b - dx/2,N) soma_retangulo = np.sum(f(x_medio) * dx) print("Integral:",soma_retangulo) O resultado obtido corresponde à alternativa indicada como correta na questão. 7a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor de y(1) em face da resolução da EDO de 1ª ordem y' = y2, sendo y(0) = 0,3. Considere h = 0,10. Utilize o método de Runge-Kutta: 0,449 0,509 0,429 0,489 0,469 Respondido em 17/05/2022 16:09:53 Explicação: A resolução do problema de valor inicial em equações diferenciais ordinárias de primeira ordem requer que o enunciado forneça alguns elementos importantes, como: - A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita; - O ponto inicial; - O ponto final; - A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo); e - O valor da função no ponto inicial. Neste exemplo, temos que: - A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita é y' = y2; - O ponto inicial é 0; - O ponto final é 1; - O tamanho de cada intervalo é 0,1; e - O valor da função no ponto inicial é 0,3. Isso posto, utilize o método indicado a seguir: Executando o código indicado, você obterá a resposta 0.428 . 8a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor de y(3) em face da resolução da EDO de 1ª ordem y'= y2, sendo y(0) = 0,3. Considere h = 0,30. Utilize o método de Runge-Kutta: 2,785 2,585 2,985 2,685 2,885 Respondido em 17/05/2022 16:03:01 Explicação: A resolução do problema de valor inicial em equações diferenciais ordinárias de primeira ordem requer que o enunciado forneça alguns elementos importantes, como: - A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita; - O ponto inicial; - O ponto final; - A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo); e - O valor da função no ponto inicial. Neste exemplo, temos que: - A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita é y'= y2; - O ponto inicial é 0; - O ponto final é 3; - O tamanho de cada intervalo é 0,3; e - O valor da função no ponto inicial é 0,3. Isso posto, utilize o método indicado a seguir: Executando o código indicado, você obterá a resposta 2.98. 9a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor de y(2) em face da resolução da EDO de 1ª ordem y' = y2, sendo y(0) = 0,3. Considere h = 0,20. Utilize o método de Runge-Kutta: 0,81 0,79 0,83 0,77 0,75 Respondido em 17/05/2022 16:02:12 Explicação: A resolução do problema de valor inicial em equações diferenciais ordinárias de primeira ordem requer que o enunciado forneça alguns elementos importantes, como: - A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita; - O ponto inicial; - O ponto final; - A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo); e - O valor da função no ponto inicial. Neste exemplo, temos que: - A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita é y' = y2; - O ponto inicial é 0; - O ponto final é 2; - O tamanho de cada intervalo é 0,2; e - O valor da função no ponto inicial é 0,3. Isso posto, utilize o método indicado a seguir: Executando o código indicado, vocêobterá a resposta 0.74 10a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor de y(3) em face da resolução da EDO de 1ª ordem y' = cos(y) + sen(y), sendo y(0) = 0,3. Considere h = 0,30. Utilize o método de Runge-Kutta: 2,509 2,709 2,309 2,409 2,609 Respondido em 17/05/2022 16:08:44 Explicação: A resolução do problema de valor inicial em equações diferenciais ordinárias de primeira ordem requer que o enunciado forneça alguns elementos importantes, como: - A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita; - O ponto inicial; - O ponto final; - A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo); e - O valor da função no ponto inicial. Neste exemplo, temos que: - A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita é y' = cos(y) + sen(y); - O ponto inicial é 0; - O ponto final é 3; - O tamanho de cada intervalo é 0,3; e - O valor da função no ponto inicial é 0,3. Isso posto, utilize o método indicado a seguir: Executando o código indicado, você obterá a resposta 2.308