Provas_PE1_AndreDiniz

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PROCESSOS ESTOCÁSTICOS I 
 
 
CURSO: ESTATÍSTICA / ATUÁRIA 
 
 
 
 
 
 
Prof: ANDRÉ DINIZ 
 
 
 
 
 
 
PROVAS ANTERIORES 
 
(atualizado em 2011/2) 
 
 
 
 
 
 
ÍNDICE 
 
 
I PROVAS – P1 .................................................................................................................4 
II PROVAS – P2 ............................................................................................................... 11 
III -PROVAS – P. Reposição .......................................................................................... 17 
IV PROVAS – Prova Final ............................................................................................. 24 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
I PROVAS – P1 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO 
Instituto de Matemática e Estatística 
 
1ª Prova de Processos Estocásticos I 
 PROF: André Diniz 
Data: 20/05/2011 
Questão 1: 
Considere um processo estocástico que envolve um conjunto de 10 bolas, sendo 1 bola preta, 
2 bolas azuis, 3 bolas vermelhas e 4 bolas brancas, e que possui as seguintes características: 
• inicialmente, há nove bolas dentro de uma caixa e uma bola fora dela. Neste ponto, o 
sistema encontra-se no estado inicial X0; 
• o processo evolui da seguinte forma: em cada passo k, retira-se uma bola da caixa e, em 
seguida, devolve-se à caixa a bola que anteriormente estava fora dela. Ao final desse 
passo, a cor da bola que está fora da caixa corresponde ao estado do sistema Xk. 
 
(a) Construa a Matriz transição de probabilidades entre os estados desse processo estocástico. 
(b) Considere que, em cada passo desse processo, a bola que se encontra fora da caixa gera 
um lucro ou prejuízo, de acordo com a regra mostrada na tabela abaixo: 
 
Bola Preta Azul Vermelha Branca 
Retorno + R$3,00 + R$5,00 + R$10,00 − R$15,00 
Sabendo-se que o sistema se encontra atualmente com uma bola branca fora da caixa, qual é o 
lucro médio esperado para esse sistema no final do próximo passo de tempo? 
(c) Quais são as probabilidades em regime permanente dessa cadeia? Justifique. (Responda 
sem resolver o sistema de equações). 
Questão 2: 
Considere uma cadeia de Markov com a seguinte matriz transição de probabilidades: 
 










=
2/12/10
001
4/14/30
P 
(a) Suponha que o estado do sistema no início de t = 1 seja desconhecido, porém dado pelo 
vetor de probabilidades iniciais [0,4; 0,5; 0,1]. Quais são as probabilidades do sistema estar 
em cada estado ao final do instante t=2? 
(b) Calcule as probabilidades em regime permanente dessa cadeia 
(c) Após 5 multiplicações ao quadrado da matriz, tem-se que: 
 










=
199946,0399773,0400280,0
200140,0400594,0399266,0
199887,039952,0400594,0
32P 
Interprete os valores dessa matriz, em relação ao resultado obtido no item (b). 
 
 
 
 
Questão 3: 
Considere uma cadeia de Markov com estados {a,b,c,d,e,f,g,h} e a seguinte matriz transição 
de probabilidades: 


























3,02,02,0001,002,0
2,06,02,000000
5,04,01,000000
0003,005,02,00
00005,0005,0
0000000,10
0000,10000
00000,1000
h
g
f
e
d
c
b
a
hgfedcba
 
 
(a) Construa o diagrama de transições entre estados dessa cadeia 
(b) Quais são os estados transientes e recorrentes? Há algum estado absorvente? 
(c) Indique os conjuntos irredutíveis da cadeia, e calcule as probabilidades do sistema cair em 
 cada um desses conjuntos, a partir de cada um dos estados transientes. 
 (d) Calcule as probabilidades em regime permanente dessa cadeia. 
 
Questão 4: 
Explique as propriedades que definem um conjunto fechado e um conjunto irredutível de uma 
cadeia de Markov. 
 
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO 
Instituto de Matemática e Estatística 
1ª Prova de Processos Estocásticos I 
 PROF: André Diniz 
Data: 20/05/2011 
GABARITO 
1) 
 (a) 
9
1
3321
4221
4311
4320
×












=
B
V
A
P
P
BVAP
 
 (b) 
9
2)0,15(
9
30,10
9
30,5
9
20,3
9
1
−=−×+×+×+× 
 (c) 



10
4
,
10
3
,
10
2
,
10
1
 
2) 
 (a) 



5
1
,
20
9
,
20
7
 
 (b) 



5
1
,
5
2
,
5
2
 
 (c) Os valores em cada coluna indicam uma estimativa bem precisa, para as probabilidades 
em regime permanente. Isto quer dizer que, após 32 transições, a probabilidade de o 
sistema estar em cada estado dependerá muito pouco do estado inicial. 
3) 
 (a) 
 
 
 
 
 
 
 
 (b) Transientes: {f,g,h}; 
 Recorrentes: {a,b,c,d,e}; 
 Absorventes:{∅} 
 (c) C1={a,d}, probabilidade de 2/3 
 C2={b,c,e}, probabilidade de 1/3 
 (d) em C1: 



=
3
2
,
3
1},{ da pipi ; em C2: 



=
22
10
,
22
5
,
22
7},,{ ecb pipipi ;
f 
0,4 
0,5 
g 
h 
d a 
0,2 
0,2 
0,1 0,6 
1,0 
0,3 
0,5 
0,2 
0,2 
0,5 
c 
1,0 
b 
e 
0,5 
0,3 
0,5 
1,0 
0,2 
0,1 
0,2 
 
 
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO 
Instituto de Matemática e Estatística 
 
1ª Prova de Processos Estocásticos I 
 PROF: André Diniz 
Data: 03/10/2011 
Questão 1: 
Explique o que é uma cadeia de Markov, e a propriedade que ela deve ter para ser 
considerada uma cadeia de Markov Estacionária. 
Dê um exemplo prático de uma cadeia de Markov e indique, neste exemplo, qual é a variável 
aleatória em questão e os estados que ela pode assumir 
Questão 2 
Considere um jogo descrito da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
• uma peça inicia o jogo na casa de número 6 
• a cada rodada, a peça anda para a direita a quantidade obtida ao lançar um dado não 
viciado; 
• se o número tirado for exatamente o necessário para atingir a casa “0”, o jogo acaba; 
• caso o número tirado seja maior do que o necessário para chegar à casa “0”, a peça volta o 
número de pontos que se tirou em excesso, como mostram os exemplos abaixo:. 
 
Posição inicial 
da peça 
Número tirado 
no dado Posição final da peça 
4 6 2 
1 2 1 
2 5 3 
 
(a) Represente este jogo como uma cadeia de Markov, e indique seus estados transientes, 
recorrentes e absorventes 
(b) Considerando que a peça inicia o jogo na casa 6, calcule a probabilidade de o jogo acabar 
após dois lançamentos do dado, utilizando a matriz de transição calculada no item anterior 
 
 
 
 
 
 
 
 6 5 4 3 2 1 0 
 
Questão 3: 
Considere uma cadeia de Markov com a matriz transição de probabilidades mostrada abaixo. 
Suponha que a cadeia se inicia no estado “A”. 
 










=
010
4/304/1
2/102/1
C
B
A
P
CBA
 
(a) Após três intervalos de tempo, qual a probabilidade de o sistema se situar em cada um dos 
estados? 
(b) Suponha que aos estados da cadeia esteja associado o seguinte vetor de retorno: 
 [ 10 20 -5] 
Se no instante t = 0 a cadeia está no estado “A”, qual o lucro esperado no instante t = 2 ? 
(c) Como ficará a matriz Pn, quando n tender a infinito? 
 
Questão 4: 
Considere uma cadeia de Markov com a seguinte matriz transição de probabilidades: 


























025,00000075,0
25,025,025,000025,00
000025,0075,00
10000000
001,00009,00
00000100
0.000100,0
00010000
h
g
f
e
d
c
b
a
hgfedcba
 
 
(a) Quais são os conjuntos irredutíveis desta cadeia? 
(b) Classifique cada um dos estados entre transiente e recorrente. 
(c) Calcule as probabilidades em regime permanente para cada conjunto irredutível da cadeia 
 
 
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO 
Instituto de Matemática e Estatística 
1ª Prova de Processos Estocásticos I 
 PROF: André Diniz 
Data: 03/10/2011 
GABARITO 
2) 
(a) Estados: Casas {6,5,4,3,2,1,0} 
 
Matriz de transição P: 
 






















=
1000000
6/16/16/16/16/16/10
6/16/26/16/16/100
6/16/26/26/1000
6/16/26/26/1000
6/16/26/16/16/100
6/16/16/16/16/16/10
0
1
2
3
4
5
6
0123456
P
 
Estados transientes: {6,5,4,3,2,1} 
Estados recorrentes:{0} 
Estados absorventes: {0} 
 (b) 11/36 
3) 
 (a) 



2
1
,
4
1
,
4
1
 
 (b) 45/4 
(c) 










=
∞→
5/25/25/1
5/25/25/1
5/25/25/1
lim
C
B
A
P n
n
 
4) 
(a) C1 = {b,d,f} ; C2 = {c} 
(b) 
Estados transientes: {a,e,g,h} 
Estados recorrentes: {b,d,c,f} 
Estados absorventes: {∅} 
 (b) 11/36 
 (c) { }






= ,
83
4
,
83
40
,
83
39
,, fdb pipipi 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
II PROVAS – P2 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO 
Instituto de Matemática e Estatística 
Curso de Graduação em Ciências Atuariais / Estatística 
 
2ª Prova de Processos Estocásticos I 
 PROF: André Diniz 
Data: 08/07/2011 
Questão 1 
Uma casa de espetáculos possui apenas uma roleta de entrada, com capacidade de escoamento 
de 6 pessoas por minuto, segundo um processo Markoviano. A chegada de pessoas a essa 
roleta também segue um processo de Markov, com média de 5 pessoas / minuto. Pergunta-se: 
(a) Qual o tempo médio que as pessoas levam para entrar no local, desde a entrada na fila até 
passar pela roleta? 
(b) Qual a taxa máxima de chegada suportada por essa casa, para que a probabilidade de haver 
mais do que 20 pessoas na fila seja menor do que 5%? 
Questão 2 
Um sistema de vendas por telefone é composto por apenas 1 atendente. Entretanto, dispõe-se, 
além do ramal de atendimento, de 4 ramais de espera para que as pessoas aguardem até serem 
atendidas. O atendimento segue a disciplina FIFO. 
A taxa de pessoas que tentam ligar para esse sistema é de 12 pessoas por hora, segundo um 
processo de Poisson, e cada tempo efetivo de atendimento dura, em média, 4 minutos, 
segundo uma distribuição exponencial. Responda às questões abaixo: 
(a) Qual o número médio de pessoas que ocupam os ramais aguardando atendimento? 
(b) Calcule a taxa média de perda de ligações por minuto, devido ao fato de, eventualmente, 
todos os ramais de espera estarem ocupados. 
(c) Que impacto um aumento no número de ramais de espera deverá causar, do ponto de vista 
qualitativo, no percentual de clientes perdidos e no tempo médio de espera de cada cliente 
até o início do atendimento? Com base nestes resultados, explique se esta medida é 
melhor para o dono do empreendimento ou para o cliente que é efetivamente atendido. 
Questão 3 
Em um posto de vistoria de veículos, há três canais de atendimento. A espera pelo 
atendimento é feita em fila única, conforme mostra o desenho abaixo. O sistema foi projetado 
para suportar um número ilimitado de veículos em espera. 
 
 
 
 
 
 
 
O tempo médio de chegada de veículos segue uma distribuição exponencial, com uma 
unidade a cada 5 minutos. Já o tempo para cada vistoria também é exponencial, com uma 
média de 12 minutos. 
(a) Qual a probabilidade de que, ao chegar para a vistoria, um veículo não necessite esperar 
na fila pelo atendimento? 
(b) Qual o número médio de veículos dentro desse posto de vistoria? 
(c) Qual seria a resposta do item anterior, se um dos canais de atendimento fosse desativado? 
 
 
 
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO 
Instituto de Matemática e Estatística 
Curso de Graduação em Ciências Atuariais / Estatística 
 
2ª Prova de Processos Estocásticos I 
 PROF: André Diniz - Data: 08/07/2011 
GABARITO 
Questão 1 
λ = 5 pessoas / minuto 
µ = 6 pessoas por minuto 
Modelo M/M/1/∞/∞/FIFO 
ρ=λ/µ = 5/6 
(a) =
−
=
−
=
56
11
λµW 1 minuto 
(b) mais do que 20 pessoas na fila => mais do que (20 + c = 21) pessoas no sistema 
=> a restrição, portanto, é de que: 10,0]22[ ≤≥NP 
[ ]
20232,586705,06
8727,0
86705,005,0
05,022
22
22
=×≤=>
≤=>
=≤=>
≤=≥
λ
µ
λ
ρ
ρNP
 => R: 5,2362 pessoas / minuto 
 
Questão 2 
λ = 12 pessoas / hora = 0,2 pessoas/minuto 
1/µ = 4 minutos => µ = 0,25 pessoas / minuto 
1 atendente e 4 ramais de espera (K=capacidade do sistema = 5) 
=>Modelo M/M/1/5/FIFO 
ρ = λ/µ = 0,80 
(a) Número médio de pessoas na fila: 01 PLLq +−= , onde: 
 
ρ≠ 1 => 
 
 
 
=> 271,01868,1 +−=qL
 
= 1,139 pessoas na fila 
(b) 0888,0
8,01
8,0)8,01(
1
)1(
6
5
1 =
−
×−
=
−
−
=
+K
K
KP ρ
ρρ
 (probabilidade de se perder um cliente)
 
Portanto, a taxa de perdas/minuto será 0,0888 × λ (=12 pessoas/hora) = 1,066 clientes / hora 
 
[ ]
( )( )







=
−
−
=
−
−
=
=
−−
+×−×+
=
−−
+−+
=
+
+
+
271,0
80,01
)80,01(
1
)1(
868,1)80,01)(80,01(
)]15(80,080,051[80,0
11
)1(1
61
0
0
6
56
1
1
K
K
KK
P
KKL
ρ
ρρ
ρρ
ρρρ
 
 
(c) Um aumento de K irá causar um aumento na capacidade do sistema e, portanto, irá 
diminuir o percentual de perdas. Entretanto, não houve mudança no número de atendentes. 
Consequentemente, se há um aumento no número de pessoas sendo efetivamente atendidas 
mas se mantém o número de atendentes, espera-se que o tempo médio de espera aumente. 
 
Portanto, esta medida é boa para o empreendedor e ruim para o cliente que é 
efetivamente atendido. 
Questão 3 
1 pessoa a cada 5 minutos => λ= 12 / hora 
1 vistoria a cada 12 minutos => µ= 5 / hora para cada posto 
- Número de postos de atendimento: c = 3 
Modelo M/M/c/∞/FIFO 
r=λ/µ = 2,4 e ρ = r /c = 0,8 
 
(a) 
Não ter nenhum veículo na fila => n < c 
Deve-se calcular então P[n<c] = P0 + P1 + P2 
11
0
0 !)(!
−
−
=






+
−
= ∑
c
n
nc
n
r
rcc
rcP , 
Termo fixo: 52,11)4,23(!3
4,23
)(!
3
=
−
×
=
− rcc
rc
c
 
Cálculo das parcelas à direita: 28,6
!2
4,2
!1
4,2
!0
4,2 210
=++ 
=> ( ) 0562,028,652,11 10 =+= −P 
 
Como n é menor do que c para n= 1,2, temos: 
!0 n
rPP
n
n = 
=> ;1619,0
!2
4,20562,0;1349,0
!1
4,20562,0
2
2
1
1 =×==×= PP 
 
=> P[n<c] = 0,0562 + 0,1349+0,1619 = 0,3530 
 
 
(b) 
Número total de usuários no sistema: L 
=×





−
×
+=





−
+=
+
0562,0)4,23(!3
34,24,2)(! 2
4
02
1
P
rcc
cr
rL
c
4,99 veículos 
 
(c) neste caso, teremos: 
 
ρ = λ/µc = 12/(5∗2) = 1,2 => 
O sistema ficará instável, pois ρ > 1, e a fila de carros tenderia a crescer continuamente. 
 
 
 
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO 
Instituto de Matemática e Estatística 
Curso de Graduação em Ciências Atuariais / Estatística 
 
 
2ª Prova de Processos Estocásticos I 
 PROF: André Diniz 
Data: 12/12/2011 
Questão 1 
Um advogado recebe, em média, 25 processos para serem analisados durante um mês e sua 
capacidade máxima de análise é de 1 processo por dia. Pode-se considerar tanto o mecanismo 
de chegada como de análise dos processos como sendo Markovianos. Tomando como base 
um mês de 30 dias, com o advogado trabalhando todos os dias, determine: 
(a) O número de dias, em média, que um processo fica na fila esperando o início de análise 
(b) A quantidade média de processos que permanece nesse escritório simultaneamente, sendo 
analisado ou aguardando análise. 
 
Questão 2 
Um centro de processamento de dados recebe, em média, 4 pedidos por minuto, segundo uma 
distribuição de Poisson, e o tempo médio de processamento de cada pedido é de 24 segundos, 
segundo uma distribuição exponencial. Os pedidos são processados utilizando-se 2 
provedores. 
Compare o tempo médio que um pedido permanece em espera na fila, aguardando 
processamento, nas duas situações descritas abaixo e comente a diferença nos resultados entre 
esses dois casos. 
Situação 1: no sistema de fila única, onde todos os pedidos se destinam a um único local, 
onde ficam na fila aguardando até serem direcionados para o primeiro provedor que ficar livre 
Situação 2: no sistema de filas separadas, onde os provedores trabalham independentemente. 
Neste caso, cada pedido se destina aleatoriamente a um dos dois provedores, e aguardam 
atendimento em uma fila específica para este provedor. Observe que, devido à aleatoriedade 
na alocação dos pedidos aos provedores, cada em deles recebe, em média, metade do total de 
pedidos, que também chegam segundo uma distribuição exponencial. 
 
Questão 3 
Um hangar para conserto de aviões recebe, em média, 2 unidades por mês, segundouma 
distribuição de Poisson. O tempo médio para conserto de uma unidade é de 1/3 da duração do 
mês, e a distribuição de probabilidades deste tempo é exponencial. Pergunta-se: 
(a) Qual deve ser a capacidade máxima de armazenamento de aviões no hangar (incluindo a 
unidade que está sendo consertada) para que, em 95% do tempo, o haja espaço suficiente para 
receber outro avião que eventualmente venha a falhar? 
(b) Se o hangar tiver capacidade para 3 unidades (incluindo a que está em conserto), qual o 
percentual médio de aviões leva um tempo inferior a 6 dias (ou 1/5 de mês) aguardando 
atendimento na fila? 
 
 
 
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO 
Instituto de Matemática e Estatística 
Curso de Graduação em Ciências Atuariais / Estatística 
 
2ª Prova de Processos Estocásticos I 
 PROF: André Diniz - Data: 08/07/2011 
GABARITO 
Questão 1 
(a) 5 dias 
(b) 5 processos 
 
 
 
Questão 2 
Fila separada: Wq = 1,60 minutos 
Fila única: Wq = 0,711 minutos 
 
 
Questão 3 
(a) 5 aviões 
(b) 64,18% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
III - PROVAS – P. Reposição 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO 
Instituto de Matemática e Estatística 
Curso de Graduação em Ciências Atuariais / Estatística 
 
Prova de Reposição de Processos Estocásticos I 
 PROF: André Diniz 
Data: 12/07/2011 
Questão 1: 
A aprovação de um determinado tipo de projeto em uma empresa segue uma série de trâmites 
burocráticos, de acordo com o fluxograma abaixo. Os valores nas setas indicam os percentuais 
médios com que os projetos percorrem cada caminho 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determine: 
 
(a) Os conjuntos fechados e irredutíveis dessa cadeia 
(b) Do total de projetos que chegam até o Presidente, qual o percentual que é aprovado ao 
final de todo o processo? 
(c) Segundo o fluxograma acima e a hipótese de modelagem desse processo por uma cadeia 
de Markov Estacionária, a aprovação de um projeto depende da opinião do Conselho? 
Justifique sua resposta. 
 
Questão 2: 
Considere uma cadeia de Markov com a seguinte matriz de transição de probabilidades a 1 
passo de tempo: 
 
 
 
 
(a) Determine os estados transientes e recorrentes desta cadeia 
(b) Calcule as probabilidades em regime permanente desse sistema 
Gerente Supervisor Diretor Presidente Conselho 
Rejeição Aprovação 
100% 
25% 
25% 
75% 
25% 
50% 
25% 50% 
100% 
25% 
 
(c) O sistema encontra-se no estado A no momento. Qual a probabilidade de que, após 4 
passos de tempo, o sistema se encontre no estado B? 
 
 
 
Questão 3: 
Um despachante recebe para executar, no horário de pico, 1 processo a cada 5 minutos. A taxa 
média segundo a qual ele os realiza é de 12 processos/hora. O número máximo de processos 
que o despachante pode ter em espera é de 9. Tanto a chegada como a execução dos processos 
seguem uma distribuição de Poisson. 
 
Pergunta-se: 
(a) Qual o tempo médio que um processo aguarda na fila até começar a ser executado? 
(b) Qual o percentual médio de processos que são rejeitados pelo despachante? 
(c) O que deverá acontecer com as probabilidades em regime permanente desse sistema, na 
medida em que a taxa de chegada de processos aumente continuamente? 
 
Questão 4: 
Um banco está operando em determinado momento com 2 guichês. A taxa média de chegada 
de clientes é de 20/hora, e o tempo médio que cada cliente gasta no atendimento é de 5 
minutos. 
 
Determine: 
 
(a) O tempo médio que um cliente gasta no banco, desde a entrada na fila até o final do 
atendimento; 
(b) Qual a probabilidade de que, em determinado instante, o sistema esteja sem ninguém na 
fila? 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO 
Instituto de Matemática e Estatística 
Curso de Graduação em Ciências Atuariais / Estatística 
 
Prova de Reposição de Processos Estocásticos I 
 PROF: André Diniz 
Data: 12/07/2011 
GABARITO 
Questão 1 
(a) Conjuntos fechados: {rejeição},{aprovação}, {rejeição,aprovação}, 
 {rejeição,aprovação,Presidente,Conselho}, 
 {gerente,supervisor,rejeição,aprovação,Presidente,Conselho}, 
 Conjuntos irredutíveis: {Aprovação}, {Rejeição} 
(b) 2/3 
(c) não, porque as probabilidades de ir do Presidente para “Aprovação” ou “Rejeição” são as 
mesmas, independente se o processo veio do Diretor ou do Conselho 
Questão 2 
(a) Transientes: {A,D,E,F,G} 
 Recorrentes: {B,C} 
 
(b) ; 
 para os demais estados => zero 
 
(c) basta trabalhar com a submatriz P´ definida pelos estados A, B e C 
 
=> P´4 (A→ B) = 23/32 
 
Questão 3 
(a) 22,5 minutos 
(b) 9,09% dos processos 
(c) P0, P1,... P9, irão diminuir progressivamente, e P10 tenderá a 1,0 
 
Questão 4 
(a) 16,36 minutos 
(b) P0+P1+P2= 0,369 
 
 
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO 
Instituto de Matemática e Estatística 
Curso de Graduação em Ciências Atuariais / Estatística 
 
Prova de Reposição de Processos Estocásticos I 
PROF: André Diniz - Data: 14/12/2011 
Questão 1: 
Considera-se que o desempenho de determinada equipe em cada partida de um campeonato de 
futebol é fortemente influenciado pelo resultado obtido no jogo anterior. Através de dados 
históricos, obteve-se as seguintes probabilidades de vitória, empate e derrota em cada jogo, 
em função do resultado ocorrido no jogo anterior: 
 
 Probabilidades de cada resultado no próximo jogo 
Resultado do Jogo Anterior Vitória Empate Derrota 
Vitória 0,7 0,2 0,1 
Empate 0,3 0,4 0,3 
Derrota 0,2 0,3 0,5 
 
Pergunta-se: 
(a) A equipe venceu o último jogo, disputado pela 10ª rodada do campeonato. Sabendo-se que 
cada jogador desta equipe ganha R$5mil de “bicho” em caso de vitória, R$3mil em caso de 
empate, e não ganha nada em caso de derrota, calcule o valor esperado do ganho de cada 
jogador na partida que será realizada pela 12ª rodada do campeonato. 
(b) Calcule o percentual médio de vitórias deste time ao longo dos jogos do campeonato. 
Questão 2 
Considere a cadeia de Markov com a seguinte matriz de transição de probabilidades a 1 passo 
de tempo: 






















00000,100
000,10000
0,1000000
0000,1000
003,04,003,00
0000000,1
000000,10
G
F
E
D
C
B
A
GFEDCBA
 
 
(a) Determine os conjuntos irredutíveis desta cadeia, e 
(b) Quais são os estados recorrentes, transientes e absorventes desta cadeia? 
(c) calcule a probabilidade de, em um instante qualquer no futuro, a cadeia cair em cada um 
dos conjuntos irredutíveis, quando o processo se inicia no estado E 
 
 
 
 
Questão 3: 
 
Um centro de abastecimento recebe alimentos de um fornecedor e os envia em seguida para 
os clientes, sendo ambos os processos Markovianos, conforme ilustrado na figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
Se a disciplina de saída dos alimentos é do tipo FIFO, responda: 
 
(a) Qual o tempo médio que um alimento permanece no centro de abastecimento? 
(b) Qual a probabilidade de haver mais do que 5 unidades simultaneamente, em determinado 
momento, dentro do centro de abastecimento? 
(c) Suponha que o Centro de abastecimento passará a ter uma capacidade máxima de 
armazenamento de 5 unidades. Qual será o percentual médio de unidades perdidas, 
considerando que um alimento é desperdiçado se, ao chegar ao centro, o mesmo estiver 
lotado? 
 
Questão 4: 
Clientes chegam a um banco a uma taxa média de 20 pessoas/hora. Considerando que o 
tempo médio de atendimento é de 2 minutos, e que não há limites para a fila de clientes, 
responda ao que se pede: 
 
 (a) Mostre como varia o tempo de espera na fila, quando o sistema opera com 1, 2 ou 3 
atendentes; 
(b) Qual a probabilidade de um determinado caixa ficar ocioso, quando o sistema opera com 2 
atendentes? 
 
 
 
Centro de 
abastecimento 
Taxa média de chegada: 
 5 unid/min 
Taxa média de saída: 
 6 unid/min 
 
 
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO 
Instituto de Matemática e Estatística 
Curso de Graduação em Ciências Atuariais / Estatística 
 
Prova de Reposição de Processos Estocásticos I 
 PROF: André Diniz 
Data: 14/12/2011GABARITO 
Questão 1 
(a) Probabilidades: V: 0,57; E: 0,25; D: 0,18 
 Valor Esperado: R$3,6mil 
 
(b) 21/46 ≈ 45,65% 
 
Questão 2 
(a) Conjuntos irredutíveis: {A,B}; {D} 
 
(b) Transientes: {C,E,F,G} 
 Recorrentes: {A,B} 
 Absorventes: {D} 
(c) 3/7 (=0,3/0,7) para {A,B} e 4/7 (=0,4/0,7) para {D} 
Questão 3 
(a) W = 1 minuto 
(b) 0,3349 
(c) P5≈ 10% 
 
Questão 4 
(a) 
Nº atendentes Tempo médio de 
espera na fila 
1 4 min 
2 15 seg 
3 1, 67 seg. 
 
(b) Prob. determinado atendente ocioso =P0+P1/2 = 1/2 + (1/3)/2 = 4/6 = 0,666... 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
IV PROVAS – Prova Final 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO 
Instituto de Matemática e Estatística 
Curso de Graduação em Ciências Atuariais / Estatística 
 
Prova Final de Processos Estocásticos I 
 PROF: André Diniz 
Data: 14/07/2011 
Questão 1: 
Os empregados de uma empresa recebem treinamento contínuo, e são avaliados anualmente 
em relação a sua capacitação para as atividades que desenvolvem. A avaliação possui três 
graus: C (insatisfatório), B (bom) e A (ótimo). 
 
A variação na capacitação dos empregados dessa empresa de um ano para o outro pode ser 
modelada como um processo de Markov com a seguinte matriz de transição P: 
 
 
Pergunta-se: 
 
(a) Um novo funcionário ingressa na empresa no nível de capacitação C. Após 3 anos de 
treinamento e avaliações, qual é probabilidade dele estar em cada nível? 
 
(b) No longo prazo, o que deverá acontecer com o nível de capacitação desse empregado? 
Questão 2: 
Considere uma cadeia de Markov com a seguinte matriz de transição de probabilidades: 
 
 
 
 
(a) Determine os estados absorventes, recorrentes e transientes desta cadeia 
(b) Quais são os conjuntos irredutíveis dessa cadeia? 
(b) Se o sistema iniciar no estado F, qual a probabilidade de ele se encontrar em cada um dos 
estados da cadeia, em um intervalo de tempo bem distante no futuro? 
 
 
 
 
 
 
Questão 3: 
Nos períodos de menor movimento em uma estrada, o fluxo de carros segue uma distribuição 
de Poisson com média de 90 veículos por hora. Nesta situação, o pedágio só opera com 1 
cabine, na qual os motoristas gastam, em média, 30 segundos para serem atendidos (ou seja, 
realizar o pagamento do pedágio e passar pela cancela). 
 
Nestes períodos de menor movimento, pergunta-se: 
 
(a) qual o percentual de tempo em que essa cabine fica desocupada? 
(b) qual a probabilidade de se formar uma fila de mais de 5 veículos, incluindo-se o que está 
sendo atendido? 
(c) qual o percentual de motoristas que ficam mais do que 5 minutos na fila? 
(d) A concessionária da rodovia estuda duas medidas alternativas para serem implementadas 
nesse pedágio nestes períodos de menor fluxo: colocar mais uma cabine operando ou 
implantar um sistema de cobrança automática, pelo qual os veículos são atendidos com 
mais rapidez. Em cada uma dessa medidas, quais as mudanças ocorridas nos parâmetros 
de entrada do modelo de filas para esse sistema? 
 
 
 
Questão 4: 
Um professor realizará a avaliação dos trabalhos em dupla dos alunos de uma turma. Cada 
avaliação dura, em média, 10 minutos, e as duplas chegam para serem avaliadas a uma taxa de 
8 duplas por hora. Caso, ao chegar, uma dupla perceba que há 10 duplas esperando na fila 
para serem atendidas, ela desiste de realizar a avaliação nesse dia, e não ingressa no sistema. 
Tanto o processo de chegada das duplas como de avaliação dos trabalhos pode ser 
considerado Markoviano. 
 
Pergunta-se: 
 
(a) Qual o tempo médio de espera na fila, para as duplas que ingressam no sistema? 
(b) Qual o percentual médio de duplas que desistem da avaliação nesse dia? 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO 
Instituto de Matemática e Estatística 
Curso de Graduação em Ciências Atuariais / Estatística 
 
Prova Final de Processos Estocásticos I 
 PROF: André Diniz 
Data: 14/07/2011 
GABARITO 
Questão 1 
(a) 
R: [9/32; 19/32; 4/32] = [0,281; 0,594; 0,125] 
 
(b) no futuro, o empregado tenderá a atingir o nível A, com probabilidade igual a 1 
Questão 2 
(a) Transientes: {A,C,I} 
 Recorrentes: {B,D,E,F,G,H} 
 
(b) Conjuntos fechados: 
 C1 = {B,D,E} 
 C2 = {F,G,H} 
 (c) ; 
 para os demais estados => zero 
 
Questão 3 
(a) 0,25 
(b) 0,178 
(c) Wq(5) =0,93844 => 6,156% 
(c) Aumento no número de cabines => aumento do c 
 Aumento na velocidade de atendimento => maior µ 
Questão 4 
(a) P0 = 0,0109 
 L = 8,3926 
 Lq = 7,4035 
 PK = 0,258 
� Wq = 1,2475 => 74,85 minutos 
 
 (b) 25,8% dos alunos. 
 
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO 
Instituto de Matemática e Estatística 
Curso de Graduação em Ciências Atuariais / Estatística 
 
Prova Final de Processos Estocásticos I 
PROF: André Diniz -Data: 19/12/2011 
Questão 1: 
Considere o conjunto de todos os computadores de uma empresa. Para fins de controle, cada 
computador pode estar, no início do dia, em cada um desses 3 estados: 
• na empresa, em pleno funcionamento, sendo utilizado por algum funcionário; 
• em um depósito da empresa, com defeito, e aguardando envio para a assistência técnica; 
• na assistência técnica, aguardando ser devolvido para a empresa. 
Analisando-se os dados históricos da empresa, observa-se que: 
• a probabilidade de um computador em pleno funcionamento dar defeito durante o dia é 
de 0,05. Quando isto ocorre, em 20% das vezes o computador é enviado para a assistência 
técnica no mesmo dia, e em 80% das vezes ele é destinado para o depósito da empresa, onde 
aguardará até ser enviado para a assistência técnica 
• dentre os computadores que iniciam o dia no depósito, 50% são enviados para a 
assistência técnica neste mesmo dia, e 50% permanecem nesse setor, para serem enviados em 
outros dias. Ressalta-se que não há ordem definida para envio dos computadores defeituosos 
para a assistência técnica, ou seja, os computadores são escolhidos aleatoriamente. 
• dentre os computadores que iniciam o dia na assistência técnica, 10% são devolvidos para 
a empresa durante o dia. Entretanto, 80% dos computadores devolvidos ainda apresentam 
problema, e iniciam o dia seguinte no depósito, aguardando para serem enviados novamente 
para a assistência técnica no futuro. Os demais computadores devolvidos são liberados para 
serem utilizados pelos funcionários no dia seguinte. 
Com base nestas informações, responda às questões abaixo: 
(a) Represente o sistema descrito acima como uma cadeia de Markov, e mostre o seu 
diagrama de estados 
(b) Um computador em funcionamento representa um lucro diário de R$1.000,00 para a 
empresa. Um computador no depósito representa um prejuízo diário de R$100,00 e um 
computador na assistência técnica, um prejuízo diário de R$500,00. 
 Qual o lucro (ou prejuízo) médio diário da empresa, em relação ao uso de computadores? 
Questão 2: 
Considere uma cadeia de Markov com estados A,B,C,D,E,F e matriz de transição de 
probabilidades P abaixo, onde os estados estão em ordem alfabética nas linhas e colunas: 
P=




















0,100000
0
1,0
0
0
0
9,01,0000
4,03,02,000
005,005,0
0008,01,0
008,002,0
 
(a) Quais são os conjuntos fechados e irredutíveis desta cadeia? 
(b) Classifique cada um dos estados em recorrente ou transiente 
(c) O que poderá ocorrer com o sistema no futuro distante, quando ele se inicia no estado E? 
 
Questão 3 
Um site de compras tem capacidade de processar apenas 1 pedido por vez, e seu buffer é 
dimensionado para armazenar no máximo 9 pedidos na fila (sem considerar o que está sendo 
processado). Os processos de chegada e de processamento dos pedidos são Markovianos, com 
taxas médias de 20 e 15 pedidos por minuto, respectivamente. Responda: 
(a) Qual o tempo médio que um pedido permanece no sistema, desde que ele é efetuado até o 
final de seu processamento? 
(b) Qual o número médio de pedidos na fila? 
(c) O que acontecerão com as medidas de desempenho calculadas nos itens (a) e (b), se a 
capacidade de armazenamentodo sistema for infinita? 
Questão 4 
Um banco trabalha no sistema de fila única, com 4 caixas. A taxa média de chegada é de 1 
cliente por minuto, segundo distribuição de Poisson. O tempo de atendimento de cada caixa 
tem distribuição exponencial, com média de 3 minutos. 
Calcule: 
(a) O tempo médio que os clientes aguardam na fila, até o início do atendimento 
(b) A probabilidade de um cliente, ao chegar a esse banco, não enfrentar fila 
 
 
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO 
Instituto de Matemática e Estatística 
Curso de Graduação em Ciências Atuariais / Estatística 
 
Prova Final de Processos Estocásticos I 
 PROF: André Diniz 
Data: 19/12/2011 
GABARITO 
Questão 1 
 
(a) É uma cadeia de Markov com matriz de transição: 










=
9,008,002,0
5,05,00
01,004,095,0
P 
onde os estados correspondentes são: {funcionando, no depósito, na assistência técnica} 
 
(b) prejuízo de R$74,87 
 
Questão 2 
 
(b) 
Conjuntos fechados: {A,B,C}, {A, C}, {F} 
Conjuntos irredutíveis: {A,C}, {F} 
 
b) Transientes: {B,D,E} 
 Recorrentes: {A,C,F} 
 
(c) O sistema ou cairá no conjunto irredutível {F} ou cairá no conjunto irredutível {A,C}; 
 
Questão 3 
(a) ≈ 0,50 minutos 
(b) ≈ 6,50 
(c) ambas as medidas iriam “explodir”, assumindo valores médios que tenderão para infinito 
 
Questão 4 
(a) ≈ 1,53 minutos 
(b) ≈ 0,49