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1 PROBABILIDADE 6 1 - CONCEITOS PRELIMINARES Em geral, um experimento determinístico, ao ser observado e repetido sob um mesmo conjunto específico de condições conduz invariavelmente ao mesmo resultado. Existem experimentos que apresentam um novo resultado a cada realização, mesmo que sob condições idênticas. A variabilidade no resultado destes experimentos estatísticos é objeto de estudo da Teoria de Probabilidade. EXPERIMENTO ALEATÓRIO Um experimento é dito aleatório quando o seu resultado não for previsível antes da sua realização, ou seja, é um experimento cujos resultados estão sujeitos unicamente ao acaso. EXEMPLOS 1. No lançamento de um dado honesto, observe o número da face voltada para cima. 2. No lançamento de uma moeda por quatro vezes, observe o número de caras obtido. 3. Uma lâmpada ao ser fabricada e ensaiada. Observe o seu tempo de vida. 4. Observe o tempo de espera de uma determinada pessoa numa fila para atendimento. 5. Peças são fabricadas até que 10 peças perfeitas sejam produzidas. O número total de peças é observado. 2 ESPAÇO AMOSTRAL Espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Geralmente é denotado como S. EXEMPLOS 1. No lançamento de um dado honesto, observe o número da face voltada para cima. 2. No lançamento de uma moeda por quatro vezes, observe o número de caras obtido. 3. Uma lâmpada ao ser fabricada e ensaiada. Observe o seu tempo de vida. 4. Peças são fabricadas até que 10 peças perfeitas sejam produzidas. O número total de peças é observado. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} S = {0, 1, 2, 3, 4} S = {t R | t 0} S = {10, 11, 12, 13,….} EXEMPLOS EXEMPLO: Lançamento de dois dados. 1 2 3 4 5 6 1 11 12 13 14 15 16 2 21 22 23 24 25 26 3 31 32 33 34 35 36 4 41 42 43 44 45 46 5 51 52 53 54 55 56 6 61 62 63 64 65 66 EXEMPLOS EXEMPLO: Baralho de 52 cartas. Às, 2 ... 10 Rei, Dama, Valete Às, 2 ... 10 Rei, Dama, Valete Às 2 ... 10 Rei, Dama, Valete Às 2 ... 10 Rei, Dama, Valete 3 DIAGRAMA DE ÁRVORE EXEMPLO: Um experimento consiste em se jogar uma moeda e jogá-la pela segunda vez, caso ocorra uma cara. Se uma coroa ocorre no primeiro lançamento, então um dado é lançado uma única vez. Listar os elementos de S. EVENTOS É qualquer subconjunto de um espaço amostral. Geralmente denotado por uma letra maiúscula. Dizemos que o evento A ocorre se qualquer um dos resultados de E ocorre. EXEMPLOS Considere a jogada de um dado e observe o número da face voltada para cima. O espaço amostral é: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. O evento A = número par é o conjunto: A = {2, 4, 6} O evento B = número maior que 5 é o conjunto: B = {6} 4 EVENTOS EVENTO SIMPLES: formado apenas por um elemento do espaço amostral Ex.: = lançamento de um dado S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } C = sair face 4 C = { 4 } EVENTO COMPOSTO: formado por dois ou mais elementos do espaço amostral Ex.: = lançamento de um dado S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } D = sair face maior que 3 EVENTOS D = { 4, 5, 6 } Evento Certo EVENTOS ocorre em qualquer das realizações do experimento Ex.: = lançamento de um dado S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } E = sair face menor que 7 EVENTO IMPOSSÍVEL: não ocorre em qualquer realização do experimento Ex.: = lançamento de um dado S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } F = sair face maior que 6 EVENTOS 5 OPERAÇÕES COM EVENTOS Evento União: (A B) S OPERAÇÕES COM EVENTOS Evento Interseção: A ∩ B S OPERAÇÕES COM EVENTOS Evento complementar: AC S Ac OPERAÇÕES COM EVENTOS Eventos Mutuamente Exclusivos S 6 EXEMPLOS Lançam-se três moedas. Enumerar o espaço amostral e os eventos: a) faces iguais; b) cara na 1ª. moeda; c) coroa na 2ª. e 3ª. moedas. C K C CC CK K KC KK CC CK KC KK C CCC CCK CKC CKK K KCC KCK KKC KKK 2 MOEDAS 3 MOEDAS a) A = { ccc ; kkk } b) B = { ccc ; cck ; ckc ; ckk } c) C = { ckk ; kkk } DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADES P ( A ) = N.º de casos favoráveis à ocorrência do evento A N. º total de casos possíveis Retira-se uma carta de um baralho completo de 52 cartas. Qual a probabilidade de sair um Às? AXIOMAS 0 P(A) 1, para todo A P(S) = 1 P( ) = 0 7 DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADES Seja = jogar uma moeda duas vezes e observar o resultado. Qual a probabilidade de se obter pelo menos 1 cara ? Um dado é construído de tal forma que um número par é duas vezes mais provável de acontecer do que um ímpar. Seja A = um número menor que 4 ocorre. Calcular P(A) Seja o mesmo dado do exercício anterior B - um número par ocorre C - um número divisível por três ocorre Calcular: a) P(B C) b) P(B C) TEOREMA DA SOMA P (A+B) = P (A) + P(B) - P (A B) , se A B P (A+B) = P (A) + P(B) , se A B = Retira-se uma carta de um baralho completo de 52 cartas. Qual a probabilidade de sair rei ou uma carta de espadas? EXEMPLO Uma caixa com bolas contém 6 vermelhas, 4 azuis e três pretas. Se uma pessoa escolhe aleatoriamente 1 destas bolas, ache a probabilidade de escolher: a) 1 vermelha b) 1 azul ou 1 preta A probabilidade de Paulo passar em Matemática é 2/3 e a probabilidade de passar em Inglês é 4/9. Se a probabilidade de Paulo passar em ambas as disciplinas é 1/4, qual a probabilidade de que Paulo passe em pelo menos uma das duas disciplinas? PROBABILIDADE CONDICIONAL Sendo A e B eventos, define-se a probabilidade condicional do evento A dado que B ocorreu (ou probabilidade de A sabendo-se que B ocorreu) por: P(A / B) )B(P )BA(P P(A/B) , se P(B) 0 Beventodoocorrênciaàfavoráveiscasosdenúmero BAeventodoocorrênciaàfavoráveiscasosdenúmero )B/A(P 8 EXEMPLO Seja o experimento lançar um dado e verificar o resultado. Sejam os eventos: A= {sair o número 3} e B = {sair um número ímpar} Calcular P(A), dado que já ocorreu o evento B. Dois dados são lançados. Considere os eventos: A= {(x1, x2) | x1 + x2 = 10} B = {(x1, x2) | x1 > x2} Determinar: a) P(A) b) P(B) c) P(A/B) d) P(B/A) EXEMPLO Sendo P(A) = 1/3 , P(B) = ¾ e P(A U B) = 11/12 , calcular P(A/B). Numa dada cidade, tem-se a seguinte situação: Qual a probabilidade de um homem ser escolhido, dado que está empregado? EXEMPLO A probabilidade de um voo regular partir no horário é P (D) = 0,83 ; a probabilidade deste voo chegar no horário é P(A) = 0,82; a probabilidade de que parta e chegue no horário P(D∩A) = 0,78. Calcule: a) A probabilidade do voo chegar no horário tendo saído no horário e b) A probabilidade do voo ter saído no horário dado que chegou no horário. 9 EVENTOS INDEPENDENTES Se A e B são independentes, então: P(A/B) = P(A) e P(B/A) = P(B) EXEMPLO Sendo S = {1, 2, 3, 4} um espaço amostral equiprovável Sejam A = {1, 2} B = {2, 3} C = {4}, três eventos de S. Verificar quais eventos são independentes. EXEMPLO Lança-se um par de dados não-viciados. Determine: a) A probabilidade de ocorrer face dois em qualquer um deles. b) A probabilidade da soma das faces ser 6. c) Se a soma é 6, qual a probabilidade de ter ocorrido a face 2 em qualquer um deles? d) Os eventos soma é 6 e face 2 em qualquer um deles, são independentes? TEOREMA DO PRODUTO P(A B) = P(A). P(B/A) se A e B forem dependentes P(A B) = P(A). P(B) se A e B forem independentes 10 EXEMPLO Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Duas peças são retiradas, uma após a outra,sem reposição. Qual a probabilidade de que ambas sejam boas? Um saco contém 4 bolas brancas e 3 bolas pretas. Um segundo saco contém 3 bolas brancas e 5 pretas. Uma bola é retirada do primeiro saco e colocada no segundo. Qual a probabilidade de se retirar uma bola preta do segundo saco? Uma pequena cidade tem um extintor de incêndio e uma ambulância disponíveis para emergências. A probabilidade do extintor estar disponível quando necessário é de 0,98 e a probabilidade da ambulância estar disponível quando chamada é de 0,92. No caso de um acidente com vítimas resultante de um incêndio em um edifício, qual a probabilidade de que tanto o extintor como a ambulância estejam disponíveis ? TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL Supondo que os eventos A1 , A2 , ... , Ai, constituam uma partição de S, então: P(B) = P(A1).P(B/A1) + P(A2).P(B/A2) + ... + P(An).P(B/An) = P(Ai).P(B/Ai) EXEMPLO Em uma fábrica, 3 máquinas B1, B2 e B3 fazem, respectivamente, 30%, 45% e 25% dos produtos. Sabe-se de experiências passadas que 2%, 3% e 2%, respectivamente dos produtos fabricados são defeituosos. Suponha que um produto seja escolhido ao acaso. Qual a probabilidade de ele ser defeituoso ? TEOREMA DE BAYES Seja B um evento desse espaço amostral. Sejam conhecidas P(A) e P(B/A). Então: 11 EXEMPLO No exemplo anterior, um produto foi escolhido ao acaso e verificou-se que é defeituoso. Qual a probabilidade de ter sido fabricado pela máquina B3 ? EXEMPLO Escolheu-se uma urna ao acaso e dela extraiu-se uma bola também ao acaso, verificando-se que a bola é branca. Qual a probabilidade da bola ter vindo da urna 1 ? E da urna 2 ? UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – ESTATÍSTICA PROF.: NEYDE MARIA ZAMBELLI MARTINS 1 GABARITOS 1) a) 50% b) 16,67% c) 50% 2) a) 80% b) 70% c) 50% 3) P(A) = 57,14% P(B) = 28,57% P(C) = 14,29% P(B U C) = 42,86% 4) a) 1 2 3 4 5 6 c 1c 2c 3c 4c 5c 6c k 1k 2k 3k 4k 5k 6k b) A = { 2c, 4c, 6c } B = { 2c, 2k, 3c, 3k, 5c, 5k } C = { 1k, 3k, 5k } c) A ou B = { 2c, 2k, 3c, 3k, 4c, 5c, 5k, 6c } A e B = { 2c } somente B = { 2k, 3c, 5c } d) Somente A e C são mutuamente exclusivos. 5) I – 1 60 77 5 1 4 1 3 1 2 1 logo, I não é função de probabilidades II – 4 1 aP 3 é um número negativo, logo, II não é função de probabilidades III – os valores são não negativos e a soma das probabilidades é igual a 1, logo, III é função de probabilidades IV – os valores são não negativos e a soma das probabilidades é igual a 1, logo, IV é função de probabilidades 6) 40% 7) A e B são independentes, A e C são independentes e B e C são dependentes 8) 25,45% 9) 8,33% 10) a) 3,7% b) 40,54% 11) a) P(a1) = 18 7 b) P(a1) = 3 1 e P(a2) = 6 1 12) 66,67% 13) P(A/B) = 22,22% 14) P(A ∪ B) = 62,5% 15) i) 12,16% ii) 8,11% iii) 48,65% iv) 15,38% 16) a) 34% b) 18,18% 17) a) 7,95% b) 29,3% c) 3,3% d) 70,7% UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – ESTATÍSTICA PROF.: NEYDE MARIA ZAMBELLI MARTINS 2 18) a) S = { 0, 1, 2, 3, ..., n } onde n = no. máximo de peças produzidas b) S = { 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } c) A B C D E A AA AB AC AD AE B BA BB BC BD BE C CA CB CC CD CE D DA DB DC DD DE E EA EB EC ED EE d) B AB C AC D AD E AE A BA C BC D BD E BE A CA B CB D CD E CE A DA B DB C DC E DE A EA B EB C EC D ED A B C D E 19) a) A afirmação é verdadeira, P(A) = P(B) = 80% b) A e B são dependentes pois não há reposição dos elementos selecionados. 20) a) 30% b) 68% 21) a) 50% N = não pretende continuar os estudos M = Classe Média N e M são dependentes pois P(N)= 0,60 P(N/M) = 0,50 b) 12,5% C = pretende continuar os estudos B = Classe Baixa C e B são dependentes pois P(B)= 0,375 P(B/C) = 0,3125 22) a) 25,5% b) 14,71% c) 20,83% 23) a) 32% b) 24,5% UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – ESTATÍSTICA PROF.: NEYDE MARIA ZAMBELLI MARTINS 3 24) 40% 25) 83,33% 26) 60% 27) 4% 28) 13,33% 29) 71,58% 30) a) S = { x, 0 x 100} onde x = notas obtidas b) S = {passar, não passar} c) S = { x, 1 x 6} onde x = peso de recém nascidos d) S = 1 2 3 4 5 6 c 1c 2c 3c 4c 5c 6c k 1k 2k 3k 4k 5k 6k c = cara k = coroa e) S= FF FM MF MM FF FFFF FFFM FFMF FFMM FM FMFF FMFM FMMF FMMM MF FMFF FMFM FMMF FMMM MM FMFF FMFM FMMF FMMM F = feminino M = masculino f) S = A B C D E A AA AB AC AD AE B BA BB BC BD BE C CA CB CC CD CE D DA DB DC DD DE E EA EB EC ED EE 31) a – b – c - f 32) a) 50% b) 75% c) 75% d) 0 33) a) 16,67% b) 83,33% c) 41,67% d) 50,00% e) 20% f)16,67% g)0 34) 5% 35) a) 55% b) 46,67% c) 28,33% d) 64,29% e) 62,96%Um 36) 0,1% - 99,9% 37) a) 6,25% b) 5% c) 60%d) 15% 38) 60% 39) a) 65% b) 36,67% c) 20,83% d) 32,05% e)44,17% f) Sim 40) 24,8% 41) 30% 42) a) 34,2% b) 12,7% c) 3,8% d) 16,5% e) 41,8% f)54,4% 43) a) 12,5% b) 37,5% 44) a) 33,33% b) 16,67% c) 50% d) 66,67% e) 83,33% f) 75% 45) a) 62,5% b) 37,5% c) 20,83% d) 55,55% 46) a) 40% b) 30% c) 10% d) 60% 1 VARIÁVEL ALEATÓRIA 7 VARIÁVEL ALEATÓRIA S característica qualitativa quantitativa discreta contínua Definição: VARIÁVEL ALEATÓRIA é a função que associa cada elemento de S a um número real. Xv.a. VARIÁVEL ALEATÓRIA S CC KC CK KK X: número de caras em 2 lances de moeda 0 1 2 X = 0 ⇔ KK X = 1 ⇔ KC ∪ CK X = 2 ⇔ CC P(X = 0) = P(KK) P(X = 1) = P(KC ∪ CK) P(X = 2) = P(CC) (imagem) Experimento: jogar 1 moeda 2 vezes e observar o resultado (C = cara e K = coroa) VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA Definição: Uma v.a. é discreta quando o conjunto de valores possíveis (imagem) for finito ou infinito numerável. P(X = xi) ≥ 0 para todo i 1 ( ) 1i i P X x ∞ = = =∑ Função de Probabilidade ( ) ( )f x P X x= = EXEMPLOS a) jogar dados X: ponto obtido no dado X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} X: = 1 se ponto for igual a 6 X: = 0 caso contrário X = {0, 1} b) jogar 5 moedas (ou uma moeda 5 vezes) X: número de caras em 5 lances X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} EXEMPLOS Duas bolas são retiradas sucessivamente, sem reposição, de uma caixa que contém 4 bolas vermelhas e 3 pretas. Seja X a variável aleatória “número de bolas vermelhas retiradas no experimento” Quais os valores assumidos por “X” ? Quais são DISCRETAS e quais são CONTÍNUAS? • número de dias chuvosos em um mês • precipitação diária medida no pluviômetro • número de alunos presentes na sala de aula • vazão em uma dada seção do rio • idade dos alunos de uma sala • peso dos alunos desta sala • número de disciplinas cursadas por aluno • evaporação mensal de um açude • velocidade do vento 2 EXEMPLOS É possível que o próprio resultado do experimento já possa ser expresso como uma VA? Sim. Exemplo, VA resultado da jogada de um dado. Pode-se a um experimento associar-se mais de uma VA? Sim. Por exemplo, no caso das moedas, seja X uma VA que representa o número de caras do experimento e Y uma VA que representa o número de coroas. VALOR ESPERADO • → se X for discreta • → se X for contínua ∑ = == n i ii xXPxXE 1 )()( ∫ ∞ ∞− = dxxfxXE )(.)( VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO • • VARDP = ( ) ( )[ ] ( ) in i pXXE onde XEXEXVAR ∑ = = −= 1 22 22 , )( EXEMPLOS Seja um sistema de teste de celulares. Cada celular tem 80% de chance de ser reprovado em um teste. Em um experimento, três equipamentos são testados. Supondo que cada equipamento é independente do outro, estabeleça a distribuição de probabilidade do número X de equipamentos que são reprovados e calcule a média e o desvio padrão dessa v.a. EXEMPLOS O tempo T, em minutos, necessário para um operário processar certa peça é uma v.a. com a seguinte distribuição de probabilidade: a) Calcule o tempo médio de processamento. b) Para cada peça processada, o operário ganha um fixo de $2,00 mas, se ele processa a peça em menos de seis minutos, ganha $0,50 em cada minutopoupado. Por exemplo, se ele processa a peça em quatro minutos, ganha a quantia adicional de $1,00. Encontre a distribuição, a média e a variância da v.a. G: quantia em $ ganha por peça. t 2 3 4 5 6 7 P(T=t) 0,1 0,1 0,3 0,2 0,2 0,1 UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA PROF.: NEYDE MARIA ZAMBELLI MARTINS 1 GABARITO 1) 27,8% 2) a) X 0 1 2 3 P(x) 8/27 12/27 6/27 1/27 b) E(X) = 1 3) R$ 100,00 4) a) X 0 1 2 P(x) 7/26 14/26 5/26 b) P(X 1)=21/26 5) 2,7 6) a) X -17 -14 -11 3 5 7 P(x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 b) E(X)= R$-4,5 7) (R$ 9,21) 8) a) Resultados Probabilidade X PP 6/15 0 PV 4/15 1 VP 4/15 1 VV 1/15 2 b) X 0 1 2 P(x) 6/15 8/15 1/15 9) 2,5 é a média do salário médio amostral e 0,791 é o desvio padrão do salário médio amostral 10) Se João apostar diversas vezes, espera-se que ele tenha um lucro de R$2,50. Como ele apos- ta sempre R$3,00, não é vantagem João apostar. 11) a) X -5 0 5 P(x) 4/6 1/6 1/6 b) E(X) = R$-2,50 1 MODELOS TEÓRICOS DISCRETOS 8 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL Experimento binomial é o experimento que consiste em : O experimento deve ser repetido, nas mesmas condições, um número finito de vezes (n); As provas repetidas devem ser independentes, isto é, o resultado de uma não deve afetar os resultados das sucessivas. Em cada prova deve aparecer um dos dois possíveis resultados: sucesso e fracasso. No decorrer do experimento, a probabilidade p do sucesso e a probabilidade q = 1 – p do fracasso serão constantes. Resolveremos problemas do tipo: determinar a probabilidade de se obterem x sucessos em n tentativas. DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL xnxqp x n xXP onde x=0,1,2,...,n sendo: !! ! xnx n x n qpnXDP qpnXVAR npXE .. .. P(X= x) a probabilidade de que o evento se realize x vezes em n provas; p a probabilidade de que o evento se realize em uma só prova – sucesso; q a probabilidade de que o evento não se realize no decurso dessa prova – fracasso; com: Medidas descritivas EXEMPLOS 1. Uma moeda é lançada 5 vezes seguidas e independentes. Calcule a probabilidade de serem obtidas 3 caras nessas 5 provas? 2 EXEMPLOS 2. Jogando‐se um dado três vezes, determine a probabilidade de se obter um múltiplo de 3 duas vezes. EXEMPLOS 3. Dois times de futebol, A e B, jogam entre si 6 vezes. Encontre a probabilidade do time A : a) ganhar 4 jogos; b) ganhar dois ou três jogos; c) ganhar pelo menos um jogo. EXEMPLOS 4. Seis parafusos são escolhidos ao acaso da produção de certa máquina, que apresenta 10% de peças defeituosas. Qual a probabilidade de serem defeituosos dois deles? EXEMPLOS 5. Você tem uma carteira com 15 ações. No pregão de ontem 75% das ações na bolsa de valores caíram de preço. Supondo que as ações que perderam valor têm distribuição binomial: a) Quantas ações da sua carteira você espera que tenham caído de preço? b) Qual o desvio padrão das ações que tem na carteira? c) Qual a probabilidade que as 15 ações da carteira tenham caído? d) Qual a probabilidade que tenham caído de preço exatamente 10 ações? e) Qual a probabilidade que treze ou mais ações tenham caído de preço? 3 DISTRIBUIÇÃO DE POISSON Depois da binomial, a distribuição de Poisson é a distribuição de probabilidade discreta mais utilizada, pois pode ser aplicada a muitos casos práticos nos quais interessa o número de vezes que um determinado evento pode ocorrer durante um intervalo de tempo ou num determinado ambiente físico, denominados área de oportunidade (comprimento, tempo, superfície, etc.), por exemplo: O número de suicídios ocorridos em uma cidade durante um ano; O número de acidentes automobilísticos ocorridos numa rodovia em um mês; Número de chegadas a um caixa automático de um banco durante um período de 15 minutos Defeitos por unidade (cm, m, etc.) por peça fabricada Erros tipográficos por página, em um material impresso Usuários de computador ligados à Internet DISTRIBUIÇÃO DE POISSON Nos exemplos, não há como determinar‐se a probabilidade de ocorrência de um sucesso, mas sim a frequência média de sua ocorrência, como, por exemplo, dois suicídios por ano. Poisson é uma distribuição de probabilidade discreta que se aplica a ocorrência de eventos ao longo de intervalos especificados. A variável aleatória é o número de ocorrência do evento no intervalo. Os intervalos podem ser de tempo, distância, área, volume ou alguma unidade similar. DISTRIBUIÇÃO DE POISSON !x e xXP x Onde: X é o número de ocorrências e é a base dos logaritmos naturais (e = 2,71828) é a taxa média por unidade XVAR XE Uma variável aleatória X admite distribuição de Poisson se: Medidas descritivas EXEMPLOS 1. Uma central telefônica tipo PABX recebe uma média de 5 chamadas por minuto. Qual a probabilidade deste PABX não receber nenhuma chamada durante um intervalo de 1 minuto? 4 DISTRIBUIÇÃO DE POISSON Uma distribuição de Poisson difere de uma distribuição binomial nestes aspectos fundamentais: A distribuição binomial é afetada pelo tamanho da amostra n e pela probabilidade p, enquanto que a distribuição de Poisson é afetada apenas pela média ; Na distribuição binomial, os valores possíveis da variável aleatória x são 0; 1; 2; ...; n, mas a distribuição de Poisson tem os valores de x de 0; 1; 2; ..., sem qualquer limite superior. Obs: O parâmetro λ é usualmente referido como taxa de ocorrência. EXEMPLOS 2. O número de mulheres que entram diariamente em uma clínica de estética para bronzeamento artificial apresenta distribuicão de Poisson, com média de 5 mulheres por dia. Qual a probabilidade de que em um dia particular, o número de mulheres que entram nesta clínica de estética para bronzeamento artificial, seja: a) Igual a 2? b) Inferior ou igual a 2? EXEMPLOS 3. Considere a v.a. X = número de projetos que um engenheiro executa. No mês em curso relativo ao último ano obteve-se uma média de 6,5 projetos executados por semana (5 dias). Qual é a probabilidade de que, durante uma semana qualquer: a) Não execute nenhum projeto b) Execute ao menos um projeto c) Execute mais de um projeto d) Não executar nenhum projeto no período de um dia EXEMPLOS 4. A experiência passada indica que um número médio de 6 clientes por hora param para colocar gasolina numa bomba. a) Qual é a probabilidade de 3 clientes pararem qualquer hora? b) Qual é a probabilidade de 3 clientes ou menos pararem em qualquer hora? c) Qual é o valor esperado, a média, e o desvio padrão para esta distribuição? 5 EXEMPLOS 5. Um departamento de polícia recebe em média 5 solicitações por hora. Qual a probabilidade de receber 2 solicitações numa hora selecionada aleatoriamente? UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – ESTATÍSTICA PROF.: NEYDE MARIA ZAMBELLI MARTINS 1 GABARITO 1) a) 53,14% b) 46,86% c) 11,43% d) 88,57% e) 1,59% 2) a) 1,02% b) 98,98% c) 33,70% 3) 63,31% 4) a) 87,04% b) R$522.240,00 5) 67,78% 6) a) 34,56% b) 97,44% c) 47,52% 7) a) E(X) = 15 e Var(X) = 14,55 b) 1.500 parafusos 8) 19,54% 9) a) 1,83% b) 7,33% c) 14,65% d) 90,84% 10) a) 59,87% b) 1,16% 11) a) 44,93% b) 14,38% 12) 19,01% 13) a) 91,97% b) 6,13% c) 8,03% 14) 18,04% 15) 23,44% 1 MODELOS TEÓRICOS CONTÍNUOS 9 Médias, desvios e sinos … Uso da curva normal Freqüência Variável X Média Alta frequência Baixa frequência Área sob a curva permite obter as probabilidades CARACTERÍSTICAS DA CURVA Na teoria, prolonga-se de: – infinito a + infinito Área sob toda a curva igual a 100% Simétrica Área de cada lado igual a 50% 2 DISTRIBUIÇÃONORMAL PADRÃO A distribuição normal padrão é uma distribuição de probabilidade normal com média (μ) igual a 0 e desvio padrão (σ) igual a 1. AINDA BEM! Mas … ainda bem as áreas já estão calculadas em tabelas padronizadas Tabelas permitem obter de forma rápida e simples os valores das áreas sob a curva Para isso …. é preciso calcular valores padronizados da variável NA TABELA … Z = +1,25 1 ,2 0 0,05 Z 0,04 0,05 0,06 0,00 0,0160 0,0199 0,0239 0,10 0,0557 0,0596 0,0636 ... ... ... ... 1,10 0,3729 0,3749 0,3770 1,20 0,3925 0,3944 0,3962 1,30 0,4099 0,4115 0,4131 Área = 39,44% Tabelas facilitam os cálculos (Entre a 0 e Z) Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,00 0 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 0,10 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 0,20 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 0,30 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 0,40 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 0,50 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224 0,60 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 0,70 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 0,80 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133 0,90 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389 1,00 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 1,10 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 1,20 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015 1,30 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 1,40 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 Para Z =0,64 0,2389 3 Como a curva é simétrica … O que vale para o lado positivo vale para o lado negativo Z 0,00 0,01 0,02 0,00 (0,0000) 0,0040 0,0080 0,10 0,0398 0,0438 0,0478 1,50 0,4332 0,4345 0,4357 NA TABELA … Z = -1,50 1 ,5 0 0,00 Área = 43,32% Para encontrar o valor da probabilidade, primeiro desenhe um gráfico, sombreie a região desejada e pense em uma maneira de achar a área correspondente. P(a<z<b): probabilidade do escore z estar entre a e b P(z>a): probabilidade do escore z ser maior que a P(z<a): probabilidade do escore z ser menor que a ENCONTRANDO PROBABILIDADES EXEMPLO P(-1,28 < Z < 0) P(0 < Z < 1,48) P(-0,85 < Z < 2,18) P(Z < 2,15) P(Z > 1,22) P(Z > -1,76) P(Z < -0,43) P(Z=2) P(1,78 < Z < 2,15) P( -2,31 Z -1,41) 4 EQUIVALÊNCIA ENTRE NORMAL E NORMAL PADRÃO A área em qualquer distribuição normal limitada por um escore x é igual à área limitada pelo escore z equivalente na distribuição normal padrão. CONVERTENDO A VARIÁVEL ORIGINAL x Z x Suponha um consultor investigando o tempo que os trabalhadores de uma fabrica levam para montar determinada peça. Suponha que analises da linha de produção tenham calculado o tempo médio de 75 segundos e desvio padrão de 6 segundos. a) Qual a probabilidade de um trabalhador levar um tempo entre 75 e 81 segundos para montar uma peça? APLICAÇÃO Suponha um consultor investigando o tempo que os trabalhadores de uma fabrica levam para montar determinada peça. Suponha que analises da linha de produção tenham calculado o tempo médio de 75 segundos e desvio padrão de 6 segundos. a) Qual a probabilidade de um trabalhador levar um tempo entre 75 e 81 segundos para montar uma peça? APLICAÇÃO 5 b) Qual a probabilidade de um trabalhador montar uma peca entre 69 e 81 segundos? c) Qual a probabilidade de um trabalhador montar uma peca em menos de 62 segundos? d) Qual a probabilidade de um trabalhador montar uma peca entre 62 e 69 segundos? APLICAÇÃO INVERTENDO A ORDEM DA PROCURA Em algumas situações, com base na probabilidade é preciso obter os valores de X Alguns cuidados são necessários … e) Em qual intervalo de tempo 99,7% dos trabalhadores montam um peca? f) Qual o tempo que separa os 90% mais rápidos dos 10% mais lentos ? APLICAÇÃO Um marinheiro recebe um telegrama avisando que sua esposa deu a luz naquele dia, 308 dias apos sua última visita. Sendo que os prazos de gravidez tem distribuição normal com media de 268 dias e desvio padrão de 15 dias, pergunta-se: o marinheiro deve se preocupar...? APLICAÇÃO 6 As alturas de 10.000 alunos de um colégio tem distribuição aproximadamente normal com média 170cm e desvio padrão de 5cm. a) Qual o número esperado de alunos com altura superior a 165cm? b) Qual o intervalo simétrico em torno da média que conterá 75% das alturas dos alunos? EXEMPLOS UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – ESTATÍSTICA PROF.: NEYDE MARIA ZAMBELLI MARTINS 1 GABARITO 1) 15,87% 2) a) 40,13% b) 19,33% 3) a) 8.413 alunos b) de 164,25cm à 175,75cm 4) O aparelho D2 de ser preferível. O aparelho D1 de ser preferível. 5) a) 442 estudantes b) 100 estudantes 6) 30,83% 7) a) 2,28% 99,96% 54,35% 0 85,51% b) 9,75 cm3/min 8) a) 2,87% b) 0 c) 62,54% 9) 425,6g 10) Sim. 11) a) 4,75% b) 10 pessoas c) 54,02 12) a) 21,19% b) 68,26% c) 11,55% d) 113 13) a) 38,3% b) 50% c) 69,15% d) 30,85% e) 22,66% 14) a) 67 b) 773 c) 296 15) a) 2,28% b) R$ 3.880,00 16) A-acima de 62,8 B-entre 56,7 e 62,8 C-entre 43,3 e 56,7 D-entre 37,2 e 43,3 F-abaixo de 37,2 17) a) 42,86% b) 43% c) 16,6ºC 18 ) a) 41,92% b) 45,99% c) 27,34% d) 27,34% e) 83,01% f) 14,52% g) 68,26% h) 95,44% i) 99,74% j) 38,49% k) 31,59% l) 44,52% m) 42,79% n) 16,28% o) 42,51% p) 47,78% q) 32,27% r) 15,86% s) 15,72% t) 57,01% u) 7,30% v) 86,23% 19) a) 1,96 b) 0,86 c) - 1,12 d) 0,85 e) - 1,645 f) 1,645 g) 2,575 h) 0 i) 1,10 20) 6,68% 21) 4,75% 22) a) 77,34% b) 91,15% c) 19,04% d) 54,57% e) 86,12% 23) 15,96% 24) a) 43,32% b) 53,28% 25) a) 84,13% b) 0,99% c) 121 pneus d) 126 pneus Distribuição Normal Padronizada _ , _ _ a , b c a = número inteiro lido na primeira coluna b = número decimal lido na primeira coluna c = número centesimal lido na primeira linha O valor de z será encontrado na intersecção entre a coluna e a linha. Áreas sob a curva normal padrão. Para os valores negativos de z as áreas são obtidas por simetria. z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224 0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2703 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133 0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389 1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015 1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,44411,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767 2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817 2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857 2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890 2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916 2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936 2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952 2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964 2,7 0,4965 0,4965 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974 2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981 2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4983 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986 3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990 3,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993 3,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995 3,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997 3,49 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998 3,6 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 3,9 0,500 Apostila 6 - Probabilidade - TRANSPARÊNCIAS DE AULA Apostila 6 - Probabilidades - Gabarito Apostila 7 - Variável Aleatória - TRANSPARÊNCIAS DE AULA Apostila 7 - Variável Aleatória - Gabarito Apostila 8 - Modelos Discretos de Probabilidade - TRANSPARÊNCIAS DE AULA Apostila 8 - Modelos Discretos de Probabilidade - Gabarito Apostila 9 - Probabilidade - TRANSPARÊNCIAS DE AULA Apostila 9 - Modelos Contínuos de Probabilidade - Gabarito Tabela Normal Padronizada
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