Questão resolvida - Limite envolvendo o limite fundamental - número de Euler - Cálculo I

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Calcule o limite abaixo:
 
lim
x 0→
ln 1+ 3sen x
sen x
( ( ))
( )
 
Resolução:
Subtituindo o limite; = = = =lim
x 0→
ln 1 + 3sen x
sen x
( ( ))
( )
ln 1 + 3sen 0
sen 0
( ( ))
( )
ln 1 + 3 ⋅ 0
0
( ) ln 1
0
( ) 0
0
 
 é uma indeterminação, para "retirar" a indeterminação vamos manipular a integral fazendo 
0
0
a seguinte substituição:
 
t = 3sen x sen x =( ) → ( )
t
3
 
Perceba que quando x tende a 0, t tende 0 também; 
se x tende a zero t 3sen 0 ⟹ t 3 ⋅ 0 → ( ) →
t 0→
Fazendo estas substituições, o limite fica: = 3 ⋅ ⋅ ln 1 + tlim
t 0→
ln 1 + t( )
t
3
lim
t 0→
1
t
( )
Usando propriedades logarítmicas e de limite: 3 ⋅ ln 1 + t = 3 ⋅ ln 1 + tlim
t 0→
( )
1
t lim
t 0→
( )
1
t
1 + t = e limite fundamental, número de Eulerlim
t 0→
( )
1
t →
 
Com isso, o valor do limite é : = 3 ⋅ ln e = 3 ⋅ 1 = 3lim
x 0→
ln 1 + 3sen x
sen x
( ( ))
( )
( ) → lim
x 0→
ln 1 + 3sen x
sen x
( ( ))
( )