OK - ALC - P2 - Representação de Retas e Planos no Geogebra 3D

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ROTEIRO DE PRÁTICA 
Tema Representação de Retas e Planos no Geogebra 3D Semana nº 04 
Local onde 
acontecerá a 
prática 
 Laboratório de Informática Disciplina (s) 
Álgebra Linear 
Computacional 
Pontuação 
Data da última 
atualização 
10/01/2020 
I. Instruções e observações 
 
LEIA COM ATENÇÃO AS SEGUINTES INSTRUÇÕES E OBSERVAÇÕES 
1. A atividade prática será realizada no Laboratório de Informática, no dia indicado pelo professor. 
2. É importante o conhecimento prévio do conteúdo sobre equações de retas e planos. 
3. É imprescindível ter o roteiro da prática em mãos, pois as respostas serão escritas nesse roteiro e ao final da 
aula será entregue ao professor. 
4. Essa atividade deve ser realizada, preferencialmente, em dupla. 
II. Materiais 
Descrição Quantidade 
Software GeoGebra 3D - 
Roteiro da prática Um por equipe 
Calculadora científica Um por equipe 
III. Introdução 
A modelagem de muitos fenômenos físicos é realizada no espaço tridimensional, dessa forma, uma boa visualização 
gráfica em sistemas cartesianos 3D torna-se indispensável à compreensão adequada de tais fenômenos. Neste 
sentido, o estudo detalhado dos atributos associados aos pontos, retas e planos como os vetores diretores, normais 
e suas equações vetorial, paramétrica, simétrica e geral, mostra-se bastante esclarecedor e capaz de proporcionar 
uma aprendizagem significativa. 
 
IV. Objetivos de Aprendizagem 
 
 Ao término desta atividade o aluno deverá ser capaz determinar as equações vetoriais, paramétricas e simétricas 
de retas e planos. Além disso, compreender a relação existente entre o vetor direção e a respectiva reta e entre o 
vetor normal e o plano associado a ele. 
 Utilizar o software Geogebra para esboço de pontos, retas e planos, bem como para a compreensão da 
visualização geométrica desses entes no espaço tridimensional, levando em consideração seus respectivos vetores 
diretores e normais. Determinação da equação da reta obtida através da interseção de dois planos. 
 
 V. Experimento 
 
ETAPA 1: estudo de retas 
 
 
 
 
 
 
PASSO 1: No GeoGebra 3D, esboce a reta de equação vetorial dada abaixo. 
 
�: � � �1,2,3� � 
�0,2,1� , 
 ∈ ℝ. 
 
Para esse primeiro passo, digite apenas a equação conforme figura abaixo. O sinal de multiplicação deve ser 
substituído por *. 
 
 
 
PASSO 2: Represente, no GeoGebra, o ponto � � �1,2,3� e o vetor �⃗ � �0,2,1�, digitando as funções conforme 
figuras abaixo: 
 
 
 
Qual a relação entre o ponto � e a reta �? E entre o vetor �⃗ e a reta �? 
 
 
 
 
 
PASSO 3: Responda: é possível escrever as equações paramétricas ou simétricas da reta �? Se sim, determine-as. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ETAPA 2: estudo de planos 
 
PASSO 4: Delete, no Geogebra 3D, todos os objetos representados até então. Agora, represente os 3 pontos a 
seguir: 
 
� � ��1,1,2� 
 
� � �2, �4,1) 
 
 z = 3 + h 
São paralelos
Paramétrica:
r: x=1
 y=2+2h
 z=3+h
Simétrica: Não é possível
 
 
 
 
 
� � ��4,0,0� 
 
Observe que os pontos representados não são colineares. Logo, existe um (e apenas um) plano � que passa por 
esses 3 pontos. 
 
 
 
PASSO 5: Determine as equações vetorial, paramétrica e simétrica do plano � que passa pelos pontos �, � e �. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PASSO 6: Represente (no GeoGebra 3D), a partir da equação geral, o plano �. Observe que, de fato, � passa pelos 
pontos �, � e �. 
 
 
Determinação da equação geral do plano �: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação Geral = alfa: - x - y + 2x = 4
Eq. vetorial:
r : W = (-1,1,2) + Fu + Hv
Eq. paramétrica:
α : x=-1+Fa1 + Ha2
 y= 1+Fb1 + Hb2
 z= 2 + fc1 + Hc2 
α= - x - y + 2z = 4
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PASSO 7: Represente o vetor normal ��⃗ ao plano �. Observe que, conforme esperado teoricamente, ele forma um 
ângulo de 90° com o plano �. 
 
 
ETAPA 3: determinação da reta dada pela interseção de dois planos 
 
PASSO 8: Novamente, no GeoGebra 3D, apague todos os objetos criados até este momento. Em seguida, esboce os 
planos de equações � � 2� � � � 1 e 2� � � � 3. Observe que os planos são concorrentes, ou seja, a interseção 
entre eles é uma reta. 
 
PASSO 9: Usando a ferramenta INTERSEÇÃO DE DUAS , trace a reta dada pela interseção dos planos. Na 
janela que contém a relação de fórmulas, colete a equação da reta interseção. 
 
Equação da reta: 
 
 
 
 
 
PASSO 10: Represente, no GeoGebra 3D, os dois vetores normais aos planos dados e o vetor direção da reta obtida 
no passo 8. Qual a relação existente entre esses 3 vetores? Essa relação sempre será verificada? Justifique. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VI. Avaliação da prática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Descrição Atende Não atende 
1 Participação da equipe na atividade 
2 Equações da reta � 
3 Equações do plano � 
4 
Relação entre os vetores normais dos planos 
concorrentes e o vetor direção da reta 
interseção correspondente 
 
W = (1.42, -0.17, 0.08) + t(-1, -2, -5)
x
x
x
W = (1,42; -0,17; 0,08) + t(-1,-2,-5)
 
 
 
 
 
VII. Referências 
 
 PAULO WINTERLE. Vetores e geometria analítica, 2ed. Pearson 256 ISBN 9788543002392. 
 
 SANTOS, Fabiano José dos. Geometria analítica. Porto Alegre ArtMed 2009 1 recurso online ISBN 9788577805037.