Gabarito de Probabilidade e Estatística

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Gabarito das Autoatividades
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
(MATEMÁTICA)
2008/2
Módulo IV
3UNIASSELVI
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GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
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UNIDADE 1
TÓPICO 1 
1 Num restaurante há 3 tipos de carne, 4 tipos de salada e 2 tipos de massa. 
De quantas maneiras podemos fazer uma refeição composta por 1 tipo de 
carne, 1 de salada e 1 de massa? 
R.:
E1: escolha da carne (3 modos)
E2: escolha da salada (4 modos)
E3: escolha da massa (2 modos)
Então Há 3 . 4 . 2 = 24 maneiras de fazer uma refeição.
2 De quantas maneiras 4 pessoas podem sentar-se num banco que tem 
apenas 2 lugares?
R.:
E1: escolha da 1ª pessoa a sentar-se no banco (4 modos)
E2: escolha da 2ª pessoa a sentar-se no banco (3 modos)
Então há 4 . 3 = 12 formas.
3 Quantos números de três dígitos maiores que 300 podemos formar com 
os algarismos 1, 2, 3 e 5?
R.:
E1: escolha do dígito da centena (2 modos: 3 ou 5)
E2: escolha do dígito da dezena (4 modos – os dígitos podem repetir-se)
E3: escolha do dígito da unidade (4 modos)
Então podemos formar 2 . 4 . 4 = 32 números.
TÓPICO 1 
1 Quantos anagramas tem a palavra AMOR?
R.:
P4 = 4! = 24
2 Quantos anagramas tem a palavra JESUS?
R.:
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES DE 
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
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3 Quantos são os anagramas da palavra AMOR que começam com vogal?
R.:
E1: escolha da vogal para começar (2 modos)
E2: escolha das letras para as outras posições (P3 = 3!=6
Então há 2 . 6 = 12 anagramas que começam com vogal.
TÓPICO 1 
1 Quantos números de 2 dígitos diferentes podemos formar com os algarismos 
2, 4, 6 e 8?
R.:
n = 4 (total de algarismos) e p = 2 (dois dígitos). A ordem de escolha dos 
dígitos gera número diferente.
Então podemos formar números.
2 Duas pessoas entram num ônibus que tem 5 lugares vagos. De quantas 
maneiras diferentes elas podem se sentar?
R.:
n = 5 (total de lugares) e p = 2 (duas pessoas). A ordem que elas sentam é 
importante.
Então elas podem se sentar de maneiras.
3 Quantas comissões diferentes formadas por um presidente e vice-presidente 
podemos montar para representar um grupo de 7 pais?
R.:
n = 7 (total de pais) e p = 2 (presidente e vice-presidente)
Então podemos formar comissões.
TÓPICO 1 
1 Quantas comissões diferentes de 2 pais podemos formar para representar 
um grupo de 7 pais?
R.:
n = 7 (total de pais) e p = 2 (membros da comissão). A ordem de escolha dos 
pais não influencia na formação da comissão.
Então há comissões.
2 Sobre uma circunferência são marcados 6 pontos distintos. Quantos 
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triângulos podemos traçar com vértices nesses pontos?
Resposta:
n = 6 (total de pontos) e p = 3 (número de vértices de um triângulo). A ordem 
de escolha dos pontos não gera triângulo diferente.
Então podemos traçar triângulos.
3 De uma sala com 10 alunos será formada uma comissão de 5 membros 
composta por 1 presidente e 4 diretores. De quantas formas podemos montar 
essa comissão?
R.:
E1: escolha do presidente (10 modos)
E2: escoha dos membros (C9,4 = 126)
Então há 10 . 126 = 1.260 formas de montar uma comissão.
TÓPICO 1 
1 Num shopping há 12 portas de entrada. Quantos modos existem de uma 
pessoa entrar por uma porta e sair por outra?
R.:
E1: escolha da porta de entrada (12 modos)
E1: escolha da porta de entrada (11 modos)
Então há 12 . 11 = 132 modos de entrar por uma porta e sair por outra.
2 Uma fábrica de automóveis produz 3 modelos de carros. Para cada 
modelo, os clientes podem escolher entre 5 cores e 3 tipos de assento. 
Além disso, opcionalmente, pode ser acrescentado direção hidráulica ou ar-
condicionado. Quantos exemplares diferentes de carros podemos escolher 
nessa fábrica?
R.:
E1: escolha do modelo (3 modos)
E1: escolha da cor (5 modos)
E3: escolha do assento ( 3 modos)
E4: escolha do opcional direção hidráulica (2 modos: sim ou não)
E5: escolha do opcional ar-condicionado ( 2modos: sim ou não)
Então há 3 . 5 . 3 . 2 . 2 = 180 exemplares diferentes.
3 Em uma prova de 15 questões, cada uma com 4 alternativas das quais 
apenas uma é correta, de quantos modos diferentes pode ser escolhido o 
gabarito dessa prova?
R.:
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E1: escolha da alternativa correta da 1ª questão (4 modos)
E2: escolha da alternativa correta da 2ª questão (4 modos)
...
E15: escolha da alternativa correta da 15ª questão (4 modos)
Então há 415 modos diferentes de escolher um gabarito.
4 Quantos são os resultados possíveis no lançamento de 2 dados?
R.:
E1: 1º lançamento (6 resultados)
E2: 2º lançamento (6 resultados)
Então há 6 . 6 = 36 resultados possíveis.
5 Na expressão a = x y z, cada retângulo deve ser substituído por um dos 
sinais: +, −, × ou ÷. Quantas expressões diferentes podem ser formadas?
R.:
E1: escolha do sinal para o 1º retângulo (4 modos)
E2: escolha do sinal para o 2º retângulo (4 modos)
Então há 4 . 4 = 16
6 As placas dos automóveis são formados por três letras (de um alfabeto de 
26) seguidas por 4 algarismos indo-arábicos. Quantas placas poderão ser 
formadas?
R.:
E1: escolha da 1º letra (26 modos); E2: escolha da 2º letra (26 modos) ; E3: 
escolha da 3º letra (26 modos)
E4: escolha do 1º algarismo (10 modos); E5: escolha do 2º algarismo (10 
modos) ; E6: escolha do 3º algarismo (10 modos); E7: escolha do 4º algarismo 
(10 modos);
Assim, poderão se formadas 26 . 26 . 26 . 10 . 10 . 10 . 10 = 175.760.000 
placas.
7 Quantas são as senhas de três letras distintas (de um alfabeto de 26) 
seguidas por 4 algarismos indo-arábicos que podemos formar?
R.:
E1: escolha da 1º letra (26 modos); E2: escolha da 2º letra (25 modos) ; E3: 
escolha da 3º letra (24 modos)
E4: escolha do 1º algarismo (10 modos); E5: escolha do 2º algarismo (10 
modos) ; E6: escolha do 3º algarismo (10 modos); E7: escolha do 4º algarismo 
(10 modos);
Então, poderão ser formadas 26 . 25 . 24 . 10 . 10 . 10 . 10 = 156.000.000 
senhas.
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8 Quantos números de quatro dígitos, distintos maiores que 3000, podemos 
formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7?
Resposta:
E1: escolha do dígito da milhar (5 modos: 3, 4, 5, 6 ou 7)
E2: escolha do dígito da centena (6 modos)
E3: escolha do dígito da dezena (5 modos)
E4: escolha do dígito da unidade (4 modos)
Então há 5 . 6 . 5 . 4 = 600 números de 4 dígitos distintos.
9 Quantos números de quatro dígitos distintos, menores que 3000, podemos 
formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7?
Resposta:
E1: escolha do dígito da milhar (2 modos: 1 ou 2)
E2: escolha do dígito da centena (6 modos)
E3: escolha do dígito da dezena (5 modos)
E4: escolha do dígito da unidade (4 modos)
Então há 2 . 6 . 5 . 4 = 240 números de 4 dígitos distintos.
10 Quantos números de quatro dígitos distintos, maiores que 3500, podemos 
formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7?
R.: 
1º caso: vamos calcular primeiro os que começam com 3 e são maiores que 
3500:
E1: primeiro dígito (milhar) é o 3 (1 modo)
E2: escolha do dígito da centena (3 modos:5, 6 ou 7)
E3: escolha do dígito da dezena (5 modos)
E4: escolha do dígito da unidade (4 modos)
Há 1 . 3 . 5 . 4 = 60 
2º caso: Agora vamos calcular os que começam com um dígito maior que 
3:
E1: escolha do dígito da milhar maior que 3 (4 modos: 4, 5, 6 ou 7)
E2: escolha do dígito da centena (6 modos)
E3: escolha do dígito da dezena (5 modos)
E4: escolha do dígito da unidade (4 modos)
Há 4 . 6 . 5 . 4 = 480
Juntando os dois casos, temos 60 + 480 = 540 números de 4 dígitos distintos 
que são maiores que 3500.
11 Com os algarismos 2, 5, 6 e 9 foram formados todos os números naturais 
possíveis de 3 dígitos distintos e colocados em ordem crescente. Qual é a 
posição do número 652?
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R.:
Basta ver quantos começam com 2 e 5, e a partir daí escrever os que começam 
com 6 em ordem crescente até 652.
1º passo: começam com 2: 
Há 1 . 3 . 2 = 6
2º passo: começam com 5: 
Há 1 . 3 . 2 = 6
3º passo: escrever os que começam com 6 em orem crescente
625, 629, 652,…
Portanto, a posição do número 652 é a 15ª. (6 + 6 + 3)
12 Forme todos os anagramas das palavras:
a) BIA b) LULU
R.:
a) BIA, BAI, IAB, IBA, AIB, ABI
b) LULU, LUUL, LLUU, ULUL, ULLU, UULL
13 Considerando os anagramas da palavra UNIASSELVI, determine:
a) quantos são? 
b) quantos começam com vogal? 
c) quantos começam e terminam com vogal?
d) quantos começam com vogal e terminam com consoante? 
e) quantos apresentam as vogais UIAEI juntas nessa ordem? 
f) quantos apresentam as vogais UIAEI juntas? 
R.:
a) 
b)
1º caso: começam por I
E1: escolha das vogais para começar (1 modo)
E2: escolha das letras para as outras 9 posições (
 
modos)
2º caso: começam por U, A ou E
E1: escolha das vogais para começar (3 modos)
E2: escolha das letras para as outras 9 posições ( modos)
Juntando os dois casos, temos 
anagramas que começam com vogal.
Uma outra maneira de resolver o problema seria:
E1: escolha das vogais para começar (5 modos)
E2: escolha das letras para as outras 9 posições (P9 = 9! modos)
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Então há anagramas que começam com vogal.
OBS: dividimos por 2! duas vezes porque a letra I e S aparecem duas vezes 
cada uma.
c)
E1: escolha da vogal para começar (5 modos)
E2: escolha da vogal para terminar (4 modos)
E3: escolha das letras para as 8 posições intermediárias (P8 = 8! modos)
Então há anagramas que começam e terminam com 
vogal.
d)
E1: escolha da vogal para começar (5 modos)
E2: escolha da consoante para terminar (5 modos)
E3: escolha das letras para as 8 posições intermediárias (P8 = 8! modos)
Então há anagramas que começam com vogal e terminam 
com consoante.
e)
Se pensarmos nas vogais UIAEI com uma única letra, vamos ter ao todo 6 
letras (5 consoantes + UIAEI), então nosso problema se reduz a permutar 
essas 6 letras, não esquecendo que dividir por 2! devido a letra S aparecer 
duas vezes.
Então há anagramas que apresentam as vogais UIAEI juntas 
nessa ordem.
f) 
Agora, temos que levar em consideração que as vogais UIAEI não precisam 
estar nessa mesma ordem. Então, basta multiplicar o resultado anterior pela 
permutação com repetição dessas vogais, .
Assim, temos 60 . 360 = 21.600 anagramas que apresentam as vogais UIAEI 
juntas.
14 Cinco deputados estaduais estão concorrendo aos cargos de presidente 
e vice-presidente de uma comissão parlamentar. Quantos são os possíveis 
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resultados dessa eleição?
R.:
n = 5 (total de deputados) e p = 2 (presidente e vice-presidente). Nesse caso 
a ordem de escolha dos deputados gera um agrupamento diferente.
Então há
 
resultados possíveis nessa eleição.
15 Dentre 5 deputados estaduais 2 serão escolhidos para participar de uma 
comissão parlamentar. De quantas formas se pode fazer essa escolha? 
R.:
n = 5 (total de deputados) e p = 2 (membros da comissão). Veja que nesse 
caso não importa a ordem de escolha dos deputados.
Então há 
 
formas de se montar uma comissão.
16 De quantos modos podemos montar uma comissão de formatura com 5 
alunos numa sala de 30 alunos?
R.:
n = 30 (total de alunos) e p = 5 (membros da comissão). A ordem de escolha 
dos alunos não importa.
Então há 
 
modos de se montar uma comissão 
de formatura.
17 Em uma sala de aula com 8 meninos e 12 meninas serão sorteados 6 
alunos, dos quais 3 são meninos e 3 são meninas, para participar de um 
programa de capacitação mirim. De quantos modos podem ser escolhidos 
os participantes desse programa?
R.:
E1: escolha dos meninos ( modos)
E2: escolha das meninas ( modos)
Então há 56 . 220 = 12.320 modos de serem sorteados 6 alunos para o 
programa.
18 De quantas maneiras diferentes podemos guardar 10 livros em 3 prateleiras 
de modo que fiquem 5 livros na primeira prateleira, 3 na segunda prateleira 
e 2 na terceira prateleira?
R.:
E1: escolha dos 5 livros para a 1ª prateleira (A10,5 = 30.240 modos)
E2: escolha dos 3 livros para a 2ª prateleira (A5,3 = 60 modos)
E3: escolha dos 2 livros para a 3ª prateleira (A2,2 = 2 modos)
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Então há 30.240 . 60 . 2 = 3.628.800 modos de se guardar esses livros.
Uma maneira mais simples seria utilizar direto o princípio fundamental da 
contagem ou P10 = 10! = 3.628.800.
19 De quantas formas podemos receber um jogo com 3 cartas de um baralho 
de 40 cartas?
R.:
n = 40 e p = 3. A ordem que recebemos a carta não importa.
Então há modos de receber um jogo.
20 Quantos subconjuntos tem um conjunto com 5 elementos?
R.:
1º caso: subconjuntos com 5 elementos: C5,5 = 1
2º caso: subconjuntos com 4 elementos: C5,4 = 5
3º caso: subconjuntos com 3 elementos: C5,3 = 10
4º caso: subconjuntos com 2 elementos: C5,2 = 10
5º caso: subconjuntos com 1 elementos: C5,1 = 5
6º caso: subconjuntos com 0 elementos: C5,0 = 1
Então um conjunto com 5 elementos tem 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 
subconjuntos.
21 Determine o termo geral do desenvolvimento de (3x + 5)7.
R.:
O termo geral no desenvolvimento de (x + a)n é dado por: Tk+1 = Cn,kx
n-kak, 
então temos que: x = 3x, a = 5 e n = 7, substituindo na expressão do termo 
geral temos:
Tk+1 = C7,k(3x)
7-k5k
22 Determine o coeficiente de x3 do desenvolvimento de (4x – 5)5. 
R.:
O termo geral desse binômio é dado por: Tk+1 = C5,k(4x)
5 - k(-5)k.
Para o termo em x3 devemos ter 5 – k = 3 ∴ k = 2. Assim o coeficiente de x3 
é o coeficiente de T3.
T2+1 = C5,2(4x)
5 - 2(-5)2 = 10 . (4x)3 . 25 = 250 . 64x3 = 16.000x3
23 Determine o termo independente do desenvolvimento .
R.:
O termo geral desse binômio é dado por:
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O termo independente de x é o coeficiente de x0, assim 40 – 5k = 0 ∴ k = 8. 
Assim o coeficiente de x0 é o coeficiente de T9.
T8+1 = C10,8(x
40 – 5.8)(-1)8 = 45x01= 45.
24 Qual o valor do termo médio do desenvolvimento de (2x + 1)8?
R.:
O termo geral desse binômio é dado por: Tk+1 = C8,k(2x)
8 - k1k = C8,k(2x)
8-k.
O termo médio (ou termo central) é o termo que ocupa a posição do meio. 
Como n = 8, temos 9 termos e o termo médio é o 5º termo. Assim k + 1 = 5 
∴ k = 4.
T4+1 = C8,4(2x)
8 - 4 = 70(16x4) = 1.120x4.
TÓPICO 2
1 Lança-se um dado equilibrado duas vezes e observa-se a face que cai 
voltada para cima. Determine:
a) os elementos do espaço amostral;
b) os elementos do evento B: sair soma 5 em suas faces;
c) os elementos do evento C: sair o mesmo número em ambas as faces;
d) os elementos do evento D: sair soma maior que 10 em suas faces;
e) os elementos do evento E: sair soma maior que 12 em suas faces.
R.:
a) S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), 
(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), 
(5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}
b) B = {(1,4),(2,3), (3,2), (4,1)}
c) C = {(1,1),(2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}
d) D = {(5,6), (6,5), (6,6)}
e) E = { }
2 Considerando um baralho comum de 52 cartas, determine a probabilidade 
de, ao extrair aleatoriamente uma carta do baralho, obter:
a) uma carta preta;
b) uma dama;
c) um 4 de copas; 
d) um nove vermelho ou um 7 preto; 
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e) uma figura (J, Q ou K ).
R.:
a) n(S) = 52 e n(A) = 26 (cartas pretas). Então 
 
.
b) n(S) = 52 e n(B) = 4 (damas). Então 
 
.
c) n(S) = 52 e n(C) = 1 (4 de copas). Então 
 
.
d) n(S) = 52. Sendo “X: o evento sair 9 vermelho” e “Y: sair 7 preto”, temos n(X) = 2 
(copas ou ouros) e n(Y) = 2 (paus ou espadas).Como X e Y são eventos mutuamente 
exclusivos, temos: 
e) n(S) = 52. n(J) = 4, n(Q) = 4 e n(K) = 4. Como J, Q e K são eventos 
mutuamente exclusivos, temos: 
.
3 Lançando um dado equilibrado uma vez, determine a probabilidade de 
obter:
a) um dois; 
b) um número par;
c) um número ímpar;
d) um número menor que 6; 
e) um número maior que 6. 
Respostas:
a) n(S) = 6 e n(A) = 1. Então .
b) n(S) = 6 e n(B) = 3. Então .
c) n(S) = 6 e n(B) = 3. Então .
d) n(S) = 6 e n(D) = 5. Então .
e) n(S) = 6 e n(E) = 0. Então .
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4 No jogo de mega-sena concorrem 60 dezenas e são sorteadas 6 dezenas. 
Um sortudo apostou 15 dezenas. Qual a probabilidade de ele acertar:
a) 4 dezenas?
b) 5 dezenas? 
c) 6 dezenas? 
R.:
n(S) = 50.063.860 (C60,6)
a)
1º passo: calcular o número de elementos do evento “X: acertar 4 dezenas 
e errar 2 dezenas”.
E1: acertar 4 dezenas (C15,4 = 1.365)
E2: errar 2 dezenas (C45,2 = 990)
Então temos n(X) = 1.365 . 990 = 1.351.350.
Assim 
b) 
1º passo: calcular o número de elementos do evento “Y: acertar 5 dezenas 
e errar 1 dezenas”.
E1: acertar 5 dezenas (C15,5 = 3.003)
E2: errar 1 dezena (C45,1 = 45)
Então temos n(Y) = 3.003 . 45 = 135.135.
Assim 
c) 
1º passo: calcular o número de elementos do evento “Z: acertar 6 dezenas”, 
n(Y) = C15,6 = 5.005.
Assim 
5 No lançamento de dois dados perfeitos analisa-se a soma das faces voltada 
para cima. Qual a probabilidade de essa soma não ser 6?
R.:
n(S) = 36
Sendo A o evento soma diferente de 6, temos que n(A) = 31 (observe o espaço 
amostra da questão 1.
Assim .
6 Um urna contém 7 bolas vermelhas numeradas de 1 a 7 e 3 bolas amarelas 
numeradas de 8 a 10. Retirando ao acaso uma das bolas, determine a 
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probabilidade:
a) de sair uma bola amarela; 
b) de sair uma bola com número par; 
c) de sair uma bola amarela com número par. 
R.:
a)
n(S) = 10 e n(A) = 3, então .
b)
n(S) = 10. Sendo o evento “X: sair bola par e vermelha” e “Y: sair bola par e 
amarela”, temos n(X) = 3 e n(Y) = 2. Como X e Y são eventos mutuamente 
exclusivos temos:
.
c)
n(S) = 10 e n(C) = 2, então .
7 No sorteio de um número natural de 1 a 100, qual a probabilidade de sair 
um número múltiplo de 10 ou de 15?
R.:
n(S) = 100. Sendo os eventos “X: sair múltiplo de 10” e “Y: sair múltiplo de 
15”, temos que n(X) = 10 (10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100) e n(Y) = 6 
(15, 30, 45, 60, 75, 90). Como X e Y são eventos não mutuamente exclusivos 
n(X ∩ Y) = 3 (30, 60, 90), assim
.
8 No lançamento simultâneo de um dado honesto e uma moeda honesta, 
qual é a probabilidade de se obter um 3 ou uma coroa?
R.:
Sendo K = cara e C = coroa temos S = {(K,1) (K,2) (K,3) (K,4) (K,5) (K,6) 
(C,1) (C,2) (C,3) (C,4) (C,5) (C,6)} e n(S) = 12. Sendo o evento “A sair 3 ou 
coroa” temos A = {(K,3) (C,1) (C,2) (C,3) (C,4) (C,5) (C,6)} e n(A) = 7. Assim 
.
9 Uma máquina produziu 100 parafusos dos quais 10 estavam defeituosos. 
Ao retirar aleatoriamente 3 parafusos, sem reposição, qual é a probabilidade 
de que:
a) os três sejam perfeitos? 
b) os três sejam defeituosos? 
c) pelo menos um seja perfeito? 
d) pelo menos um seja defeituoso? 
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R.:
Temos: n(S) = 100, 10 parafusos com defeitos e 90 perfeitos.
a)
Sejam os eventos “A: retirar o 1º parafuso perfeito”, “B: retirar o 2º parafuso 
perfeito” e “C: retirar o 3º parafuso perfeito”. Como os eventos são 
dependentes, temos as seguintes probabilidades:
 , 
 
e .
Dessa forma, a probabilidade de sair 3 parafusos perfeitos é:
.
b)
Sejam os eventos “A: retirar o 1º parafuso com defeito”, “B: retirar o 2º parafuso 
com defeito” e “C: retirar o 3º parafuso com defeito”. Como os eventos são 
dependentes, temos as seguintes probabilidades:
, e .
Dessa forma, a probabilidade de sair 3 parafusos defeituosos é:
.
c)
Nesse caso pode sair: 1 parafuso perfeito, ou 2 parafusos perfeitos, ou 3 
parafusos perfeitos. Como calcular a probabilidade para todos os casos e 
depois somar o resultados pode ser trabalhoso, vamos calcular a probabilidade 
de sair nenhum parafuso perfeito (ou todos defeituosos) e tomar sua a 
probabilidade complementar.
Como já conhecemos essa probabilidade da letra b (2/2.695), temos como 
resultado
.
d)
Usando o mesmo raciocínio da letra c, temos:
.
10 Uma máquina produziu 100 parafusos dos quais 10 estavam defeituosos. 
Ao retirar aleatoriamente 3 parafusos, com reposição, qual é a probabilidade 
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de que:
a) os três sejam perfeitos? 
b) os três sejam defeituosos? 
c) pelo menos um seja perfeito? 
d) pelo menos um seja defeituoso? 
R.:
Temos: n(S) = 100, 10 parafusos com defeitos e 90 perfeitos.
a)
Sejam os eventos “A: retirar o 1º parafuso perfeito”, “B: retirar o 2º parafuso 
perfeito” e “C: retirar o 3º parafuso perfeito”. Como os eventos são 
independentes, temos as seguintes probabilidades: 
, 
 
e .
Dessa forma, a probabilidade de sair 3 parafusos perfeitos é 
.
b)
Sejam os eventos “A: retirar o 1º parafuso com defeito”, “B: retirar o 2º parafuso 
com defeito” e “C: retirar o 3º parafuso com defeito”. Como os eventos são 
independentes, temos as seguintes probabilidades:
 , e .
Dessa forma, a probabilidade de sair 3 parafusos defeituosos é 
.
c)
d)
11 Numa classe de 30 alunos 16 são homens e 12 alunos são morenos, dos 
quais 6 são mulheres. Escolhendo um aluno ao acaso, qual é a probabilidade 
de ele ser moreno ou mulher?
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R.:
n(S) = 30. Sejam os eventos “A: escolher mulher” e “B: escolher aluno 
moreno”, então n(A) = 14 e n(B) = 12. Como os eventos são não mutuamente 
exclusivos, temos n(A ∩ B) = 6. Assim 
.
12 A probabilidade de que o filho de um casal nasça com olhos verdes é ¼. Se 
o casal tiver dois filhos, qual a probabilidade de ambos terem olhos verdes? 
E de nenhum ter olhos verdes? E de pelo menos um ter olhos verdes?
R.:
Seja o evento “A: 1º filho nascer com olhos verdes” e “B: 2º filho nascer com 
olhos verdes”. Como os eventos são independentes e , 
assim .
Como a probabilidade de não nascer com olhos verdes é ¾, temos que 
 e . Assim a probabilidade de nenhum ter olhos verdes 
é .
A probabilidade de pelo menos um ter olhos verdes é a probabilidade 
complementar de nenhum ter olhos verdes, assim 
.
13 Uma prova é composta por 10 questões e cada uma possui 4 alternativas, 
das quais apenas uma é correta. Para alguém que esteja respondendo 
aleatoriamente uma alternativa em cada questão, qual a probabilidade de:
a) acertar as 10 questões?
b) errar as 10 questões?
c) acertar metade das questões?
R.:
a) A probabilidade de acertar cada questão é ¼, então, a probabilidade de 
acertar a 1ª e a 2ª e a 3ª ... e a 10ª é (¼)10.
b) A probabilidade de errar cada questão é ¾ , então, a probabilidade de errar 
a 1ª e a 2ª e a 3ª ... e a 10ª é (¾)10.
c) Primeiro passo é determinar de quantas formas se podem acertar 5 
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questões: C10,5 = 252 (podem ser as cinco primeiras, ou as cinco últimas, 
ou intercaladas, ...). Como calcular a probabilidade para cada uma delas é 
trabalhoso, vamos calcular para uma (acertar as 5 primeiras) e multiplicar o 
resultado por 252.
P(acertar as 5 primeiras) = , Então
P(acertar metade das questões) = 
.
14 Um grupo de 146 pessoas apresenta, de acordo com o sexo e o peso, a 
seguinte composição:
menos de 50 kg de 50 a 70 kg mais de 70 kg
Homens 18 42 6
Mulheres 57 15 8
Escolhendo uma pessoa ao acaso desse grupo, determine:
a) a probabilidade de ser um homem;
b) a probabilidade de ser uma mulher com mais de 50 kg;
c) a probabilidade de ser um homem, se o escolhidotiver de 50 a 70 kg;
d) a probabilidade de ser uma mulher, se o escolhido tiver no máximo 70 
kg.
R.:
a) n(S) = 146. Seja o evento “A: ser homem”, então n(A) = 66 e 
.
b) n(S) = 146. Seja o evento “B: mulher com mais de 50 kg”, então n(B) = 
23 e .
c) n(S) = 57 (só os que têm de 50 a 70 kg). Seja o evento “C: homens com 
peso de 50 a 70 kg)”, então n(C) = 42 e .
d) n(S) = 132 (só os que têm no máximo 70 kg). Seja o evento “D: mulheres 
com no máximo 70 kg)”, então n(D) = 72 e .
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TÓPICO 3
1 Uma urna contém 3 bolas amarelas e 2 brancas. E uma segunda urna 
contém 4 bolas amarelas e 3 brancas. Se uma bola branca é sorteada ao 
acaso, qual a probabilidade de ela ter vindo da primeira urna?
R.:
Seja o evento “B: sair bola branca”
Como temos duas urnas, a probabilidade de escolher uma das urnas é 1/2.
P(U1) = P(U2) = 1/2.
A probabilidade de sair bola branca dado que se escolheu a U1 é 2/5.
P(B/U1) = 2/5
A probabilidade de sair bola branca dado que se escolheu a U2 é 3/7.
P(B/U2) = 3/7
Queremos saber a probabilidade da bola ter vindo da U1 dado que saiu uma 
bola branca, ou seja: P(U1/B) = ? Aplicando o teorema de Bayes:
2 Três empresas de brinquedos A, B e C produziram, respectivamente, 
40%, 50 % e 10 % do total de brinquedos de uma escola. A porcentagem 
de brinquedos defeituosos da fábrica A é 3%, da fábrica B é 5% e da fábrica 
C é 2%. Uma criança recebeu, ao acaso, um brinquedo defeituoso. Qual a 
probabilidade de que essa peça tenha vindo da fábrica B? Qual das empresas 
tem mais chance de ter fabricado a peça defeituosa?
R.:
Seja o evento “D: sair brinquedo defeituoso”
A probabilidade de um brinquedo vir de cada fábrica é:
P(A) = 0,40 , P(B) = 0,50 e P(C) = 0,10.
A probabilidade da fábrica A produzir um brinquedo defeituoso é: 0,03
P(D/A) = 0,03
A probabilidade da fábrica B produzir um brinquedo defeituoso é: 0,05
P(D/B) = 0,05
A probabilidade da fábrica C produzir um brinquedo defeituoso é: 0,02
P(D/C) = 0,02
Queremos saber a probabilidade do brinquedo ter vindo da fábrica B dado 
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que é um brinquedo defeituoso, ou seja P(B/D) = ? Aplicando o teorema de 
Bayes:
Para saber qual das empresas tem mais chance de ter fabricado a peça 
defeituosa, temos que calcular a probabilidade dessa peça ter vindo da A e 
C também.
É a fábrica B que tem mais chances de ter produzido o brinquedo defeituoso, 
pois P(B / D) é maior que as demais.
3 Considerando os dados da questão anterior, determine qual é a probabilidade 
de uma criança receber um brinquedo defeituoso.
R.:
Essa probabilidade é representada pelo denominador do teorema de Bayes 
e é 0,039.
4 Uma urna contém 9 bolas: 3 pretas, 1 branca e 5 vermelhas. Uma segunda 
urna contém 9 bolas: 4 bolas pretas, 3 brancas e 2 vermelhas. E uma terceira 
urna contém 8 bolas: 2 pretas, 3 brancas e 3 vermelhas. Escolheu-se uma 
urna ao acaso e dela extraiu-se uma bola ao acaso. Verificando-se que a 
bola sorteada é branca, qual a probabilidade de a bola ter saído da terceira 
urna? 
R.:
Seja o evento “B: sair bola branca”
Como temos três urnas, a probabilidade de escolher uma das urnas é 1/3.
P(U1) = P(U2) = P(U3) 1/3.
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A probabilidade de sair bola branca dado que se escolheu a U1 é 1/9.
P(B/U1) = 1/9
A probabilidade de sair bola branca dado que se escolheu a U2 é 3/9.
P(B/U2) = 3/9 = 1/3
A probabilidade de sair bola branca dado que se escolheu a U3 é 3/8.
P(B/U3) = 3/8
Queremos saber a probabilidade da bola ter vindo da U3 dado que saiu uma 
bola branca, ou seja: P(U3/B) = ? Aplicando o teorema de Bayes:
5 O proprietário de uma facção estima que uma roupa feita por um funcionário 
experiente tem 90% de chance de não apresentar defeito. E que uma roupa 
feita por um funcionário novato tem 50% de chance de não apresentar 
defeito. Se uma roupa selecionada ao acaso apresentar defeito, determine a 
probabilidade dela ter sido feita por um funcionário novato, sabendo-se que 
2/3 das roupas são feitas por funcionários experientes.
R.:
Seja o evento “D: selecionar roupa defeituosa”
A probabilidade de uma roupa ser feita por um funcionário experiente é 2/3.
P(E) = 2/3
A probabilidade de uma roupa ser feita por um funcionário novato é 1/3.
P(N) = 1/3
A probabilidade de um funcionário experiente fazer uma roupa defeituosa é 
10%. 
P(D/E) = 10% = 1/10
A probabilidade de um funcionário novato fazer uma roupa defeituosa é 
50%.
P(D/N) = 50% = 1/2
Queremos saber a probabilidade de uma roupa ter sido feita por um funcionário 
novato dado que é uma roupa defeituosa, ou seja, P(N/D) = ? Aplicando o 
teorema de Bayes:
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6 Segundo um professor de probabilidade, as chances de um aluno se 
dar bem numa prova é de 80% se estudou, e 50% se não estudou. Se um 
determinado aluno não estuda para 15% das provas que realiza, qual será 
a probabilidade de esse aluno se dar bem na prova?
R.:
Seja o evento “B: se dar bem na prova”
A probabilidade de esse aluno estudar é 85%
P(E) = 0,85
A probabilidade de esse aluno não estudar é 15%
P( ) = 0,15
A probabilidade de um aluno que estudou se dar bem é 80%
P(B/E) = 0,80
A probabilidade de um aluno que não estudou se dar bem é 80%
P(B/ ) = 0,50
Assim P(B) = probabilidade de estudar e se dar bem + probabilidade de não 
estudar e se dar bem. Matematicamente:
P(B) = P(E) . P(B/E) + P( ) . P(B/ ) = 0,85 . 0,80 + 0,15 . 0,50 = 0,755 = 
75,5%
7 Considerando os dados da questão anterior, qual a probabilidade de o aluno 
ter estudado, dado que ele se deu bem na prova?
R.:
Queremos saber P(E/B) = ? Aplicando o teorema de Bayes:
UNIDADE 2
TÓPICO 1 
1 Considerando o lançamento de 1 dado, determine os elementos que as 
variáveis aleatórias abaixo podem assumir.
X: pontos da face voltada para cima;
Y: pontos pares da face voltada para cima;
Z: pontos ímpares da face voltada para cima.
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R.:
X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Y= {2, 4, 6}
Z = {1, 3, 5}
2 Construa a distribuição de probabilidade das variáveis X, Y e Z do exercício 
1.
R.:
X 1 2 3 4 5 6
P(X=xi) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
Y 2 4 6
P(Y=yi) 1/6 1/6 1/6
Z 1 3 5
P(Z=zi) 1/6 1/6 1/6
3 O quadro a seguir apresenta o número de acidentes com vítimas fatais 
durante o feriadão de carnaval nas rodovias do Estado A.
Nº de vítimas fatais 0 1 2 3 4
Qtde de acidentes 29 15 10 5 1
Considerando a variável aleatória X o número de vítimas fatais em cada 
acidente (durante o feriadão de carnaval nas rodovias do Estado A), construa 
uma distribuição de probabilidades para essa variável e determine: E(X), 
Var(X) e DP(X).
R.:
X 0 1 2 3 4
P(X=xi) 29/60 1/4 1/6 1/12 1/60
Isso significa que o número esperado de vítimas fatais por acidente é de 
0,9.
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4 Use os dados da questão 3 para construir a distribuição de probabilidade 
acumulada de X, e determine a probabilidade de um automóvel que se 
envolveu em um acidente nesse feriadão ter, no máximo, 2 vítimas fatais.
R.:
X 0 1 2 3 4
P(X ≤ xi) 29/60 11/15 9/10 59/60 60/60
P(X ≤ 2) = 9/10
5 Num certo jogo de dados, se ganha toda vez que saem os números 1 ou 2. 
Considerando a variável aleatória X o número de vezes que se ganha, quais 
os valores que X pode assumir em 5 jogadas?
R.:
X = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
6 Em uma sala de aula há 12 mulheres e 8 homens. Sorteiam-se ao acaso 
3 alunos. Sendo a variável aleatória X o número de meninas sorteadas, 
determine:
a) os valores que X pode assumir;
b) a distribuição de probabilidade de X;
c) a distribuição de probabilidade acumulada de X.
d) P(X ≤ 2), P(X ≤ 3)
R.:
a)
X = {0, 1, 2, 3}
b)
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X 0 1 2 3
P(X = xi) 14/285 28/95 44/95 11/57
c) 
X 0 1 2 3
P(X ≤ xi) 14/285 98/285 46/57 1
d) 
P(X ≤ 2) = 46/57, P(X ≤ 3) = 1
7 Dada uma variável aleatória X com distribuição de probabilidade dada a 
seguir, obtenha E(X), Var(x) e DP(X).
X -3 0 1 3
P(X = xi) 0,2 0,1 0,4 0,3
R.:
E(X) = -3 . 0,2 + 0 . 0,1 + 1 . 0,4 + 3 . 0,3 = 0,7
Var(X) = (-3 – 0,7)2. 0,2 + (0 – 0,7)2. 0,1 + (1 – 0,7)2. 0,4 + (3 – 0,7)2 . 0,3 = 
4,41
8 Uma empresa de aluguel de carros registrou os seguintes números de 
carros alugados por mês e suas respectivas probabilidades, conforme quadro 
a seguir:
X 50 66 84 39
P(X = xi) 0,38 0,29 0,20 0,13
Considerando a variável aleatória X o número de carros alugados por mês, 
determine E(X), Var(X) e DP(X).
R.:
E(X) = 50 . 0,38 + 66 . 0,29 + 84 . 0,20 + 39 . 0,13 = 60,01
Var(X) = (50 –60,01)2. 0,38 + (66 –60,01)2. 0,29 + (84 –60,01)2. 0,20 + (39 
–60,01)2 . 0,13 = 220,9699
9 O tempo para uma criança realizar uma determinada tarefa em horas 
foi modelado por uma variável aleatória X com a seguinte distribuição de 
probabilidade:
X 0,35 h 0,40 h 0,45 h 0,50 h
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P(X = xi) 0,38 0,29 0,20 0,13
Qual o tempo esperado para uma criança realizar essa tarefa?
R.:
E(X) = 0,35 . 0,38 + 0,40 . 0,29 + 0,45 . 0,20 + 0,05 . 0,13 = 0,404 h
10 Um urna contém 5 bolas brancas e 3 bolas pretas. Três bolas são retiradas 
ao acaso e sem reposição. Faça X a variável aleatória número de bolas pretas 
e determine a distribuição de probabilidades da variável X. 
R.:
X 0 1 2 3
P(X = xi) 5/28 15/28 15/56 1/56
TÓPICO 2
1 Considerando-se que a probabilidade de nascimento de menino ou menina 
é a mesma, determine a probabilidade de que em, 5 nascimentos:
a) apenas dois sejam meninos; b) pelo menos dois sejam meninos.
R.:
a) n = 5, x = 2 e p = q = 0,5
b) n = 5, pelo menos dois sejam meninos significa que x pode ser 2, 3, 4 ou 
5. Então, calculamos a probabilidade para cada valor de x e somamos os 
resultados.
P(X = 2) = 0,3125
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P(X ≥ 2) = 0,3125 + 0,3125 + 0,15625 + 0,03125 = 0,8125
2 Um teste com 10 questões de múltipla escolha com 4 alternativas cada 
uma e com apenas uma alternativa correta, aprova o aluno que acertar no 
mínimo 7 questões. Qual a probabilidade de aprovação de um aluno que 
não estudou?
Resposta:
n = 10, p = 1/4 = 0,25 e q = 0,75. Como o aluno é aprovado se acertar no 
mínimo 7 questões, x pode ser 7, 8, 9 ou 10.
P(X ≥ 7) ≅ 0,00309 + 0,00039 + 0,00003 + 0,00000 ≅ 0,00351
3 Uma fábrica de balões apresenta 5% da sua produção com defeito. Numa 
amostra de 100 balões, escolhidos ao acaso, qual a probabilidade de:
a) nenhum ser defeituoso; 
b) 5 serem defeituosos; 
c) no máximo 3 serem defeituosos.
R.:
Se você usar , temos as seguintes respostas:
a) P(X = 0) = 0,00592 b) P(X = 5) = 0,18002 c ) P (X ≤ 3 ) = 
0,25784
Agora, se considerarmos uma boa aproximação, pois 
p = 0,05 < 0,1 e µ = 100 . 0,05 = 5 ≤ 5, temos as seguintes respostas:
a) P(X = 0) = 0,00674 b) P(X = 5) = 0,17547 c) P(X ≤ 3) 
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= 0,26503
Obs.: Apesar da aproximação atender as condições impostas, p < 0,1 e 
µ ≤ 5, vemos uma pequena diferença nos resultados das probabilidades. 
Alerte os acadêmicos, de que num exercício avaliativo procuraremos reduzir 
essa diferença ao máximo de forma a não comprometer as alternativas da 
questão.
4 Uma pesquisa médica verificou a eficiência de uma determinada droga para 
95% da população. Se um médico receita essa droga para 3 pacientes, qual 
a probabilidade de a droga não ser eficiente para nenhum deles?
R.:
n = 3, x = 0, p = 0,95 e q = 0,05
5 Uma escola recebe em média 20 alunos novos por ano. Qual a probabilidade 
de que, em um ano selecionado aleatoriamente, a escola não receba nenhum 
aluno novo?
R.:
µ = 20 e x = 0
6 Em uma gráfica verificou-se que a cada 200 páginas impressas ocorrem 
50 erros tipográficos. Ao selecionar 10 páginas ao acaso de um livro, qual a 
probabilidade de nenhuma conter erros? E no máximo duas terem erros?
R.:
Primeiro devemos calcular a média de erros tipográficos para 10 páginas.
n = 10 e p = 50/200 = 1/4, então µ = np = 10 . 1/4 = 2,5.
Agora é só calcular a probabilidade para x = 0
No máximo duas terem erros significa que x pode ser 0, 1 ou 2.
P(X = 0) ≅ 0,0821
30 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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P(X ≤ 2) ≅ 0,0821 + 0,2052 + 0,2565 = 0,5438
7 Um telefone recebe chamadas a uma taxa de 0,8 por hora. Qual a 
probabilidade de em 4 horas receber:
a) exatamente 5 chamadas; 
b) no máximo 3 chamadas; 
c) pelo menos 4 chamadas.
R.:
Primeiro devemos calcular a média de chamadas para 4 horas.
n = 4 e p = 0,8/h, então µ = np = 4 . 0,8 = 3,2.
Agora é só calcular as probabilidades:
a) 
b)
x pode ser 0, 1, 2 ou 3
P(X ≤ 3) = 0,0408 + 0,1304 + 0,2087 + 0,2226 = 0,6025
c)
Nesse caso x pode ser qualquer número inteiro maior que 4. Então vamos 
obter a probabilidade tomando a probabilidade complementar de x ser no 
máximo 3 (resposta da letra b)
P(X ≥ 4) = 1 – P(X ≤ 3) = 1 – 0,6025 = 0,3975
8 Em uma rodovia há uma média de 5 acidentes por dia. Qual a probabilidade 
de que, em um dia selecionado aleatoriamente,
a) ocorra nenhum acidente? 
b) ocorram no máximo dois acidentes?
R.:
µ = 5
a)
b)
31UNIASSELVI
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GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
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x pode ser 0, 1 ou 2
P(X = 0) ≅ 0,0067;
 
P(X ≤ 2) = 0,0067 + 0,0337 + 0,0842 = 0,1246
TÓPICO 3
1 Utilize a tabela Z(Apêndice A) para calcular as probabilidades:
a) P(0,2 < Z < 1,35)
b) P(Z > - 3,5)
c) P(-1,96 < Z < 1,96)
R.:
a) P(0,2 < Z < 1,35) = P(Z < 1,35) – P(Z < 0,2) = 0,9115 – 0,5793 = 0,3322
b) P(Z > - 3,5) = 0,5 – P(Z < 3,5) = 1 - 0,9998 = 0,0002
c) P(-1,96 < Z < 1,96) = P(Z < 1,96) – P(Z < -1,96) = P(Z < 1,96) – [1 - P(Z < 
1,96)] = 0,975 – [1 – 0,975] = 0,95
2 Para que valor de z a área sob a curva normal padrão vale 0,95 de –z até 
z?
R.:
z = 1,96
TÓPICO 3
1 Encontre o valor de χ2TAB para uma distribuição com:
a) gl = 1 e α = 5%
b) gl = 10 e α = 10%
c) gl = 15 e α = 2,5%
R.:
a) χ2tab = 3,8415
b) χ2tab = 15,9872
c) χ2tab = 27,4884
32 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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TÓPICO 3
1 Encontre o valor de TTAB para uma distribuição com:
a) gl = 1 e α = 5%
b) gl = 10 e α = 10%
c) gl = 15 e α = 2,5%
R.:
a) ttab = 6,3137
b) ttab = 1,3722
c) ttab = 2,1315
TÓPICO 3
1 Encontre o valor de FTAB para uma distribuição com:
a) gl1 = 1, gl2 = 7 e α = 1%
b) gl1 = 5, gl2 = 25 e α = 2,5%
c) gl1 = 9, gl2 = 40 e α = 5%
R.:
a) Ftab = 12,2463
b) Ftab = 3,1287
c) Ftab = 2.1240
TÓPICO 3
1 Suponha que os pesos dos estudantes de uma escola de Ensino Médio 
seguem uma distribuição normal com média de 55 kg e desvio padrão 4,3 kg. 
Selecionando um estudante ao acaso, qual a probabilidade de ele pesar:
a) menos de 45 kg;
b) entre 45 kg e 60 kg;
c) mais de 60 kg.
R.:
µ = 55 e σ = 4,3
a) 
P(X < 45) = P(Z < -2,33) = 1 – P(Z < 2,33) = 1 – 0,9901 = 0,0099 ou 0,99%
b) 
33UNIASSELVI
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GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
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P(45 < X < 60) = P(-2,33 < Z < 1,16) = P(Z < 1,16) - P(Z < -2,33) = P(Z < 
1,16) – [1 - P(Z < 2,33) = 0,877 – [1 – 0,9901] = 0,8671 ou 86,71%
c) 
P(X > 60) = P(Z > 1,16) = 1 – P(Z < 1,16) = 1 – 0,877 = 0,123 ou 12,3%
2 Os salários mensais dos metalúrgicos são distribuídos normalmente em 
torno de uma média de R$ 500,00 e desvio padrão de R$ 90,00. Determine 
a probabilidade de um operário ter salário mensal:
a) maior que R$ 600,00;
b) menor que R$ 600,00;
c) entre R$ 400,00 e R$ 600,00.
R.:
µ = 500 e σ = 90
a) 
P(X > 600) = P(Z > 1,11) = 1 – P(Z < 1,11) = 1 – 0,8665 = 0,1335 ou 
13,35%
b)
P(X < 600)= P(Z < 1,11) = 0,8665 ou 86,65%
c) 
P(400 < X < 600) = P(-0,2 < Z < 1,11) = P(Z < 1,11) - P(Z < -0,2) = P(Z < 1,11) 
– [1 - P(Z < 0,2) = 0,8665 – [1 – 0,5793] = 0,4458 ou 44,58%
3 Usando as informações do exercício 2, determine quantos funcionários 
de uma metalúrgica com 100 funcionários ganham entre R$ 400,00 e R$ 
600,00.
R.:
100 . 0,4458 = 44,58 ≅ 45 funcionários
4 A probabilidade de uma empresa produzir uma peça defeituosa é de 10%. 
Ao selecionar aleatoriamente uma amostra de 400 peças, qual a probabilidade 
de que, no máximo, 30 tenham defeito?
R.:
34 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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n = 400, p = 0,1 e q = 0,9
E(X) = np = 400 . 0,1 = 40, então µ = 40, e
Var(X) = npq = 400 . 0,1 . 0,9 = 36, então 
P(X ≤ 30) = P(Z ≤ -1,67) = 1 - P(Z < 1,67) = 1 – 9525 = 0,0475 ou 4,75%
 
5 Em uma empresa de perfumes o volume do conteúdo dos frascos segue uma 
distribuição normal de média 70 ml e desvio padrão 2,5 ml. Ao selecionarmos 
um frasco ao acaso, qual a probabilidade de:
a) ter mais de 70 ml?
b) ter menos de 70 ml?
c) ter entre 65 e 75 ml?
R.:
µ = 70 e σ = 2,5
a) 
P(X > 70) = P(Z > 0) = 0,5 ou 50%
b) 
P(X < 70) = P(Z < 0) = 0,5 ou 50%
c) 
P(65 < X < 75) = P(-2 < Z < 2) = P(Z < 2) - P(Z < -2) = P(Z < 2) – [1 - P(Z < 
2) = 0,9772 – [1 – 0,9772] = 0,9544 ou 95,44%
6 Use os dados da questão 5 para responder o seguinte problema: A empresa 
de perfumes sabe que, se produzir um frasco com menos de 65 ml, é multada. 
Nessas condições, qual é a probabilidade de a empresa ser multada? 
Resposta:
P(X < 70) = P(Z < -2) = = 1 – P(Z < 2) = 1 – 0,9772 = 0,0228 ou 2,28%
35UNIASSELVI
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UNIDADE 3
TÓPICO 1 
1 O modelo de tabela apresentado a seguir foi adaptado do site do IBGE, 
porém os valores apresentados são fictícios e representam o resultado de uma 
grande pesquisa sobre população fumante no Brasil e nas regiões brasileiras. 
Os dados estão divididos quanto ao sexo, área/sexo e área.
A TABELA DESSE EXERCÍCIO VOCÊ ENCONTRA NA AUTOATIVIDADE 
DO TÓPICO 1 DA UNIDADE 3 DO CADERNO DE ESTUDOS.
Com base nos dados dessa tabela, determine:
a) a média de mulheres fumantes nas regiões brasileiras;
b) a média de homens fumantes na áreas urbana e rural das regiões 
brasileiras;
c) a variância e o desvio padrão dos fumantes nas regiões brasileiras;
d) a variância e o desvio padrão dos fumantes nas áreas urbana e rural das 
regiões brasileiras;
e) qual região tem a maior proporção de mulheres fumantes (em relação ao 
total de fumantes de cada região)?
f) qual área tem a maior proporção de homens fumantes (em relação ao total 
de fumantes de cada área)?
Respostas:
a) 
b) Área Urbana: ; Área Rural: 
c) 
36 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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d) Área Urbana
Área Rural 
e)
Região Norte
 692.282/3.514.898 ≅ 0,1970
Região Nordeste
 2.634.074/12.763.114 ≅ 0,2064
Região Sudeste
 4.308.466/18.840.494 ≅ 0,2287
Região Sul
 1.433.509/6.644.573 ≅ 0,2157
Região Centro-Oeste
 672.361/3.077.323 ≅ 0,2185
A Região Sudeste tem a maior proporção de mulheres fumantes 0,2287. 
37UNIASSELVI
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GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
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f) Área Urbana: 
Área Rural: 
A área rural tem a maior proporção de fumantes 0,8732.
TÓPICO 2
1 Determine as hipóteses H0 e H1, nos seguintes casos (testes):
a) Numa pesquisa que pretende verificar se a média de uma população é 
diferente de 20.
b) O professor de Probabilidade e estatística deseja averiguar se a variância 
das notas de seus alunos é igual a 4,8 contra a hipótese de que é maior; 
c) Uma pesquisa deseja verificar se a proporção de fumantes entre as 
mulheres é menor que 30%.
R.:
a) H0: µ = 20 e H1: µ ≠ 20
b) H0: σ
2 = 4,8 e H1: σ
2 > 4,8
c) H0: p = 03 e H1: p < 0,3
2 Com base nas hipóteses formuladas em cada item do exercício anterior 
classifique o teste em bilateral, unilateral à esquerda ou unilateral à direita.
R.:
a) bilateral
b) unilateral à direita
c) unilateral à esquerda
3 Uma amostra de 25 elementos apresentou média de 123. Sabe-se que a 
variância populacional é igual a 81. Ao nível de significância de 5%, teste a 
hipótese que a média populacional é igual a 120 (µ = 120), contra a hipótese 
que:
a) µ > 120;
b) µ ≠ 120.
R.: conhecemos o desvio padrão populacional
n = 25, = 123, µ = 120, σ2 = 81 ⇒ σ = 9 e α = 0,05
a) unilateral a direita
H0: µ = 120
H1: µ > 120
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Para α = 0,05 temos ztab = 1,645.
Conclusão: Rejeitamos H0, pois 1,6667 > 1,645
b) bilateral
H0: µ = 120
H1: µ ≠ 120
Para α/2 = 0,025 temos ztab = 1,96.
Conclusão: Aceitamos H0, pois -1,96 < 1,6667 < 1,96.
4 Uma fábrica de baterias para notebook afirma que suas baterias têm um 
tempo médio de duração de 4 h. Para verificar tal fato, uma loja que trabalha 
com essa fábrica selecionou aleatoriamente 10 baterias e verificou os 
seguintes tempos de duração de cada bateria: 3,9 h; 4,1h; 3,8 h; 4,3 h; 3,5 
h; 3,7 h; 3,5 h; 4,2 h; 3,7 h; 4 h. Utilizando α = 5%, podemos concluir que o 
tempo médio de duração das baterias desse fabricante é menor que 4h?
R.: não conhecemos o desvio padrão populacional
n = 10, = 3,87, µ = 4, s = 0,2791 e α = 0,05
H0: µ = 4
H1: µ < 4
Para gl = 9 (10 – 1) e α = 0,05 temos ttab = - 1,8331(unilateral à esquerda)
Conclusão: Aceitamos H0, pois -1,4723 > -1,8331, isso significa que o tempo 
médio de duração das baterias é de 4h e que a diferença encontrada se deve 
a aleatoriedade da amostra.
5 Para verificar se há excesso no processo de enchimento de caixas de 1 kg 
de cereal, o controle de qualidade da empresa verificou que uma amostra de 
30 caixas de cereal tem peso médio de 1,3 kg com desvio padrão 0,65 kg. 
Ao nível de significância de 1%, o que se pode concluir?
R.: não conhecemos o desvio padrão populacional
n = 30, = 1,3, µ = 1, s = 0,65 e α = 0,01
H0: µ = 1
H1: µ > 1 (verificar se há excesso)
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Para gl = 29 (30 – 1) e α = 0,01 temos ttab = 2,4620 (unilateral à direita)
Conclusão: rejeitamos H0, pois 2,5274 > 2,4620, isso significa que há excesso 
no processo de enchimento das caixas de cereais.
6 Se o fabricante de cereais, da questão anterior, deseja verificar se há 
deficiência e excesso no enchimento das caixas, o que você conclui utilizando 
o mesmo nível de significância?
n = 30, = 1,3, µ = 1, s = 0,65 e α = 0,01
H0: µ = 1
H1: µ ≠ 1 (verificar se há deficiência)
Para gl = 29 (30 – 1) e α/2 = 0,005 temos ttab = 2,7564 
Conclusão: Aceitamos H0, pois -2,7564 < 2,5274 < 2,7564, isso significa que 
não há deficiência no processo de enchimento.
7 Numa amostra de 25 elementos de uma população normal obteve-se 
variância de 16. Ao nível de significância de 10%, teste a hipótese que a 
variância populacional é 20 (σ2 = 20), contra a hipótese que:
a) σ2 ≠ 20
b) σ2 > 20
R.:
n = 25, s2 = 16 e α = 0,10
a) bilateral
H0: σ
2 = 20
H1: σ
2 ≠ 20
Para gl = 24 (25 – 1) e α/2 = 0,05 temos χ2A = 36,4150.
Para gl = 24 (25 – 1) e 1 - α/2 = 0,95 temos χ2B = 13,8484.
Conclusão: Aceitamos H0, pois, 13,8484 < 19,2 < 36,4150.
b) unilateral à direita
H0: σ
2 = 20
H1: σ
2 > 20
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Para gl = 24 (25 – 1) e α = 0,1 temos χ2tab = 33,1962
Conclusão: Aceitamos H0, pois, 19,2 < 33,1962
8 Uma fábrica de parafusos afirma que o desvio padrão do diâmetro de seu 
parafusos é de 0,1 mm. O controle de qualidade toma uma amostra aleatória 
de 51 parafusos e constata um desvio padrão de 0,15 mm. Utilizando um nível 
de significância de 1%, podemos dizer que o desvio padrão dos parafusos 
é superior a 0,1 mm?
R.:
σ = 0,1 ⇒ σ2 = 0,01, n = 51, s = 0,15 ⇒ s2 = 0,0225 e α = 0,01
H0: σ
2 = 0,01
H1: σ
2 > 0,01
Para gl = 50 (51 – 1) e α= 0,01 temos χ2tab = 76,1539
Conclusão: Rejeitamos H0, pois, 112,5 > 76,1539, isso significa que o desvio 
padrão é maior que 0,1.
9 Para verificar se uma certa moeda é honesta, foi lançada a moeda 100 
vezes ao ar e anotado o resultado da face voltada para cima. Se nesse 
experimento se obtiveram 60 coroas, podemos dizer que a moeda não é 
honesta? (use α = 5%)
R.:
p = 0,5 e = 60/100 = 0,6
H0: p = 0,5
H1: p ≠ 0,5
Para α/2 = 0,025 temos ztab = 1,96.
Conclusão: Rejeitamos H0, pois 2 > 1,96, o que significa que a moeda não 
é honesta.
10 Uma empresa de cigarros afirmou que a proporção de mulheres fumantes 
em 1990 é de 40%. Para verificar se houve um aumento na proporção de 
mulheres fumantes, tomou-se uma amostra de 400 mulheres e verificou-se 
que 260 fumam. Ao nível de significância de 5%, o que podemos concluir?
R.:
p= 0,4 e = 260/400 = 0,65. Como a estimativa da proporção aumentou, 
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vamos testar a hipótese de que a proporção populacional é maior que 0,4 
H0: p = 0,4
H1: p > 0,4
Para α = 0,05 temos ztab = 1,645.
Conclusão: Rejeitamos H0, pois 10,2041 > 1,645, o que significa que a 
proporção populacional é maior que 0,4.
TÓPICO 3
1 Uma fábrica de sapatos infantis deseja verificar se o investimento feito 
em propagandas resultou em um aumento no número de sapatos vendidos 
na região sul do Brasil. O quadro a seguir apresenta o número de sapatos 
vendidos, em um mês qualquer, antes e depois a propaganda.
Antes da propaganda Depois da propaganda
Paraná 10,3 mil 13 mil
Santa Catarina 12 mil 11,5 mil
Rio Grande do Sul 9,7 mil 10,2 mil
A 5% de significância, podemos concluir que o investimento em propagandas 
contribuiu para o aumento do número de sapatos vendidos? 
R.:
XAntes XDepois di (XDepois- XAntes)
10,3 13 2,7
12 11,5 -0,5
9,7 10,2 0,5
Média 0,9
Desvio padrão 1,6371
H0: 
H1: 
Para gl = 2 e α = 0,05 temos ttab = 2,92,
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Conclusão: Como tcal < ttab aceita-se H0, o investimento em propagandas 
aumentou as vendas.
2 Após um programa de capacitação, foram verificadas as diferenças na 
produtividade diária de 8 funcionários: +4, -1, 0, +2, -1, +3, 0, 1. Ao nível de 
significância de 10% e supondo que as diferenças seguem uma distribuição 
normal, podemos dizer que o programa de capacitação aumentou a 
produtividade dos funcionários? E a 5% de significância o que podemos 
concluir?
R.:
Média das diferenças: 1
Desvio padrão das diferenças: 1,8516
H0: 
H1: 
Para gl = 7 e α = 0,1 temos ttab = 1,3830
Para gl = 7 e α = 0,05 temos ttab = 1,8331
Conclusão: Ao nível de significância de 10% rejeitamos H0, ou seja, podemos 
dizer que o programa de capacitação não aumentou a produtividade, pois tcal 
> ttab. Já ao nível de significância de 5% aceitamos H0, o que significa que o 
programa aumentou a produtividade.
3 Deseja-se saber se 2 máquinas de empacotar erva-mate estão fornecendo 
o mesmo peso médio em kg. Para isso extraem-se ao acaso duas amostras, 
uma de cada máquina:
Máquina A: 15 amostras, média = 0,51 kg, variância = 0,0020 kg2
Máquina B: 20 amostras, média = 0,48 kg, variância = 0,0135 kg2
Supondo que os pesos amostrais seguem uma distribuição normal, qual é a 
sua conclusão a 5% de significância?
R.:
1º passo: verificar se as variâncias desconhecidas são iguais aplicando o 
teste F.
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Para gl1 = 14 e gl2 = 19 e α = 0,025 temos Ftab = 2,6469.
Como Fcal < Ftab aceitamos H0, indicando que as variâncias desconhecidas 
são iguais.
2 º passo: resolver o teste para o caso em que as variâncias desconhecidas 
são iguais.
H0: µ1 = µ2 
H1: µ1 ≠ µ2 
Para gl = n1 + n2 -2 = 15 + 20 – 2 = 33 e α = 0,025 temos que ttab é menor que 
2 (basta comparar com gl = 30 e α = 0,025)
Conclusão: Rejeitamos H0, pois tcalc > ttab, o que indica que as máquinas não 
estão fornecendo o mesmo peso médio.
4 Com a finalidade de verificar se há diferença entre as vendas de grandes 
marcas de cervejas, o dono de uma rede de supermercados registrou o 
número de caixas vendidas de 3 marcas concorrentes durante um mês, em 
5 supermercados de sua rede.
Supermercado Marca A Marca B Marca C
1 304 297 348
2 236 482 554
3 134 315 195
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4 351 176 410
5 110 273 347
Comparando-as duas a duas, verifique se há diferença significativa entre 
essas marcas. Use α = 10%.
R.:
Marca A: média = 227, variância = 10.931
Marca B: média = 308,6, variância = 12.273,3
Marca C: média = 370,8, variância = 16.772,7
Verificando se há diferença entre A e B
1º passo: verificar se as variâncias desconhecidas da marca A e B são iguais 
aplicando o teste F.
Para gl1 = gl2 = 4 e α = 0,025 temos Ftab = 9,6045.
Como Fcal < Ftab aceitamos H0, indicando que as variâncias desconhecidas 
são iguais.
A propósito, com esse valor Ftab = 9,6046 e com as variâncias que temos, 
podemos dizer que as variâncias desconhecidas da marca A, B e C são todas 
iguais. . Então, nesse 
exercício, não vamos nos dar mais ao trabalho de comparar variâncias.
2 º passo: resolver o teste para o caso em que as variâncias desconhecidas 
são iguais.
H0: µA = µB 
H1: µA ≠ µB
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A
Para gl = 8 e α = 0,025 temos que ttab = 1,8595
Conclusão: Aceitamos H0, pois -1,8595 < tcalc > 1,8595, o que significa que 
as vendas médias de cerveja da marca A e B são iguais.
Verificando se há diferença entre A e C
Já sabemos que as variâncias desconhecidas são iguais. Então vamos direto 
ao 2º passo:
H0: µA = µC 
H1: µA ≠ µC 
Para gl = 8 e α = 0,025 temos que ttab = 1,8595
Conclusão: Rejeitamos H0, pois tcalc > ttab, o que significa que as vendas médias 
de cerveja da marca A e C são diferentes.
Verificando se há diferença entre B e C
Como já sabemos que as variâncias desconhecidas são iguais, vamos direto 
ao 2º passo:
H0: µB = µC 
H1: µB ≠ µC 
Para gl = 8 e α = 0,025 temos que ttab = 2,3060
Conclusão: Aceitamos H0, pois -2,3060 < tcalc > 2,3060, o que significa que 
as vendas médias de cerveja da marca B e C são iguais.
5 Para verificar a eficácia de duas rações na engorda de tilápias, realizou-
se um experimento com 20 tilápias, todas com mesmo tempo de vida. As 
tilápias foram divididas aleatoriamente em dois grupos: no primeiro grupo, 
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com 8 tilápias, usou-se a ração A; no segundo grupo, as 12 lilápias foram 
tratadas com a ração B. No final de um mês encontraram-se as seguintes 
médias de peso:
Ração A: média = 1,26 kg; variância = 0,0053 kg2
Ração B: média = 1,31 kg; variância = 0,0013 kg2
A 5% de significância, podemos concluir que as rações produzem efeitos 
diferentes? 
R.:
1º passo: verificar se as variâncias desconhecidas são iguais aplicando o 
teste F.
Para gl1 = 7 e gl2 = 11 e α = 0,025 temos Ftab = 3,7586.
Como Fcal > Ftab rejeitamos H0, indicando que as variâncias populacionais 
desconhecidas são diferentes.
2 º passo: resolver o teste para o caso em que as variâncias desconhecidas 
são diferentes.
H0: µA = µB 
H1: µA ≠ µB 
Como as variâncias populacionais são desconhecidas e diferentes a variável 
t terá os graus de liberdade calculados pela fórmula a seguir: 
.
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Cálculo de gl:
Com isso a variável t-student terá 10 graus de liberdade, e para obter o valor 
ttab devemos entrar na tabela t com α = 0,025 (0,05/2) e gl = 10, assim ttab = 
2,2281.
Conclusão: Aceitamos H0, pois -2,2281 < tcalc < 2,2281, o que significa que 
as rações produzem os mesmos efeitos.
6 Um empresa de ônibus está testando a durabilidade de duas marcas de 
pneus. Para isso, testou 8 pneusde cada marca e constatou: para a marca 
G uma durabilidade média de 34.100 km e variância 122.650 km2; para a 
marca P uma durabilidade média de 32.500 km e variância 100.850 km2. Ao 
nível de significância de 1% teste a hipótese de que a durabilidade média dos 
pneus da marca G é maior que da marca P. (Para gl1 = gl2 = 7 e α = 0,005 
use Ftab = 8,8854.)
R.:
1º passo: verificar se as variâncias desconhecidas são iguais aplicando o 
teste F.
Para gl1 = gl2 =7 e α = 0,005 temos Ftab = 8,8854.
Como Fcal < Ftab aceitamos H0, indicando que as variâncias populacionais 
desconhecidas são iguais.
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2 º passo: resolver o teste para o caso em que as variâncias desconhecidas 
são iguais.
H0: µG = µP 
H1: µG > µP 
Para gl = nA + nB -2 = 8 + 8 – 2 = 14 e α = 0,01 temos que ttab = 2,6245.
Conclusão: Rejeitamos H0, pois tcalc > ttab, o que indica que os pneus da marca 
G têm maior durabilidade que os pneus da marca P.
7 A opinião sobre o atendimento pelo 0800 de um curso a distância foi 
estudada em todas as regiões brasileiras. O quadro a seguir mostra os 
resultados desse estudo.
 Atendimento
Região
Bom Regular Ruim Total
Norte 216 44 17 277
Nordeste 277 40 10 327
Sudeste 214 54 35 303
Centro-Oeste 208 113 61 382
Sul 261 75 28 364
Total 1176 326 151 1653
Ao nível de significância de 1%, podemos dizer que a opinião é a mesma 
nas 5 regiões?
R.:
H0: A preferência pelo atendimento independe da região
H1: A preferência pelo atendimento depende da região
1º passo: montar o quadro de valores esperados: 
 Atendimento
Região
Bom Regular Ruim
Norte 197,0672 54,6292 25,3037
Nordeste 232,6388 64,4900 29,8711
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Sudeste 215,5644 59,7568 27,6788
Centro-Oeste 271,7677 75,3370 34,8953
Sul 258,9619 71,7871 33,2511
2º passo: calcular o valor de χ2calc, pela fórmula: . 
Para isso vamos montar o seguinte quadro:
Valores 
Observados – O
Valores 
Esperados – E
(O – E) (O – E)² ( )
E
E-O 2
Fi
dé
lis
216 197,0672 18,9328 358,4509 1,8189
277 232,6388 44,3612 1967,9161 8,4591
214 215,5644 -1,5644 2,4473 0,0114
208 271,7677 -63,7677 4066,3196 14,9625
261 258,9619 2,0381 4,1539 0,0160
Vi
la
 
Ito
up
av
a
44 54,6292 -10,6292 112,9799 2,0681
40 64,4900 -24,49 599,7601 9,3000
54 59,7568 -5,7568 33,1407 0,5546
113 75,3370 37,663 1418,5016 18,8288
75 71,7871 3,2129 10,3227 0,1438
C
en
tro
17 25,3037 -8,3037 68,9514 2,7250
10 29,8711 -19,8711 394,8606 13,2188
35 27,6788 7,3212 53,6000 1,9365
61 34,8953 26,1047 681,4554 19,5286
28 33,2511 -5,2511 27,5741 0,8293
Qui-Quadrado = χ²calc 94,4014
Para gl = (r – 1) . (s – 1) = (5 – 1) . (3 – 1) = 8 e α = 0,01 temos que χ²tab = 
20,0902.
Conclusão: Rejeitamos H0, pois χ²calc > χ²tab, isso significa que a preferência 
pelo atendimento depende da região.
8 Em um estudo para verificar se existe relação entre o consumo de cigarro 
e a ocorrência de enfisema pulmonar, um hospital selecionou 125 pacientes 
ao acaso. De acordo com o quadro de resultados a seguir, podemos concluir 
que as ocorrências de enfisema pulmonar e o consumo de cigarro são 
independentes? (Use α = 5%)
 Enfisema 
Fumantes
Sim Não
Sim 39 29
50 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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C
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Não 23 34
R.:
A primeira coisa a fazer é calcular os totais (linha, coluna e geral).
 Enfisema 
Fumantes
Sim Não
Sim 39 29 68
23 34 57
Não 62 63 125
H0: Há uma associação entre o consumo de cigarros e a ocorrência de 
enfisema pulmonar
H1: Não há uma associação entre o consumo de cigarros e a ocorrência de 
enfisema pulmonar
1º passo: montar o quadro de valores esperados: 
 Enfisema 
Fumantes
Sim Não
Sim 33,7280 34,2720
Não 28,2720 28,7280
2º passo: calcular o valor de χ2calc, pela fórmula: . 
Para isso vamos montar o seguinte quadro:
Valores 
Observados – O
Valores 
Esperados – E
(O – E) (O – E)²
S
im
39 33,7280 5,2720 27,7940 0,8241
23 28,2720 -5,2720 27,7940 0,9831
N
ão
29 34,2720 -5,2720 27,7940 0,8110
34 28,7280 5,2720 27,7940 0,9675
Qui-Quadrado = χ²calc 3,5857
Para gl = (r – 1) . (s – 1) = (2 – 1) . (2 – 1) = 1 e α = 0,05 temos que χ²tab = 
3,8415.
Conclusão: Aceitamos H0, pois χ²calc < χ²tab, isso significa que há uma associação 
entre o consumo de cigarros e a ocorrência de enfisema pulmonar.