Gabarito das Autoatividades de Geometria

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Gabarito das Autoatividades
GEOMETRIA
(MAD)
2012/2
Módulo III
2 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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GABARITO DAS AUTOATIVIDADES DE
GEOMETRIA
UNIDADE 1
TÓPICO 1 
1 Para saber se você entendeu o assunto estudado neste tópico, faça 
uma relação com cinco objetos do seu cotidiano que deem ideia de 
pontos, retas e planos.
R.: A resposta desta atividade é pessoal, porém citam-se alguns objetos 
como sugestão:
● Ideia de ponto – a bolinha do dado indicando o número um, as bolinhas nas 
peças de um dominó, a luz do timer da TV, o ponto final de uma frase etc.
● Ideia de reta – o fio elétrico de um poste a outro, um fio de cabelo, a faixa 
branca do asfalto, as linhas da folha do caderno, um fio de arame da cerca etc.
● Ideia de plano – o piso da casa, a parede da sala, a tela da TV, uma folha 
A4, o vidro da janela etc.
2	 Classifique	cada	afirmação	a	seguir	em	V	para	verdadeiras	ou	F	para	
as falsas, de acordo com os estudos realizados neste tópico:
a) (V) Por um ponto passam infinitas retas.
b) (V) Por dois pontos distintos passa uma reta.
c) (V) Dois pontos distintos determinam uma e uma só reta.
d) (F) Por três pontos dados passa uma só reta.
e) (F) Três pontos distintos são sempre colineares.
f) (V) Três pontos distintos são sempre coplanares.
g) (F) Quatro pontos, todos distintos, determinam duas retas.
h) (V) Por quatro pontos, todos distintos, pode passar uma só reta.
i) (F) Três pontos, pertencentes a um plano, são sempre colineares.
TÓPICO 2
	 Questão	única	–	Classifique	cada	afirmação,	a	seguir,	em	V	para	verdadeira	
ou	F	para	falsa,	de	acordo	com	os	estudos	realizados	neste	tópico:
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a) (F) Se dois segmentos são consecutivos, então eles são colineares.
b) (F) Se dois segmentos são colineares, então eles são consecutivos.
c) (V) Se dois segmentos são adjacentes, então eles são colineares.
d) (F) Se dois segmentos são colineares, então eles são adjacentes.
e) (V) Se dois segmentos são adjacentes, então eles são consecutivos.
f) (F) Se dois segmentos são consecutivos, então eles são adjacentes.
TÓPICO 3
1	 Classifique	cada	afirmação	a	seguir	em	V	para	verdadeira	ou	F	para	
falsa, de acordo com os estudos realizados neste tópico:
a) (F) Dois ângulos adjacentes são opostos pelo vértice.
b) (F) Dois ângulos opostos pelo vértice são consecutivos.
c) (V) Dois ângulos suplementares são adjacentes.
d) (F) Dois ângulos adjacentes são complementares.
2	 Encontre	as	medidas	dos	ângulos	a	seguir:
a)	A	medida	do	ângulo	que	vale	o	dobro	do	seu	complemento.
R.: 60º
b)	A	medida	do	ângulo	igual	ao	triplo	do	seu	complemento.
R.: 67,5º
c)	 A	medida	do	ângulo,	sabendo	que	um	quarto	do	seu	suplemento	vale	36º.
R.: 360
d)	A	medida	do	ângulo	que	somado	ao	triplo	do	seu	complemento	dá	210º.
R.: 300
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TÓPICO 4
1	 O	mapa,	a	seguir,	mostra	quatro	estradas	paralelas	que	são	cortadas	
por	três	avenidas	transversais.	Algumas	das	distâncias	entre	os	cru-
zamentos dessas avenidas e estradas estão indicadas no mapa (em 
km), mas as outras precisam ser calculadas. Complete o mapa com 
as distâncias que faltam.
Então: x = 10, y = 30 e z = 22,5
2 Dados quatro números a, b, c e d, dispostos em duas razões, dize-
mos	que	formam	uma	proporção	se	o	produto	dos	meios	for	igual	
ao produto dos extremos, assim: Nas	relações	a	seguir,	diga
R.:
se são ou não proporções:
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Observe que são proporcionais quando for possível simplificar (b e d).
3	 Pegue	uma	folha	de	caderno	pautada.	As	linhas	do	seu	caderno	são	pa-
ralelas.	Trace	duas	retas	transversais	a	estas	linhas.	Agora	com	o	auxílio	
de	uma	régua,	meça	a	distância	de	uma	linha	a	outra	sobre	a	diagonal	(as	
medidas	a,	b,	c	e	d	conforme	representado	na	figura	a	seguir).	Se	você	
quiser,	pode	medir	linhas	alternadas,	não	é	necessário	que	as	linhas	sejam	
consecutivas.	Verifique	a	proporcionalidade	dos	segmentos.
R.: Caro(a) Tutor(a) Externo(a)! Essa resposta é pessoal. Aproveite a 
oportunidade para socializar as diferentes respostas.
4	 Crie	você	uma	figura,	com	três	retas	paralelas	e	duas	transversais.	
Com	o	auxílio	da	régua,	meça	três	medidas,	entre	as	paralelas.	Agora,	
utilizando	o	Teorema	de	Tales,	encontre	a	medida	que	está	faltando.	
Feito	isso,	com	a	régua,	confirme	o	resultado	que	você	encontrou.	
R.: Caro(a) Tutor(a) Externo(a)! Essa resposta é pessoal. Aproveite a 
oportunidade para socializar as diferentes respostas.
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TÓPICO 5
1 Quantos metros quadrados tem um quilômetro quadrado?
R.: 1000 x 1000 = 1 000 000 m2.
2 Quantos metros quadrados tem uma quadra de esportes com 100 m de lado?
R.: 100 x 100 = 10 000 m2.
3 Um litro tem quantos cm3?
R.: 10 x 10 x 10 = 1 000 cm3.
4 Quantos cm3 tem um mililitro (ml)?
R.: 1 x 1 x 1 = 1 cm3.
5 Quantos litros tem um m3?
R.: 1 000 litros (exemplo p. 41).
6	 Transforme	864	m	em	km.
R.: 864 x 1 000 = 0,864 km.
7	 Transforme	864	m	em	cm.
R.: 864 x 100 = 86400 cm.
8	 Certamente	você	já	ouviu	falar	da	prova	de	500	milhas	de	Indianápolis.	
O piloto que faz o percurso total percorre quantos quilômetros?
R.: 1 milha = 1,6093 km, assim: 500 x 1,609 = 804,5 km
9 Os disquetes de microcomputadores são de 3,5”. Ou seja, cada 
disquete	mede	3	polegadas	e	meia	de	diâmetro.	O	sinal	”	indica	a	
medida	polegada.	Como	uma	polegada	mede	aproximadamente	2,54	
cm, qual é o diâmetro de um disquete? 
R.: 3,5 x 2,54 = 8,89 cm
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10	O	romance	de	ficção	científica,	escrito	no	século	XIX	por	Júlio	Verne,	
intitulado	Vinte	mil	léguas	submarinas,	descreve	um	fantástico	sub-
marino	movido	por	uma	forma	de	energia	muito	semelhante	à	que	
é	usada	hoje	nos	submarinos	atômicos.	Quantos	quilômetros	são	
20.000	léguas?
R.: 1 légua = 5,555m, assim: 20 000 x 5,555 = 111 100 km.
UNIDADE 2
TÓPICO 1
1	 Determine	a	soma	dos	ângulos	internos	de	um	hexágono	convexo.
2	 Determine	a	medida	do	ângulo	 interno	e	externo	de	um	 triângulo	
equilátero.
3	 Calcule	a	soma	dos	ângulos	internos	de	um	decágono.
4	 O	retângulo	é	um	polígono	regular?	Justifique	sua	resposta.
R.: Não, porque não possui todos os lados iguais.
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5	 Encontre	o	valor	de	x	e	determine	a	medida	dos	ângulos	de	cada	
polígono	a	seguir:
a)
Si = 360
90 + 60 + 2x + x = 360
150 + 3x = 360
3x = 360 – 150
3x = 210
Então os ângulos medem: 60, 90, 70 e 140 graus.
b)	A	figura	 representa	um	pentágono,	portanto	a	soma	dos	ângulos	
internos	é	(n-2).180,	isto	é,	5400. Então temos:
Si = 540
90 + 105 + 70 + x + x = 540
265 + 2x = 540
2x = 540 – 265
2x = 275
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Os ângulos medem: 90, 105, 70, 137,5 e 137,5 graus. 
c)	A	figura	representa	um	hexágono,	portanto	a	soma	dos	ângulos	in-
ternos	é	(n-2).180,	isto	é,	7200. Então:
Si = 720
(x + 20) + x + (x + 30) + 130 + 120 + 150 = 720
3x + 450 = 720
3x = 720 – 450 
3x = 270
Os ângulos medem: 150, 120, 130, 90, 110 e 120 graus.
d)	Na	última	figura	 temos	um	pentágono,	do	qual	 conhecemos	dois	
ângulos	externos.	Então:	Si	=	540
Assim, os ângulos internos do pentágono medem: 90, 120, 120, 90 e 120. 
E os dois ângulos externos medem 60 graus.
6	 Calcule	o	número	de	diagonais	de	um	pentágono.
R.: 
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O pentágono tem 5 diagonais.
 
7	 Quantas	diagonais	partem	de	cada	vértice	de	um	icoságono?
R.: De cada vértice de um polígono partem n – 3 diagonais. Então de cada 
vértice de um icoságono partem 20 – 3 = 17 diagonais.
8	 Calcule	a	medida	do	ângulo	interno	e	a	medida	do	ângulo	externo	do	
pentágono	regular.
R.: 
Primeiro calculamos Si do pentágono, que é 540º. Então:
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TÓPICO 2
1	 Classifique	as	afirmações	a	seguir,sobre	os	pontos	notáveis	de	um	
triângulo,	em	V	para	as	verdadeiras	e	F	para	as	falsas:
a) (V) O incentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo.
b) (V) O circuncentro é o centro da circunferência circunscrita no triângulo.
c) (V) O incentro é interno ao triângulo.
d) (V) O baricentro é interno ao triângulo.
e) (F) O ortocentro é interno ao triângulo.
f) (F) O circuncentro é interno ao triângulo.
2	 Com	os	segmentos	de	8	cm,	5	cm	e	18	cm	é	possível	construir	um	
triângulo?	Por	quê?
R.: Não, porque em todo triângulo cada lado é menor que a soma dos outros 
dois e 18 é maior que a soma dos outros dois.
3	 Classifique	as	afirmações	em	V	para	as	verdadeiras	e	F	para	as	falsas:
a) (F) Todo triângulo isósceles é equilátero.
b) (V) Todo triângulo equilátero é isósceles.
c) (V) É possível construir um triângulo retângulo e isósceles.
d) (F) Um triângulo escaleno pode ser isósceles.
4	 Determine	os	valores	de	x	e	y,	no	triângulo	equilátero	a	seguir:
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R.:
Calculando o valor de x
2x +1= 3x – 3
2x – 3x = - 3 – 1 
-x = -4
x = 4
Calculando o valor de y
y = 2x + 1 
y = 2.4 + 1
y = 8 + 1
y = 9
5	 Responda	como	são	classificados:
a)	Os	triângulos	com	3	lados	iguais?
R.: Equiláteros.
b)	Os	triângulos	com	2	lados	iguais?
R.: Isósceles.
c)	Os	triângulos	com	3	lados	diferentes?
R.: Escalenos.
d)	Os	triângulos	com	3	ângulos	iguais?
R.: Acutângulos.
e)	Os	triângulos	com	2	ângulos	iguais?
R.: Isósceles.
f)	 Os	triângulos	com	3	ângulos	diferentes?
R.: Retângulos.
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TÓPICO 3
1	 Os	triângulos	da	figura	a	seguir	são	semelhantes,	mas	estão	em	po-
sições	diferentes.	Sabemos	que	triângulos	semelhantes	têm	medidas	
proporcionais. Com base nisso, calcule as medidas x e y.
x ≅ 36,64 e y ≅ 40,71
2	 Num	triângulo	retângulo,	como	são	chamados:
a)	Os	lados	que	formam	o	ângulo	reto?
R.: Catetos.
b)	O	lado	oposto	ao	ângulo	reto?
R.: Hipotenusa.
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3	 Se	o	perímetro	de	um	triângulo	equilátero	mede	75	cm,	quanto	mede	
cada um de seus lados?
R.: Lembre-se: o triângulo equilátero tem três lados iguais.
Perímetro = soma dos lados.
75 ÷ 3 = 25 cm
4	 Se	o	perímetro	de	um	triângulo	isósceles	mede	100	m	e	a	base	mede	
40 m, quanto mede cada um dos outros lados?
R.: Lembre-se: o triângulo isósceles tem dois lados iguais. 
100 – 40 = 60 ÷ 2 = 30 cm
5	 Encontre	o	perímetro	do	triângulo	ABC	em	cada	um	dos	seguintes	casos:
a)	Um	triângulo	equilátero	ABC	com	AB	=	x	+	2y;	AC	=	2x	–	y	e	BC	=	x	+	y	+	3.
R.: 45.
b)	Um	triângulo	isósceles	ABC	de	base	BC,	com	AB	=	2x	+	3;	AC	=	3x	–	3	
e	BC	=	x	+	3.
R.: 39.
6	 No	∆ABC,	o	ângulo	A	=	70º,	AC	=	3	m	e	AB	=	5	m;	em	outro	∆XYZ,	o	
ângulo	Y	=	70º,	YZ	=	5	m	e	XY	=	3	m.	Justifique	a	semelhança	entre	
os	dois	triângulos	e	diga	quais	os	ângulos	e	lados	congruentes.
R.: São semelhantes por LAL, com:
TÓPICO 4
1	 Pode	um	setor	circular	coincidir	com	um	segmento	circular?	Explique	isso.
R.: Sim, é possível, quando a corda que determina o segmento for um diâmetro 
do círculo. Assim, teremos um segmento que é um semicírculo e poderíamos 
ter um setor com essa área. 
2	Em	que	caso	um	setor	circular	é	um	semicírculo?
R.: Quando a corda que determina o segmento for um diâmetro do círculo.
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3	 Numa	mesa	circular,	uma	pessoa	fica	bem	acomodada	ocupando	
cerca de 70 cm da borda deste móvel. Quanto maior o número de 
pessoas,	maior	deverá	ser	o	diâmetro	desta	mesa.	Para	acomodar	
confortavelmente	 4	pessoas,	 qual	deverá	 ser	 a	 circunferência	da	
mesa? Você é capaz de resolver este problema?
R.: Para acomodar 4 pessoas, a circunferência da mesa deverá ter 280 cm, 
portanto o diâmetro da circunferência será de 89,17 cm, aproximadamente. 
4	 Justifique	por	que	o	diâmetro	é	a	maior	corda	da	circunferência.
R.: Porque é a corda que passa pelo centro da circunferência, onde a distância 
entre os dois extremos é maior. 
TÓPICO 5
1	 Pense	num	paralelogramo	com	as	medidas	da	base	e	da	altura,	respec-
tivamente	indicados	por	b	e	h.	Se	construirmos	um	outro	paralelogramo	
que	tem	o	dobro	da	base	e	o	dobro	da	altura	do	primeiro	paralelogramo,	
qual	será	a	relação	entre	as	áreas	dos	dois	paralelogramos?
R.: Sugestão: para entender melhor a situação, construa um paralelogramo.
1º – A = b . h = bh
2º – A = 2b . 2h = 4bh
A área do segundo é o quádruplo da área do primeiro.
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2	 Calcule	a	área	de	um	losango	que	possui	suas	diagonais	medindo	
10	cm	e	16	cm	(em	centímetros	quadrados).
R.: 
3	 Um	dos	lados	de	um	retângulo	mede	10	cm.	Qual	deve	ser	a	medida	
do	outro	 lado	para	que	a	área	deste	 retângulo	seja	equivalente	à	
área	do	retângulo	cujos	lados	medem	9	cm	e	12	cm	(em	centímetros	
quadrados)?
R.: 
S = b.h 
108 = b . 10
4	 Calcule	a	área	de	um	triângulo	retângulo	que	possui	como	medida	
de	sua	hipotenusa	e	de	um	dos	seus	catetos,	respectivamente,	10	
cm	e	8	cm	(resposta	em	centímetros	quadrados).
R.: 
Hip² = cat² + cat²
10² = 8² + cat²
100 = 64 + cat²
cat = 6
Conhecidos os dois catetos, podemos calcular a área:
5	 A	figura	a	seguir	representa	as	dimensões	de	uma	sala	que	vai	ser	
assoalhada	com	tábuas	de	20	cm	de	largura	por	3,5	m	de	comprimen-
to.	Quantas	tábuas	são	necessárias?
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R.: A área da sala é de 49 m². A área de uma tábua é de 0,7 m², então são 
necessárias 70 tábuas para assoalhar a sala.
6	 Para	refazer	o	jardim	de	sua	residência,	o	Sr.	Júlio	resolveu	comprar	
blocos	de	grama	para	colocar	entre	as	árvores	e	as	flores.	A	grama	
é vendida em blocos que medem 50 cm x 30 cm. Quantos blocos, no 
mínimo,	o	Sr.	Júlio	deve	comprar	para	cobrir	uma	área	de	165	m2?
R.: 1600 ÷ 1500 = 1.100 blocos
Serão necessários 1.100 blocos de grama com as dimensões descritas. 
7	 Observe	a	figura	ao	lado.	Cada	quadradinho	da	malha	tem	um	cm	
de lado e, portanto, 1 cm2	de	área.	Com	base	nestes	dados,	calcule	
a	área	da	região	limitada	pela	linha	escura.	
R.: Cada quadradinho tem 1 cm² de área. Existem 14 quadradinhos inteiros (1).
Considerando duas semicircunferências com 1 cm de raio, temos uma área 
de: (2).
2 - 1,57 = 0,43 cm2 (3).
Então: fazendo 1 + 2 + 3 temos:
14 + 1,57 + 0,43 = 16cm2.
16 cm2 
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TÓPICO	6
1	 Em	uma	cidade,	há	um	terreno	abandonado.	Esse	
terreno	tem	a	forma	de	um	trapézio	retangular	cujas	
bases	medem	18	m	e	12	m	e	cuja	altura	mede	30	m.	
João	amarrou	seu	cavalo,	ponto	P,	a	uma	corda	de	
12 m de comprimento, para pastar. De acordo
	 com	a	figura	ao	lado,	calcule	a	área	(em	metros	
 quadrados) de pasto que o cavalo não pode comer.
R.: Primeiro calculamos a área do trapézio: 450 m2. 
Agora ¼ da circunferência de raio 12: aproximadamente 113 cm2.
Finalmente fazemos a diferença entre as duas áreas: 450 - 113 = 337 cm2 
é a área que ele não pode comer.
R.: 
Calculamos a superfície do triângulo ABC inscrito na semicircunferência: 
24 cm2. 
2	 No	semicírculo	ao	lado	temos	BC	=	10	cm	
e	AB	=	8	cm.	Qual	o	valor	aproximado,	em	
centímetros	quadrados,	da	área	sombreada,	
sabendo-se	 que	 o	 triângulo	ABC	 é	 um	
triângulo	retângulo?
a² = b² + c²
10² = 8² + c²
100 = 64 + c²
36 = c² 
c = 6
Sendo assim a área do triangulo retângulo 
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Calculamos a área de ½ círculo: 39,25 cm2. 
Finalmente, fazemos a diferença entre as duas áreas: 39,25 -24 = 15,25 
cm² é a área da superfície sombreada.
3	 Calcule	a	área	da	sacada	de	um	apartamento	
	 apresentada	na	figura	ao	lado.
R.: 
Calculamos a área da circunferência e lembre-se que temos 2/4 de 
circunferência com 1,5 m de raio.
Então: 3,5 cm2.
Um retângulo de 3 x 1,5 = 4,5 m2. 
Então, somam-se as áreas 3,53 + 4,5 = 8,03. 
Assim a área da sacada é aproximadamente 8 m2.
4	 O	comprimentoda	linha	do	Equador	da	Terra	tem	aproximadamente	
40.000 km. Qual é o raio da Terra?
R.: 
C= 2 ð r 
40000 = 2 . 3,14 . r
40000 = 6,28 r
r = 6369,43
Aproximadamente 6.369 km.
5 Uma pizza	tem	raio	igual	a	15	cm	e	está	dividida	em	6	fatias.	Calcule	
a	área	de	cada	fatia.
 assim dividimos o total por 6 = 706,5 ÷ 6 = 
117,75
Cada fatia tem 117,75 cm2.
6	 Num	círculo	de	raio	r	=	10	cm,	calcule:
a) o comprimento de um arco com α = 45º.
b) a área de um setor circular com α = 60º.
c) a área de um setor circular com α = 120º.
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R.: 
a) Primeiro encontramos o valor da circunferência:
C = 2 ð r 
C = 2.3,14.10
C = 62,80
Então, multiplica-se pelo ângulo correspondente e divide-se por 360.
C = 62,80 *45 / 360 = 7,85 cm 
7	 Observe	a	figura	ao	lado.	Cada	quadradinho	tem	uma	unidade	quadrada	
de	área.	Encontre	a	área	da	superfície	contornada	pela	linha	escura.
R.: 
Cada quadrinho tem uma unidade quadrada de área. Então, a figura tem 
16 cm2.
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UNIDADE 3
TÓPICO 1 
1	 Classifique	as	afirmações	a	seguir	em	V	para	as	verdadeiras	ou	F	
para as falsas:
a) (V) Duas retas ou são coincidentes ou são distintas.
b) (V) Duas retas ou são coplanares ou são reversas.
c) (F) Duas retas distintas determinam um plano.
d) (V) Duas retas concorrentes têm um ponto comum.
e) (V) Duas retas não coplanares são reversas.
2	 Num	poliedro	convexo	de	10	arestas,	o	número	de	faces	é	igual	ao	
número de vértices. Quantas faces tem esse poliedro?
R.: 
F + V = A + 2
F + V = 10 + 2 
F + V = 12
Como o número de faces e vértices são os mesmos 12 divididos por 2, 
esse poliedro tem 6 faces.
3 Num poliedro convexo o número de arestas excede o número de 
vértices	em	6	unidades.	Calcule	o	número	de	faces	desse	poliedro.
R.: 
A = V + 6
F + V = A + 2
F + V = V + 6 + 2 
F =V – V +8
F = 8
8 faces.
4	 Classifique	as	afirmações	a	seguir	em	V	para	as	verdadeiras	ou	F	
para as falsas:
a) (V) Planos secantes são dois planos distintos que se interceptam.
b) (F) Dois planos se interceptam num único ponto.
c) (V) Dois planos concorrentes no espaço são planos cuja intersecção é uma reta.
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d) (F) Dois planos concorrentes formam um triedro.
e) (V) Planos paralelos no espaço são planos que não têm interseção.
5	 Considerando	o	que	estudamos	até	aqui,	responda	às	seguintes	perguntas:
a) O que são pontos colineares?
R.: Pontos colineares pertencem à mesma reta.
b) O que são pontos coplanares?
R.: Coplanares são pontos que pertencem ao mesmo plano.
c)	O	que	é	uma	figura	plana?
R.: É uma forma que pertence a um só plano.
d) O que são retas reversas?
R.: São retas que estão em planos distintos.
e) Quais as posições relativas de duas retas?
R.: Duas retas, no espaço, podem ser: 
TÓPICO 2
1	 Como	se	chama	o	prisma	que	possui	8	faces?
R.: Octaedro
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2 Quais são os elementos de um prisma?
R.: Faces (duas bases congruentes e n faces laterais), arestas e vértices.
3	 Existe	um	prisma	cujas	arestas	laterais	medem	5	cm	e	a	altura	é	6	cm?
R.: Não, pois os prismas são sólidos geométricos que possuem duas bases 
congruentes contidas em planos paralelos distintos e as demais faces laterais 
constituídas por paralelogramos.
4 Em qualquer prisma, quantas arestas partem de um mesmo vértice?
R.: 3 arestas, podemos verificar no exemplo do octaedro da atividade 1.
5	 Calcule	a	diagonal	da	face	e	a	diagonal	do	prisma,	de	um	cubo	de	
lado 5 cm.
R.: 
A diagonal da face é e a diagonal do prisma é 
6	 Calcule	a	medida	da	diagonal	e	a	área	total	de	um	cubo	de	2,5	cm	de	aresta.
R.:
f² = a² + a²
f² = 2,5² + 2,5²
f² = 6,25 + 6,25
f² = 12,50
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Área total = (2,5)² . 6
 6,25 . 6
 37,5 cm²
A diagonal do cubo é e a área total é 37,5 cm2.
7	 Calcule	a	medida	da	aresta	de	um	cubo	de	36	m2	de	área	total	da	sua	
superfície.
R.: 
36 = a² . 6 
8	 Calcule	a	diagonal,	a	área	e	o	volume	do	paralelepípedo	retângulo	de	
dimensões	6	cm,	2	cm	e	3	cm.
R.: Lembre-se de que, como é um paralelepípedo, cada área é multiplicada 
por dois.
Área = 
 6 . 2 = 12 . 2 = 24
 6 . 3 = 18 . 2 = 36
3 . 2 = 6 . 2 = 12
Assim: 24 + 36 + 12 = 72 cm²
V = área base x altura
V = 2 . 3 . 6
V = 36 cm³
Diagonal 
A diagonal mede 7 cm, a área mede 72 cm² e o volume é 36 cm3.
9	 O	trapézio	representado	na	figura	a	seguir	é	base	de	um	prisma	reto	
de	altura	10	cm.	Calcule	a	área	total	e	o	volume	do	prisma.
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R.: 
Soma das áreas da base =
= 6,05 * 2 = 12,10 
Áreas laterais
5.10 = 50
2.10 = 20
2.10 = 20
Soma das áreas laterais 
50 + 20 + 26,46 = 116,46 
A área total é a soma das áreas laterais com as áreas das bases 116,46 
+ 12,10 = 128,56 cm².
V = área base x altura
V = 6,05 * 10 = 60,50 cm³ 
A área total é 128 cm2, aproximadamente. O volume do prisma é 60 cm3, 
aproximadamente. 
TÓPICO 3 
1		 Quantos	vértices,	arestas	e	faces	tem	uma	pirâmide	octogonal?
R.: A pirâmide octogonal tem 9 vértices, 16 arestas e 9 faces
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2		 Numa	pirâmide	quadrangular	regular,	cuja	aresta	da	base	mede	5	cm	
e	cuja	altura	mede	8	cm,	calcule	o	apótema	da	base	e	o	apótema	da	
pirâmide.
R.: No caso da base quadrada o apótema da base é a metade da medida.
O apótema da base mede 2,5 cm. O apótema da pirâmide mede 8,4, 
aproximadamente.
3		 Calcule	a	área	lateral,	a	área	total	e	o	volume	da	pirâmide	hexagonal	
regular	com	4	cm	de	aresta	da	base	e	10	cm	de	aresta	lateral.
R.: 
Cálculo da área lateral
h² = c² + c²
10² = 2² + c²
100 = 4 + c²
100 – 4 = c²
O valor de “c” é a altura de uma das faces 
da pirâmide. 
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Área lateral: Como temos 6 laterais: 19,6 . 
6 = 117,6 cm²
Cálculo da área da base
área base 
como utilizamos a base dividida em 6 
triângulos equiláteros (três lados iguais), 
multiplicaremos por 6, pois a base equivale a 
6 triângulos equiláteros 7.6 = 42 cm².
Área total = área lateral + área base = 117,60 + 42 = 159,60 cm²
Volume da pirâmide = 
4		 Dado	um	tetraedro	regular	de	aresta	a,	calcule:
a)	 	A	área	total	(At)
R.: Área total é
b)		A	medida	h	da	altura
R.: Altura é
c) O seu volume (V).
R.: Volume é
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5		 Sabendo	que	a	aresta	de	um	tetraedro	regular	mede	3	cm,	calcule	a	
medida	de	sua	altura,	sua	área	total	e	seu	volume.
R.: Tetraedro Regular (neste caso estamos resolvendo pelas fórmulas 
apresentadas na atividade anterior).
Altura =
Área Total = 
Volume é
Altura = área total = volume = 
Se resolvêssemos pela demonstração da imagem.
Altura da face 
A altura da face lateral, como a pirâmide, é um tetraedro e os triângulos 
laterais são iguais ao triângulo da base, por isso, precisamos dividir a altura 
encontrada por um terço para obter a medida do apótema da base.
Apótema base = 
Área base =
Área total = 3,9 * 4 = 15,60 cm²
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Volume da pirâmide = 
6		 A	aresta	lateral	de	uma	pirâmide	quadrangular	regular	mede	15	cm	e	
a aresta da base 10 cm. Calcule seu volume.
R.: Pirâmide Quadrangular 
Área base 
Área base = 10 * 10 = 100
Volume = 
7		 Qual	é	o	volume	de	uma	pirâmide	quadrangular	de	altura	9	cm	e	cujo	
perímetro	da	base	é	20	cm?
R.: Se o perímetro da base é 20 e a base é um quadrado, cada aresta da 
base mede 5 cm.
Assim, a área da base é 25 cm², a altura é 9.
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Volume = 
1		 O	que	é	um	cilindro	equilátero?
R.: Cilindro equilátero é um cilindro cuja secção meridiana é um quadrado e, 
portanto, apresenta g = h = 2r, ou seja, o diâmetro da baseé igual à altura. 
2		 Um	 restaurante	costuma	usar	grandes	panelas	em	dias	de	muito	
movimento.	Para	encher	de	água	uma	dessas	panelas,	o	cozinheiro	
utiliza	 latas	 (ou	galões)	 de	 18	 litros.	Quantos	desses	galões	 são	
necessários	para	encher	completamente	uma	panela	cilíndrica,	de	
60	cm	de	diâmetro	e	50	cm	de	altura?	(Use						=	3,14)
Como cada galão tem 18 litros: 141,3 / 18 =7,85, são necessários, 
aproximadamente, 8 galões de água.
3		 Qual	é	o	volume	da	grafite	de	um	lápis	de	17	cm	de	comprimento,	se	
a	grafite	tem	2	mm	de	diâmetro?	(Use						=	3,14)
O volume da grafite é, aproximadamente, 0,53 cm3. Lembrando que 
precisamos trabalhar com medidas equivalentes, ou seja, cm em cm, mm 
em mm, m em m.
TÓPICO 4 
4 Para fazer 1 m3	de	concreto,	gastam-se	9	sacos	de	cimento.	Um	prédio	
está	apoiado	sobre	12	colunas	cilíndricas	de	concreto,	cada	uma	com	
5 m de altura e 40 cm de diâmetro da base. Quantos sacos de cimento 
foram	gastos	na	construção	destas	colunas?	(Use						=	3,14)
Assim, se para 1 m³ foram utilizados 9 sacos de cimento, para 7,54 m³ 
serão usados 67,86 sacos de cimento, aproximadamente 68 sacos para 
construir as colunas.
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5		 Um	 vaso	 cilíndrico	 tem	 30	 dm	 de	 diâmetro	 interior	 e	 70	 dm	
de	 profundidade.	 Quantos	 litros	 de	 água	 o	 vaso	 pode	 conter,	
aproximadamente?	(Use						=	3,14)
49555 litros de água 
6		 Um	suco	de	frutas	é	vendido	em	dois	tipos	de	latas	cilíndricas:	uma	
de	raio	r,	cheia	até	a	altura	h.	Outra	de	raio						e	cheia	até	altura	2h.	
A	primeira	é	vendida	por	R$	3,00	e	a	segunda	é	vendida	por	R$	1,60.	
Qual	é	a	embalagem	mais	vantajosa	para	o	consumidor?
R.: Primeira lata
Segunda lata 
A primeira embalagem é mais vantajosa para o consumidor, pois o volume 
da primeira em relação à segunda é o dobro. Já o valor não, pois a segunda 
lata custaria 3,20 para obtermos a mesma quantidade.
TÓPICO 5 
1		 Calcule	a	altura	de	um	cone	circular	reto,	cuja	geratriz	mede	25	cm	e	
o diâmetro da base mede 14 cm.
R.: Cone circular reto
A altura mede 24 cm.
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2 O volume de um cone circular reto é de 27 dm3 e a altura é de 9 dm. 
Qual é a medida do raio da base?
R.: 
O raio da base mede 3 dm.
3		 Num	cone	circular	reto,	a	altura	é	3	m	e	o	diâmetro	da	base	é	8	m.	
Então,	encontre	a	área	total.
R.: 
Medida da Geratriz
Área lateral
Área Base
Área total = área lateral + área base
Área total = 62,80 + 50,24 = 113,04
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4 Dois cones circulares retos têm a mesma base e a altura de um é o 
triplo da altura do outro. Encontre a relação entre os volumes dos 
dois cones.
R.: O cone que tem o triplo da altura do outro tem também o triplo do volume 
do outro.
 
5		 Um	triângulo	retângulo	isósceles,	de	hipotenusa	3						cm,	gira	em	
torno de um de seus catetos. Qual é o volume do sólido de revolução 
gerado	por	este	movimento?
R.: 
Lembrando que um triângulo isósceles tem os dois catetos de mesma 
medida, assim:
Cada cateto mede 3 cm.
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Área da base
6		 As	 áreas	 das	 bases	 de	 um	 cone	 circular	 reto	 e	 de	 um	 prisma	
quadrangular	reto	são	iguais.	O	prisma	tem	12	cm	de	altura	e	volume	
igual	ao	dobro	do	volume	do	cone.	Determine	a	altura	do	cone.
R.: 
Volume prisma = área base x altura
Volume cone = 
Assim, se o prisma tem o dobro da medida do volume do cone:
Volume prisma = 
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7		 Calcule	 o	 volume	 de	 um	 lápis	 cilíndrico,	 apontado	 com	 um	
comprimento	total	de	16	cm,	diâmetro	de	7	mm	e	a	altura	do	cone	
formado na parte apontada de 2 cm.
R.: Lembre-se de transformar todas as medidas em uma só, ou seja, 2 cm 
= 20 mm, 16 cm = 160 mm.
Para sabermos o volume total, precisamos somar os dois volumes, assim:
5385,10 + 256,53 = 5641,63mm³;
Lembre-se: para transformar mm³ em cm³ a divisão é feita por 1000.
Então: 5641,63 / 1000 = 5,64
Aproximadamente 5,64 cm3.
8		 Calcule	a	capacidade	(em	mililitros)	de	uma	casquinha	de	sorvete	em	forma	
de	cone	circular	reto	de	15	cm	de	altura	e	diâmetro	da	base	de	6	cm.
TÓPICO	6 
1		 Qual	a	quantidade	de	chumbo	necessária	para	a	confecção	de	100	
bolinhas	esféricas,	maciças,	de	1	cm	de	diâmetro	cada	uma?
Cada esfera tem um volume de 0,523 cm³ e para 100 = 52,33 cm³ de chumbo.
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2 O diâmetro da Lua é, aproximadamente, ¼ do diâmetro da Terra. 
Determine o volume da Lua.
R.: Lembre-se de que a circunferência da Terra é de 40 000 km
3		 Numa	indústria	química,	deseja-se	instalar	um	reservatório	esférico	
para	 armazenar	 determinado	 gás.	A	 capacidade	 do	 reservatório	
deve ser de 33,5 m3. Qual deve ser, aproximadamente, o raio desse 
reservatório?
R.: 
O raio deve ter, aproximadamente, 2 metros de comprimento.
4		 Uma	 fábrica	 de	 suco	 confeccionou	 suas	 embalagens	 em	 dois	
formatos:	 uma	 esférica	 de	 8	 cm	de	 diâmetro	 e	 outra	 cilíndrica.	
Sabendo	que	as	duas	embalagens	têm	a	mesma	altura	e	a	mesma	
largura,	calcule	seus	volumes.
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Volume da esfera = 267,95 cm3.
Volume do cilindro = 401,92 cm3.
5		 Num	recipiente	de	forma	cilíndrica,	com	4	cm	de	raio	da	base,	há	
água	até	certa	altura.	Calcule	a	elevação	do	nível	da	água	quando	
mergulhamos	ali	uma	esfera	de	aço	com	2	cm	de	diâmetro.
R.: 
6		 Considere	uma	 laranja	 como	uma	esfera	 com	6	cm	de	 raio.	Se	a	
dividirmos	em	doze	gomos	(cunhas	esféricas)	praticamente	iguais,	
qual	será	o	volume	de	cada	gomo?
R.: 
7 Qual é o comprimento aproximado de um meridiano terrestre?
R.: Considerando a Terra uma esfera perfeita, um meridiano é um círculo 
máximo que passa pelos polos, portanto, seu comprimento tem a mesma 
medida do equador, aproximadamente, 40 000 km.