Questão resolvida - Limite com uma raiz quadrada e outra cúbica no denominar - cálculo I

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Calcule o limite abaixo:
lim
x -1→
+ - 2 
x+ 1
-9x x
 
Resolução:
Subtituindo o limite; 
= = = =lim
x -1→
+ - 2 
x + 1
-9x x + - 2 
-1 + 1
-9 -1( ) -1( ) - 1 - 2 
0
9 3 - 1 - 2 
0
0 
0
 
 Zero sobre zero não existe, é uma indeterminação, porém, como há raíz cúbica e 
0 
0
quadrada no numerador, é possível aplicar a técnica de conjulgado; porém, antes vamos 
reescrever o limite como:
= = +lim
x -1→
+ - 2 
x + 1
-9x x
lim
x -1→
- 3 + + 1 
x + 1
-9x x
lim
x -1→
- 3 
x + 1
-9x + + 1 
x + 1
-9x x
 
Na primeira expressão, usaremos a técnica do conjulgado e, na segunda expressão, usaremos 
o cubo da diferença da seguinte forma :
 
+ = ⋅ + ⋅limx -1→
-3 
x+1
-9x +1 
x+1
x
limx -1→
-3 
x+1
-9x +3 
+3
-9x
-9x
+1 
x+1
x - +1 
- +1
x
2
x
x
2
x
= +limx -1→
+3 ⋅ -3 
x+1 +3
-9x -9x
( ) -9x
+1 ⋅ - +1
x+1 ⋅ - +1
x x
2
x
( ) x
2
x
 
produto da soma pela diferença : a + b a - b = a - b( )( ) 2 2
+ 3 ⋅ - 3 = - 3-9x -9x -9x
2
( )2
 
Diferença de 2 cubos : a + b ⋅ a – ab + b = a + b( ) 2 2 3 3
 + 1 ⋅ - + 1 = + 1x x
2
x x
3
( )3
 
 
 
3
3 3
3 3 3
3 3 3 3
3 3
3 3 3
3 3
3 3 3 3
= +limx -1→
+3 ⋅ -3 
x+1 +3
-9x -9x
( ) -9x
+1 ⋅ - +1
x+1 ⋅ - +1
x x
2
x
( ) x
2
x
= + = +limx -1→
- 3
x+1 +3
-9x
2
( )2
( ) -9x
+ 1
x+1 ⋅ - +1
x
3
( )3
( ) x
2
x
limx -1→
-9x-9
x+1 +3( ) -9x
x+1
x+1 ⋅ - +1( ) x
2
x
 
= + = +limx -1→
-9 x+1
x+1 +3
( )
( ) -9x
1
- +1x
2
x
limx -1→
-9
+3-9x
1
- +1x
2
x
= + = + = +
-9
+3-9 -1( )
1
- +1-1( )
2
-1( )
-9
+39
1
-1 - -1 +1( )2 ( )
-9
3+3
1
-1 - -1 +1( )2 ( )
 
= + = + = =
-9
6
1
1+1+1
-3
2
1
3
-9+2
6
-7
6
 
 
 
 
 
 
 
3 3 3
3 3
3
3 3 3 3
3 3 3 3
3 3
(Resposta)