Fundamentos de Matemática (UCAM)

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FUNDAMENTOS	
DE	
MATEMÁTICA	
	
NOTAS	DE	AULA	
	 	 	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Mylane	dos	Santos	Barreto	
Salvador	Tavares	
2019	
	 	 	
	
Mylane	dos	Santos	Barreto	
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FUNDAMENTOS	
DE	
MATEMÁTICA	
	
NOTAS	DE	AULA	
	
	
	
1ª.	edição	
	
	
ISBN:	978-85-922234-5-8	
	
	
Campos	dos	Goytacazes/RJ	
	
	
Mylane	dos	Santos	Barreto	
Salvador	Tavares	
	
	
2019	
	 	 	
	 	 	
	
ÍNDICE 
 
Apresentação ........................................................................................ 2 
1 Conceitos iniciais ................................................................................ 3 
1.1. Produtos notáveis ...................................................................... 3 
1.2. Casos clássicos de fatoração ..................................................... 6 
1.3. Expressões algébricas e valor numérico ................................... 10 
1.4. Noções de porcentagem ............................................................ 12 
2 Função polinomial do 1o. grau ............................................................. 17 
2.1 Definição ..................................................................................... 17 
2.2 Coeficientes ................................................................................ 18 
2.3 Gráfico ........................................................................................ 18 
2.4 Crescimento e decrescimento ..................................................... 20 
2.5 Zero (ou raiz) .............................................................................. 21 
2.6 Resumo ...................................................................................... 21 
2.7 Exercícios de fixação .................................................................. 22 
3 Função polinomial do 2º. grau ............................................................. 23 
3.1 Definição ..................................................................................... 23 
3.2 Gráfico ........................................................................................ 23 
3.3 Zeros (ou raízes) ......................................................................... 26 
3.4 Conjunto imagem ........................................................................ 27 
3.5 Resumo ...................................................................................... 28 
3.6 Exercícios de fixação .................................................................. 28 
4 Função exponencial ............................................................................ 30 
4.1 Recapitulando ............................................................................. 30 
4.2 Definição ..................................................................................... 31 
4.3 Gráfico ........................................................................................ 31 
4.4 Resumo ...................................................................................... 35 
4.5 Exercícios de fixação ........................ .......................................... 36 
5 Função logarítmica ............................................................................. 37 
5.1 Logaritmos .................................................................................. 37 
5.2 Definição ..................................................................................... 39 
5.3 Gráfico ........................................................................................ 39 
5.4 Resumo ...................................................................................... 41 
5.5 Exercícios de fixação .................................................................. 42 
6 Funções definidas por várias sentenças ............................................. 43 
6.1 Exercícios de fixação .................................................................. 43 
7 Noção intuitiva de limites .................................................................... 44 
7.1 Exercícios preliminares ............................................................... 44 
7.2 Função contínua ......................................................................... 49 
7.3 Exercícios de fixação .................................................................. 50 
8 Gabaritos ............................................................................................ 52 
 
 
 
	 Fundamentos	de	Matemática	–	Notas	de	Aula	 2	
	
Mylane	dos	Santos	Barreto	
Salvador	Tavares	
Apresentação 
 
 Este livro destina-se aos estudantes que desejam resgatar os conceitos 
necessários para um curso de Pré-Cálculo em Engenharia, Administração, 
Ciências Contábeis e licenciatura em Matemática. 
 É fruto da observação dos autores ao longo de vários anos convivendo 
com alunos ingressantes nos cursos citados acima que tem dificuldades 
recorrentes em Matemática. 
 No Capítulo 1 é feita uma revisão de conceitos iniciais tais como 
produtos notáveis, passando pelos casos clássicos de fatoração, 
simplificações de expressões algébricas, cálculo de valor numérico e noções 
de porcentagens. 
 Nos Capítulos de 2 a 5 são apresentadas as funções polinomiais de 1o. 
e 2o. graus, a exponencial e a logarítmica. 
 É desejável que essas funções sejam identificadas por meio das leis 
que as define bem como por meio dos gráficos que representam cada uma 
delas. 
 É esperado que os estudantes, ao final desse estudo das funções aqui 
apresentadas, sejam capazes de esboçar os gráficos utilizando os pontos 
fundamentais e as propriedades estudadas. 
 No Capítulo 6 são discutidos os traçados dos gráficos de funções 
definidas por várias sentenças. 
 No Capítulo 7 é feita uma introdução às noções intuitivas de limites e 
apresentada a definição de continuidade de uma função num ponto. 
 Esperamos que essa obra sirva de balizamento para que os estudantes 
possam seguir seu curso e que as dificuldades dependentes das ideias aqui 
trabalhadas sejam minimizadas. 
 
Os autores 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	 Fundamentos	de	Matemática	–	Notas	de	Aula	 3	
	
Mylane	dos	Santos	Barreto	
Salvador	Tavares	
1 CONCEITOS INICIAIS 
 
1.1 Produtos notáveis 
 
Nesse item iremos rever alguns casos clássicos de produtos notáveis. 
 
1.1.1 Quadrado de uma soma de dois termos é uma expressão do tipo: 
 
(a + b)2 = (a + b)(a +b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2 
 
Assim, 
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 
 
De modo geral, o quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado 
do primeiro termo, mais o dobro do produto dos dois termos e mais o quadrado 
do segundo termo. 
 
Exemplos: 
 
a) 𝑥 + 3 $ = 	𝑥$ + 2 ∙ 𝑥 ∙ 3 + 3$ = 𝑥$ + 6𝑥 + 9 
 
b) 𝑎 + 5𝑏 $ = 𝑎$ + 2 ∙ 𝑎 ∙ 5𝑏 + 5𝑏 $ = 𝑎$ + 10𝑎𝑏 + 25𝑏$ 
 
c) 0
$
+ 3𝑥$
$
= 0
$
$
+ 2 ∙ 0
$
∙ 3𝑥$ + 3𝑥$ $ = 0
1
+ 3𝑥$ + 9𝑥1 
 
d) 3 +	 5
$
= 3
$
+ 2 ∙ 3 ∙ 5 + 5
$
= 3 + 2 15 + 5 = 8 + 2 15 
 
1.1.2 Quadrado da diferença de dois termos é uma expressão do tipo: 
 
(a – b)2 = (a – b)(a – b) = a2 – ab – ba + b2 = a2 – 2ab + b2 
 
Assim, tem-se que 
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2 
 
De modo geral, o quadrado da diferença de dois termos é igual ao 
quadrado do primeiro termo, menos o dobro do produto dos dois termos e mais 
o quadrado do segundo termo. 
 
Exemplos 
 
a) 2 − 3
$
= 	2$ − 2 ∙ 2 ∙ 3 + 3
$
= 4 − 4 3 + 3 = 7 − 4 3 
b)	 5 − 1
$
= 	 5
$
− 2 ∙ 5 ∙ 1 +	1$ = 5 − 2 5 + 1 = 6 − 2 5 
 
c)	 𝑥$𝑦 − 2𝑎7 $ = 	 𝑥$𝑦 $ − 2 ∙ 𝑥$𝑦 ∙ 2𝑎7 + 2𝑎7 $ = 𝑥1𝑦$ − 4𝑥$𝑦𝑎7 + 4𝑎8 
 
d) 5 − $
9
𝑥
$
= 	5$ − 2 ∙ 5 ∙ $
9
𝑥 + $
9
𝑥
$
= 25 − 4𝑥 + 1
$9
𝑥$ 
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1.1.3 Produto da soma de dois termos pela diferença entre os mesmos é uma 
expressão do tipo: 
 
(a + b)(a – b) = a2 – ab + ba – b2 = a2 – b2 
 
Simplificando, tem-se: 
(a + b)(a – b) = a2 – b2 
 
De modo geral, o produto da soma de dois termos pela diferença entre 
eles é igual à diferença dos quadrados dosdois termos. 
 
Exemplos: 
 
a) 4 + 𝑥 4 − 𝑥 = 	4$ − 𝑥$ = 16 − 𝑥$ 
 
b) 5 + 3 5 − 3 = 	5$ − 3
$
= 25 − 3 = 22 
 
c) 7 −	 5 7 + 5 = 7
$
− 5
$
= 7 − 5 = 2 
 
1.1.4 Cubo da soma de dois termos é uma expressão que se pode indicar 
assim: 
 
(a + b)3 = (a + b)(a + b)2 = (a + b)(a2 + 2ab + b2) = 
= a3 + 2a2b + ab2 + ba2 + 2ab2 + b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 
 
Simplificando a expressão tem-se que 
 
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 
 
De modo geral, o cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do 
primeiro termo, mais o triplo do quadrado do primeiro multiplicado pelo 
segundo, mais o triplo do primeiro multiplicado pelo quadrado do segundo e 
mais o cubo do segundo termo. 
 
Exemplos: 
 
a) 2 + 𝑥 7 = 27 + 3 ∙ 2$ ∙ 𝑥 + 3 ∙ 2 ∙ 𝑥$ + 𝑥7 = 8 + 12𝑥 + 6𝑥$ + 𝑥7 
b) 𝑥 + 2𝑦 7 = 𝑥7 + 3𝑥$ ∙ 2𝑦 + 3𝑥 2𝑦 $ + 2𝑦 7 = 𝑥7 + 6𝑥$𝑦 + 12𝑥𝑦$ + 8𝑦7 
c) 𝑎$ + 1 7 = 𝑎$ 7 + 3 ∙ 𝑎$ $ ∙ 1 + 3 ∙ 𝑎$ ∙ 1$ + 17 = 𝑎8 + 3𝑎1 + 3𝑎$ + 1 
 
1.1.5 Cubo da diferença de dois termos é uma expressão que se pode indicar 
assim: 
 
(a – b)3 = (a – b)(a – b)2 = (a – b)(a2 – 2ab + b2) = 
= a3 – 2a2b + ab2 – ba2 + 2ab2 – b3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 
 
 
 
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Simplificando a expressão tem-se que 
 
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 
 
De modo geral, o cubo da diferença de dois termos é igual ao cubo do 
primeiro, menos o triplo do quadrado do primeiro multiplicado pelo segundo, 
mais o triplo do primeiro multiplicado pelo quadrado do segundo e menos o 
cubo do segundo termo. 
 
Exemplos: 
 
a) 1 − 𝑥 7 = 17 − 3 ∙ 1$ ∙ 𝑥 + 3 ∙ 1 ∙ 𝑥$ − 𝑥7 = 1 − 	3𝑥 + 3𝑥$ − 𝑥7 
 
b) 𝑥 − 2𝑦 7 = 𝑥7 − 3𝑥$ ∙ 2𝑦 + 3 ∙ 𝑥 ∙ 2𝑦 $ − 2𝑦 7 = 𝑥7 − 6𝑥$𝑦 + 12𝑥𝑦$ − 8𝑦7 
 
 c) 𝑎$ − 1 7 = 𝑎$ 7 − 3 ∙ 𝑎$ $ ∙ 1 + 3 ∙ 𝑎$ ∙ 1$ − 17 = 𝑎8 − 3𝑎1 + 3𝑎$ − 1 
 
1.1.6 Um produto especial 
 
(a + b)(a2 – ab + b2) = a3 – a2b + ab2 + ba2 – ab2 + b3 = a3 + b3 
 
e 
 
(a – b)(a2 + ab + b2) = a3 + a2b + ab2 – ba2 – ab2 – b3 = a3 – b3 
 
De modo geral, tem-se 
 
(a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3 
 
e 
 
(a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3 
 
Exemplos: 
 
a) 𝑥 + 2 𝑥$ − 2𝑥 + 4 = 𝑥7 + 8 
 
b) 𝑥$ + 𝑥𝑦 + 𝑦$ 𝑥 − 𝑦 = 𝑥7 − 𝑦7 
 
c) 2: − 1 4: + 2: + 1 = 2:
7
− 17 = 2 − 1 = 1 
 
d) $
7
+ ;
$
1
<
− ;
7
+ ;
=
1
= >
$?
+ ;
:
>
 
 
 
 
 
 
 
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1.1.7 Exercícios de fixação 
 
1.1.7.1) Simplifique as expressões a seguir: 
 
a) 𝑥 + 10 $ 
b) 𝑥 − 6 $ 
c) 𝑥𝑦 − 0,3 $ 
d) 1 + 10
$
 
e) 3 3 − 1
$
 
f) ?
$
− 𝑎 ?
$
+ 𝑎 
g) 𝑥 3 + 5 𝑦 𝑥 3 − 5 𝑦 
h) 𝑥$ − 3 𝑥1 + 3𝑥$ + 9 
i) 3: + 1 9: − 3: + 1 
 
1.2 Casos Clássicos de Fatoração 
 
 A palavra fatorar significa decompor um número ou expressão algébrica 
em fatores. Os fatores são os termos de uma multiplicação. 
 Portanto, fatorar significa escrever um número ou uma expressão na 
forma de multiplicação, explicitando os seus fatores. 
 Alguns casos clássicos de fatoração tem os fatores facilmente 
determinados por serem resultados dos produtos notáveis apresentados na 
unidade anterior. Outros, porém não são tão evidentes, mas com um pouco de 
atenção podemos descobrir os diversos fatores. 
 
1.2.1 Fator comum em evidência 
 
Esse caso caracteriza-se pela presença de um ou mais fator comum a 
todas as parcelas da expressão. 
Fatorar uma expressão desse tipo consiste em obter uma multiplicação 
indicada onde o fator comum fique explicitado (evidenciado). 
 
Exemplos: 
 
a) 𝑥$ + 3𝑥𝑦 = 𝑥 ∙ 𝑥 + 3𝑦 
 
b) 5 2: + 5 3 + 5 = 5 2: + 3 + 1 
 
c) 𝑥$𝑦 − 𝑥𝑦7 + 2𝑥𝑦 = 𝑥𝑦 𝑥 − 𝑦$ + 2 
 
d) 𝑎 + 𝑏 𝑥 + 𝑎 + 𝑏 $ = 𝑎 + 𝑏 𝑥 + 𝑎 + 𝑏 
 
 Observe mais esses exemplos. 
 
e) 𝑥$ + 𝑥𝑦 + 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 
 
 Nesse caso, observa-se que nas duas primeiras parcelas o fator x é 
comum, enquanto nas duas últimas o fator comum é a. 
 Assim podemos colocar os fatores x e a, respectivamente, em 
evidência, obtendo a expressão 
 
𝑥$ + 𝑥𝑦 + 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 = 𝑥 𝑥 + 𝑦 + 𝑎 𝑥 + 𝑦 
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 Atente para a expressão final obtida na passagem anterior. Nela 
podemos observar que as duas parcelas têm o fator comum 𝑥 + 𝑦 . Sendo 
assim, é possível colocar esse fator comum em evidência e, finalmente, obter 
a expressão mais simples. 
 
𝑥$ + 𝑥𝑦 + 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 = 𝑥 𝑥 + 𝑦 + 𝑎 𝑥 + 𝑦 = 	 𝑥 + 𝑦 𝑥 + 𝑎 
 
Esse é um caso especial do fator comum em evidência, também 
chamado “agrupamento”. 
O caso de fatoração por agrupamento consiste em agrupar parcelas que 
tenham fatores comuns de modo que colocando estes em evidência, 
consigamos explicitar dois outros que possam também serem colocados em 
evidência e, assim, simplificando a expressão. 
Vejamos outros exemplos: 
 
f) 𝑥7 + 𝑥𝑦 − 𝑏𝑥$ − 𝑏𝑦 = 𝑥 𝑥$ + 𝑦 − 𝑏 𝑥$ + 𝑦 = 𝑥$ + 𝑦 𝑥 − 𝑏 
 
g) 𝑥 2 + 3𝑥 + 2 2 + 6 = 𝑥 2 + 3 + 2 2 + 3 = 2 + 3 𝑥 + 2 
 
1.2.2 Diferença de dois quadrados 
 
 A diferença de dois quadrados é resultado do produto da soma pela 
diferença de dois termos conforme em 1.1.3. 
 Assim temos que toda diferença de dois quadrados pode ser fatorada 
em produto de uma soma pela diferença de dois termos. 
 
a2 – b2 = (a + b)(a – b) 
 
Os dois termos dos fatores serão formados pela soma e pela diferença 
entre as raízes quadradas dos termos da diferença de quadrados. 
 
Exemplos: 
 
a) 𝑥$ − 𝑦$ = 	 𝑥 + 𝑦 𝑥 − 𝑦 
 
b) 9𝑥$ − 16 = 3𝑥 + 4 3𝑥 − 4 
 
c) $9
>0
− 	4𝑥8 = 9
<
+ 2𝑥7 9
<
− 2𝑥7 
 
d) 36𝑦1 − 5 = 6𝑦$ + 5 6𝑦$ − 5 
 
1.2.3 Trinômio do 2o. grau 
 
 Todo trinômio do tipo 𝑎𝑥$ + 𝑏𝑥 + 𝑐,		com	𝑎 ≠ 0 pode ser decomposto em 
fatores da seguinte forma 
 
𝑎𝑥$ + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 𝑥 − 𝑟0 𝑥 − 𝑟$ sendo r1 e r2 as raízes do trinômio. 
 
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Exemplos: 
 
a) 𝑥$ − 3𝑥 + 2 
 
 Para fatorar esse trinômio observamos que 𝑎 = 1, 𝑏 = −3	e	𝑐 = 2. 
Igualando 𝑥$ − 3𝑥 + 2 = 0 e resolvendo a equação obtém-se 𝑟0 = 1	e	
𝑟$ = 2. 
 
Assim temos 𝑥$ − 3𝑥 + 2 = 1 𝑥 − 1 𝑥 − 2 = 𝑥 − 1 𝑥 − 2 
 
b) 𝑥$ + 𝑥 − 6 = 𝑥 − 2 𝑥 + 3 
 
c) 3𝑥$ − 5𝑥 − 2 = 3 𝑥 + 0
7
𝑥 − 2 = 3𝑥 + 1 𝑥 − 2 
 
d) 10𝑥$ − 9𝑥 + 2 = 10 𝑥 − $
9
𝑥 − 0
$
= 2 ∙ 5 ∙ 𝑥 − $
9
𝑥 − 0
$
= 5𝑥 − 2 2𝑥 − 1 
 
 Deixamos por sua conta a verificação das raízes e da aplicação da 
propriedade distributiva para se chegar às indicações obtidas nos itens c e d. 
 
e) 𝑥$ − 6𝑥 + 9 = 𝑥 − 3 𝑥 − 3 = 𝑥 − 3 $ 
 
f) 𝑥$ + 10𝑥 + 25 = 𝑥 + 5 𝑥 + 5 = 𝑥 + 5 $ 
 
g) 𝑎$ + 4𝑎 + 4 = 𝑎 + 2 𝑎 + 2 = 𝑎 + 2 $ 
 
Deixamos também por sua conta a verificação das raízes dos itens e, f e 
g. 
Note o formato final indicado nesses três últimos exemplos. Eles são 
chamados trinômios quadrados perfeitos. 
As três últimas expressões a serem fatoradas são resultados de 
quadrados de uma soma ou de uma diferença. 
De modo geral, os trinômios do 2o. grau do tipo 𝑥$ + 𝑏𝑥 + 𝑐 , com o 
coeficiente 𝑎 = 1 e raízes iguais 𝑟0 = 𝑟$ = 𝑟 podem ser fatorados assim 
 
𝑥$ + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑥 − 𝑟 $. 
 
Note que a expressão da fatoração acima é de um trinômio quadrado 
perfeito em que 𝑏 = −2𝑟	e	𝑐 = 𝑟$. 
 
1.2.4 Diferença de cubos 
 
 A diferença de cubos é resultado de um produto notável visto no item 
1.1.6. 
Lembremos que foi demonstrado que (a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3, 
logo, podemos inferir que 
 
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2). 
 
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Exemplos: 
 
a) 8 − 𝑥7 = 2 − 𝑥 2$ + 2𝑥 + 𝑥$ = 2 − 𝑥 4 + 2𝑥 + 𝑥$ 
 
b) 27 − 𝑎8 = 3 − 𝑎$ 3$ + 3𝑎$ + 𝑎$ $ = 3 − 𝑎$ 9 + 3𝑎$ + 𝑎1 
 
c) 0
>
− 𝑥7𝑦7 = 0
$
− 𝑥𝑦 0
$
$
+ 0
$
𝑥𝑦 + 𝑥𝑦 $ = 0
$
− 𝑥𝑦 0
1
+ 0
$
𝑥𝑦 + 𝑥$𝑦$ 
 
1.2.5 Soma de cubos 
 
Analogamente, a soma de cubos é resultado de um produto notável 
também visto no item 1.1.6.Lembremos que foi demonstrado que (a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3, 
logo, podemos inferir que 
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2). 
 
Exemplos: 
 
a) 𝑥7 + 𝑦7 = 𝑥 + 𝑦 𝑥$ − 𝑥𝑦 + 𝑦$ 
 
b) 𝑎7 + 8𝑦7 = 𝑎 + 2𝑦 𝑎$ − 2𝑎𝑦 + 2𝑦 $ = 𝑎 + 2𝑦 𝑎$ − 2𝑎𝑦 + 4𝑦$ 
 
c) 0
$?
+ 𝑥7 = 0
7
+ 𝑥 0
7
$
− 0
7
𝑥 + 𝑥$ = 0
7
+ 𝑥 0
<
− 0
7
𝑥 + 𝑥$ 
 
1.2.6 Exercícios de fixação 
 
1.2.6.1) Fatore as expressões: 
1) − 16 + a² 
 
2) a4 – 1 
 
3) a³ − 27 
 
4) y³ + 8 
 
5) 1 − 125a6 
 
6) 64y³ + 1 
 
7) x³y6 + 1000 
 
8) 12a2b2 – 36a4b4 
 
9) x ² − 6x + 8 
 
10) 2x² − 3x + 1 
 
11) − x² + 5x − 6 
 
12) 2x² + 4x − 6 
 
13) 4x3 + 16x2 
 
14) 6x2 + 18x + ax + 3a 
 
15) ax + ay + 2x + 2y 
 
16) 2x + 2y − ax − ay 
 
17) x³ + x² + x + 1 
 
18) 4x² − 12xy + 9y² 
 
19) y3 - 64 
 
20) a3 + 125 
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1.3 Expressões algébricas e valor numérico 
 
 O uso de fórmulas é muito comum em diversas áreas do saber, tais 
como em Física, Química, Estatística, Matemática Financeira, Economia, entre 
outras. Quando você aplica uma fórmula para determinar a área de uma figura 
geométrica plana ou espacial, o montante numa aplicação financeira ou a 
velocidade num problema em Física, você está calculando valores numéricos 
de expressões algébricas que são as fórmulas apropriadas de cada um desses 
ramos do saber. 
 Nesta unidade vamos calcular os valores numéricos de diversas 
expressões algébricas, a título de exercício, para depois aplicarmos essas 
regras de cálculo nas outras áreas quando necessário. 
 Calcular o valor numérico de uma expressão algébrica consiste em 
substituirmos as variáveis presentes pelos valores numéricos indicados e 
efetuarmos os cálculos. 
 
Exemplos: 
 
a) Calcular o valor numérico das expressões: 
 
a.1) E = 2x – 3y para 𝑥 = 5	𝑒	𝑦 = −4. 
 
Resolução 
 
Substituindo 𝑥 = 5	e	𝑦 = −4	em	𝐸 = 2 ∙ 5 − 3 ∙ −4 = 10 + 12 = 22. 
 
Portanto, o valor da expressão E = 22. 
 
a.2) E = − L
$M
	 tal que 𝑎 = −3	𝑒	𝑏 = 15. 
 
Resolução 
 
Substituindo os valores de 𝑎 = −3	e	𝑏 = 15	na	expressão	𝐸 = − 09
$	.(V7)
= 9
$
. 
Logo, o valor mais simples de 𝐸 = 9
$
 . 
 
b) Seja 𝐶 𝑥, 𝑦 = 100 + 2𝑥 + 3𝑦 a função custo-conjunto para fabricar x 
unidades do produto I e y unidades de um produto II. 
 
b.1) Qual é custo de fabricação de 10 unidades de I e 20 unidades de II? 
 
Resolução 
 
 Se valor do custo é dado pela expressão 𝐶 𝑥, 𝑦 = 100 + 2𝑥 + 3𝑦 então 
basta substituirmos os valores 𝑥	e	y, respectivamente por 10 e 20 na lei. 
 Assim, tem-se 𝐶 10,20 = 100 + 2 ∙ 10 + 3 ∙ 20 = 100 + 20 + 60 = 180. 
 
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Logo, o custo-conjunto de fabricação de 10 unidades de I e 20 unidades 
de II é igual a 180 unidades monetárias. 
 
b.2) Qual é a variação do custo quando se aumentam em 5 unidades a 
fabricação do produto I e em 6 unidades a do produto II, a partir da situação 
do item (a)? 
 
Resolução 
 
Nesse caso temos que os valores de x e y passam a ser, respectivamente, 
15 e 26. 
E, devemos calcular o valor de expressão do custo para esses novos 
valores. 
Assim, tem-se 
 
𝐶 15,26 = 100 + 2 ∙ 15 + 3 ∙ 26 = 100 + 30 + 78 = 208. 
 
Esse é o valor do custo para as quantidades acrescidas a x e y. 
Nota-se que o custo passou de 180 para 208. Houve, portanto um aumento 
no custo correspondente a 28 unidades monetárias. 
 
 
1.3.1 Exercícios de fixação 
 
1.3.1.1) Calcule o valor numérico das expressões seguintes: 
 
a) D = 𝑥$ − 4𝑦𝑧 tal que x = 3, y =1 e z = –4. 
 
b) ∆= 𝑏$ − 4𝑎𝑐 onde 𝑎 = −1, 𝑏 = 4	𝑒	𝑐 = 5. 
 
c) IMC = `
;=
 tal que m = 75 e a = 1,7. 
 
d) v = $πb
c
 tal que 𝑅 = 7e
f
 e T = 2. 
 
e) 𝑥 = 	Vg± g
=V1ij
$i
 tal que p = 2, q = 5 e r = –3. 
 
1.3.1.2) Em Economia, chama-se utilidade de um consumidor o grau de 
satisfação que o mesmo adquire ao consumir um ou mais bens ou serviços. 
Suponhamos que um consumidor tenha a seguinte função utilidade: 
, 
em que x1 e x2 são as quantidades consumidas dos bens I e II, 
respectivamente. 
Suponha que, no início, ele consuma 4 unidades de I e 6 unidades de II. 
a) Calcule o grau de satisfação inicial desse consumidor. 
b) Se o consumidor diminuir o consumo do produto I para 3 unidades, 
qual deve ser o consumo de II para manter o mesmo nível de 
satisfação. 
2121 ),( xxxxU ×=
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c) Se o consumidor aumentar o consumo do produto I para 12 
unidades, qual deve ser o consumo de II para manter o mesmo nível 
de satisfação? 
 
1.3.1.3) A função produção de Cobb-Douglas, para empresas industriais, é 
dada pela expressão , sendo P a quantidade de produto 
obtida pela combinação de uma quantidade T de trabalho e C de capital. Na 
expressão dada, k, são constantes positivas com . 
Nos itens a seguir apresentamos alguns exemplos dessas funções, para 
calcularmos o valor numérico. 
 
 a) Calcule P (4, 9), sendo . 
b) Calcule P (16, 25), sendo . 
c) Calcule P (1, 4), sendo . 
d) Calcule P (16, 81), sendo . 
 
 
1.4 Noções de Porcentagem 
 
1.4.1 Os termos razão por cento ou razão centesimal, porcentagem e taxa 
unitária. 
 
 Em nossa vida diária estão presentes situações de crédito, débito, 
aumento, desconto, aplicações, rendimentos, investimentos, entre outras. 
Todos esses termos envolvem o uso de cálculos relacionados à 
utilização de taxas percentuais. Mas o que significa isso? 
 Primeiro vamos lembrar que todo número pode ser escrito de diversas 
maneiras. Por exemplo: 
a) 4 = 1 + 3 = 	2$ = 	 0$
7
= 	 $e
9
= 1ee
0ee
= 8e
09
= ⋯ 
b) 7
9
= 	 8
0e
= 8e
0ee
= 0,6 = 0,60 = ⋯ 
 
Uma forma muito utilizada de representação de um número é a forma 
de razão de denominador 100, também chamada de razão por cento ou 
percentual (porcentual). 
 É comum escrever a razão 0$
0ee
, de maneira simplificada, assim 12%. Isto 
é, substituindo o denominador 100 pelo símbolo %. 
 Toda razão por cento pode ser escrita na forma de número decimal. 
Essa forma de número decimal correspondente à razão por cento é 
denominada taxa unitária. 
 Para se calcular a taxa unitária equivalente à taxa percentual basta 
efetuar a divisão por cem na razão por cento. Assim, a taxa percentual 
12% =	 0$
0ee
= 0,12. 
 
βα C.T.k)C,T(P =
βα e 1=+ βα
5,05,0 C.T)C,T(P =
C.T.10)C,T(P =
2
1
2
1
C.T.20)C,T(P =
25,075,0 C.T.50)C,T(P =
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 Porcentagem Razão centesimal Taxa unitária ou 
número decimal 
12% 12
100
 0,12 
 
1.4.2	Fator de correção 
 
 Nesta unidade vamos aprender as diversas maneiras de se calcular os 
valores reajustados ou corrigidos de um produto. Vamos construir o conceito 
do chamado fator de correção. 
 
Exemplos: 
 
a) O salário de R$ 1200,00 de uma pessoa vai ser reajustado em 15%. 
Pergunta-se: 
a.1) De que maneira você pode calcular o novo salário após o aumento? 
Resolução 
 Uma maneira é 1o. calcular o reajuste correspondente aos 15%. 
Assim 15% de R$ 1200,00 = 0,15 x 1200,00 = 180,00. 
Em seguida acrescentar ao salário esse valor calculado 
1200 + 180 = 1380. 
Obtendo-se assim o valor procurado igual a R$ 1380,00. 
 
a.2) Qual é o fator de reajuste do salário? 
Resolução 
 
Calcular o fator de reajuste significa determinar o fator pelo qual se deve 
multiplicar o salário de modo que seja possível calcular diretamenteo valor 
acrescido do percentual de aumento. 
Assim temos que o salário aumentado é calculado conforme segue 
abaixo: 
 
1200 + 180 = 1200 + 0,15 x 1200 = (1 + 0,15) x 1200 = 1,15 x 1200 
 
Observe que pudemos fatorar a expressão 
 
1200 + 0,15 x 1200 = (1 + 1,15) x 1200, 
 
colocando o valor 1200 em evidência e que efetuando a multiplicação 
 
1,15 x 1200 = 1380, obtém-se o valor final acrescido dos 15%. 
 
O fator 1,15 quando multiplicado pelo salário atual gera o valor 
reajustado, sendo assim chamado de fator de reajuste ou de correção. 
Notemos que esse também pode ser um procedimento correto e mais 
rápido para se calcular o valor reajustado. 
 
 
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b) Uma loja entrou em liquidação, dando descontos variados de acordo com a 
etiqueta do produto. Complete a tabela corretamente. 
 
 Preço do 
produto 
Taxa 
desconto 
Valor do 
desconto 
Preço a 
pagar 
% do preço 
a pagar 
b.1) R$ 380,00 15% 
b.2) R$ 430,00 10% 
b.3) R$ 168,00 R$ 10,08 
 
Resolução 
 
b.1) Para se calcular o desconto de 15% sobre 380, podemos efetuar a 
seguinte operação 0,15 x 380 = 57. 
Se esse é o desconto então o preço a pagar é 380 – 57 = 323. 
Se o produto tem um desconto de 15% então o percentual do preço do produto 
a pagar é 
 
1 − 0,15 = 0.85, isto é, 85%. 
 
b.2) Analogamente, para o desconto correspondente é 0,1 x 430 = 43. 
E o preço a pagar pode ser calculado assim: 
430 − 43 = 387. 
O percentual do preço a pagar corresponde a 1 − 0,1 = 0,9, isto é, 90%. 
b.3) Neste caso, sabemos o preço do produto R$ 168,00 e o valor do desconto 
R$ 10,08. Assim, para calcular a taxa de desconto, basta dividir o valor do 
desconto pelo preço do produto. 
0e,e>
08>
= 0,06 = 6%. 
 
O preço a pagar será 168 − 10,08 = 157,92. 
 
O percentual do preço a pagar é 
 
1 − 0,06 = 0,94 = 94% 
 
1.4.3 Exercícios de fixação 
 
1.4.3.1) Um produto que custa R$ 2380,00 numa loja, entrará em promoção 
para o Natal. Na promoção seu preço terá um abatimento de 16%. Pergunta-
se: 
a) De que maneira você pode calcular o preço do produto na promoção? 
b) Qual é fator de correção do preço? 
 
1.4.3.2) Uma mercadoria é vendida em, no mínimo, três prestações iguais, 
totalizando o valor de R$ 900,00. Caso seja adquirida à vista, a loja oferece 
um desconto de 12% sobre o valor a prazo. Pergunta-se: 
a) qual o valor do desconto para pagamento à vista? 
b) qual o preço da mercadoria à vista? 
 
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1.4.3.3) Uma loja entrou em liquidação, dando descontos variados de acordo 
com a etiqueta do produto. Complete a tabela corretamente. 
 
Preço do 
produto 
Taxa 
desconto 
Valor do 
desconto 
Preço a 
pagar 
% do 
preço a 
pagar 
R$ 984,00 25% 
R$ 357,00 R$ 328,44 
 R$ 75,00 85 
 R$ 240,00 R$ 560,00 
 10% R$ 43,00 
 
1.4.3.4) Quando o preço de um produto sofre um aumento ou uma redução 
podemos determinar o preço a pagar diretamente multiplicando o preço atual 
por um fator de aumento ou diminuição. Esse fator corrige o preço para mais 
ou para menos, e, portanto, pode ser chamado de fator de correção. 
A Gerência de uma firma encaminhou para o funcionário responsável pela 
atualização dos preços uma tabela contendo uma lista de produtos que terão 
seus preços corrigidos. Alguns produtos entrarão em oferta, com descontos, e 
outros terão um aumento nos preços. Complete corretamente a tabela. 
 
Preço do 
produto 
% de 
aumento 
% de 
desconto 
Fator de 
correção 
Preço 
atualizado 
R$ 145,00 12 ----------- 
R$ 690,00 ----------- 2,5 
R$ 1200,00 0,5 ----------- 
R$ 1350,00 ----------- 6,2 
R$ 3570,00 110 ----------- 
 
1.4.3.5) Complete a tabela corretamente com as representações equivalentes 
 
Porcentagem Taxa unitária ou 
número decimal 
15% 
1% 
5% 
7,2% 
 0,25 
13,5% 
 0,32 
115% 
 3,2 
1200% 
 0,81 
 34 
 
1.4.3.6) Em uma sala de aula com 52 alunos, 13 moram em outra cidade. 
Expresse a porcentagem de alunos dessa turma que moram fora. 
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2 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1O. GRAU 
 
O conceito de função é um dos mais importantes da Matemática. 
Possivelmente, os babilônios tinham uma ideia de função, pois é sabido que 
várias tábuas contendo de quadrados, cubos e raízes quadradas foram 
utilizadas por eles. 
Sabe-se também que os pitagóricos estabeleceram relações entre 
grandezas físicas, como entre as alturas de sons e comprimentos das cordas 
vibrantes. No que concerne à variação, Nicolau Oresme (1323–1382) utilizou 
segmentos de reta para representar variações. 
Este conceito sofreu uma grande evolução ao longo dos séculos. Desde 
o tempo dos gregos até a Idade Moderna a teoria dominante era a Geometria 
Euclidiana que tinha como elementos básicos os conceitos de ponto, reta e 
plano. 
A partir desta época uma nova teoria, o Cálculo Infinitesimal, surgiu e 
se tornou fundamental para o desenvolvimento da Matemática. 
A noção de função serviu como um dos fundamentos do Cálculo 
Infinitesimal. 
O seu surgimento como conceito claramente individualizado e como 
objeto de estudo corrente em Matemática remonta apenas aos finais do século 
XVII. 
A origem da noção de função confunde-se assim com os primórdios do 
Cálculo Infinitesimal. Newton (1643 – 1727) fez uso da noção de função 
bastante aproximado do sentido atual. 
Leibniz (1646–1716) foi quem primeiro usou o termo função em 1673 e 
também responsável pela introdução dos termos constante, variável e 
parâmetro. 
Como consequência da evolução do estudo das funções surgiram 
numerosas aplicações da Matemática a outras ciências. Os cientistas, partindo 
de observações, procuravam uma fórmula (uma função) para explicar os 
sucessivos resultados obtidos. A função era, então, o modelo matemático que 
explicava a relação entre as variáveis. 
Assim, o conceito de função, que hoje nos parece simples, é resultado 
de uma evolução histórica conduzindo cada vez mais à abstração. 
 
2.1 Definição 
 
 Uma função 𝑓:	𝐼𝑅 → 𝐼𝑅 chama-se função polinomial do 1o. grau quando, 
para todo x Î IR, o valor de 𝑓 𝑥 é dado por uma expressão do tipo 
 onde a Î IR* e b ÎIR. 
 
Exemplos: 
) ( ) 3 1a f x x= + 1) ( ) 5
2
b f x x= - ) ( ) 3 8c f x x= - + 
 
 
 
 
baxxf +=)(
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2.2 Coeficientes 
 
2.2.1 Coeficiente linear 
 
 O número real b é chamado coeficiente linear. 
 O ponto (0, b) representa o ponto de intersecção entre o eixo y e o 
gráfico da função polinomial do 1o. grau. 
 
2.2.2 Coeficiente angular 
 
 Considere dois pontos quaisquer (x1, y1) e (x2, y2) que satisfazem à 
função polinomial 𝑓	(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏. 
O número real a, denominado coeficiente angular é dado por 
 
 
 
2.3 Gráfico 
 
 O gráfico de uma função polinomial do 1o. grau é uma reta oblíqua aos 
eixos coordenados. 
 Para traçarmos uma reta são necessários dois pontos distintos. E, com 
base nesse princípio do axioma da determinação de uma reta, reduziremos 
nosso trabalho para traçar as retas representativas das funções polinomiais do 
1o. grau à construção de uma tabela com dois pontos quaisquer da reta. 
 
Exemplos: 
 
a) f	 𝑥 = 	2𝑥 − 1 
 
Vamos fazer a tabela, preferencialmente, buscando os pontos de 
intersecção da reta com os eixos coordenados por serem mais fácies de serem 
determinados. 
Resolução 
 
Se x = 0 então f (0) = 2 ∙ 0 − 1 = −1. 
Para y = 0 tem-se que	2𝑥 − 1 = 0	 ⟺ 2𝑥 = 1 ⟺ 𝑥 = 0
$
. 
 
Portanto, a tabela fica assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12
12
xx
yy
x
ya
-
-
=
D
D
=
x 0 
y = f(x) –1 0 
	
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Marcando os pontos no plano cartesiano 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos fazer uma tabela, preferencialmente, buscandoos dois pontos 
de intersecção da reta com os eixos coordenados por serem mais fácies de 
serem marcados. 
Resolução 
 
Se x = 0 então f (0) = 0 2 2
2
- + = . 
Para y = 0 tem-se que 2 0 2 4
2 2
x x x- + = Û - = - Û = . 
 
Portanto, a tabela fica assim 
 
Marcando os pontos no plano cartesiano, obtém-se o gráfico abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
2
)() +-= xxfb
	
x 0 4 
y = f(x) 2 0 
	
O 
O 
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2.4 Crescimento e decrescimento 
 
 Uma função f é dita crescente se então . 
 Uma função f é dita decrescente se então .
 No caso das funções polinomiais do 1
o. grau, podemos considerar o 
coeficiente angular a como uma forma de medir "quão rápido" a variável y está 
mudando à medida em que a variável x muda. Sendo assim, o coeficiente 
angular a é também chamado taxa de variação da função. 
 
Função crescente Função decrescente 
	 	
 
 
 
2.5 Zero (ou raiz) 
 
Chama-se raiz ou zero de uma função polinomial do 1o. grau o valor de 
 para o qual . 
 Do ponto de vista geométrico, o ponto sendo 
representa o ponto de intersecção entre o gráfico da função e o eixo x. 
 Numa função polinomial do 1o. grau, a raiz ou zero é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 2x x£ 1 2( ) ( )f x f x£
1 2x x£ 1 2( ) ( )f x f x³
1 2x x£ ® 1 2( ) ( )f x f x£ 1 2x x£ ® 1 2( ) ( )f x f x³
)( fDxÎ 0)( =xf
))(,( xfx 0)( =xf
0,00)( ¹-=Þ=+Þ= a
a
bxbaxxf
y2	
y1	
y2	
y1	
x1	x1	 x2	x2	 O	O	
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2.6 Resumo 
 
 O gráfico de uma função polinomial do 1o. grau, observando-se os 
coeficientes angular e linear, pode ter um dos seguintes aspectos, conforme a 
tabela que segue:	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
 
2.7 Exercícios de Fixação 
 
2.7.1) Esboce o gráfico de cada uma das funções dadas a seguir. 
 
 
2) ( ) ( 1) ( 3) 4g f x x x x= - - + + 	
 
2.7.2) Dada função f 𝑥 = 5 − 2𝑚 𝑥 − 4, determine o valor de m para que 
 
a) f seja crescente. 
b) f (–2) = 18. 
c) o gráfico de f corte o eixo x no ponto (2, 0). 
2
14)()
3
1)()
2
)()
1)()
)()
2)()
+=
+
=
=
+-=
-=
-=
xxff
xxfe
xxfd
xxfc
xxfb
xxfa
O	 x	
y	
b	
	
O	 x	
y	
	
	
b	
O	 x	
	
O	
O	
x	
y	
b	
	
a	>	0	e	b	>	0	 a	>	0	e	b	=	0	 a	>	0	e	b	<	0	
x	
y	
O	
	b	
	
a	<	0	e	b	<	0	a	<	0	e	b	=	0	
			y	
x	
	
	 		b	
			y	
a	<	0	e	b	>	0	
			
							b	
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2.7.3) Para pavimentar as ruas de um bairro, uma empresa cobra uma taxa 
fixa mais um valor que varia em função do número de quilômetros 
pavimentados. O custo C da obra, em milhões de reais, em função do número 
x de quilômetros pavimentados é 𝐶 𝑥 = s
0e
+ 4. 
 
a) Qual é o custo total da obra se a avenida tiver 60 km de extensão? 
b) Se o custo total foi de 24 milhões de reais, quantos quilômetros foram 
pavimentados? 
 
2.7.4) Para cada item dado abaixo faça o que se pede: 
 
a) Resolva a equação 12(2x – 1) –3(5 – x) = 6 – 2(4 – x). 
 
b) Sendo 𝑓 𝑥 = 3𝑥 − 7 calcule o valor de x para o qual 𝑓 𝑥 = 3 7. 
c) Determine se a função é crescente ou decrescente. 
d) Sendo , determine g −$
9
 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10
2
2)( += xxg
3 2( )
4
xg x +=
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3 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2O. GRAU 
 
A origem do conceito de função está relacionada ao estudo das 
variações quantitativas presentes nos fenômenos naturais. A noção de função 
polinomial do 2o. grau está associada originalmente à ideia de equação do 2o. 
grau, como ocorreu por volta de 300 a.C., na Álgebra Geométrica do 
matemático grego Euclides (325-265 a.C). 
Uma contribuição importante é a de Nicolau Oresme (1323-1382), por 
exemplo, ao estudar o movimento uniformemente acelerado, representando 
num gráfico a velocidade variando com o tempo. 
No Renascimento destacaram-se as tentativas de explicar o movimento 
de queda livre de um corpo ou a trajetória de uma bola de canhão. Vários 
teóricos dos séculos XVI e XVII tentaram explicar essa trajetória que é descrita 
por uma parábola. Tais tentativas foram aperfeiçoadas até se chegar à 
parábola associada à curva da função polinomial do 2o. grau, o que acelerou a 
necessidade de se relacionar curvas (Geometria) a equações (Álgebra). 
No século XVI a Álgebra teve um significativo avanço. 
Surge então o conceito de variável que Descartes (1596-1650) e Fermat 
(1601-1665), e depois Newton (1643-1727) e Leibniz (1646-1716), iriam utilizar 
no estudo de curvas. 
A função polinomial do 2o. grau e suas propriedades tem aplicações no 
estudo de lançamento de projéteis, faróis de automóveis, antenas parabólicas 
e radares, nos esportes, entre outras. 
 
3.1 Definição 
 
 Chama-se função polinomial do 2o. grau ou função quadrática toda 
função f de IR em IR dada por uma lei da forma f (x) = ax2 + bx + c, tal que a, 
b e c são números reais com a 0¹ . 
 
Exemplos: 
a) 𝑓 𝑥 = 3𝑥$ − 4𝑥 + 1,	tem-se a = 3, b = – 4 e c = 1. 
b) 𝑓 𝑥 = 𝑥$ − 1, com a = 1, b = 0 e c = –1. 
c) 𝑓 𝑥 = −𝑥$ + 8𝑥, tal que a = –1, b = 8 e c = 0. 
d) 𝑓 𝑥 = − 7s
=
$
 , com a =		− 7
$
 , b = 0 e c = 0. 
 
3.2 Gráfico 
 
O gráfico de uma função polinomial do 2o. grau, y = ax2 + bx + c, com 
a 0, é uma curva chamada parábola. 
 A parábola que representa uma função polinomial do 2o. grau tem 
sempre a concavidade voltada para baixo ou para cima e possui um eixo de 
simetria vertical, passando pelo vértice V, cuja equação é x = xv. 
 As coordenadas do vértice V da parábola são dadas pelas fórmulas: 
 
𝑽 = − 𝒃
𝟐𝒂
, − 𝚫
𝟒𝒂
. 
 
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 É recomendado que ao fazer a tabela de pontos da função polinomial 
do 2o. grau você comece pelo vértice, usando alguns valores de x maiores que 
o x do vértice e também alguns menores que ele. Dessa forma você assegura 
a marcação de pontos dos dois ramos da parábola. 
 
3.2.1 Exemplos 
 
a) 		𝑓	 𝑥 = 	 𝑥$ − 2𝑥 − 3 
 
Vamos inicialmente determinar as coordenadas do vértice. 
Assim, se 𝑥z = − {$; então 𝑥z = −
V$
$∙0
= 1. 
Se 𝑥z = 1 então, substituindo esse valor na lei, tem-se: 
𝑦z = 𝑓	 1 = 	1$ − 2 ∙ 1 − 3 = 1 − 2 − 3 = −4. 
A partir da determinação das coordenadas do vértice, podemos fazer a 
tabela que segue. 
 
x ... –2 –1 0 1 2 3 4 ... 
y ... –4 ... 
 
Completando a tabela, calculam-se os valores de y e, marcando os 
pontos, obtém-se o esboço do gráfico, conforme abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O 
V 
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b) 𝑦 = −𝑥$ + 4𝑥 + 5	
Vamos, inicialmente, determinar as coordenadas do vértice. 
Assim, se 𝑥z = − {$; então 𝑥z = −
1
$∙ V0
= − 1
V$
= 2. 
 
Se 𝑥z = 2 então, substituindo esse valor na lei, tem-se: 
𝑦z = 𝑓	 2 = 	−2$ + 4 ∙ 2 + 5 = −4 + 8 + 5 = 9. 
 A partir da determinação das coordenadas do vértice, podemos fazer a 
tabela que segue. 
 
x ... –1 0 1 2 3 4 5 ... 
y ... 9 ... 
 
Completando a tabela, calculam-se os valores de y e, marcando os 
pontos, obtém-se o esboço do gráfico, conforme abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.2.2 Observações 
 
3.2.2.1) A parábola que representa uma função polinomial do 2o. grau sempre 
corta o eixo y no ponto (0, c). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
V 
O 
	 Fundamentos	de	Matemática	–	Notas	de	Aula	 25	
	
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Salvador	Tavares	
3.2.2.2) Ao construir o gráfico de uma função polinomial do 2o. grau, nota-se 
sempre que: 
• Se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.3 Zeros (ou raízes) 
 
 Os zeros (ou raízes) da função polinomialdo 2o. grau são os valores 
reais x tais que f (x) = 0. Então as raízes da função f (x) = ax2 + bx + c são as 
soluções da equação do 2º. grau ax2 + bx + c = 0, com 𝑎 ≠ 0. As raízes são 
determinadas pela fórmula resolutiva 
 
a
acbbx
2
42 -±-
=
 
 
 
 
O 
O 
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A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do 
valor obtido para o radicando ∆	= 	𝑏$ − 4𝑎𝑐, chamado discriminante, a saber: 
 
 D	 > 	0	 → 	as	duas	raízes	são	números	reais	distintos 
 
 D	 = 	0	 → 	as	duas	raízes	são	números	reais	iguais 
 
 D	 < 	0	 → não	existem	raízes	reais 
 
3.4 Conjunto Imagem 
O conjunto imagem Im da função y = ax2 + bx + c, a 0, é o conjunto 
dos valores que y pode assumir. Há duas possibilidades: 
• Quando a > 0 
 
 
 
 
{ }Im / /
4V
y y y y y
a
Dì ü= Î ³ = Î ³ -í ý
î þ
! ! 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Quando a < 0 
 
 
 
 
 
 
 
{ }Im / /
4V
y y y y y
a
Dì ü= Î £ = Î £ -í ý
î þ
! ! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O 
O 
	 Fundamentos	de	Matemática	–	Notas	de	Aula	 27	
	
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3.5 Resumo 
 
 Podemos, observando os sinais de Δ e de a, sintetizar que o gráfico de 
uma função polinomial do 2o. grau tem um dos seguintes aspectos: 
 
0D > 0D = 0D < 0D > 0D = 0D < 
 
 
 
 
a>0 a<0 
 
3.6 Exercícios de fixação 
 
3.6.1) Esboce os gráficos das funções reais de variável real definidas pelas 
igualdades abaixo e determine o conjunto imagem de cada uma delas. 
 
a)	𝑓 𝑥 = −𝑥$ + 4𝑥 b)	𝑓 𝑥 = 𝑥$ − 49 
c)	𝑓 𝑥 = 𝑥$ − 2𝑥 − 3 d) 𝑓 𝑥 = −𝑥$ + 5𝑥 − 3 
e) 𝑓 𝑥 = 𝑥$ − 4𝑥 + 3			
 
3.6.2) O gráfico abaixo representa a curva de equação y = ax² −10x + c. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determine os valores de a e c. 
 
3.6.3) Para que valores de m o gráfico de 𝑓	(𝑥) 	= 	 (𝑚	– 	4)𝑥²	– 	2𝑥	 + 	𝑚	 é uma 
parábola com concavidade voltada para cima? 
 
3.6.4) Determine os valores de m para que o gráfico da função definida por 
𝑓(𝑥) 	= 	𝑥²	-2𝑥	 + 	𝑚	 não intersecte o eixo x. 
 
O 
−9 
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3.6.5) Calcule m de modo que o valor máximo da função definida por 
𝑓(𝑥) 	= 	𝑚𝑥²	 +	(𝑚	-1)𝑥	 +	(𝑚	 + 	2) seja 2. 
 
3.6.6) A parábola de equação y = −2𝑥$ + 𝑏𝑥 + 𝑐 passa pelo ponto (1,0) e seu 
vértice é o ponto (3, v). Determine o valor de v. 
 
3.6.7) Determine a área máxima que pode ter um retângulo de perímetro igual 
a 20 cm. 
 
3.6.8) Para que valores reais da constante m a equação x² – 6x + m = 0 admite 
raízes reais e iguais?	
 
3.6.9) Para que valores reais de x a expressão 0
s=V8s�>
 representa um número 
real? 
 
3.6.10) Resolva em IR: 
 
a) x² + 5x = 0 b) – 2x² = –11x 
c) 2 0
3
xx - = d) x² – 36 = 0 
e) 9x² – 4 = 0 f) 2x² + 18 = 0 
g) –3x² = 0 h) x² + 2x – 15 = 0 
i) 2x² – 5x + 2 = 0 j) x² – 8x + 16 = 0 
k) x² + 2x + 2 = 0 l) −	s
=
7
− 𝑥 + 6 = 0 
m) 𝑥$ + 3𝑥 − 10 > 0 n) −𝑥$ + 4𝑥 + 5 ≥ 0 
0) 𝑥 𝑥 + 3 < 𝑥(2 − 𝑥) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4 FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 
 Vamos estudar um tipo de função que tem aplicações em vários 
processos de modelagem matemática, especialmente naqueles que 
descrevem estudos de demografias para prever o tamanho de populações, nas 
finanças para calcular o valor de investimentos, na arqueologia para datar 
artefatos antigos, na Psicologia para estudar padrões de aprendizado e na 
indústria para estimar a confiabilidade de produtos. 
 Esses modelos usam propriedades e conhecimentos estudados nas 
funções exponenciais básicas. Para isso é preciso saber usar a notação 
exponencial e conhecer as operações algébricas que envolvem tais funções. 
 
4.1 Recapitulando 
 
4.1.1 Definições 
 
4.1.1.1) Se b é um número real e n é um número inteiro positivo então 
 
𝑏� = 𝑏 ∙ 𝑏 ∙ 𝑏 ∙ 𝑏 ∙ … ∙ 𝑏. 
 n fatores 
 
4.1.1.2) Se b > 0 e m e n são números inteiros positivos 
 
𝑏` � = 	 𝑏�
`
= 	 𝑏`� , onde 𝑏� é a raiz n-ésima de b. 
 
4.1.1.3) Se 𝑏 ≠ 0 então 𝑏V` = 0
{
`
= 	 0
{�
. 
 
4.1.1.4) b0 = 1, com 𝑏 ≠ 0. 
 
4.1.2 Exemplos 
 
a) 39 = 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 243 
b) 5V7 = 	 0
9:
= 	 0
0$9
 
c) 360 $ = 	 36 = 6 
d) 97 $ = 	 9
7
= 	37 = 27 
e) 27V$ 7 = 	 0
$?:
= = 	
0
7=
= 	 0
<
 
	
4.2 Definição 
 
Se b é um número real positivo e diferente de 1 (0 < 𝑏 ≠ 1), chama-se 
função exponencial de base b, a função que associa a cada número real x o 
número 𝑓 𝑥 = 𝑏s. 
 Para termos uma ideia do aspecto da curva de uma função exponencial, 
vamos considerar os exemplos a seguir. 
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4.3 Gráfico 
 
a) f	 𝑥 = 	2s 
Para traçar o gráfico que representa a função 𝑓 𝑥 = 2s, vamos calcular 
valores completando a tabela abaixo: 
x ... –2 –1 – 1
2
 0 1
2
 1 2 3 ... 
f (x) = 2x 
 
 
Assim temos: 
Se 𝑥 = 0	então	𝑓 0 = 2e = 1.	
Se 𝑥 = 0
$
	então	 f 0
$
= 2
�
= = 2. 
Se 𝑥 = 1	então	𝑓 1 = 20 = 2. 
Se 𝑥 = 2	então	𝑓 2 = 2$ = 4. 
Se 𝑥 = 3	então	𝑓 3 = 27 = 8. 
Se 𝑥 = −1	então	𝑓 −1 = 2V0 = 0
$
.
Com esses valores podemos esboçar o gráfico da curva que representa 
a função. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observando o gráfico traçado acima, podemos destacar: 
 
1 – A função é sempre crescente, isto é, 
 
𝑥0 ≤ 𝑥$ ↔ 2s� ≤ 2s= 
 
𝑥0 ≥ 𝑥$ ↔ 2s� ≥ 2s=. 
O 
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2 – Quando x tende a −∞ então 2� tende a 0. Essa afirmação também pode 
ser escrita em linguagem estritamente simbólica assim: 
 
lim
s→V�
2s = 0. 
 
Este fato pode ser interpretado, geometricamente, da seguinte forma: a 
curva que representa a função exponencial 𝑓 𝑥 = 2s tem por assíntota o eixo 
das abscissas. Isto é, a equação da assíntota é 𝑦 = 0. 
3 – Quando x tende a +∞ então 2� tende a +∞. Analogamente, tal afirmação 
também pode ser escrita em linguagem estritamente simbólica assim: 
lim
s→��
2s = +∞. 
 
b) f	 𝑥 = 	 0
$
s
 
Para traçar o gráfico que representa a função 𝑓 𝑥 = 0
$
s
, vamos 
calcular valores completando a tabela abaixo: 
 
x ... –2 –1 – 1
2
 0 1
2
 1 2 3 ... 
f(x) = æ öç ÷
è ø
1
2
x
 
 
 
 
 
Assim temos: 
Se x = 0 então f (0) = 0
$
e
= 1.	
Se 𝑥 = 0
$
	então 	f 0
$
= 0
$
�
= = $
$
. 
Se x = 1 então f (1) =	 0
$
0
= 0
$
. 
Se x = 2 então f (2) =	 0
$
$
= 0
1
. 
Se x = 3 então f (3) = 0
$
7
= 0
>
. 
Se x = −1 então f (−1) = 0
$
V0
= 2.
 
Completando também a tabela acima podemos esboçar o gráfico. 
 
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Observando o gráfico traçado acima, podemos destacar: 
 
1 – A função é sempre decrescente, isto é, 
 
𝑥0 ≤ 𝑥$ ↔
1
2
s�
≥
1
2
s=
 
 
𝑥0 ≥ 𝑥$ ↔
0
$
s�
≤ 0
$
s=
. 
 
2 – Quando x tende a −∞ então 0
$
�
 tende a +∞. Essa afirmação também 
pode ser escrita em linguagem estritamente simbólica assim: 
 
lim
s→V�
1
2
s
= +∞ 
 
3 – Quando x tende a +∞ então 0
$
�
 tende a 0. Analogamente, tal afirmação 
também pode ser escrita em linguagem estritamente simbólica assim: 
lim
s→��
0
$
s
= 0. 
 Este fato pode ser interpretado, geometricamente, da seguinte forma: a 
curva que representa a função exponencial 𝑓 𝑥 = 0
$
s
tem por assíntota o 
eixo das abscissas. Isto é, a equação da assíntota é 𝑦 = 0. 
 
 
 
 
 
 
O 
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4.4 Resumo 
De modo geral, o gráfico de uma função exponencial do tipo 𝑓 𝑥 = 𝑏s 
tem um dos aspectos apresentados noquadro a seguir. 
 Ressaltando que o gráfico desse tipo de curva sempre passa pelo ponto 
0,1 , sua intersecção com o eixo das ordenadas, e pelo ponto 1, 𝑏 então 
marcando-se tais pontos podemos esboçar rapidamente a curva. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	
 
 
Se 0 < b < 1 
1 – A função é sempre decrescente. 
Em linguagem simbólica: 
𝑥0 ≤ 𝑥$	 ↔ 	𝑏s� ≥ 	𝑏s= 
𝑥0 ≥ 𝑥$	 ↔ 	𝑏s� ≤ 	𝑏s= 
2 – Quando x tende a −∞ então	𝑏s 
tende a +∞. 
Este fato pode ser descrito em 
linguagem estritamente simbólica da 
seguinte maneira: 
lim
s→V�
𝑏s = 	+∞ 
3 – Quando x tende a +∞ então 𝑏s 
tende a 0. 
Este fato pode ser descrito em 
linguagem estritamente simbólica da 
seguinte maneira: 
lim
s→��
𝑏s = 	0	
	
 
 
Se b > 1 
1 – A função é sempre crescente. Em 
linguagem simbólica: 
𝑥0 ≤ 𝑥$	 ↔ 	𝑏s� ≤ 	𝑏s= 
𝑥0 ≥ 𝑥$	 ↔ 	𝑏s� ≥ 	𝑏s= 
2 – Quando x tende a −∞ então 𝑏s 
tende a 0. 
Este fato pode ser descrito em 
linguagem estritamente simbólica da 
seguinte maneira: 
lim
s→V�
𝑏s = 0 
3 – Quando x tende a +∞ então 𝑏s 
tende a +∞. 
Este fato pode ser descrito em 
linguagem estritamente simbólica da 
seguinte maneira: 
lim
s→��
𝑏s = 	+∞ 
 
Propriedades	comuns	às	duas	funções	exponenciais	
1	–	O	conjunto-imagem	é	𝐼𝑅�∗ 	,	isto	significa	dizer	que	(∀𝑥)(𝑥 ∈ 𝐼𝑅)(𝑏s > 0).	
2	–	Os	gráficos	das	duas	curvas	têm	por	assíntota	a	reta	y	=	0.	
3	–	Os	gráficos	das	duas	curvas	passam	pelo	ponto	(0,	1).	
4	–	Os	gráficos	das	duas	curvas	passam	pelo	ponto	(1,	b).	
O 
O 
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4.5 Exercícios de fixação 
4.5.1) Use <, > ou = para completar corretamente as sentenças. 
 
a) 27,9 ……	2$,?< b) 0,7$7< ……	0,77e0 
c) $
?
V7,1
……	 $
?
V$,?
 d) 9
1
V7,9
……	 1
9
e,$<
 
4.5.2) Esboce os gráficos das curvas dadas por suas equações em cada caso 
abaixo. 
a) 𝑔 𝑥 = 	3s b) ℎ 𝑥 = 	𝜋s c) 𝑢 𝑥 = 	𝑒s d)	𝑤 𝑥 = 	0,2s 
e) 𝑡 𝑥 = 	0,3s f) 𝑦 = 1,2s g) 𝑦 = 	0,8s h) 𝑦	 = 	 7
$
s
 
 
4.5.3) Esboce os gráficos das curvas dadas por suas equações em cada caso 
abaixo. 
a) 𝑔 𝑥 = 	2s + 	1 b) h 𝑥 = 	2s − 3 c) 𝑡 𝑥 = 	 0
7
s
+ 	2 
d) 𝑦 = 	𝑒s + 0
$
 e) 𝑦 = 	 9
$
s
− 2 
 
4.5.4) Estude os limites no infinito de cada função apresentada na questão 
anterior. 
4.5.5) Escreva a equação da assíntota de cada função exponencial esboçada 
na questão 4.5.3. 
 
4.5.6) Se 𝑓 𝑥 = 	5s=�$s então determine todos os valores reais de x para os 
quais 𝑓 𝑥 = 125. 
 
4.5.7) De acordo com um grupo de cientistas, a população de bactérias em 
uma certa cultura pode ser modelada pela função 
P t = 	5000ee,e09� 
onde t é o tempo em minutos após o início da observação. Calcule: 
a) A população de bactérias após uma hora do início da observação; 
b) Calcule o número de bactérias após duas horas do início da 
observação. 
 
 
 
 
 
 
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5 FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
Textos babilônios datados de cerca de 600 a. C. trazem a seguinte 
questão 
 
“A que potência deve ser elevado certo número para fornecer um 
número dado?” 
 
É também desde os babilônios que se tem notícias de tabelas contendo 
potências sucessivas de um dado número, semelhantes às tabelas atuais de 
logaritmos. 
Apesar dos rudimentos do que viriam a ser os logaritmos, já serem 
conhecidos pelos babilônios, a introdução dos logaritmos como o instrumento 
que revolucionou a arte de calcular só ocorreu muito tempo depois. No início 
do século XVII, os cálculos envolvidos nos assuntos de Astronomia eram 
excessivamente trabalhosos. 
O desenvolvimento dos logaritmos serviu como um poderoso 
instrumento de cálculo que contribuiu para simplificar operações, transformado 
multiplicações e divisões em operações mais simples, agilizando também a 
potenciação e a radiciação. É fundamental, também, em outras áreas como, 
por exemplo, na Química para o cálculo do pH (potencial de hidrogênio) e na 
Física, em acústica, para determinarmos a intensidade de um som. 
John Napier (1550-1617) é considerado um dos matemáticos 
responsáveis pelo desenvolvimento do estudo dos logaritmos ao lado de 
outros que também trabalharam com este conceito, como o suíço Jobst Burgi 
(1552-1632). Os logaritmos de base 10, chamados de comuns ou briggsianos, 
tão úteis nos cálculos, foram estudados pelo professor Henri Briggs (1561-
1631). 
A palavra logaritmo vem do grego: logos (razão) e arithmos (número) é 
o expoente a que uma dada base deve ser elevada para produzir certa 
potência. 
5.1 Logaritmos 
5.1.1 Definição 
Chamamos de logaritmo de b, na base a, ao número c, tal que: 
 
bac cba =«=log 
sendo a (base), b (antilogaritmo ou logaritmando) e c (logaritmo). 
 
5.1.2 Exemplos 
 
a) Assim, o expoente a que se deve elevar 3 para se obter 81 é 4. Ou, em 
linguagem simbólica, log7 81 = 4. 
b) Analogamente, o expoente a que se deve elevar 2 para se obter 32 é 5 e, 
portanto, podemos escrever que log$ 32 = 5. 
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c) E mais esse exemplo: o expoente a que se deve elevar 
5
1
 para se obter 
25 é −2 , pois, 0
9
V$
= 25 . Assim podemos escrever, em linguagem 
simbólica, que log�
 
25 = −2. 
 
É importante observar que logaritmo é sinônimo de expoente. Isto é, 
outro nome que pode ser dado ao expoente ao qual se eleva a base a para 
determinar a potência b. 
Outra observação importante sobre o estudo dos logaritmos diz respeito 
ao seu domínio ou campo de existência. Só existem logaritmos reais de 
números positivos, com bases também positivas e diferentes de 1. Ou seja, 
para calcular o logM b, em IR, é necessário b > 0, a > 0 e a ≠ 1. 
 
5.1.3 Propriedades decorrentes da definição 
 
Sendo b > 0, c > 0, a > 0 e a ≠ 1, tem-se: 
 
a) logM 1 = 0 
b) logM a = 1 
c) logM a¢ = n 
d) a£¤¥¦ L = b 
e) logM b = logM c ↔ b = c. 
 
5.1.4 Propriedade operatórias 
 
Sendo x Î IR*+, y Î IR*+, a Î IR*+ e a ¹1, e m Î IR: 
 
 
• Logaritmo do produto 
 
 
 
 
• Logaritmo do quociente 
 
 
 
 
 
 
• Logaritmo de uma potência 
 
 
 
 
 
 
yxyx aaa loglog).(log +=
yx
y
x
aaa logloglog -=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
xmx a
m
a log.log =
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• Mudança de base 
 
 
 
com 𝟎 < 𝒃 ≠ 𝟏 
 
 
5.2 Definição 
 
 A função f : IR*+ ® IR definida por f (x) =	𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙 , 𝐜𝐨𝐦	𝒂	 > 	𝟎	𝐞	𝒂	¹	𝟏, é 
chamada função logarítmica de base a. 
O domínio dessa função é o conjunto IR*+ (conjunto dos números reais 
positivos) e o contradomínio é IR. 
 
5.3 Gráfico 
 
Acompanhe, nos exemplos seguintes, a construção do gráfico em cada 
caso. 
 
5.3.1) 𝒚 = 	 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒙 
 
Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores 
de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo. 
 
x ... 𝟏
𝟒
 
𝟏
𝟐
 𝟏 𝟐 𝟒 𝟖 ... 
y ... –2 –1 0 1 2 3 ... 
 
 Vamos mostrar agora como alguns desses valores da tabela foram 
determinados. 
 
Se x = 𝟏
𝟒
	então	y	=		f 	 𝟏
𝟒
= 𝐥𝐨𝐠𝟐
𝟏
𝟒
= − 𝟐. 
 
Se x = 𝟏
𝟐
		então	y	=		f 	 𝟏
𝟐
= 𝐥𝐨𝐠𝟐
𝟏
𝟐
= − 𝟏. 
 
Se x = 1 então y = f (1) =	𝐥𝐨𝐠𝟐 𝟏 =𝟎.		
	
Se x = 2 então y = f (2) =	𝐥𝐨𝐠𝟐 𝟐 =𝟏.		
 
Se x = 4 então y = f (4) =	𝐥𝐨𝐠𝟐 𝟒 =𝟐.		
	
Se x = 8 então y = f (8) =	𝐥𝐨𝐠𝟐 𝟖 =𝟑.		
 
a
xx
b
b
a log
loglog =
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5.3.2) 𝒚 = 𝐥𝐨𝐠𝟏
𝟐
𝒙 
 
 Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores 
de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo. 
 
x ... 𝟏
𝟒
 
𝟏
𝟐
 𝟏 𝟐 𝟒 𝟖 ... 
y ... 2 1 0 –1 –2 –3 ... 
 
 Vamos mostrar agora como alguns desses valores da tabela foram 
determinados.Se x = 𝟏
𝟒
 então y = f 𝟏
𝟒
= 	 𝐥𝐨𝐠𝟏
𝟐
𝟏
𝟒
=𝟐.		
	
Se x = 𝟏
𝟐
 então y = f 𝟏
𝟐
= 	 𝐥𝐨𝐠𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
=𝟏.	
	
Se x = 1 então y = f (1) = 	𝐥𝐨𝐠𝟏
𝟐
𝟏 =𝟎.	
	
Se x = 2 então y = f (2) = 	𝐥𝐨𝐠𝟏
𝟐
𝟐 = − 𝟏.	
	
Se x = 4 então y = f (4) = 	𝐥𝐨𝐠𝟏
𝟐
𝟒 = − 𝟐.	
 
O 
	 Fundamentos	de	Matemática	–	Notas	de	Aula	 39	
	
Mylane	dos	Santos	Barreto	
Salvador	Tavares	
Se x = 8 então y = f (8) = 	𝐥𝐨𝐠𝟏
𝟐
𝟖 = − 𝟑.	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
 
5.4 Resumo 
 
Nos dois exemplos, podemos observar que: 
 
a) o gráfico da função do tipo f (x) 	= 	 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙, com a > 0 e 	𝒂	¹	𝟏 nunca 
intersecta o eixo y. 
 
b) o gráfico de f (x) 	= 	 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙, com a > 0 e 	𝒂	¹	𝟏 corta o eixo horizontal no 
ponto (1, 0). A raiz da função é x = 1. 
 
c) y assume todos os valores reais, portanto, o conjunto imagem da função 
do tipo f (x) 	= 	 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙, com a > 0 e 	𝒂	¹	𝟏, é Im( f ) = IR. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O 
	 Fundamentos	de	Matemática	–	Notas	de	Aula	 40	
	
Mylane	dos	Santos	Barreto	
Salvador	Tavares	
Além disso, podemos estabelecer o seguinte 
	
a	>	1	 0	<	a	<1	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
f (x) é crescente e Im( f ) = IR 
Para quaisquer x1 e x2 do domínio: 
𝒙	𝟐 ³ 	𝒙𝟏 	↔ 	𝒚𝟐	³ 	𝒚𝟏 	
𝒙𝟐 ≤ 	𝒙𝟏 	↔ 	𝒚𝟐	³ 	𝒚𝟏		
	
(as desigualdades têm sentidos iguais)	
 
	
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	
 
f (x) é decrescente e Im( f ) = IR 
Para quaisquer x1 e x2 do domínio: 
𝒙	𝟐 ³ 	𝒙𝟏 	↔ 	𝒚𝟐 	≤ 	𝒚𝟏 
𝒙𝟐 ≤ 	𝒙𝟏 	↔ 	𝒚𝟐 	≥ 	𝒚𝟏	 
 
(as desigualdades têm sentidos 
contrários)	
	
 
 
5.5 Exercícios de fixação 
 
5.5.1) Calcule o valor da expressão 27log64log 3
2
1 - . 
 
5.5.2) Dados log2 = 0,3010 e log3 = 0,4771, calcule 
 
a) 𝑙𝑜𝑔12 b) log$ 3 c) 𝑙𝑜𝑔 1,5 d) log 5 
 
5.5.3) Resolva em IR. 
 
a) logs 10 + 3𝑥 = 2 b) log7 𝑥
$ − 2𝑥 + 1 = 2 
c) log�
:
𝑥$ − 4𝑥 ≥ log�
:
5 d)	log$ 𝑥$ − 5𝑥 + 6 ≤1 
e)	logs 2𝑥 + 3 = 2 f) log$ 𝑥 + 2 > log$ 8 
g) log$( log7 𝑥) ≥ 0 h) log7 2𝑥 + 1 < log7 7 
i) log�
=
2𝑥 − 1 > log�
=
9 j) log 𝑥 + 2 + log 𝑥 − 2 < log 3𝑥 
 
 
 
 
			O	 		1	 		a	
								1	
	
	
	
			O	 1	
	
	
			1	
	
	
										a	
	 Fundamentos	de	Matemática	–	Notas	de	Aula	 41	
	
Mylane	dos	Santos	Barreto	
Salvador	Tavares	
6 FUNÇÕES DEFINIDAS POR VÁRIAS SENTENÇAS 
 
 Nessa unidade estudaremos alguns casos de funções definidas por 
várias sentenças. 
 Para essa unidade você precisa recordar as principais funções 
estudadas até aqui. 
 
6.1 Exercícios de fixação 
 
6.1.1) Dadas as funções reais de variável real definidas por 
 
 f (x) = 
2 , 0
, 0 2
2, 2
se x
x se x
se x
- <ì
ï £ £í
ï >î
 e g (x) = 
2
, 0
, 0
x se x
x se x
£ì
í
>î
 
Pede-se: 
 
6.1.1.1) Calcular: 
 
a) f (−5) b) f $
7
 c) f ( 7) d) f (π) e) f (0,023) 
 
f) g (−3) g) g (0) h) g( 3) i) g (−0,5) j) g (1) 
 
6.1.1.2) Esboçar o gráfico cartesiano de f. 
 
6.1.1.3) Esboçar o gráfico cartesiano de g. 
 
 
6.1.2) Fazer o esboço do gráfico cartesiano das funções reais de variável real 
dadas pelas fórmulas: 
 
 
a) f 𝑥 = 	
1, se	0 ≤ 𝑥 < 1
2, se	1 ≤ 𝑥 < 2
3, se	2 ≤ 𝑥 < 3
4, se	3 ≤ 𝑥 < 4
 b) g 𝑥 = 	 −𝑥, se	𝑥 ≤ 0𝑥, se	𝑥 > 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	 Fundamentos	de	Matemática	–	Notas	de	Aula	 42	
	
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Salvador	Tavares	
7 NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITES 
 
Nesta unidade vamos estudar um dos conceitos que servirá de base para 
o seu desenvolvimento no estudo do Cálculo. 
Faremos alguns exercícios preliminares que subsidiarão a construção do 
conceito de limite e de continuidade de uma função num ponto. 
 
7.1 Exercícios preliminares 
 
7.1.1) Considere a função	 f: 𝐼𝑅 → 𝐼𝑅 	definida por f	 (x)	 =	 x2 e usando uma 
calculadora determine: 
 
a) f (1,8) f) f (2,1) 
b) f (1,85) g) f (2,01) 
c) f (1,9) h) f (2,001) 
d) f (1,96) i) f (2,0001) 
e) f (1,98) j) f (2) 
 
7.1.2) Observe os resultados encontrados na questão anterior e responda: 
 
a) Para quanto se “aproxima” o valor de f (x) quando x se “aproxima” de 2 e é 
menor do que 2? 
b) Para quanto se “aproxima” o valor de f (x) quando x se “aproxima” de 2 e é 
maior do que 2? 
 
7.1.3) Dado o gráfico da função, responda: 
 
 
	
	
 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
a) Para quanto se “aproxima” o valor de f (x) quando x se “aproxima” de − 4 e 
𝑥 < 	−4? 
O 
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Salvador	Tavares	
b) Para quanto se “aproxima” o valor de f (x) quando x se “aproxima” de − 4 e 
𝑥 > 	−4	 
c) Qual é o valor de f	(x) quando x = − 4? 
d) Para quanto “tende” o valor de f (ou se “aproxima”) quando x “tende” a 2 pela 
esquerda (ou tende a 2 e é menor do que 2)? 
e) Para quanto “tende” o valor de f quando x “tende” a 2 pela direita? 
f) Qual é o valor de f quando x = 2? 
g) Para quanto “tende” o valor de f quando x “tende” a 4 pela esquerda? 
h) Para quanto “tende” o valor de f quando x “tende” a 4 pela direita? 
i) Qual é o valor de f	(4)? 
	
7.1.4) Considere o gráfico de uma função dado abaixo e complete, corretamente, 
as sentenças seguintes: 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
a) Se x tende a a pela esquerda então f (x) tende a ______. 
Simbolicamente: 
Se x ® a	- então f	(x) ® ______. 
b) Se x tende a a pela direita então f (x) tende a ______. 
Simbolicamente: 
Se x ® a	+ então f	(x) ® ______. 
c) f (a) = ______. 
d) Se x ® b	- então f	(x) ® ______. 
e) Se x ® b+ então f	(x) ® ______. 
O 
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Mylane	dos	Santos	Barreto	
Salvador	Tavares	
f) f	(b) = ______. 
g) Se x ® c	- então f (x) ® ______. 
h) Se x ® c	+ então f (x) ® ______. 
i) f	(c) = ______. 
 
Observações: 
 
 Dada uma função definida num intervalo aberto I, com a Î I. 
 Para descrever o fato de que se x ® a	- então f	(x) ® b	escrevemos: 
 
 
(lê-se: limite de f	(x) quando x “tende” a a pela esquerda é igual a b) 
 Analogamente, para descrever que se x ® a	 + então f	 (x) ® c	
escrevemos: 
 
 
(lê-se: limite de f (x) quando x “tende” a a pela direita é igual a c) 
 Tais limites são denominados limites laterais esquerdo e direito, 
respectivamente. 
 Quando os limites laterais são iguais a b dizemos que existe o limite de f	
(x) no ponto a e, então escrevemos: 
 
 
 Assim, lim
s→;
𝑓 𝑥 = 𝑏 se, e somente se lim
s→;¶
𝑓 𝑥 = lim
s→;·
𝑓 𝑥 = 	𝑏. 
 
Comentários sobre o exercício 7.1.4: 
1) Observe que, em f quando x ® a	– (lê-se: x “tende” a a pela esquerda), f(x) 
“tende” a g. Para descrever este fato em linguagem simbólica escrevemos: 
 
 
(lê-se: limite de f (x) quando x “tende” a a pela esquerda é igual a g) 
 
 
lim ( ) 
x a
f x b
-®
=
 
lim ( ) 
x a
f x c
+®
=
 
lim ( ) 
x a
f x b
®
=
 
lim ( ) g
x a
f x
-®
=
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Salvador	Tavares	
2) Observe que, em f quando x ® a	+ (lê-se: x “tende” a a pela direita), f	(x) 
“tende” a h. Para descrever este fato em linguagem simbólica escrevemos: 
 
 
(lê-se: limite de f (x) quando x “tende” a a pela direita é igual a h) 
3) Observe que, em f	 quando x ® b	- (lê-se: x “tende” a b pela esquerda), f 
(x) “tende” a d. Para descrever este fato em linguagem simbólica escrevemos: 
 
 
(lê-se: limite de f (x) quando x “tende” a b pela esquerda é igual a d) 
4) Observe que, em f quando x ® b	+ (lê-se: x “tende” a b pela direita), f	(x) 
“tende” a d. Para descrever este fato em linguagem simbólica escrevemos: 
 
 
(lê-se: limite de f	(x) quando x “tende” a b pela direita é igual a d) 
5) Observe que f	 (b)	=	m (a imagem de b é igual a m) é diferente dos limites 
encontrados nos itens d e e. 
6) Observe que, em f quando x ® c	- (lê-se: x “tende” a c pela esquerda), f	
(x) “tende” a j. Para descrever este fato em linguagem simbólica escrevemos:(lê-se: limite de f	(x) quando x “tende” a c pela esquerda é igual a j) 
7) Observe que, em f quando x ® c	+ (lê-se: x “tende” a c pela direita), f	(x) 
“tende” a j. Para descrever este fato em linguagem simbólica escrevemos: 
 
 
(lê-se: limite de f	(x) quando x “tende” a c pela direita é igual a j) 
8) Observe que f	(c)	=	j (a imagem de c é igual a j) é igual aos limites encontrados 
nos itens g e h. 
 
 
 
 
 
 
lim ( ) h
x a
f x
+®
=
 
lim ( ) d
x b
f x
-®
=
 
lim ( ) d
x b
f x
+®
=
 c
lim ( ) j
x
f x
-®
=
+ c
lim ( ) j
x
f x
®
=
	 Fundamentos	de	Matemática	–	Notas	de	Aula	 46	
	
Mylane	dos	Santos	Barreto	
Salvador	Tavares	
)()(lim)(lim cfxfxf
cxcx
==
+- ®®
Conclusões: 
	
	 Nos itens 1 e 2, 
podemos concluir que quando 
os limites laterais são 
diferentes, isto caracteriza 
geometricamente uma 
descontinuidade do tipo “salto” 
como ocorre na figura ao lado 
em	x	=	b.	
 
Nos itens 3, 4 e 5 podemos 
concluir que quando os limites 
laterais são iguais, mas 
diferentes da imagem no ponto 
de abscissa b, esse fato 
algébrico revela 
geometricamente uma 
descontinuidade do tipo “furo” 
em x	=	b. O mesmo ocorre em x	
=	a na figura ao lado. 
 
Nos itens 6, 7 e 8 podemos concluir que quando os limites laterais, no 
ponto estudado, são iguais entre si e igual a imagem da função no ponto, esse 
fato algébrico revela geometricamente que a função é contínua nesse ponto.	
	
	
	
	
	
 
 
 
 
)(lim)(lim xfxf
bxbx +- ®®
¹
)()(lim)(lim afxfxf
axax
¹=
+- ®®
O 
O 
O 
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Mylane	dos	Santos	Barreto	
Salvador	Tavares	
7.2 Função Contínua 
 
7.2.1 Definição 
Uma função y = f (x) é contínua em x1, se, e somente se, lim
s→s�
𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥0 . 
Sendo assim, para provar que f é contínua em x1 precisamos mostrar 
que três condições são satisfeitas: 
i) f (x1) existe; 
ii) 
1
lim ( ) existe;
x x
f x
®
 
iii) 
1
1lim ( ) ( )x x f x f x® = . 
Exemplo: Vamos verificar se 2 se 1( ) = 
3 5 se > 1
x x
f x
x x
- £ì
í -î
 é contínua em x1 = 1. 
 
Resolução 
 Primeiro vamos calcular o valor de f (1). Para isso, notamos que a função 
é definida por duas sentenças e que para x = 1 devemos substituir esse valor na 
primeira sentença. Assim, tem-se f 1 = −2 ∙ 1 = −2. 
 Observemos que x = 1 divide a sentença de modo que para 𝑥 ≤ 1, o valor 
deve ser calculado na primeira sentença. Portanto, o lim
s→0¶
𝑓 𝑥 = = lim
s→0¶
−2𝑥 =
−2 ∙ 1 = −2. 
 Enquanto, para 𝑥 > 1,	o valor deve ser calculado na segunda sentença. 
Assim, lim
s→0·
𝑓 𝑥 = lim
s→0·
3𝑥 − 5 = 3 ∙ 1 − 5 = −2. 
 Como os limites laterais são iguais, isto é, lim
s→0¶
𝑓 𝑥 = lim
s→0·
𝑓 𝑥 = −2 . 
 Então, ∃ lim
s→0
𝑓 𝑥 = −2. 
 Se lim
s→0
𝑓 𝑥 = 𝑓 1 = 2 então podemos dizer que a função f é contínua 
em x = 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7.3 Exercícios de fixação 
	 Fundamentos	de	Matemática	–	Notas	de	Aula	 48	
	
Mylane	dos	Santos	Barreto	
Salvador	Tavares	
 
7.3.1) Dado o gráfico abaixo, determine, se existir: 
 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
 -
 + -
x -7
x -7 x 4
a) lim ( ) l) (2)
b) lim ( ) m) lim ( )
c) lim
f x f
f x f x
®
® ®
+x -7 x 4
x 4
x
 ( ) n) lim ( )
d) ( 7) o) lim ( )
e) lim
f x f x
f f x
® ®
®
-
 -
+ -
 -2
x -2 x 6
x 
 ( ) p) (4)
f) lim ( ) q) lim ( )
g) lim
f x f
f x f x
®
® ®
® +-2 x 6
x 6
x 
 ( ) r) lim ( )
h) ( 2) s) lim ( )
i) lim
f x f x
f f x
®
®
-
 -
 +
x 7 2
x 2
x 2
 ( ) t) lim ( )
j) lim ( ) u) (6)
k) lim
f x f x
f x f
®®
®
®
 ( ) v) (7)f x f
	
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7.3.2) Considere a função f (x)	=	x2 e seu gráfico dado. Calcule: 
O 
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Salvador	Tavares	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
2
 1
2 2
 -1 2
a) (-1) e) lim 
b) lim f) lim 
c) lim
x
x x
x
f x
x x
®
® ®
2 2
 -2 3
2 2
 0 - 4
 g) lim 
d) lim h) lim 
x
x x
x x
x x
® ®
® ®
	
	
	
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O	
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Mylane	dos	Santos	Barreto	
Salvador	Tavares	
8 GABARITOS 
 
1.1.7 (p. 6) 
 
1.1.7.1) 
 
a) 𝑥$ + 20𝑥 + 100. f) 1<
1
− 𝑎$. 
b) 𝑥$ − 12𝑥 + 36. g) 3𝑥$ − 25𝑦. 
c) 𝑥$𝑦$ − 0,6	𝑥𝑦 + 0,09. h) 𝑥8 − 27. 
d) 11 + 2 10. i) 4. 
e) 28 − 6 3. 
 
1.2.6 (p. 10) 
 
1.2.6.1) 
 
1) 𝑎 − 4 𝑎 + 4 11) − 𝑥 − 2 . 𝑥 − 3 
2) 𝑎$ − 1 𝑎$ + 1 12) 2 𝑥 − 1 . 𝑥 + 3 
3) 𝑎 − 3 . 𝑎$ + 3𝑎 + 9 13) 4𝑥$. 𝑥 + 4 
4) 𝑦 + 2 . 𝑦$ − 2𝑦 + 4 14) 𝑥 + 3 . 6𝑥 + 𝑎 
5) 1 − 5𝑎$ . 1 + 5𝑎$ + 25𝑎1 15) 𝑎 + 2 𝑥 + 𝑦 
6) 4𝑦 + 1 . 16𝑦$ − 4𝑦 + 1 16) 𝑥 + 𝑦 . 2 − 𝑎 
7) 𝑥𝑦$ + 10 . 𝑥$𝑦1 − 10𝑥𝑦$ + 100 17) 𝑥 + 1 . 𝑥$ + 1 
8) 12𝑎$𝑏$. 1 − 3𝑎$𝑏$ 18) 2𝑥 − 3𝑦 $ 
9) 𝑥 − 4 . 𝑥 − 2 19) 𝑦 − 4 . 𝑦$ + 4𝑦 + 16 
10) 𝑥 − 1 . 2𝑥 − 1 20) 𝑎 + 5 𝑎$ − 5𝑎 + 25 
 
1.3.1 (p. 12) 
 
1.3.1.1) 
 
a) D = 25 d) V =	30 
b) ∆ =	36 e) x = 0
$
 ou x = − 3 
c) IMC ≅ 26 
 
1.3.1.2) 
 
a) U(4, 6) = 24 
b) x2 = 8 
c) x2 = 2 
 
1.3.1.3) 
 
a) P (4, 9) = 6 
b) P (16, 25) = 200 
c) P (1, 4) = 40 
d) P (16, 81) = 1200 
 
	 Fundamentos	de	Matemática	–	Notas	de	Aula	 51	
	
Mylane	dos	Santos	Barreto	
Salvador	Tavares	
1.4.3 (p. 15) 
 
1.4.3.1) 
 
a) 
1ª. maneira: 
2380 – 16% de 2380 = 2380 – 0,16 x 2380 = 2380 – 380,80 = R$ 1999,20. 
2ª. maneira: 
(1 – 0,16) x 2380 = 0,84 x 2380 = R$ 1999,20. 
b) 0,84 
 
1.4.3.2) 
 
a) R$ 108,00 
b) R$ 792,00 
 
1.4.3.3) 
 
Preço do 
produto 
Taxa 
desconto 
Valor do 
desconto 
Preço a 
pagar 
% do 
preço a 
pagar 
R$ 984,00 25% R$ 246,00 R$ 738,00 75 
R$ 357,00 8% R$ 28,56 R$ 328,44 92 
R$ 500,00 15% R$ 75,00 R$ 425,00 85 
R$ 800,00 30% R$ 240,00 R$ 560,00 70 
R$ 430,00 10% R$ 43,00 R$ 387,00 90 
 
1.4.3.4) 
 
Preço do 
produto 
% de 
aumento 
% de 
desconto 
Fator de 
correção 
Preço 
atualizado 
R$ 145,00 12 ----------- 1,12 R$ 162,40 
R$ 690,00 ----------- 2,5 0,975 R$ 672,75 
R$ 1200,00 0,5 ----------- 1,005 R$ 1206,00 
R$ 1350,00 ----------- 6,2 0,938 R$ 1266,30 
R$ 3570,00 110 ----------- 2,1 R$ 7497,00 
 
1.4.3.5) 
 
Porcentagem Taxa unitária ou número decimal 
15% 0,15 
1% 0,01 
5% 0,05 
7,2% 0,072 
25% 0,25 
13,5% 0,135 
32% 0,32 
	 Fundamentos	de	Matemática	–	Notas	de	Aula	 52	
	
Mylane	dos	Santos	Barreto	
Salvador	Tavares	
115% 1,15 
320% 3,2 
1200% 12 
81% 0,81 
3400% 34 
 
1.4.3.6) 25% 
 
2.7 (p. 22) 
 
2.7.1) 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
		O	 O	
 
 
 
 O	
O	
	 Fundamentos	de	Matemática	–	Notas	de	Aula	 53	
	
Mylane	dos	Santos	Barreto	
Salvador	Tavares	
e) f) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
g) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.7.2) 
a) 5
2
m < b) m = 8 c) 3
2
m = 
 
2.7.3) 
a) 10 milhões de reais b) 200 km 
 
2.7.4) 
a) x = 1 b) 4 7
3
x = c) Crescente d) 2 1
5 5
g æ ö- =ç ÷
è ø
 
 
 
 
 
 
	
	
	
O	
	
	
	
O	
		OFundamentos	de	Matemática	–	Notas	de	Aula	 54	
	
Mylane	dos	Santos	Barreto	
Salvador	Tavares	
3.6 (p. 28) 
 
3.6.1) 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
		O	
	
	
	
		O	
	
O	
	
	
O	
O	
	 Fundamentos	de	Matemática	–	Notas	de	Aula	 55	
	
Mylane	dos	Santos	Barreto	
Salvador	Tavares	
3.6.2) a = 1; c = 16 
 
3.6.3) m > 4 
 
3.6.4) m > 1 
 
3.6.5) m = –1 
 
3.6.6) v = 8 
 
3.6.7) 25 cm2 
 
3.6.8) m = 9 
 
3.6.9) x = 2 e x = 4 
 
3.6.10) 
a) S = {–5, 0} b) S = 110, 
2
ì ü
í ý
î þ
 c) S = 10, 
3
ì ü
í ý
î þ
 
d) S = {–6, 6} e) S = 2 2, 
3 3
ì ü-í ý
î þ
 f) S = Æ 
g) S = { }0 h) S = { }5, 3- i) S = 1 , 2
2
ì ü
í ý
î þ
 
j) S = { }4 k) S = Æ l) S = { }6, 3- 
m) S = ] [ ] [, 5 2,-¥ - È +¥ n) S = [ ]1, 5- o) S = 1 , 0
2
ù é-ú êû ë
 
 
4.5 (p. 36) 
 
4.5.1) 
a) 3,5 2,792 2> b) 239 3010,7 0,7> c) 
3,4 2,72 2
7 7
- -
æ ö æ ö>ç ÷ ç ÷
è ø è ø
 d) 
3,5 0,295 4
4 5
-
æ ö æ ö<ç ÷ ç ÷
è ø è ø
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	 Fundamentos	de	Matemática	–	Notas	de	Aula	 56	
	
Mylane	dos	Santos	Barreto	
Salvador	Tavares	
4.5.2) 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	O	O	
		O	
	
O	
	 Fundamentos	de	Matemática	–	Notas	de	Aula	 57	
	
Mylane	dos	Santos	Barreto	
Salvador	Tavares	
e) f) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
g) h) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.5.3) 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
		O	
		O	
	
	
	
O	
	
			O	
		O	
	
															
															O	
	 Fundamentos	de	Matemática	–	Notas	de	Aula	 58	
	
Mylane	dos	Santos	Barreto	
Salvador	Tavares	
c) d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.5.4) 
a) 
 
lim ( )
x
g x
® +¥
= +¥ 
 
lim ( ) 1
x
g x
® -¥
= b) 
 
lim ( )
x
h x
® +¥
= +¥ 
 
lim ( ) 3
x
h x
® -¥
= - 
c) 
 
lim ( ) 2
x
t x
® +¥
= 
 
lim ( )
x
t x
® -¥
= +¥ d) 
 
lim
x
y
® +¥
= +¥ 
 
1lim
2x
y
® -¥
= 
e) 
 
lim
x
y
® +¥
= +¥ 
 
lim 2
x
y
® -¥
= - 
 
4.5.5) 
a) y = 1 b) y = –3 c) y = 2 d) y = 1
2
 e) y = –2 
4.5.6) S = {–3, 1} 
 
4.5.7) a) Aproximadamente 12298 bactérias b) Aproximadamente 30248 
bactérias 
 
O	 	O	
O	
	 Fundamentos	de	Matemática	–	Notas	de	Aula	 59	
	
Mylane	dos	Santos	Barreto	
Salvador	Tavares	
5.5 (p. 42) 
 
5.5.1) 11
2
- 
 
5.5.2) a) 1,0791 b) Aproximadamente 1,585 c) 0,1761 d) 0,699 
 
5.5.3) 
a) S = {–2, 5} b) S = {–2, 4} 
c) S = [ [ ] ]1, 0 4, 5- È d) S = [ [ ] ]1, 2 3, 4È 
e) S = {3} f) S = ] [6,+¥ 
g) S = [ [3,+¥ h) S = 1 , 3
2
ù é-ú êû ë
 
i) S = 1 , 5
2
ù é
ú êû ë
 j) S = ] [2, 4 
 
6.1 (p. 43) 
 
6.1.1) 
6.1.1.1) 
a) –2 b) 2
3
 c) 2 d) 2 e) 0,023 
f) –3 g) 0 h) 3 i) –0,5 j) 1 
 
6.1.1.2) 6.1.1.3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	O	
O	
	 Fundamentos	de	Matemática	–	Notas	de	Aula	 60	
	
Mylane	dos	Santos	Barreto	
Salvador	Tavares	
6.1.2) 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7.1 (p. 44) 
 
7.1.1) 
a) 3,24 b) 3,4225 c) 3,61 d) 3,8416 e) 
3,9204 
f) 4,41 g) 4,0401 h) 4,004001 i) 4,00040001 j) 4 
 
7.1.2) a) 4 b) 4 
 
7.1.3) 
a) 2 b) –3 c) –1 d) 3 e) 3 
f) 0 g) 4 h) 4 i) 4 
 
7.1.4) 
a) g b) h c) g d) d e) d 
f) m g) j h) j i) j	
 
7.3 (p. 50) 
 
7.3.1) 
a) 2 b) 2 c) 2 d) 2 e) 4 
f) –3 g) Não existe h) 1 i) 3 j) 3 
k) 3 l) –3 m) 5 n) –4 o) Não existe 
p) 5 q) –1 r) –1 s) –1 t) 0 
u) –1 v) 0 
 
7.3.2) 
a) 1 b) 1 c) 4 d) 0 
e) 1 f) 4 g) 9 h) 16 
O	
O