DENSIDADE, EMPUXO E PRINCIPIO DE ARQUIMEDES

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Densidade, Empuxo e Princípio de Arquimedes 
Alirio Fernando Cardozo Cardenas 
Engenharia Física – Universidade Federal da Integração Latino-Americana 
 afc.cardenas.2020@aluno.unila.edu.br 
 
Resumo. Neste experimento, verificou-se a validade do princípio de Arquimedes 
utilizando um simulador no qual um recipiente flutua em um líquido desconhecido que está 
contido dentro de um reservatório maior. Ao adicionar blocos ao recipiente flutuante, este 
afunda uma certa altura e um certo volume do líquido transborda. Foram feitos gráficos de 
volume de líquido deslocado em função da massa dos blocos e em função da altura imersa 
do recipiente para dois líquidos diferentes. Através da análise dos gráficos obtidos, foi 
possível obter o valor da densidade dos dois líquidos. 
 
Introdução 
O Princípio de Arquimedes, descoberto pelo 
antigo matemático e inventor grego 
Arquimedes, é a lei física que descreve o 
empuxo hidrostático. Este princípio afirma que 
qualquer corpo que esteja total ou parcialmente 
submerso em um fluido em repouso sofre um 
empuxo hidrostático, ou força ascendente, cuja 
magnitude é igual ao peso do fluido deslocado 
pelo corpo, ou seja 
 
𝐸 = 𝑃 = 𝑚𝑙 . 𝑔 (1) 
 
onde 𝑚𝑙 é a massa da porção deslocada do 
líquido e 𝑔 é a aceleração da gravidade. A 
massa𝑚𝑙é dada por 
 
𝑚𝑙 = 𝜌𝑙𝑉𝑙 (2) 
 
onde𝜌𝑙 é a densidade do líquido e 𝑉𝑙 é o volume 
de líquido deslocado, que é equivalente ao 
volume de um objeto totalmente imerso em um 
fluido, ou à fração do volume abaixo da 
superfície do líquido para um objeto 
parcialmente submerso. 
Substituindo a equação (2) na equação 
(1), temos que o empuxo é dado por 
 
𝐸 = 𝜌𝑙𝑉𝑙𝑔 (3) 
 
A força de empuxo sobre o corpo flutuante 
em um líquido ou gás também é equivalente, em 
magnitude, ao peso do objeto flutuante, porém 
em direção oposta. Logo 
 
𝐸 = 𝜌𝑙𝑉𝑙𝑔 = 𝑚𝑐 . 𝑔 (4) 
 
 
 
Objetivo 
 
O objetivo deste experimento é verificar a 
validade do Princípio de Arquimedes. Para isso, 
foi verificada a dependência do empuxo 
hidrostático em relação a outras grandezas 
físicas. 
Procedimento Experimental 
Foram coletados dados da altura que o 
recipiente flutuante afunda e do volume do 
líquido que transborda para duas situações 
diferentes. Na primeira delas, foi utilizado um 
fluido com densidade igual a 1 g/ml e na 
segunda, a densidade do fluido era de 2 g/ml. 
Esses dados foram organizados em tabelas e 
foram feitos dois gráficos do volume de água 
deslocada em função da massa dos blocos, um 
para cada situação. Em seguida, foi feito um 
único gráfico do volume de água deslocada em 
função da massa dos blocos com os dois 
conjuntos de dados. 
Também foram feitos dois gráficos do 
volume de água deslocada em função da altura 
imersa do recipiente flutuante, um para cada 
situação. Em seguida, foi feito um único gráfico 
do volume de água deslocada em função da 
altura imersa do recipiente flutuante usando os 
dois conjuntos de dados. Por fim, foi utilizado o 
Método dos Mínimos Quadrados (MMQ) para 
realizar o ajuste dos dados obtidos. 
Resultados e Discussão 
Os dados obtidos para os fluidos com 
densidade igual a 1 g/ml e 2g/ml são 
apresentados nas tabelas 1 e 2, respectivamente. 
Tabela 1: Altura imersa, volume deslocado e massa 
dos blocos para o fluido com densidade igual a 1 g/ml. 
Altura imersa 
(cm) 
Volume 
deslocado (mL) 
Massa dos 
blocos (g) 
2,000 ± 0,125 50,0 ±12,5 50 
4,000 ± 0,125 100,0 ±12,5 100 
6,000 ± 0,125 150,0 ±12,5 150 
8,000 ± 0,125 200,0 ±12,5 200 
 
Tabela 2: Altura imersa, volume deslocado e massa 
dos blocos para o fluido com densidade igual a 2 g/ml. 
Altura imersa 
(cm) 
Volume 
deslocado (mL) 
Massa dos 
blocos (g) 
1,000 ± 0,125 25,0 ±12,5 50 
2,000 ± 0,125 50,0 ±12,5 100 
3,000 ± 0,125 75,0 ± 12,5 150 
4,000 ± 0,125 100,0 ± 12,5 200 
 
Com os dados das Tabelas 1 e 2 foram 
feitos gráficos de volume de água deslocada em 
função da massa dos blocos e de volume de 
água deslocada em função da altura imersa. 
Para encontrar a melhor reta que descreve o 
conjunto de pontos experimentais, foi utilizado 
o Método dos Mínimos Quadrados (MMQ). A 
equação da reta é dada por 
 
𝑦 = 𝑎 𝑥 + 𝑏 (5) 
 
Para obter o coeficiente angular 𝑎 da reta a 
partir do MMQ, foi usada a seguinte equação 
 
𝑎 =
𝑁(𝛴𝑥𝑦)−(𝛴𝑥)(𝛴𝑦)
𝛥
 (6) 
 
e para a obtenção do coeficiente linear 𝑏, foi 
usada a equação abaixo 
 
𝑏 =
(𝛴𝑦)(𝛴𝑥2)−(𝛴𝑥𝑦)(𝛴𝑥)
𝛥
 (7) 
 
onde 
 
𝛥 = 𝑁(𝛴𝑥2) − (𝛴𝑥)2 (8) 
 
Dessa maneira encontramos a seguinte 
tabela 3 para a situação 1. A qual e trabalhada 
pra o volume em função da massa. 
 
Tabela 3: Valores para encontrar os coeficientes na 
situação 1 
n x y x^2 xy 
1 50 50 2500 2500 
2 100 100 10000 10000 
3 150 150 22500 22500 
4 200 200 40000 40000 
∑ 500 500 75000 75000 
 
Onde o delta e os coeficientes encontrados 
são expostas na seguinte tabela 4. 
 
Tabela 4: Valor do delta e dos coeficientes para a 
situação 1 
delta 50000 
a 1 
σa 0,1118034 
b 0 
σb 15,309311 
 
O valor do coeficiente angular 𝑎 calculado 
para a situação 1 é 1 e o valor do coeficiente 
linear 𝑏 é 0. 
 
De este jeito obtemos a equação da reta 
por mínimos quadrados. 
 
y=(1±0,11)x (9) 
 
 
Em baixo na figura 1 mostra-se o gráfico 
de volume de água deslocada em função da 
massa dos blocos para o líquido da situação 1 
g/mL 
 
 
Figura 1::Volume de água deslocada em função da 
massa dos blocos para o líquido com densidade igual a 1 
g/mL. 
 
Para a situação 2 obtemos a seguinte tabela 
5. 
 
Tabela 5: Valores para encontrar os coeficientes na 
situação 2 
n x y x^2 xy 
1 50 25 2500 1250 
2 100 50 10000 5000 
3 150 75 22500 11250 
4 200 100 40000 20000 
∑ 500 250 75000 37500 
 
Onde o delta e os coeficientes sao 
expostas na seguinte tabela 6. 
 
Tabela 6:Valor do delta e dos coeficientes para a 
situação 2. 
delta 50000 
a 0,5 
σa 0,1118034 
b 0 
σb 15,309311 
 
O valor do coeficiente angular 𝑎 calculado 
para a situação 2 é 0,5 e o valor do coeficiente 
linear 𝑏 é 0. 
 
De este jeito obtemos a equação da reta 
para a situação 2 por mínimos quadrados. 
 
y=(0,5±0,11)x (10) 
 
 
Em baixo na figura 2 mostra-se o gráfico 
de volume de água deslocada em função da 
massa dos blocos para o líquido de densidade 2 
g/mL 
 
Figura 2: Volume de água deslocada em função da 
massa dos blocos para o líquido com densidade igual a 2 
g/mL. 
Observe-se que as equações obtidas por 
mínimos quadrados são semelhantes as das 
equações lançadas pelo método gráfico, as quais 
são expostas dentro da figura 1 e 2 
respectivamente. 
 
Na seguinte parte figura 3 mostra o gráfico 
com os dois conjuntos de dados. 
 
 
Figura 3: Grafico comparativo com os dois conjuntos 
de dados 
Pode se-observar na figura 3 que quando se 
tem densidades diferentes então também temos 
retas diferentes. 
 
A partir do gráfico acima, pode-se calcular a 
densidade. A equação (11) pode ser escrita 
como 
 
𝑉𝑙 =
1
𝜌𝑙
𝑚𝑐 (11) 
 
Assim, um gráfico de 𝑉𝑙 em função de 𝑚𝑐 é uma 
reta com coeficiente angular igual a 
1
𝜌𝑙
. Logo, 
para a primeira situação, temos 
 
1
𝜌𝑙
= 1 ⇒ 𝜌𝑙 = 1 𝑔/𝑚𝐿 (12) 
 
e para a segunda situação, 
 
1
𝜌𝑙
= 0,5 ⇒ 𝜌𝑙 = 2 𝑔/𝑚𝐿 (13) 
 
que são os valores de densidade dos líquidos 
fornecidos pelo simulador. 
 
 
Os valores trabalhados por mínimos 
quadrados para o volume do liquido em função 
da altura imersa são mostradas nas tabelas 7 e 8 
respectivamente. 
 
Tabela 7: Valores para encontrar os coeficientes na 
situação 1 
n x y x^2 xy 
1 2 50 4 100 
2 4 100 16 400 
3 6 150 36 900 
4 8 200 64 1600 
∑ 20 500 120 3000 
 
 
 
Tabela 8: Valores para encontrar os coeficientes na 
situação 2 
n x y x^2 xy 
1 1 25 1 25 
2 2 50 4 100 
3 3 759 225 
4 4 100 16 400 
∑ 10 250 30 750 
 
Onde o delta e os coeficientes para cada 
situação são expostos nas seguintes tabelas 9 e 
10 respectivamente. 
 
Tabela 9: Valor do delta e dos coeficientes para a 
situação 1 
delta 80 
a 25 
σa 2,795084972 
b 0 
σb 15,30931089 
 
Tabela 10:Valor do delta e dos coeficientes para a 
situação 2 
delta 20 
a 25 
σa 5,590169944 
b 0 
σb 15,30931089 
 
Para os dois casos o valor do coeficiente 
angular 𝑎 calculado é 25 e o valor do 
coeficiente linear 𝑏 é 0. 
 
De este jeito obtemos as equações da reta 
por MMQ para cada caso. A equação 14 é para 
a situação 1 e a equação 15 é para a situação 2. 
 
y=(25±2,79)x (14) 
 
y=(25±5,59)x (15) 
 
Os gráficos de volume de líquido 
deslocado em função da altura imersa do 
recipiente são mostrados nas Figuras 4 e 5. 
Nestes gráficos, o MMQ também foi utilizado 
para ajustar os dados experimentais. O valor do 
coeficiente angular 𝑎 calculado para as duas 
situações é 25 e o valor do coeficiente linear 𝑏 
é 0. Logo, a equação da reta é 
 
𝑦 = 25 𝑥 (16) 
 
 
Figura 4: Volume de água deslocada em função da 
altura imersa para o líquido com densidade igual a 1 
g/mL. 
 
 
Figura 5:Volume de água deslocada em função da 
altura imersa para o líquido com densidade igual a 2 
g/mL. 
 
A figura 6 mostra o gráfico comparativo 
com os dois conjuntos de dados. 
 
Onde pode observasse que os dois gráficos 
expostos na figura 6 pertence a uma mesma 
reta. 
 
 
Figura 6:Gráfico comparativo com os dois conjuntos 
de dados. 
 
O volume de líquido deslocado é igual ao 
volume imerso. Logo, temos a seguinte relação 
 
𝑉𝑙 = 𝑉𝑖𝑚𝑒𝑟𝑠𝑜 = 𝑤. 𝑙. ℎ𝑖𝑚𝑒𝑟𝑠𝑜 (17) 
 
onde 𝑤 e 𝑙 são as dimensões da base do 
recipiente flutuante e ℎ𝑖𝑚𝑒𝑟𝑠𝑜é a altura imersa 
do recipiente. De acordo com esta equação, o 
gráfico do volume de fluido deslocado em 
função da altura imersa é uma reta com 
coeficiente angular igual a 𝑤. 𝑙. 
As retas para as duas situações possuem 
coeficiente angular igual a 25. Logo, temos que 
 
𝑤. 𝑙 = 25 (18) 
 
As dimensões da base do recipiente 
fornecidas pelo simulador são 𝑤 = 𝑙 = 5 𝑐𝑚. 
Assim, 𝑤. 𝑙 = 25 𝑐𝑚2, que é igual ao valor 
obtido a partir dos gráficos. 
Conclusão 
O experimento possibilitou verificar a 
validade do modelo teórico proposto. O ajuste 
dos dados por meio do MMQ possibilitou a 
determinação de grandezas físicas. Os valores 
de densidade calculados a partir dos gráficos 
são iguais aos valores apresentados no 
simulador. Além disso, o experimento também 
possibilitou o estudo da relação entre o volume 
de líquido deslocado e a altura imersa do 
recipiente flutuante. 
 
 
 
Referências Bibliográficas 
[1] 
http://www.archive.org/stream/worksofarchim 
ede00arch#page/257/mode/2up 
 
[2]https://www.grc.nasa.gov/www/k12/WindT
unnel/Activities/buoyArchimedes.html