revisão seno cosseno

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FNT 
AULA 6 
FUNÇÃO SENO E COSSENO 
CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA 
 
 
 
Chama-se 
circunferência 
trigonométrica a 
circunferência de 
raio unitário (R=1), 
com centro na 
origem de um 
sistema cartesiano. 
R = 1 
360º = 2π rad 
 
180° = π rad 
 
1º = π/ 180 rad 
 
1 rad = 180º/π 
 -1 +1 
 +1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 -1 
SENO E COSSENO 
 
 
 
Tomando uma reta 
qualquer que vai da 
origem até um ponto 
qualquer da 
circunferência 
trigonométrica temos 
que cos(a) =x’ / R e 
sen(a) = y’ / R 
R = 1 
-1 +1 
 +1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 -1 
SENO E COSSENO 
 
 
 
Como na circunferência trigonométrica R =1, temos apenas que 
o valor de cos(a) como sendo a componente do ponto P em x e 
o valor de sen(a) como sendo a componente do ponto P em y. 
O x’ 
y’ 
 a 
R = 1 
P 
Tem-se que: 
cos(a) = x’ / R 
cos(a) = cateto adjacente 
 hipotenusa 
 
sen(a) = y’ / R 
sen (a) = cateto oposto 
 hipotenusa 
FUNÇÃO SENO 
 
 
 
Na figura abaixo, o segmento Oy' que mede sen(x), é a projeção 
do segmento OM sobre o eixo OY. 
 +1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 -1 
FUNÇÃO SENO 
 
 
 
Periodicidade: A função é periódica de período 2π. A função seno é 
periódica de período fundamental T=2π. 
-1 < sen(x) < 1 
 PERÍODO E FREQUÊNCIA DE UM 
SINAL SENOIDAL 
PERÍODO E FREQUÊNCIA 
O TEMPO QUE A FUNÇÃO NECESSITA PARA COMPLETAR UM CICLO 
CHAMA-SE PERÍODO, DADO EM SEGUNDOS (s) 
 
O NÚMERO DE VEZES QUE UM CICLO SE REPETE CHAMA-SE 
FREQUÊNCIA (f), É DADO EM Hertz (Hz) OU, AINDA, ABREVIADO POR cps 
V ou i 
1 Hertz 
 ¼ ½ 1 
 ¾ (s) 
V ou i 
 ¼ ½ ¾ 1 
2 Hertz 
(s) 
f = 1 / T e T = 1 / f 
FUNÇÃO COSSENO 
 
 
 
O segmento Ox, que mede cos(x), é a projeção do segmento 
OM sobre o eixo horizontal OX. 
FUNÇÃO COSSENO 
 
 
 
Periodicidade: A função é periódica de período 2π. A função cosseno é 
periódica de período fundamental T=2π. 
-1 < cos(x) < 1 
RESUMINDO SENO E COSSENO 
 
 
 
 -1 +1 
+1 
 
 
 
 
 
-1 
GRAUS SENO COSSENO 
0 = 360 0 1 
90 1 0 
180 0 -1 
270 -1 0 
RESUMINDO SENO E COSSENO 
 
 
 
 180° 0° 
 90° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 270° 
GRAUS SENO COSSENO 
30 0,5 0,866 
60 0,866 0,5 
120 0,866 -0,5 
150 -0,5 -0,866 
210 -0,5 -0,866 
240 -0,86 -0,5 
300 (-60°) -0,866 0,5 
330 (-30°) -0,5 0,866 
1º. Q 2º. Q 
3º. Q 4º. Q 
RESUMINDO SENO E COSSENO 
 
 
 
SENO 
2 1/2 
RESUMINDO SENO E COSSENO 
 
 
 
COSSENO 
1/2 
1/2 
EXERCÍCIOS 
 
 
 
1. EXPRESSE EM GRAUS: 
A) 10π rad B) π rad C) π rad D) 4π rad 
 9 9 20 3 
 
Resp.: A) 200° B) 20° C) 9° D) 240° 
2. DETERMINE, EM RADIANOS, A MEDIDA DE MENOR ÂNGULO FORMADO 
PELOS PONTEIROS DE UM RELÓGIO ÀS 4 HORAS. 
360° / 12 = 30° 
 
90° (12 a 3) + 30° (3 a 4) = 120° 
 
Em radianos: 
 
π - 180° tem-se : x = 2π rad 
x - 120° 3 
 
EXERCÍCIOS 
 
 
 
3. DETERMINE OS VALORES DE: 
A) y = 3cos540° - 2sen90° 
cos540° = cos180° = -1 
 
sen90° = 1 
y = 3 . (-1) – 2. (1) = (-3) – 2 = -5 
B) y = 4sen900° - 2cos630° + cos720° 
sen900° = sen180° = 0 
 
cos630° = cos270° = 0 
 
cos720° = cos0° = 1 
y = 4 . (0) – 2. (0) + 1 = 1 
EXERCÍCIOS 
 
 
 
4. DETERMINE OS VALORES MÁXIMO E MÍNIMO DAS EXPRESSÕES: 
A) y = 4cosx +1 B) y = 2 – 5senx C) y = -3sen²x + 2 
 3 5 
 IMPORTANTE 
EXERCÍCIOS 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
 
 
5. SENDO x UM ARCO DO 2º. QUADRANTE E senx = 3/5, DETERMINE cosx 
APLICAÇÃO - REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA 
MATEMÁTICAMENTE, OS GRÁFICOS DA TENSÃO SENOIDAL NOS 
DOMÍNIOS TEMPORAL E ANGULAR PODEM SER REPRESENTADOS POR: 
v(t) = Vp . sen ῳt e v(ϴ) = Vp . sen ϴ 
ONDE: 
v (t) = v (ϴ), valor da tensão no instante t ou para o ângulo ϴ (em v) 
Vp = valor de pico ou amplitude máxima da tensão (em v) 
ῳ = frequência angular (em rd/s) 
ϴ =ângulo (em rd) 
FREQUÊNCIA ANGULAR OU VELOCIDADE ANGULAR: ῳ corresponde 
à variação do ângulo ϴ do sinal em função do tempo. 
ϴ = ῳt , portanto quando ϴ = 2π, tem –se que t = T , então 2π = ῳT 
 
ῳ = 2π ou ainda ῳ = 2π.f 
 T 
EXEMPLO APLICATIVO 
 0,25 0,5 0,75 1,0 
(s) 
 5v 
-5v 
Vp = 5v ; Vpp = 10v 
 
T = 0,25s 
 
f = 4Hz ou 4cps 
 
ῳ = 2π. f = 2π. 4 = 8π rd/s 
v (t) = Vp . sen ῳt portanto v (t) = 5 . sen 8πt 
PARA SE SABER O VALOR DA TENSÃO, POR EXEMPLO, EM t = 0,6s: 
 
v (t) = 5. sen (8π.0,6) = 2,94v 
2,94 
0,6 
IMPORTANTE 
NEM SEMPRE UM SINAL SENOIDAL INICIA O SEU CICLO NO 
INSTANTE t =0, NESTE CASO A EXPRESSÃO COMPLETA DEVE 
INCLUIR ESSA FASE INICIAL: 
 
v (t) = Vp . sen (ῳt + ϴ0) 
 
SE O SINAL INICIA O SEU CICLO ADIANTADO, ϴ0 É POSITIVO; SE O 
SINAL INICIA O SEU CICLO ATRASADO, ϴ0 É NEGATIVO 
 SINAL ADIANTADO SINAL ATRASADO 
EXERCÍCIOS 
1. REPRESENTAR , GRAFICAMENTE, O SINAL v1(t) = 10.sen (20000πt + π/3) 
a) ῳ = 2π. f portanto f = ῳ / 2π f = 20000π / 2π 
f = 10000 Hz = 10kHz 
 
b) T = 1 / f = 1 / 10k = 0,1 ms T = 100μs 
 
c) para t =0, v1(0) = 10. sen π/3 v1 = 8,66v 
 
d) O sinal inicia o seu ciclo adiantado de π/3 rd 
t (μs) 
100 
10v 
8,66v 
 x 
x = π/3 rd 
-10v 
EXERCÍCIOS 
2. REPRESENTAR , GRAFICAMENTE, O SINAL v2(t) = 15.sen (8000πt - 30°) 
a) ῳ = 2π. f portanto f = ῳ / 2π f = 8000π / 2π 
f = 4000 Hz = 4kHz 
 
b) T = 1 / f = 1 / 4k = 0,25 ms T = 250μs 
 
c) para t =0, v2(0) = 15. sen (-30°) v2 = -7,5v 
 
d) O sinal inicia o seu ciclo atrasado de 30° ou π/6 rd 
t(μs) 
250 
 y 
15v 
-15v 
y = -30° 
 -7,5v 
v 
DEFASAGEM 
É MUITO COMUM CONHECER A DIFERENÇA DE FASE 
(DEFASAGEM) ENTRE DOIS SINAIS DE MESMA FREQUÊNCIA, 
TOMANDO-SE UM DOS SINAIS COMO REFERÊNCIA 
a) v1 (t) = 10000.sen(ῳt + π/2) volts v2 (t) = 5000.sen ῳt volts 
A DEFASAGEM DE v1 EM RELAÇÃO A v2 É DE ∆ϴ = π/2 rd OU A 
DEFASAGEM DE v2 EM RELAÇÃO A v1 É DE ∆ϴ = -π/2 rd 
b) v1 (t) = 10000.sen(ῳt + 90°) volts v2 (t) = 5000.sen (ῳt + 90°) volts 
DEFASAGEM 
A DEFASAGEM ENTRE OS SINAIS É ZERO, OU SEJA, OS SINAIS 
ESTÃO EM FASE 
DEFASAGEM 
c) v1 (t) = 10 sen(ῳt) volts v2 (t) = 5 sen (ῳt + 180°) v 
A DEFASAGEM É DE 180° 
EXERCÍCIO 
 t 
 
1. Dado o gráfico das tensões senoidais, pedem-se para ambos os sinais: 
A) O valor de pico e o valor de pico a pico 
B) Período, frequência e frequência angular; 
C) Defasagem entre as senóides; 
D) Expressão matemática 
EXERCÍCIOS DE REVISÃO 
 t 
 
1) DETERMINAR OS VALORES DE : 
A) seno 4290° e desenhar no círculo trigonométrico onde 
está localizado este ângulo. 
 
B) cos 3555° e sen 3555° e desenhar no círculo 
trigonométrio onde está localizado este ãngulo. 
 
C) sen -17π / 6 
 
D) cos 9π / 4 
EXERCÍCIOS DE REVISÃO 
 t 
 
3) Quais são os valores de m que satisfazem à igualdade 
cos(x)=2m-1 e sen(x)=2m-5? 
4) Quando o ângulo de elevação do sol é de 65 º, a sombra 
de um edifício mede 18 m. Calcule a altura do edifício. 
5) Um avião levanta vôo sob um ângulo de 30º. Depois de 
percorrer 8 km, qual altura o avião se encontra ? 
2) Se x está no segundo quadrante e cos(x)=-12/13, qual é 
o valor de sen(x)? 
EXERCÍCIOS DE REVISÃO 
 t 
 
6) Para as seguintes tensões senoidais, v1(t) e v2(t) 
pedem-se:a) freqüência angular (w), freqüência 
(f), período (T) b) angulo de fase inicial c) obter a soma 
das duas tensões. 
 v1(t) = 15.sen(2π10
3.t ) volts 
 v2(t) = 20.sen(2π10
3.t + π/2 ) volts ). 
a) Da expressão de v1 obtemos que w1=2π103 rd/s e como 
w=2πf, obtemos f1=1000Hz=1KHz e T1=1ms=0,001s. 
O valor de pico desta tensão é Vp=15V, angulo de fase inicial ϴ=0º 
 
b) Para v2 temos que w=2π103 rd/s e portanto f2=1000Hz=1KHz, 
e T2=1ms=0,001s 
o valor de pico desta tensão é 20V, angulo de fase inicial ϴ=90º=π/2. 
 
A defasagem entre os dois sinais é de 90º 
EXERCÍCIOS DE REVISÃO 
 t 
 
7) Representar as seguintes tensões senoidais: 
 v1( t ) = 155 sen (120πt – π/4) volts 
 v2 ( t ) = 155 sen (120πt) volts 
Tensão v1: Vp=155V , w1=120π rd/s , f1= 60Hz logo 
T1=1/f1 =1/60=16,66ms, 
angulo de fase inicial ϴ= -45º= -π/4 
t = 0 v1(0) = 155. sen (-π/4) = - 108,5 volts 
 
 
Tensão v2: Vp =155V , w2=120π rd/s , f2=60Hz logo 
T2=1/f2 =1/60=16,66ms , 
angulo de fase inicial ϴ=0º. 
 
EXERCÍCIOS DE REVISÃO 
 t