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UNIVERSIDADE BRAZ CUBAS Notas de Aula - CÁLCULO NUMÉRICO Prof. Nicolau Conteúdos Introdução........................................................................................................................................1 Erros e incertezas.............................................................................................................................2 Sistemas Lineares de Equações.......................................................................................................6 Classificação de sistemas lineares ..............................................................................................6 Solução do Sistema de Equações Lineares.................................................................................8 Método de Eliminação de Gauss............................................................................................8 Métodos iterativos de resolução de sistema de equações lineares............................................10 Método de Jacobi:................................................................................................................10 Método de Gauss-Seidel.......................................................................................................13 Critério de convergência para métodos iterativos.....................................................................13 Equações algébricas e transcendentes ...........................................................................................15 Avaliação de polinômios: .........................................................................................................16 Método de Horner................................................................................................................16 Método de Briot-Ruffini.......................................................................................................16 Limites das raízes reais.............................................................................................................17 Determinação do intervalo onde há raízes................................................................................17 Determinação de raízes pelo método da bissecção...................................................................20 Aplicação do método da bissecção para funções transcendentais............................................21 Determinação de raízes pelo método de Newton-Raphson.......................................................23 Interpretação geométrica...........................................................................................................23 Interpolação...................................................................................................................................25 Interpolação linear.....................................................................................................................25 Interpolação linear por relação de proporcionalidade..........................................................26 Interpolação quadrática.............................................................................................................27 Interpolação de Newton............................................................................................................29 Definição..............................................................................................................................29 Diferenças divididas.............................................................................................................29 Interpolação de Lagrange..........................................................................................................31 O método dos Mínimos Quadrados...............................................................................................32 Regressão Linear.......................................................................................................................32 Coeficiente de determinação R2...............................................................................................34 Ajuste da curva exponencial.....................................................................................................35 Ajuste da curva potencial..........................................................................................................36 Integração Numérica......................................................................................................................38 Método dos trapézios................................................................................................................38 Estimativa de incertezas no método dos trapézios....................................................................40 Método de Simpson...................................................................................................................42 Estimativa de incertezas no método de Simpson......................................................................44 UNIVERSIDADE BRAZ CUBAS Notas de Aula - CÁLCULO NUMÉRICO Prof. Nicolau Introdução Quando o cálculo é aplicado na solução de problemas reais (Fisica, engenharia, economia, etc...), em algum momento é necessário utilizar “números” para se obter a resposta desejada. Em aplicações de matemática, o resultado final desejado, de um modo geral, tem que ser quantitativo. Em algumas circunstâncias a substituição de variáveis por números ocorre somente no “final” do cálculo, em algumas circunstâncias isto ocorre em uma fase bem preliminar. Por cálculo numérico se compreende uma série de procedimentos que utilizam técnicas numéricas para a realização de cálculos. Tomemos a derivação como exemplo: se f(x) = x2, para a obtenção da derivada de f(x) no ponto x = 1 podemos utilizar o método analítico ou o método numérico. Método analítico: Aplicando a definição de derivada, df dx =lim h0 f xh− f x h =lim h0 xh2−x2 h =2 x=2 para x = 1. Método numérico: Escolhemos inicialmente um valor arbitrariamente pequeno de h (por exemplo, h = 0,01) e substituímos tanto o valor de x = 1 quanto h = 0,01 na definição de derivada. Teremos então df dx x=1 ≈10,01 2−12 0,01 =2,01 Verifica-se um diferença de de 0,01 entre os valores calculados analítica e numericamente. Isto se deve ao fato de termos utilizado um valor finito de h = 0,01 em vez de h 0. Exercício 1: Verificar que a diferença entre os valores calculados analítica e numericamente diminui se escolhermos valores menores de h. Mesmo na resolução analítica da derivada acima, no final, foi substituído o valor 1 na variável x. Assim, mesmo quando se utilizam analíticos, em algum momento é necessário substituir variáveis 1 por seus valores numéricos para a obtenção de soluções quantitativas de problemas. O cálculo numérico é a disciplina que estuda métodos numéricos para a solução de problemas matemáticos. Neste curso será apresentada uma introdução ao cálculo numérico, com especial atenção à propagação de erros associada ao método em questão. Serão abordados os tópicos: Erros e incertezas; Solução de sistemas lineares de equações; Solução de equações algébricas e transcendentes; Interpolação Método dos mínimos quadrados Integração numérica. Erros e incertezas. Em um dado processo de obtenção de uma solução quantitativa para um dado problema1, surge espontaneamente o conceito de Erro. Por erro é entendida a diferença entre o valor real de uma dada grandeza e aquela que é obtida. Logo, erro é um conceito filosófico: se não conhecemos o valor real de uma dada grandeza, como podemos saber a diferença entre este valor e o o obtido por algum método de medição ou de cálculo? Daí que modernamente se prefere utilizar o conceito de incerteza. De qualquer maneira, neste curso utilizaremos o termo erro para expressar indistintamente erro ou incerteza, como utilizado pela maioria da bibliografia de uso didático no momento. Erro de modelamento: a equação (expressão)matemática utilizada para expressar algum fenômeno ou processo tem aproximações, não o descreve precisamente. Exemplo: a queda livre de um objeto próximo ao solo é expressa pela conhecida equação de movimento S = S0 + v0t + gt2/2, onde S é a posição do corpo no instante t, S0 é a posição do corpo no instante t = 0, v0 é a velocidade de corpo no instante t0 e g é a aceleração da gravidade. Esta equação não leva em conta a resistência do ar, assim, ela é precisa ou para pequenas velocidades (ou para um ambiente em vácuo). Conforme a velocidade aumenta este equação passa a ser cada vez menos precisa. Erro de truncamento e arredondamento: representamos números reais utilizando o sistema decimal ou o binário (utilizado por computadores) de um modo geral. Ao executarmos algumas operações, o resultado pode necessitar de um número muito grande de dígitos (até mesmo um número infinito de dígitos, no caso de números irracionais) para ser representado com exatidão. O que ocorre na realidade é que limitamos o número de dígitos de modo que o erro introduzido seja desprezível para o propósito a 1 Este processo pode ser de medição, cálculo, estimativa, etc... 2 que se destina o cálculo efetuado. Este procedimento é chamado de truncamento. Por exemplo, o pode ser representado com exatidão pela expressão = P/D onde P e D são o perímetro e o diâmetro de um círculo. No entanto, p é um número irracional e para ser representado no sistema decimal seria necessário um número infinito de dígitos. Tomando somente os primeiros 9 dígitos pode-se escrever = 3,14159265. No entanto, para a maior parte das aplicações o valor de 3,14 é preciso o suficiente, ou seja, o valor de é truncado na “casa da centena” . Este procedimento introduz no cálculo uma incerteza na “casa do milhar”. Para amenizar o erro introduzido por truncamento, é procedimento normal arredondar o número. Por exemplo, o valor de truncado na 4a. casa depois da vírgula fica como 3,1415; no entanto, arredondamos para 3,1416 pois o dígito imediatamente após o 5 é um 9 e certamente 3,1416 é mais próximo do valor de que 3,1415. Há discussões quanto a como arredondar de maneira adequada um número, neste curso tomaremos um processo simplificado que simplesmente arredonda “para baixo” se o dígito subseqüente for 4 ou menor e “ para cima” se o dígito subseqüente for 5 ou maior. Erro absoluto: u=∣u−u0∣ onde u é o valor obtido por medição ou cálculo e u0 é o valor convencionado como correto para a variável u. Erro relativo: u=∣u−u0u0 ∣=uu0 Notar que u é um número puro que pode freqüentemente ser apresentado na forma de porcentagem. Ou, u = 0,1 é o mesmo que u = 10%. Propagação de erros: Se tomarmos 2 números com suas respectivas incertezas, u u e v v e efetuarmos operações com estes números, tais como soma, subtração, multiplicação, divisão, cálculo de logaritmos, seno e cosseno, etc... o erro irá se propagar, isto é, no resultado do cálculo haverá um erro que é conseqüência de u e v. Soma e subtração: w = u + v ou w = u - v w=u2 v2 Multiplicação e divisão: w = u v ou w = u/v w=u2 v2=ww Caso geral: w = w(u,vz) w= ∂w∂u u2 ∂w∂ v v 2⋯ ∂w∂ z z2 3 Pergunta: Com quantas “casas” devo deixar o resultado? Resposta: Com tantas casas quanto sejam necessárias para expressar o erro! Exemplo 1: Dados a = 62,1 0,2 e b = 42,50; calcular c = a+b. Neste caso a = 0,2 e b = 0,4, então c=ab=104,6 c=0,220,42=0,4472... Então c = 104,6 0,4. Exemplo 2: u = 2,125 e v = 42,32, como expressar w = u/v ? Quando o erro não é expresso de maneira explícita, estimamos como erro o valor de uma unidade da menor ordem de grandeza utilizada para expressar o número, isto é, u ~ 0,001 (porque u vai até a casa do milésimo) e v ~ 0,01 (porque v vai até a casa do centésimo). Daí, w = 2,125/42,32 = 0,05021266541 w= 0,0012,125 2 0,0142,32 2=0,000526581⋯ ; w = ww = 0,000026443 O resultado da operação deve então ser expresso como w = 0,05021 0,00003 Exercício 2: Calcular as expressões abaixo com os respectivos erros e expressar os resultado de maneira adequada. a -) a = 12,5 ; b = 16 ; calcular a + b ; a – b ; a · b ; a/b . b -) c = 321,1± 0,2; d= 123,42±0,08 ; calcular c + d e c -d ; c · d e c/d . c -) u = 115,13 ± 0,08; v = 2,43 ± 0,04 ; calcular u + v; u – v ; u / v e u v.· d -) m = 1,22×105 ; n = 4,6×104 ; calcular m + n ; m – n ; m n e m/n. e -) r = 0,012±0,007 ; calcular ln(r) e cos(r) (Observação: o argumento do coseno é em radianos.). f -) a = 22,5±0,5 ; calcular a ; a2 ; a 2/3 . g-) a = 3,21×10-6 ; b = 7,68×10-7 ; calcular a + b ; a – b ; a b ; a / b ; a2 + b2 ; ab . 4 h -) a = 2,27±0,06 ; b = 0,763±0,004 ; c = 156,1±0,9 ; calcular ab2c Exercício 3: Um retângulo tem por lados A = (45,0 ± 0,5) cm e B = (60,08 ± 0,06) cm. Calcular e expressar de maneira adequada o perímetro e a área do retângulo. Exercício 4: A distância de São Paulo a Curitiba é de 400 km com uma incerteza de aproximadamente 10 km. Se um veículo realiza uma viagem entre estas duas capitais em um intervalo de tempo de 4,0 horas com uma incerteza de 10 minutos, qual a velocidade escalar média do veículo e qual sua incerteza? Obs.: a expressão para velocidade escalar média é ve= D t , onde D é a distância percorrida e Dt é o intervalo de tempo em que D foi percorrida. Exercício 5: Um tambor de óleo de forma cilíndrica tem um diâmetro de 655±5 mm e uma altura de 1190±8 mm. Qual a capacidade volumétrica do tambor, com qual incerteza? 5 Sistemas Lineares de Equações Dado conjunto de equações lineares a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + + a2n xn = b2 ...................................................................................................................... an1 x1 + an2 x2 + an3 x3 + + annxn = bn ou, na forma matricial a11 a12 ⋯ a1 na21 a22 ⋯ a2 n⋯ ⋯ ⋯ ⋯an1 an2 ⋯ ann x1 x2 ⋯ xn =b1b2⋯bn dizemos que o sistema tem solução se e somente se existe o conjunto (x1, x2 xn tal que a equação acima seja verdadeira. Exemplo 3: Dado o sistema linear de equações x1 + 2 x2 - x3 = 2 2 x1 - x2 - x3 = 0 x1 - 2 x2 + 4 x3 = 3 pode ser verificado, por substituição, que (1, 1, 1)T é solução para o sistema. Classificação de sistemas lineares - Quando o sistema tem solução, dizemos que é compatível. Logo, o sistema dado no exemplo 3 acima, é compatível. - Quando o sistema não tem solução, dizemos que é incompatível. Exemplo 4: O sistema x1 + x2 = 1 x1 + x2 = 2 não tem solução, logo, é incompatível. -Quando o sistema tem uma única solução, dizemos que é determinado. 6 Exemplo 5: x1 + x2 = 2 x1 - x2 = 0 é determinado pois a solução é (1, 1)T. - Quando o sistema tem várias soluções possíveis, dizemos que é indeterminado. Exemplo 6: x1 + 2 x2 = 4 2 x1 + 4 x2 = 8 é indeterminado pois a solução é qualquer x2, tal que x1 = 4 - x2. Um sistema é compatível e determinado se e somente se det |a| 0. Exercício 6: Verificar se os sistemas de equações abaixo são compatíveis e determinados (possuem solução única): a-) x1 + 2 x2 - x3 = 2 b-) x1 + 2 x2 - x3 = 2 2 x1 - 2 x2 + x3 = 1 2 x1 - 2 x2 + x3 = 1 x1 -4 x2 + 2 x3 = -1 x1 + 4 x2 + 2 x3 = -1 Sistemas triangulares: (são resolvidos por substituições retroativas) Exemplo 7: x1 + 2 x2 - 3 x3 = 4 x2 + 5 x3 = 7 2 x3 = 2 Então L3 : 2 x3=2 x3=1 L2 : x25⋅1=7 x2=2 L3 : x12⋅2−3⋅1=4 x1=3 Pode-se mostrar que todo sistema compatível e determinado pode ser reduzido a um sistema triangular usando transformações elementares. Transformações Elementares: a-) Trocar a ordem de 2 linhas; b-) Multiplicar uma linha por uma constante não nula;c-) Adicionar 2 linhas. 7 Solução do Sistema de Equações Lineares Método de Eliminação de Gauss. Consiste em, usando transformações elementares, reduzir o sistema de equações a um sistema triangular. Técnica de pivotamento: Consiste em trocar a ordem das linhas de modo que na diagonal principal fiquem os maiores valores possível. Exemplo 8: Resolver pelo método de pivotamento de Gauss, o sistema linear de equações abaixo: 2 x1 + 3 x2 - x3 = 5 4 x1 + 4 x2 - 3 x3 = 3 2 x1 - 3 x2 + x3 = -1 Inicialmente troca-se de posição a 1ª e a 2ª linhas. 4 4 -3 | 3 2 3 -1 | 5 2 -3 1 | -1 A 2ª e a 3ª linhas são multiplicadas por 2 4 4 -3 | 3 4 6 -2 | 10 4 -6 2 | -2 Agora subtrai-se a 2ª linha da 1ª; o mesmo é feito com a 3ª linha. 4 4 -3 | 3 0 -2 -1 | -7 0 10 -5 | 5 Agora a 2ª e a 3ª linha são trocadas de posição para que o valor do “pivô” seja o maior possível. 4 4 -3 | 3 0 10 -5 | 5 0 -2 -1 | -7 8 A 3ª linha agora é multiplicada por -5 4 4 -3 | 3 0 10 -5 | 5 0 10 5 | 35 Agora a 3ª linha é subtraída da 2ª, e teremos o sistema triangular. 4 4 -3 | 3 0 10 -5 | 5 0 0 -10 | -30 Agora, por substituição retroativas resolvemos o sistema de equações. -10 x1 = -30 x1 = 3 10 x2 - 5 x3 = 5 10 x2 - 53 = 5 10 x2 = 20 x2 = 2 4 x1 + 4 x2 - 3 x3 = 3 4 x1 + 42 - 33 = 3 x1 = 1 Exercício 7: Resolver, pelo método de pivotamento de Gauss, os sistemas lineares de equações abaixo: a-) 2,5 x1 -3 x2 + 4,3 x3 = 2,90 2 x1 + 6,1x2 + 2,7 x3 = 27,6 4 x1 - 2 x2 + 1,6 x3 = 5,40 b-) 31 12 2511 22 814 5 21x1x2x3=17715539 c-) -3,21 x1 + 12,1 x2 + 4,01 x3 = -31,24 4,15 x1 + 4,35 x2 + 5,65 x3 = 59,77 2,01 x1 - 5,22 x2 + 10,91 x3 = 157,86 d-) 0,04 0,12 −1,250,89 0,02 0,86−0,21 0,45 −0,11x1x2x3=0,0544−0,01600,0137 e-) 12,5 x1 + 2,15 x3 = 29,0 -8,9 x1 + 4,25 x2 = -8,1 1,25 x2 -5 x3 = -3,4 f-) 2 x1 + x2 - 3 x3 = -1 x1 - x2 + 3 x3 = 7 3 x1 + 2 x2 - x3 = 6 g-) x1 + x2 + x3 - 4 x4 = -1 x1 + 2 x2 - 5 x3 + x4 = -1 2 x1 - 8 x2 + x3 - x4 = -6 4 x1 + x2 + x3 + x4 = 7 h-) 0,04 0,12 −1,250,89 0,02 0,86−0,21 0,45 −0,11x1x2x3=0,0544−0,01600,0137 9 Métodos iterativos de resolução de sistema de equações lineares. Método de Jacobi: Seja o sistema linear a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + + a2n xn = b2 ...................................................................................................................... an1 x1 + an2 x2 + an3 x3 + + annxn = bn De cada linha é separado o termo da diagonal, ou seja, x1= b1−a12 x2−a13 x3⋯a1n xn a11 x2= b2−a21 x1−a23 x3⋯a2 n xn a22 xi= bi−∑ i≠ j a i j x j a i i – Inicialmente “chutam-se” valores iniciais x1 0 , x2 0 , x3 0,⋯, xn 0 T , onde o superescrito '0' indica a primeira aproximação; – os valores de xi0 são substituídos no lado direito da Eq. (1), gerando valores xi1 ; – os valores de xi1 são substituídos no lado direito da Eq. (1), gerando valores xi2 ; e assim sucessivamente até que os valores de xi convirja para os valores procurados, com erros previamente estabelecidos. Obs.: Convenciona-se aqui erro inferido (x) como o módulo da diferença entre um valor calculado de x e o seu valor calculado na iteração anterior. Assim, x3 = |x3 - x2| . Exemplo 9: Resolver o sistema abaixo utilizando o método iterativo de Jacobi, com um erro relativo menor que 0,5%: 5 x1 - x2 = 3 x1 + x2 = 3 Isolando os termos da diagonal, tem-se x1 = (3 + x2) / 5 x2 = 3 - x1 10 Vamos chutar valores iniciais (x1, x2)T = (0, 0)T , e iniciar substituições sucessivas nas equações acima, conforme mostrado na tabela abaixo, n x1 = (3 + x2) / 5 x2 = 3 - x1 x1 x2 x1 x2 0 0,0000 0 - - - - 1 0,6000 0,0000 0,6000 3,0000 100 100,00 2 1,2000 3,0000 0,6000 0,6000 50 25,00 3 1,0800 2,4000 0,1200 0,6000 11,11 33,33 4 0,9600 1,8000 0,1200 0,1200 12,50 6,25 5 0,9840 1,9200 0,0240 0,1200 2,44 5,88 6 1,0080 2,0400 0,0240 0,0240 2,38 1,19 7 1,0032 2,0140 0,0048 0,0240 0,48 1,20 8 0,9984 1,9968 0,0048 0,0048 0,48 0,24 onde n indica a ordem da iteração (0 é o 'chute' inicial), x indica o erro absoluto e x indica o erro relativo (em porcentagem na tabela). Exemplo 10: Resolver o sistema de equações lineares abaixo, pelo método de Jacobi, com um erro absoluto menor que 0,01. 3 x1 + x2 - x3 = 10 x1 + 2 x2 + x3 = 8 x1 - x2 + 4 x3 = 5 Acompanhe o desenvolvimento na tabela. n x1 (10-x2 +x3)/ 3 x2 (8-x1-x3)/2 x3 (5-x1+x2)/4 x1 x2 x 1 0,0000 0,0000 0,0000 - - - 2 3,3333 4,0000 1,2500 3,3333 4,0000 1,2500 3 2,4167 1,7083 1,4167 0,9167 2,2917 0,1667 4 3,2361 2,0833 1,0729 0,82 0,3750 0,3438 5 2,9965 1,8455 0,9618 0,2396 0,2378 0,1111 6 3,0388 2,0208 0,9622 0,0422 0,1753 0,0004 7 2,9805 1,9995 0,9955 0,0583 0,0213 0,0333 8 2,9987 2,0120 1,0048 0,0182 0,0125 0,0092 9 2,9976 1,9983 1,0033 0,0011 0,0137 0,0014 10 3,0017 1,9995 1 0,0041 0,0013 0,0032 11 Exercício 8: Determinar a solução dos sistemas lineares abaixo, com um erro menor que 0,2%, utilizando o método de Jacobi. a-) x1 + x2 + x3 - 4 x4 = -1 x1 + 2 x2 - 5 x3 + x4 = -1 2 x1 - 8 x2 + x3 - x4 = -6 4 x1 + x2 + x3 + x4 = 7 b-) x1 - 0,25x2 - 0,25x3 = 0 -0,25x1 + x2 - 0,25x4 = 0 -0,25x1 + x3 -0,25x4 = 0,25 -0,25x2 + x4 =0,25 c-) 0,09x1 + 3,00x2 - 0,15x3 = 9,00 4,00x1 + 0,24x2 - 0,08x3 = 8,00 0,04x1 - 0,08x2 + 4,00x3 = 20,00 d-) 0,04 0,12 −1,250,89 0,02 0,86−0,21 0,45 −0,11x1x2x3=0,0544−0,01600,0137 e-) 0,2 x1 – 5,1x2 + 0,2 x3 = 12,1 8,2 x1 + 0,6 x2 – 1,3 x3 = 1,2 0,3 x1 – 0,2 x2 – 7,2 x3 = - 6,5 f-) 3 x1 – 5 x2 + 12 x3 = 11,25 5 x1 + x2 – 2 x3 = 2,32 - 2 x1 + 7 x2 – x3 = - 3,45 g-) x1 + 2 x2 + 4 x3 = 18 - x1 + 3 x2 + x3 = 14,5 5 x1 – 2x2 + x3 = 1,5 12 Método de Gauss-Seidel O método de Gauss-Seidel é semelhante ao de Jacobi, a menos que ao substituirmos iterativamente valores de x, utilizamos sempre o valor mais atual. Por exemplo, vamos tomar um sistema de 3 equações e três incógnitas. – Isolamos as equaçoes de x1, x2 e x3 ; – Chutamos valores para x1 0 , x2 0 , x3 0 e com eles calcularmos x1 1 ; – para calcularmos x2 1 usamos x1 1 e x3 0 , e não x1 0 e x3 0 ; – para calcularmos x3 1 usamos x1 1 e x2 1 , e assim sucessivamente. Exemplo 11: Resolver o sistema linear de equações do Exemplo 10 usando agora o método de Gauss- Seidel. Acompanhe o desenvolvimento na tabela n x1 (10-x2 +x3)/ 3 x2 (8-x1-x3)/2 x3 (5-x1+x2)/4 x1 x2 x 1 0,0000 0,0000 0,0000 2 3,3333 2,3333 1,0000 3,3333 2,3333 1,0000 3 2,8889 2,0556 1,0417 0,4444 0,2778 0,0417 4 2,9954 1,9815 0,9965 0,1065 0,0741 0,0451 5 3,0050 1,9992 0,9986 0,0096 0,0177 0,0020 6 2,9998 2,0008 1,0003 0,0052 0,0016 0,0017 Observe que enquanto que pelo método de Jacobi foram necessárias 10 iterações para convergir dentro do erro especificado, pelo método de Gauss-Seidel foram necessárias apenas 6. Exercício 9: Resolver os sistemas de equações lineares do exercício 8 usando o método de Gauss- Seidel, com erros relativos menores que 0,2%. Critério de convergência para métodos iterativos O sistema tem que ser diagonal dominante, ou seja, ∣aii∣∑ j≠i ∣aij∣ . Exercício 10: Dos sistemas de equações lineares abaixo somente dois são determinados e, destes, somente um pode ser resolvido utilizando um método iterativo (Jacobi ou Gauss-Seidel). Identifique- os. a-) x1 + 2 x2 – x3 = 1 b-) 3 x1 + x2 + 2 x3 = 12 x1 – x2 + 2 x3 = 0 x1 + 3 x2 – 2 x3 = 5 13 2 x1 + x2 + x3 = 5 2 x1 - 2 x2 + 4 x3 = - 2 c-) x1 + x2 + x3 = 5 d-) x1 + 2 x2 + 4 x3 = 18 x1 – x2 + x3 = 0 - x1 + 3 x2 + x3 = 14,5 x1 + x2 – x3 = 3 5 x1 – 2x2 + x3 = 1,5 Exercício 11: Do exercício acima, resolva o único sistema que pode ser resolvido por métodos iterativos pelo método de Gauss-Seidel, com um erro menor que 1%. Exercício 12: Do exercício 10, resolva o sistema determinado quenão pode ser resolvido por métodos iterativos, pelo método de Gauss (Escalonamento). Exercício 13: Em uma escavação de ruínas antigas foi encontrado um documento que dizia que no local havia um templo. De acordo com este documento, o templo tinha razões constantes entre a frente e altura e entre a altura e o comprimento do prédio, da seguinte maneira: a frente era 1,5 vezes a altura do prédio e o comprimento era 1,5 vezes a frente. Outro dado importante encontrado no documento era que o perímetro do templo era de 100 m. Baseado nestas informações, monte um sistema de equações lineares e resolva-a, determinando qual a altura, a frente e o comprimento do templo. Exercício 14: Resolva o sistema de equações abaixo usando o método iterativo de Gauss-Seidel. 6 x1 - x2 + x3 = 22 x1 + 2 x2 - 5x3 = 12 2 x1 - 8 x2 + x3 = -10 Exercício 15: Com relação aos sistemas de equações lineares abaixo, responda as questões a seguir. a-) b-) c-) d-) e-) f-) i-) Verificar quais dos sistemas acima possuem solução única. ii-) Dos sistemas acima, apenas 2 podem ser resolvidos usando métodos iterativos. Resolva o primeiro pelo método de Jacobi e o segundo pelo método de Gauss-Seidel. iii-) Dos sistemas acima, há 2 que, apesar de terem solução única, não podem ser resolvidos por método iterativos. Resolva-os usando o método de pivotamento de Gauss. 14 Equações algébricas e transcendentes Há um sem número de aplicações em que é necessário determinar um certo número tal que f () = 0. Este número é chamado de raiz da função f(x). Para equações do 1°, 2° e algumas do 3° e 4° graus, as raízes podem ser obtidas por métodos analíticos, mas para equações de maior grau e equações transcendentais, a determinação das raízes é feita numericamente. Para isto é necessário: a-) Isolar a raiz; b-) Refinar o valor aproximado. Teorema: Se uma função f(x) assume valores de sinal oposto nos pontos extremos do intervalo [a, b], ou seja, se f(a)f(b) <0, então o intervalo conterá, no mínimo, uma raiz da equação f(x) = 0. y = f(x) x A raiz será definida e única se a derivada f '(x) existir e preservar o sinal dentro do intervalo [a, b]. Equações algébricas Seja uma equação algébrica de grau n (n 1) P x =an x nan−1 x n−1an−2 x n−2⋯a0=0 onde os coeficientes ai são reais e an 0. Teorema: (Teorema fundamental da álgebra). Uma equação algébrica de grau n tem exatamente n raízes, reais ou complexas, desde que cada raiz seja contada de acordo com sua multiplicidade. Definição: Uma raiz tem multiplicidade m se P = dP dx = d 2 P dx2 =⋯= d m−1 P dxm−1 =0 d m P dxm 15 Exemplo 12: P(x) = (x -2)3 (x + 1) = x4 - 5 x3 + 6 x2 + 4 x -8 P(2) = 0 P'(x) = 4 x3 - 15 x2 + 12 x +4 P'(2) = 0 P''(x) = 12 x2 - 30 x + 12 P''(2) = 0 P'''(x) = 24 x - 30 P'''(2) = 18 Então as raízes são 1 = 2 (multiplicidade 3) e 2 = 1 . Exemplo 13: P(x) = x3 -1. Uma raiz é óbvia: 1 = 1. De acordo com o teorema fundamental da álgebra deve haver mais duas raízes! Ou seja, P(x) = (x - a1)(x - a2)(x - a3) = x3 -1 então P x x−1 =x−a2 x−a3=x 2x1 Usando Bascara, {2=−12 i 323=−12 −i 32 Teorema : Se os coeficientes de uma equação algébrica são reais, então as raízes complexas desta equação são complexos conjugados em pares, isto é, se 1 = a + i b, então 2 = a – i b. Avaliação de polinômios: Supor o polinômio: P x =a4 x 4a3 x 3a2 x 2a1 xa0 Método de Horner. P x0=a4 x0a3 x0a2 x0a1 x0a0 Método de Briot-Ruffini. a4 a3 a2 a1 a0 x0 P4 x0 P3 x0 P2 x0 P1 x0 P4 = a4 P3 = a3 + P4 x0 P2 = a2 + P3 x0 P1 = a1 + P2 x0 P0 = a0 + P1 x0 P x0=P0 16 Limites das raízes reais Considerar P(x) = anxn + an-1 xn-1 + a1 x + a0 com an 0 e ai ∈ ℝ. Teorema (de Lagrange) : Sejam an > 0, a0 0 e k (0 k n-1), têm-se que L=1n−k Ban , onde B é o máximo do módulo dos coeficientes negativos; k é o maior índice dos coeficientes negativos do polinômio. Exemplo 14: P(x) = 3 x5 + 2 x4 - 2 x3 - 8 x2 + 2 x + 1 an=3 n=5 B=8 k=3 } L=15−3 83=2,63 Logo, não há raiz real para x > 2,63. Exercício 16: Aplicar o teorema de Lagrange para as funções algébricas abaixo. a-) P(x) = x4 - 5 x3 - 7 x2 + 29 x + 30 b-) P(x) = x3 - x2 - 9 x + 9 c-) P(x) = 3 x5 -25 x3 + 9 x +9 d-) P(x) = 3 x4 -5 x3 - 12x + 8 Se não houverem coeficientes negativos, não haverão raízes reais positivas. Determinação do intervalo onde há raízes Para se determinar o intervalo que há raízes de uma função algébrica utiliza-se o Teorema de Lagrange em 4 situações distintas: i-) Para P(x) ==> 1 = L ii-) Para P'(x) = xnP(1/x) ==> 2 = 1/L iii-) Para P''(x) = P(-x) ==> = -L iv-) Para P'''(x) = xnP(-1/x) ==> = -1/L 17 Assim, se houverem raízes reais, elas estarão no intervalo dado por 2 < x < 1 para as raízes positivas < x < para as raízes negativas Exemplo 15: Determinar, usando o Teorema de Lagrange, os intervalos onde há raízes da função algébrica P(x) = 9 x4 - 117 x2 +324. 1-) P(x) = 9 x4 - 117 x2 +324 an=9 n=4 B=117 k=2 } L=14−2 1179 =4,6 ==> 1 = L = 4,6 2-) xn P(1/x) = x4 (9 /x4 - 117 /x2 +324) = 324 x2 - 117 x2 +9 an=324 n=4 B=117 k=2 } L=14−2 117324=1,6 ==> 2 = 1/L = 0,625 3-) P(-x) = 9 x4 - 117 x2 +324 an=9 n=4 B=117 k=2 } L=14−2 1179 =4,6 ==> 3 = -L = -4,6 4-) xn P(-1/x) = x4 (9 /x4 - 117 /x2 +324) = 324 x2 - 117 x2 +9 an=324 n=4 B=117 k=2 } L=14−2 117324=1,6 ==> 4 = -1/L = - 0,625 Então, se houverem raízes para o polinômio acima, elas estarão no intervalo 2 < x < 1 para as raízes positivas < x < para as raízes negativas, ou -4,6 < x < -0,625 e 0,625 < x < 4,6 18 Exercício 17: Determinar, usando o Teorema de Lagrange, os intervalos onde há raízes das função algébricas: a-) x3 - 5 x2 + 9 x - 45 b-) 4x4 - 5 x3 - 7 x2 + 29 x + 30 c-) 3x5 - 4 x3 + 27 x2 + 108 d-) 2x6 - 25 x4 + 32 x2 +451 19 Determinação de raízes pelo método da bissecção O Método da bissecção consiste em: 1. Determinar o intervalo onde há raízes; 2. Para cada intervalo [a, b], verificar se f(a)f(b) <0; 3. Caso afirmativo, supor que f(a) < 0 (logicamente, então, f(b) >0); calcula-se c = (a + b)/2 e verifique se f(c) é maior ou menor que zero; 4. Se f(c) <0, então a raiz estará no intervalo [c, b]; se f(c) > 0, então a raiz estará no intervalo [a, c]; 5. Supor que a raiz esteja no intervalo [a, c]; divide-se o intervalo em 2 novamente com e = (a + c)/2 e testa-se f(e) e verifique se é maior ou menor que zero, a raiz estará sempre entre um valor positivo e um negativo da função. 6. Repete-se sucessivamente até que a diferença entre dois valores de x seja menor que o valor pré- estabelecido de erro. Figura 1: Diagrama explicativo do método da bissecção. Exemplo 16: Determinar pelo método da bissecção a raiz positiva da função f(x) = x2 -3. Usando o teorema de Lagrange, determinar o intervalo em que há raízes positivas, isto é P(x) = x2 -3 e an=1 n=2 B=3 k=0 } L=1 2 31=2,7 , 1 = 2,7 x2 P(1/x) = -3 x2 + 1, então, P'(x) = 3 x2 -1 e an=3 n=2 B=1 k=0 } L=1 2 13=1,6 , 2 = 1/L = 0,6 20 a b c d e f(x) Se houverem raízes positivas, elas estarão no intervalo [0,6; 2,7]. Testa-se a função nos pontos extremos e no valor médio (0,6 + 2,7)/2 = 1,65, ou seja f(0,6) = -2,64 f(1,65) = -0,2775 f(2,7) = 4,29 a raiz estará então no intervalo [1,65; 2,7] pois as funções nestes pontos tem sinais opostos, ou seja f (1,65)f(2,7) < 0. Testa-se então o valor médio entre os extremos (1,65 + 2,7)/2 = 2,18 f(1,65) = -0,2775 f(2,18) = 1,752 f(2,7) = 4,29 e a raiz estará no intervalo [1,65; 2,18], pois f(1,65)f(2,18) <0, e assim sucessivamente. Veja a tabela abaixo f(xmenor)f(xmédio) f(xmaior) x f(0,6) = -2,64 f(1,65) = -0,2775 f(2,7) = 4,29 f(1,65) = -0,2775 f(2,18) = 1,75 f(2,7) = 4,29 0,53 f(1,65) = -0,2775 f(1,92) = 0,686 f(2,18) = 1,75 0,26 f(1,65) = -0,2775 f(1,785) = 0,186 f(1,92) = 0,686 0,135 f(1,65) = -0,2775 f(1,718) = -0,0485 f(1,785) = 0,186 0,067 f(1,718) = -0,0485 f(1,752) = 0,069 f(1,785) = 0,186 0,034 f(1,718) = -0,0485 f(1,735) = 0,010 f(1,752) = 0,069 0,017 f(1,718) = -0,0485 f(1,727) = -0,0175 f(1,735) = 0,010 0,008 f(1,727) = -0,0175 f(1,731) = -0,0036 f(1,735) = 0,010 0,004 f(1,731) = -0,0036 f(1,733) = 0,0033 f(1,735) = 0,010 0,002 f(1,731) = -0,0036 f(1,732) = -0,00018 f(1,733) = 0,0033 0,001 A raiz de f(x) = x2 -3 é x = 1,732 0,001 . Exercício 18: Usando o método da bissecção, calcular 58 com um erro menor que 1%. Aplicação do método da bissecção para funções transcendentais. Quando a função que se pretende determinar a raiz não é uma função algébrica (chamadas de equações transcedentais), não é possível aplicar o teorema de Lagrange para a determinação do intervalo onde há raízes, então, é necessário 'explorar' a região (ou as regiões) onde estão as raízes. 21 Exemplo 17: Determinar a raíz da função f(x) = sen(x) usando o método da bissecção, com um erro menor que 0,5%. A função seno tem várias raízes, pois sen(x) = 0 sempre que x = n, com n inteiro. A título de exemplo, tomemos o intervalo [3; 4] e observe a tabela a seguir. xmenor sen(xmenor) xmedio sen(xmedio) xmaior sen(xmaior) x x (%) 3,0000 0,1411 3,5000 -0,3508 4,0000 -0,7568 3,0000 0,1411 3,2500 -0,1082 3,5000 -0,3508 0,2500 25,00 3,0000 0,1411 3,1250 0,0166 3,2500 -0,1082 0,1250 12,50 3,1250 0,0166 3,1875 -0,0459 3,2500 -0,1082 0,0625 6,25 3,1250 0,0166 3,1563 -0,0147 3,1875 -0,0459 0,0313 3,13 3,1250 0,0166 3,1406 0,0010 3,1563 -0,0147 0,0156 1,56 3,1406 0,0010 3,1484 -0,0068 3,1563 -0,0147 0,0078 0,78 3,1406 0,0010 3,1445 -0,0029 3,1484 -0,0068 0,0039 0,39 E então x = 3,1450,004 . No entanto, se iniciarmos com o intervalo [5; 7], teremos xmenor sen(xmenor) xmedio sen(xmedio) xmaior sen(xmaior) x x (%) 5,0000 -0,9589 6,0000 -0,2794 7,0000 0,6570 6,0000 -0,2794 6,5000 0,2151 7,0000 0,6570 0,5000 50,00 6,0000 -0,2794 6,2500 -0,0332 6,5000 0,2151 0,2500 25,00 6,2500 -0,0332 6,3750 0,0917 6,5000 0,2151 0,1250 12,50 6,2500 -0,0332 6,3125 0,0293 6,3750 0,0917 0,0625 6,25 6,2500 -0,0332 6,2813 -0,0019 6,3125 0,0293 0,0313 3,13 6,2813 -0,0019 6,2969 0,0137 6,3125 0,0293 0,0156 1,56 6,2813 -0,0019 6,2891 0,0059 6,2969 0,0137 0,0078 0,78 6,2813 -0,0019 6,2852 0,0020 6,2891 0,0059 0,0039 0,39 e x = 6,2850,004 . Assim, é possível que pelo método da bissecção, obtenhamos somente uma raiz local. Exercício 19 : Determinar, pelo método da bissecção, as raízes das funçôes abaixo: a-) f(x) = x3 - 6 x2 - x + 30 22 b-) f(x) = x + ln(x) c-) f(x) = 3 x - cos(x) d-) x + 2 cos(x) e-) 3 x2 - ex f-) e-x -x Determinação de raízes pelo método de Newton-Raphson2 É um método iterativo onde a relação de recorrência é dada por , xn1=xn− f xn f ' xn onde f '(x) indica a derivada de f(x) com relação a x. Interpretação geométrica. x n x n+1 f(x n ) x n+2 Na figura acima, a tangente de f(x) no ponto x = xn é dada por f(x)/(xn - xn+1). A tangente da função f(x) no ponto xn é a própria derivada f'(xn), daí, isolando xn+1, xn1=xn− f xn f ' xn da tangente de f(x) no ponto x=xn+1 obtém-se xn+2, e assim sucessivamente, se aproximando do valor onde f(x) = 0. Observar que quando f(x) = 0, xn+1 = xn . Exemplo 18: Determinar, pelo método de Newton-Raphson, a raiz da função f(x) = ln(x)+x, com um erro menor que 0,5%. Obs.: Iniciar com x0 = 1. f(x) = ln(x) + x e f'(x) = 1/x + 1, então, neste caso, xn1=xn− ln x x 1 x 1 . n xn x x (%) 2 Este método é às vezes chamado somente de Método de Newton. 23 1 1,0000 2 0,5000 0,5000 100,000 3 0,5644 0,0644 11,408 4 0,5671 0,0028 0,486 e x = 0,5670,003 . Exercício 20: Determinar pelo menos uma raiz das funções abaixo, usando o método de Newton- Raphson, com um erro menor que 0,1%. a-) f(x) = x3 - 6 x2 - x + 30 b-) f(x) = 3 x - cos(x) c-) x + 2 cos(x) d-) 3 x2 - ex e-) e-x - x Exercício 21: Obter, usando o método de Newton-Raphson, a relação de recorrência para solução de x= nA . Exercício 22: Usando o resultado da questão anterior, calcule 213 com um erro menor que 0,1%. Exercício 23: Usando o resultado da questão 21, calcule 513 com um erro menor que 0,1%. Exercício 24: Usando o método de Newton-Raphson, calcule 110,25 com um erro menor que 0,2%. 24 Interpolação Quando valores discretos de uma determinada função y(x) são conhecidos, valores intermediários podem ser obtidos utilizando técnicas de interpolação. Exemplo 19: x y(x) 0 0,000 30 0,500 45 0,707 60 0,866 90 1,000 Quanto vale y(35)? Interpolação linear São traçadas retas que unem os pontos dois a dois, para os dados tabelados acima. A equação de uma reta é dada por y = a + b x, então, a + b x1 = y1 a + b x2 = y2 Resolvendo este sistema de equações lineares, obtém-se os valores de a e b e a equação da reta que fornecerá a estimativa de y(x) no intervalo [x1; x2]. Por exemplo, tomando o problema proposto no exemplo acima, a + b 30 = 0,500 a + b 45 = 0,707 Resolvendo este sistema tem-se y(x) = 0,086 + 0,0138 x e y(35) = 0,569. 25 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 Exercício 25: Ainda com relação ao 1º exemplo, calcular y(50). Exercício 26: Dada a função tabelada abaixo, calcular y(1,5); y(3,5) e y(6), usando interpolação linear. x y(x) 1 0 2 0,693 3 1,099 4 1,386 5 1,609 7 1,946 Interpolação linear por relação de proporcionalidade Dados os valores y(x1) = y1 e y(x2) = y2, por semelhança de triângulos, tem-se que x−x1 x2−x1 = y− y1 y2− y1 Exemplo 20: Sabendo-se que y(2) = 2,00 e y(3) = 3,15 , estimar, usando interpolação linear, y(2,7). Substituindo na relação acima, 2,7−2 3−2 = y 2,7−2 3,15−2,00 e y(2,7) 2,81. Exercício 27: Estimar, usando interpolação linear, o valor aproximado de cos(55o). Dica: Usar os valores conhecidos de cos(45o) e cos(60o). 26 y1 x1 x2 y2 x y Exercício 28: Dada a função tabelada abaixo, usar a interpolação linear para estimar y(2,35); y(4,18) e y(5,72). x y(x) 1 8,19 3 5,49 5 3,68 7 2,47 Interpolação quadrática São traçadas parábolas que unem os pontos conhecidos 3 a 3. Substituindo os valores de x e y na equação de uma parábola, tem-se a + b x1 + c x12= y1 a + b x2 + c x22= y2 a + b x3 + c x32= y3 resolvendo o sistema de equações acima, determinam-se os valores de a, b e c . Exemplo 21: Dada a tabela abaixo, calcular, usando interpolação quadrática, y(35). x y(x) 0 0,000 30 0,500 45 0,707 27 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1ª parábola 2ª parábola ∣1 0 02 01 30 302 0,51 45 452 0,707∣ ∣1 0 0 00 30 900 0,50 45 2025 0,707∣ ∣1 0 0 00 45 2025 0,7070 30 900 0,5 ∣ ∣1 0 0 00 45 2025 0,7070 45 1350 0,750∣ ∣1 0 0 00 45 2025 0,7070 0 675 −0,0430∣ Da 3ª linha, c = -6,370410-5. Da 2ª linha, b = 1,85780-2 . Da 1ª linha a = 0. Então, no intervalo 0 x 45, a função pode ser representada aproximadamente por y(x) = 1,857810-2 x - 6,370410-5 x2. Logo, y(35) 0,572. Exercício 29: Dados os valores ln(1) = 0; ln(2) = 0,693 e ln(3) = 1,099, estimar, usando interpolação quadrática, ln(1,5) e ln(2,8). Exercício 30: Dada a tabela abaixo, estimar, usando interpolação quadrática, os valores de y(0,5), y (1,75), y(2,5) e y(4,0) x y(x) 0,25 0,1947 0,60 0,3293 1,10 0,3662 1,80 0,2975 2,40 0,2177 3,10 0,1397 3,90 0,0789 4,60 0,0462 Exercício 31: Estimar, usando interpolação quadrática, o valor aproximado de cos(55o). Dica: Usar os valores conhecidos de cos(30), cos(45o) e cos(60o). Compare com o resultado do exercício27. Qual dos dois valores se aproxima mais do valor exato? 28 Interpolação de Newton. Definição Dado um conjunto de pares ordenados xi,yi que correspondentes a uma função y(x), o método de interpolação de Newton consiste em adotar um polinômio interpolador como P(x) = a0 + a1 (x – x1) + a2 (x – x1) (x – x2) + a3 ( x – x1)(x – x2)(x – x3) + a4 (x – x1)(x – x2)(x – x3)(x – x4) + ··· e, por substituições sucessivas, determinar os valores dos coeficientes ai. Exemplo 22: Usando o método de Newton, interpolar um polinômio do 2o grau aos dados da tabela: x y 1,5 2,6 2,3 5,2 3,6 7,1 O polinômio interpolador de 2o grau será então P(x) = a0 + a1 (x – 1,5) + a2 (x – 1,5)(x – 2,3). Substituindo x = 1,5, temos P(1,5) = 2,6 , visto que o polinômio interpolador deve reproduzir os valores de y da tabela. Ao mesmo tempo, P(1,5) = a0, pois os outros termos do polinômio se anulam. Então, a0 = 2,6. Substituindo agora x = 2,3: P(2,3) = 5,2 = 2,6 + a1 (2,3 – 1,5) e isolando a1, temos a1 = 3,25. O mesmo com x = 3,6: P(3,6) = 7,1 = 2,6 + 3,25 (3,6 – 1,5) + a2 (3,6 – 1,5)(3,6 – 2,3) e a2 = -0,85165. O polinômio interpolador será então P(x) = 2,6 + 3,25 (x – 1,5) – 0,85165 (x – 1,5)(x – 2,3) . Exercício 32: Usando o método de Newton, interpolar polinômios que “passem” por todos os pontos dos dados tabelados abaixo. x y x y x y x y 3,4 12,5 1 15 1,2 1,5 1 46 4,5 21 2 22 4,2 8,7 3 12 3 42 6,7 22,5 5 25 11,2 66,0 7 11 Diferenças divididas Dada uma função tabelada (xi, yi), define-se como diferença dividida de primeira ordem yi= yi1− yi xi1−xi , diferença dividida de segunda ordem yi 2= yi1− yi xi2−xi , diferença dividida de terceira ordem yi 3= yi1 2 − yi 2 xi3−xi , de quarta ordem yi 4= yi1 3 − yi 3 xi4−xi , e assim por diante. 29 Dada uma função tabelada, é possível calcular a tabela de diferenças divididas, como abaixo: x y y y2 y3 y4 x1 y1 y1 y12 y13 y14 x2 y2 y2 y22 y23 y24 x3 y3 y3 y32 y33 x4 y4 y4 y42 x5 y5 y5 Pode-se demonstrar que os coeficiente do polinômio interpolador são an= y1 n . Exemplo 23: Determinar o polinômio interpolador para para a função tabelada abaixo. x y y y2 y3 y4 1,3 1 5,8333 -1,1905 0,2293 -0,0108 2,5 8 2,5000 -0,1128 0,1655 4,1 12 2,1053 0,6650 6 16 4,1667 7,2 21 Então o polinômio interpolador será P(x) = 1 + 5,8333 (x – 1,3) – 1,1905 (x – 1,3)(x – 2,5) + + 0,2293 (x – 1,3)(x – 2,5)(x – 4,1) – 0,0108 (x – 1,3)(x – 2,5)(x – 4,1)(x – 6) Exercício 33: Determinar os polinômios interpoladores do exercício 32 usando o método das diferenças divididas. Exercício 34: Resolver, usando diferenças divididas os problemas 29 e 30. Exercício 35: Determinar, usando diferenças divididas, o polinômio de 4a ordem para interpolar as funções sen(x) e cos(x). Dica, usar os valores conhecidos das funções seno e coseno para os ângulos 0, 30o, 45o, 60o e 90o. 30 Interpolação de Lagrange Se existem n pares (x, y) tabelados, é possível ajustar somente um polinômio de grau (n -1) tal que, para todo xi, existe P(xi) = yi. Podemos então escrever P x =∑ m=0 n−1 am x m≈ y x . Os coeficientes am podem ser determinados montando um sistema de equações lineares com n equações e n incógnitas. Pode-se, entretanto, mostrar que o polinômio acima pode ser escrito como P x = x−x1 x−x2 x−x3⋯ x−xn−1 x0−x1x0−x2 x0−x3⋯x0−xn−1 y x0 x−x0x−x2x−x3⋯ x−xn−1 x1−x0x1−x2x1−x3⋯ x1−xn−1 y x1 ⋯ x−x0 x−x1 x−x2⋯ x−xn−2 xn−1−x1xn−1−x2 xn−1−x3⋯xn−1−xn−2 y xn−1 P x =∑ i=0 n−1 ∏ j≠i n−1 x−x j xi−x j y xi Exemplo 24: Determinar o polinômio que ajusta aos pontos dados na tabela abaixo, usando a interpolação de Lagrange. Usando este polinômio, determinar y(1,25); y(2,5) e y(3,2). x y(x) 1 10 2 5,15 3 2,31 4 0,3 P x = x−2 1−2 x−3 1−3 x−4 1−4 10 x−1 2−1 x−3 2−3 x−4 2−4 5,15 x−1 3−1 x−2 3−2 x−4 3−4 2,31x−1 4−1 x−2 4−2 x−3 4−3 0,3 P x =−59 300 x3 437 200 x2−6017 600 x 451 25 P(1,25) = 8,535 P(2,5) = 3,553 P(3,2) = 1,879 31 O método dos Mínimos Quadrados. Supor que um conjunto de pares de dados (xi, yi) tenha sido obtido experimentalmente e que se pressuponha que haja uma relação funcional entre eles, tal que y = f(x). Como a toda medição há incertezas associadas, é de se pressupor que os valores de yi não correspondam exatamente a f(xi). Define-se como resíduo a diferença = f xi− yi . Exemplo 25: O gráfico abaixo ilustra um conjunto de pontos em que os quadrados negros indicam os valores experimentais e a curva contínua indica a função f(x) = x2. 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 O método dos mínimos quadrados é uma maneira de determinar a curva f(x) que melhor se ajusta ao conjunto {xi, yi}, pela minimização do quadrado da soma dos resíduos S=∑ i=1 N 2 . Regressão Linear. Supor um conjunto {xi, yi} e que estes pontos devam descrever uma reta f(xi) = a + b xi. Então, S=∑ i=1 N ab xi− yi 2 . Deve determinar quais valores de a e b para os quais S é mínima. ∂ S ∂a =0 ; ∑ i=1 n 2 ab xi− yi=0 ∑ i=1 n ab∑ i=1 n xi=∑ i=1 n yi ∂ S ∂b =0 ; ∑ i=1 n 2 ab xi− yi xi=0 a∑ i=1 n xib∑ i=1 n xi 2=∑ i=1 n yi xi 32 Rearranjando, tem-se a nb∑ i=0 n xi=∑ i=0 n yi a∑ i=0 n xib∑ i=0 n xi 2=∑ i=0 n yi xi Tem-se então um sistema linear de equações que, uma vez resolvido, fornece os valores de a e b para os quais S é mínima. Exemplo 26: Ajustar aos dados apresentados na tabela abaixo, uma reta, usando o método dos mínimos quadrados. xi yi 2,2 11 3,5 14 5,2 24 8 27 9,3 33 12,2 40 ∑ xi=40,4 ∑ xi2=346,46 ∑ yi=149 ∑ yi xi=1200,9 =========> 6 a40,4 b=149 40,4 a346,46 b=1200,9 Resolvendo este sistema, tem-se a = 7,12 e b = 2,636 , então, f(x) = 7,12 + 2,636 x . 2 4 6 8 10 12 14 10 15 20 25 30 35 40 A figura acima mostra os pontos da tabela (losangos) e a reta ajustada. Exercício 36: Determinar a reta que melhor se ajusta aos conjuntos de pontos indicados abaixo: 33 a-) b-) c-) x y x y x y 12,2 17,8 1 -1,79 2,24 5,03 20 16,6 2 2,06 4,29 18,43 34,1 22,9 3 4,00 6,41 41,05 42,6 25,17 4 7,39 8,26 68,19 60,4 28,74 5 11,40 75,7 28,59 6 14,44 d-) e-) f-) x y x y x y 0,2 11,98 0,2 7,10 1.960 75.767 0,4 10,95 0,4 7,61 1.970 141.193 0,6 9,57 0,6 5,38 1.980 206.073 0,8 8,52 0,8 5,74 1.990 271.244 1,0 7,62 1,0 5,48 2.000 335.815 1,2 6,96 1,2 3,68 1,4 5,90 1,4 4,29 Coeficiente de determinação R2. O coeficiente de determinação é um número que determina quão bom é o ajuste, e é dado por: R2= [∑i=1 n xi yi− 1 n∑i=1 n xi∑ i=1 n yi ] 2 [∑i=1n xi2−1n ∑i=1n xi 2]⋅[∑i=1n yi2−1n ∑i=1n yi 2] . Quanto mais próximo de 1 estiver R2, melhor é o ajuste da curva. Exemplo 27: A curva ajustada no exemplo anterior tem um coeficiente de determinação dado por R2= 1200,9− 40,4⋅1496 2 346,46− 40,426 ⋅4311−14926 =0,859 . Exercício 37: Calcular R2 para o exercício 36. 34 Ajuste da curva exponencial. Uma curva exponencial, do tipo f x=a eb x , pode ser ajustada usando regressão linear, desde que seja aplicado o logaritmo em ambos os lados da expressão. Assim, ln [ f x ]=ln a eb x=ln a b x Se for feita a substituição F(x) = ln[f(x)] e A = ln(a) reduzimos a expressão da exponencial a uma função do 2º grau, F(x) = A + b x. Então, para ajustar uma exponencial a um conjunto de dados fornecidos na forma de uma tabela {xn, fn}, criamos uma segunda tabela com {xn, ln(fn)} e ajustamos uma reta a estes dados, obtendo A e b; e a = eA. Exemplo 28: Dada a tabela abaixo, ajustar uma exponencial a estes valores. x f(x) y(x) = ln(f) 0,0 5,309 1,669 0,2 5,753 1,750 0,4 5,897 1,774 0,6 7,068 1,956 0,8 6,977 1,943 1,0 7,634 2,033 1,2 7,014 1,948 1,4 8,949 2,192 1,6 9,157 2,215 Desta tabela cria-se a tabela à direita da original, onde y = ln(f) e dela tiramos os parâmetros n = 9 S xi = 7,2 S xi2 = 8,16 S yi = 17,5751 S xi yi = 14,6578 A9b 7,2=17,5751 A7,2b8,16=14,6578Resolvendo agora este sistema, A = 1,6801 b = 0,3275 e a = eA = 5,3659 . Então f(x) = 5,3659 e0,3275 x . Exercício 38: Ajustar curvas exponenciais aos dados tabelados abaixo. 35 a-) b-) c-) x f(x) x f(x) x f(x) 0,0 1,123 0,2 14,003 0,0 14,287 0,1 1,267 0,5 15,082 1,5 15,047 0,2 1,252 0,8 15,796 3,0 21,927 0,3 1,575 1,1 15,982 4,5 25,006 0,4 1,511 1,4 15,552 6,0 26,957 0,5 2,006 1,7 15,888 7,5 34,215 0,6 1,882 2,0 16,421 9,0 51,601 2,3 19,626 10,5 59,343 2,6 17,920 Ajuste da curva potencial. Uma curva exponencial, do tipo f x =a xb , pode ser ajustada usando regressão linear, também aplicando o logaritmo em ambos os lados da expressão. Assim, ln [ f x ]=ln a b ln x ou y=Ab X onde y = ln[f(x)], A = ln(a) e X = ln(x) Então, para ajustar uma potencial a um conjunto de dados fornecidos na forma de uma tabela {xn, fn}, criamos uma segunda tabela com {ln(xn), ln(fn)} e ajustamos uma reta a estes dados, obtendo A e b; e a = eA. Exemplo 29: Dada a tabela abaixo, ajustar uma potencial a estes valores. x f(x) X = ln(x) y = ln(f) 1,2 1,669 0,182 0,512 2,2 5,965 0,788 1,786 3,2 10,886 1,163 2,387 4,2 18,474 1,435 2,916 5,2 35,047 1,649 3,557 6,2 41,724 1,825 3,731 7,2 61,693 1,974 4,122 8,2 82,936 2,104 4,418 9,2 103,514 2,219 4,640 Da tabela à direita tem-se 36 n = 9 S xi = 13,34 S xi2 = 23,364 S yi = 28,070 S xi yi = 48,865 e A9b13,34=28,070A13,34b 23,364=48,865 . Resolvendo este sistema, tem-se A = 0,1225; a = eA = 1,1303; b = 2,022. Então f(x) = 1,1303 x2,022 . Exercício 39: Ajustar curvas potenciais aos dados tabelados abaixo. a-) b-) c-) x f(x) x f(x) x f(x) 0,5 0,102 0,5 10,563 0,3 0,346 1,0 0,357 1,0 13,593 0,6 1,616 1,5 0,768 1,5 14,811 0,9 4,597 2,0 1,307 2,0 16,277 1,2 7,958 2,5 1,973 2,5 18,922 1,5 14,619 3,0 2,524 3,0 16,571 1,8 24,092 3,5 3,837 2,1 36,200 4,0 3,867 2,4 48,384 2,7 55,081 37 Integração Numérica a b f(x) Interpretação geométrica da integral: o valor numérico da integral ∫ a b f x dx é igual à área entre a função e o eixo x no intervalo [a, b]. Para calcular a integral divide-se o intervalo [a, b] em N sub-intervalos iguais x=b−a N e escreve-se ∫ a b f x dx= lim x0 N ∞ ∑ n=1 N f xn x . Numericamente, toma-se x pequeno o suficiente para que o erro do cálculo seja inferior a um certo valor pré-determinado, então ∫ a b f x dx=∑ n=1 N f xn x= x f 0 f 1 f 2⋯ f n−1 o que é equivalente à soma de áreas de retângulos, como diagramado na figura abaixo. a b f(x) É evidente na figura que, a não ser que tomemos x muito pequeno, os erros serão grandes (as “quinas” que sobram do retângulo). O erro pode ser minimizado, sem diminuir o tamanho de x, escolhendo uma figura geométrica mais adequada para calcular a área sob a função, como um trapézio, por exemplo. É interessante observar que aproximar a área sob a função pela soma de áreas de trapézios é o equivalente a realizar interpolação linear de f(x), ou seja, ligar os pontos {xn, yn) com retas. Método dos trapézios. Este método de integração numérica consiste em dividir a área sob a função em trapézios e somar a área dos trapézios individuais. Então, para intervalos x iguais, 38 ∫ a b f x dx= f 0 f 1 2 x f 1 f 2 2 x f 2 f 3 2 x⋯ f n−1 f n 2 x ∫ a b f x dx=[ f 02 f 12 f 22 f 3⋯2 f n−1 f n ] x 2 Exemplo 30: Calcular I=∫ 0 2 dx 1x usando o método dos trapézios, usando 5 sub-intervalos. A função a ser integrada é, então, f x = 11x . Um possível procedimento é o indicado na tabela abaixo. x f(x) p p f(x) 0,00 1,0000 1 1,0000 0,40 0,7143 2 1,4286 0,80 0,5556 2 1,1111 1,20 0,4545 2 0,9091 1,60 0,3846 2 0,7692 2,00 0,3333 1 0,3333 Σ p f(x) = 5,5513 Nesta tabela, x= 2−05 =0,4 ; p é o número pelo qual f(xn) é multiplicada na expressão da integral e Σ p f(x) indica a soma dos termos entre colchetes, na mesma expressão. Logo, I=∑ p f x x2 =5,5513⋅ 0,4 2 =1,1103 . Exercício 40: Calcular a integral da função tabelada abaixo, no intervalo [1; 3], usando o método dos trapézios.. x f(x) 1,0 2,00 1,2 2,16 1,4 2,24 1,6 2,24 1,8 2,16 2,0 2,00 2,2 1,76 2,4 1,44 2,6 1,04 2,8 0,56 3,0 0,00 39 Exercício 41: Calcular a integral ∫ 2 5 x e−2 x dx com 10 sub-intervalos. Exercício 42: Calcular a integral de f(x) = sen2(x) no intervalo [0; π/4], com 5 intervalos. Estimativa de incertezas no método dos trapézios. Há duas maneiras de estimar incertezas no uso do método dos trapézios: a-) quando se conhece f(x): =b−a12 x 2 f ' ' , onde é o valor para o qual a derivada segunda de f(x) é máxima no intervalo a≤≤b . b-) quando não se conhece f(x) (mas pode ser aplicado também quando f(x) é conhecida): =b−a12 ∣ 2 f ∣ onde ∣2 f ∣ é o módulo do valor médio de 2 f n e f n= f n− f n−1 e 2 f n= f n− f n−1 . Exemplo 31: Tomando o exemplo anterior, x f(x) ∆f ∆2f 2 f 0,0 1,0000 0,4 0,7143 -0,2857 0,8 0,5556 -0,1587 0,1270 1,2 0,4545 -0,1011 0,0576 1,6 0,3846 -0,0699 0,0312 2,0 0,3333 -0,0513 0,0186 0,0586 Então =b−a12 ∣ 2 f ∣=2,0−0,012 0,0586≈0,01 . Daí que a maneira correta de expressar o resultado da integração numércia do exemplo 30 é I = 1,11 0,01. 40 Exemplo 32: Calcular ∫ 0 3 e−x dx , com uma incerteza estimada menor que 0,01. Como f(x) = e-x ; f ''(x) = e-x ; e o maior valor de f '' no intervalo é f '' (0) = 1. Daí, =b−a 12 x 2 f ' ' 0,01 3−0 12 x 2 10,01 x20,04 e x0,2 Tomando então x = 0,15 , tem-se x f(x) p p f(x) 0,00 1,0000 1 1,0000 0,15 0,8607 2 1,7214 0,30 0,7408 2 1,4816 0,45 0,6376 2 1,2753 0,60 0,5488 2 1,0976 0,75 0,4724 2 0,9447 0,90 0,4066 2 0,8131 1,05 0,3499 2 0,6999 1,20 0,3012 2 0,6024 1,35 0,2592 2 0,5185 1,50 0,2231 2 0,4463 1,65 0,1920 2 0,3841 1,80 0,1653 2 0,3306 1,95 0,1423 2 0,2845 2,10 0,1225 2 0,2449 2,25 0,1054 2 0,2108 2,40 0,0907 2 0,1814 2,55 0,0781 2 0,1562 2,70 0,0672 2 0,1344 2,85 0,0578 2 0,1157 3,00 0,0498 2 0,0996 S p f(x)= 12,7430 I = 0,9557 e I = 0,956 0,002 . 41 Exercício 43: Calcular a integral da função tabelada abaixo, usando o método dos trapézios, e estimar a incerteza. x f(x) 0,0 0,000 0,2 0,164 0,4 0,268 0,6 0,329 0,8 0,359 1,0 0,368 Método de Simpson. O método de Simpson consiste em interpolar uma equação do 2º grau separando sub-intervalos de 2 em 2, integrar (eq. 3º grau) e tomar esta integral como a integral correspondente a estes 2 sub- intervalos. x0 x1 x2 Tomando a tabela ao lado, monta-se a tabela dos dados correspondentes aos 3 primeiros pontos, porém subtraindo deles o valor de f(x0) = f0. x g(x) = f(x) - f0 0 0 x f1 – f0 2 x f2 – f0 Com esta tabela monta-se um sistema linear para resolver a equação g(x) = a + b x + c x2. Então ab0c 0=0 ab xc x2= f 1− f 0 ab 2 xc 4 x2= f 2− f 0 Resolvendo este sistema de equações tem-se a=0 b= 1 x 2 f 1−32 f 0− f 22 c= 1 2 x2 f 2−2 f 1 f 0 Fazendo agora ∫ x0 x2 f x = f 0∫ x0 x2 g x dx= x 3 f 04 f 1 f 2 . 42 Ser dividirmos a função em um número de 6 sub-intervalos, repetimos o procedimento indicado acima agrupando os pontos 3 a 3, como indicado na figura abaixo, e somamos todas as integrais parciais. x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 f(x) ∫ x0 x6 f x dx= x 3 f 04 f 1 f 2 x 3 f 24 f 3 f 4 x 3 f 44 f 5 f 6= = x 3 f 04 f 12 f 24 f 32 f 44 f 5 f 6 Generalizando, o método de Simpson consiste em dividir o intervalo de integração [a, b] em um número N par de sub-intervalos iguais e usar a relação ∫ a b f x dx= x 3 f 04 f 12 f 24 f 32 f 4⋯4 f N−1 f N Exemplo33: Calcular ∫ 1 5 ln x dx com 10 sub-intervalos, usando o método de Simpson. x f(x) = ln(x) p p f(x) 1,0 0,0000 1 0,0000 1,4 0,3365 4 1,3459 1,8 0,5878 2 1,1756 2,2 0,7885 4 3,1538 2,6 0,9555 2 1,9110 3,0 1,0986 4 4,3944 3,4 1,2238 2 2,4476 3,8 1,3350 4 5,3400 4,2 1,4351 2 2,8702 4,6 1,5261 4 6,1042 5,0 1,6094 1 1,6094 43 Σ p f(x) = 30,3522 I = 4,0470 Estimativa de incertezas no método de Simpson. Como no caso do método dos trapézios, há duas maneiras de estimar incertezas no uso do método de Simpson: a-) quando se conhece f(x): = b−a 180 x 4 f iv , onde é o valor para o qual a derivada de quarta ordem de f(x) é máxima no intervalo a≤≤b . b-) quando não se conhece f(x) (mas pode ser aplicado também quando f(x) é conhecida): =b−a 180 ∣ 4 f ∣ agora com 4 f n= 3 f n− 3 f n−1 ; 3 f n= 2 f n− 2 f n−1= ; 2 f n= f n− f n−1 . Exemplo 34: Calcular a integral de sen(x) de 0 a /2, usando o método de Simpson, com somente 2 intervalos e estimar a incerteza. x f(x) 0 0 /4 2/2 /2 1 ∫ 0 2 sen x dx≈1 3 4 0422 1=1,0023 . Estimativa de erro: a derivada de 4ª ordem de sen(x) é o próprio sen(x) , e o maior no intervalo de integração é sen(/2) = 1. Então, = /2−0 180 14≈0,009 , e ∫ 0 2 sen x dx=1,002±0,009 . Exercício 44: Calcular ∫ 0 6 dx 1x com 10 sub-intervalos usando o método de Simpson. Exercício 45: Como ∫ 0 1 dx 1x2 = 4 , calcular o valor de usando a integração de Simpson com 10 44 sub-intervalos. Exercício 46: Calcular a integral da função tabelada abaixo usando o método de Simpson. x f(x) 2,0 0,000 2,2 0,544 2,4 1,151 2,6 1,772 2,8 2,356 3,0 2,847 3,2 3,192 3,4 3,346 3,6 3,273 3,8 2,957 4,0 2,394 45
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