Calculo 2 - prova

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Cálculo 2 - Prova Única
Turmas AA (T02) e BB (T04) - 1/2020
Professor: Matheus Bernardini
• Esta prova tem duração de 60 horas, incluindo o tempo para leitura dos problemas, para redigir as
respostas, para digitalizar as resoluções (em ordem e em .pdf) e para enviar o arquivo pelo Aprender
3.
• Só serão aceitos arquivos em .pdf e que tenham sido escritos a mão.
• Esta prova contém 3 questões, uma em cada página. A última questão vale pontuação extra.
• O nome do arquivo deve estar no formato Matŕıcula Nome Prova. Por exemplo, o Matheus tem
matŕıcula 200123456. O arquivo deve ter nome 200123456 Matheus Prova.
• Cada estudante pode enviar um único arquivo. Dessa forma, sugere-se que você tenha certeza de
que escolheu o arquivo correto.
• Você deve escrever as soluções (a mão) dos problemas propostos e digitalizar as respostas em ordem
de numeração, em um único arquivo .pdf.
• Conforme consta no Plano de Ensino da disciplina, a correção das atividades levará em conta a
clareza, a concisão e a organização das respostas apresentadas pelo estudante.
1. (5,5) Nesta questão, estudaremos, para cada p ∈ R, a série
∞∑
n=3
1
(n lnn)p
e uma série de potências
associada.
a) (1,0) Calcule lim
n→∞
1
(n lnn)p
(sugestão: faça em três casos, sendo o primeiro com p < 0, o
segundo com p = 0 e o terceiro com p > 0).
b) (0,5) Seja p ≤ 0. Decida se a série
∞∑
n=3
1
(n lnn)p
é convergente ou divergente.
c) (0,5) Verifique que n lnn > n, para todo n ∈ N, n ≥ 3.
d) (1,0) Seja p ∈ R, com p > 1. Decida se a série
∞∑
n=3
1
(n lnn)p
é convergente ou divergente.
e) (0,5) Seja p ∈ R, com 0 < p ≤ 1. Decida se a série
∞∑
n=2
1
n(lnn)p
é convergente ou divergente
(sugestão: faça em dois casos, sendo o primeiro com 0 < p < 1 e o segundo com p = 1).
f) (1,0) Seja p ∈ R, com 0 < p ≤ 1. Verifique que np ≤ n, para todo n ∈ N e decida se a série
∞∑
n=2
1
(n lnn)p
é convergente ou divergente.
g) (1,0) Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
∞∑
n=2
xn
(n lnn)2020
.
1
2. (4,5) Para essa questão, você deve escolher um dos seguintes problemas
• Circuito em série (RL - função i = i(t) ou RC - função q = q(t)) (páginas 25 e 94)
• Dinâmica Populacional - equação loǵıstica (páginas 22, 102 e 103)
• Lei de resfriamento (aquecimento) de Newton (páginas 23 e 92)
• Reações qúımicas (páginas 23 e 105)
que aparecem no livro ZILL, D. G. Equações diferenciais: com Aplicações em Modelagem -
Tradução da 10a edição norte-americana. Dispońıvel em
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/books/9788522124022
Outras referências
1. BOYCE, W., DIPRIMA, R., Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores
de Contorno, 9a edição. Dispońıvel em
integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521637134
2. ZILL, D. G., CULLEN, M. R., Matemática Avançada para Engenharia - Vol I, 3a edição.
Dispońıvel em
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/books/9788577804771
Deixe o nome do tópico escolhido no topo de cada uma das páginas de
resolução dos itens desta questão.
Itens
a) (2,0) Faça um texto dissertativo e autoral, com no máximo 15 linhas, explicando, em detalhes,
como modelar o problema e como obter o problema de valor inicial. Para isso, você deve utilizar
as leis da f́ısica, da qúımica ou de qualquer outra ciência. Utilize as referências recomendadas
para embasar seu texto. (No texto, você deve deixar claro se está trabalhando com um problema
com valores fixados - por exemplo, módulo da aceleração gravidade igual a 10 m/s2 ou bateria
de 12 V - ou com valores gerais - por exemplo, módulo da aceleração gravidade igual a g, em
m/s2 ou bateria de E0, em V ).
b) (1,0) Escreva o problema de valor inicial (PVI) obtido com a modelagem matemática explicada
no item anterior.
c) (1,5) Resolva o PVI, explicando cada passagem da sua resolução.
2
Questão extra (1,0) Seja (Fn) a sequência de Fibonacci, isto é, F1 = F2 = 1 e Fn+2 = Fn+1 + Fn, para
todo n ∈ N. Mostre que a série de Maclaurin de f(x) = x
1− x− x2
é
∞∑
n=1
Fnx
n
e encontre o raio e o intervalo de convergência dessa série de potências.
3