Lista - Estruturas Algébricas

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Professor: Pedro Bortolucci
Estruturas Algébricas II - Grupos, Subgrupos e Permutações
Lista II - Estruturas Algébricas II
Questão 1. Seja (G, ∗) um grupo no qual x ∗ x = e, para todo x ∈ G. Mostre que G é
abeliano.
Solução. Primeiramente, note que da definição de grupo, temos que para
quaisquer x, y ∈ G, o elemento x ∗ y ∈ G. Agora, observe que, da hipótese,
para qualquer elemento x ∈ G, x ∗ x = e (lembre-se que e aqui é o elemento
neutro da operação ∗), isso não é diferente para o elemento x ∗ y, isto é,
(x ∗ y) ∗ (x ∗ y) = e, lembre-se desse fato, utilizaremos mais tarde.
Agora, repare que como para qualquer x ∈ G, x ∗ x = e, pela unicidade
do elemento simétrico, segue que x = x−1, onde x−1, representa o elemento
simétrico de x.
Voltanto para o fato do iníncio, temos o seguinte desenvolvimento:
(x ∗ y) ∗ (x ∗ y) = e
⇒x−1 ∗ (x ∗ y) ∗ (x ∗ y) ∗ y−1 (∗)= x−1 ∗ e ∗ y−1
⇒(x−1 ∗ x) ∗ (y ∗ x) ∗ (y ∗ y−1) = x−1 ∗ y−1
⇒e ∗ (y ∗ x) ∗ e = x−1 ∗ y−1
⇒y ∗ x = x−1 ∗ y−1 (I)
Vale ressaltar algumas coisas sobre esse desenvolvimento, primeiro, em (∗),
observe que é importante a posição em que estamos operando os elementos,
aqui, multiplicamos amobos os lados da igualdade por x−1 à esquerda e por
y−1 à direita. Depois dessa passagem, todo o reagrupamento dos parênteses
é possível, graças à associatividade do grupo G.
Pois bem, lembre-se que anteriormente, provamos que x−1 = x e y−1 = y,
assim, voltando com essas informações em (I), obtemos y∗x = x∗y, provando
que G é abeliano, lembrando que um grupo G é dito abeliano, quando goza
da comutatividade de seus elementos.
Questão 2. Considere os elementos de S4 abaixo
id =
(
1 2 3 4
1 2 3 4
)
, f1 =
(
1 2 3 4
1 2 4 3
)
, f2 =
(
1 2 3 4
2 3 4 1
)
f3 =
(
1 2 3 4
3 4 1 2
)
, f4 =
(
1 2 3 4
4 1 2 3
)
a) Mostre que {id, f1} é um grupo com a operação de composição.
2
b) Calcule f 22 , f 23 e f2 ◦ f3. Lembre-se que fni = fi ◦ . . . ◦ fi n vezes.
c) Apesar de S4 não ser abeliano, verifique se f2 ◦ f3 = f3 ◦ f2.
d) Mostre que {id, f2, f3, f4} é subgrupo com a operação de composição.
É abeliano?
Solução.
a) Como S4 é grupo e {id, f1} ⊂ S4, a associatividade segue. Além disso,
id é o elemento neutro de S4, com isso, id◦ f1 = f1◦ = f1, portanto id é
elemento neutro de {id, f1}. Agora, repare que (para ver como realizar
esse cálculo dê uma olhada no item (b), está melhor explicado)
f1 ◦ f1 =
(
1 2 3 4
1 2 4 3
)
◦
(
1 2 3 4
1 2 4 3
)
=
(
1 2 3 4
1 2 3 4
)
,
ou seja, f1 ◦ f1 = id⇒ f−11 = f1 pela unicidade do elemento simétrico.
Assim, a seguinte tabela representa os resultados das operações em
{id, f1}:
◦ id f1
id id f1
f1 f1 id
Assim, percebemos que {id, f1} é um grupo com a operação composi-
ção.
b) Antes de resolvermos, lembre-se de como se calcula a composta de duas
permutações, considerando f =
(
1 2 . . . n
a1 a2 . . . an
)
e g =
(
1 2 . . . n
b1 b2 . . . bn
)
,
então a composta f ◦ g é dada por:
f ◦ g =
(
1 2 . . . n
c1 c2 . . . cn
)
onde ci = f(g(i)), para todo i ∈ {1, . . . , n}.
Pois bem, calculemos primeiramente f 22 = f2 ◦ f2, vamos organizar em
items cada uma das compostas:
• f2(f2(1)) = f2(2) = 3;
• f2(f2(2)) = f2(3) = 4;
• f2(f2(3)) = f2(4) = 1;
• f2(f2(4)) = f2(1) = 2.
Portanto, o resultado da composta é a permutação(
1 2 3 4
3 4 1 2
)
= f3.
Agora, faremos o mesmo para f 23 = f3 ◦ f3.
3
• f3(f3(1)) = f3(3) = 1;
• f3(f3(2)) = f3(4) = 2;
• f3(f3(3)) = f3(1) = 3;
• f3(f3(4)) = f3(2) = 4.
Portanto, o resultado da composta é a permutação(
1 2 3 4
1 2 3 4
)
= id.
c) Utilizando a definição de composta dada no item anterior, vamos pri-
meiramente calcular f2 ◦f3 e depois f3 ◦f2, para comparar os resultados
e verificar se a igualdade vale.
Para f2 ◦ f3:
• f2(f3(1)) = f2(3) = 4;
• f2(f3(2)) = f2(4) = 1;
• f2(f3(3)) = f2(1) = 2;
• f2(f3(4)) = f2(2) = 3.
Portanto, o resultado da composta é a permutação(
1 2 3 4
4 1 2 3
)
= f4.
Para f3 ◦ f2:
• f3(f2(1)) = f3(2) = 4;
• f3(f2(2)) = f3(3) = 1;
• f3(f2(3)) = f3(4) = 2;
• f3(f2(4)) = f3(1) = 3.
Portanto, o resultado da composta é a permutação(
1 2 3 4
4 1 2 3
)
= f4.
Constatando que a igualdade f2 ◦ f3 = f3 ◦ f2 se verifica.
d) Dos items anteriores, já temos que id é o elmento neutro da composição
(item (a)), f−13 = f3 (item (b), segunda parte), f3 ◦ f2 = f2 ◦ f3 = f4
(item (c)). Precisamos determinar se f2 possui um elemento simétrico
em {id, f2, f3, f4}. Já sabemos que f2 ◦ f2 = f3, então f2 não pode ser
o simétrico de si mesmo, bem como f2 ◦ f3 = f4 implica que f3 também
não é simétrico de f2, resta checar que f4 = f−12 . Note que,
• f2(f4(1)) = f2(4) = 1;
• f2(f4(2)) = f2(1) = 2;
4
• f2(f4(3)) = f2(2) = 3;
• f2(f4(4)) = f2(3) = 4.
o que implica que f2 ◦ f4 = id. Por outro lado,
• f4(f2(1)) = f4(2) = 1;
• f4(f2(2)) = f4(3) = 2;
• f4(f2(3)) = f4(4) = 3;
• f4(f2(4)) = f4(1) = 4.
o que implica que f4 ◦ f2 = id. Concluindo assim, que f4 é simétrico de
f2, bem como f2 é simétrico de f4. Daí, para o conjunto {id, f2, f3, f4},
temos a seguinte tabela, que repare, está incompleta, mas isso nos guiará
em descobrir quais elementos estão faltando:
◦ id f2 f3 f4
id id f2 f3 f4
f2 f2 f3 f4 id
f3 f3 f4 id -
f4 f4 id - -
Ou seja, resta calcular f3 ◦ f4, f4 ◦ f3 e f 24 . Fazer isso é computar
novamente as compostas, assim, temos o seguinte:
Para f3 ◦ f4:
• f3(f4(1)) = f3(4) = 2;
• f3(f4(2)) = f3(1) = 3;
• f3(f4(3)) = f3(2) = 4;
• f3(f4(4)) = f3(3) = 1.
Portanto, f3 ◦ f4 = f2.
Para f4 ◦ f3:
• f4(f3(1)) = f4(3) = 2;
• f4(f3(2)) = f4(4) = 3;
• f4(f3(3)) = f4(1) = 4;
• f4(f3(4)) = f4(2) = 1.
Portanto, f4 ◦ f3 = f2.
Para f4 ◦ f4:
• f4(f4(1)) = f4(4) = 3;
• f4(f4(2)) = f4(1) = 4;
• f4(f4(3)) = f4(2) = 1;
• f4(f4(4)) = f4(3) = 2.
5
Portanto, f4 ◦ f4 = f3. Com esses resultados, completamos a tabela:
◦ id f2 f3 f4
id id f2 f3 f4
f2 f2 f3 f4 id
f3 f3 f4 id f2
f4 f4 id f2 f3
Bom, de posse de tudo isso, vamos finalmente verificar as condições
de grupo. A associatividade é válida, ela vem diretamente de S4. A
existência de elemento neutro, também é válida, já que id é o elemento
neutro de {id, f2, f3, f4}. Agora, reparando na table, temos que todo
elemento tem um elemento simétrico, relativo a composição, são eles
• f−12 = f4;
• f−13 = f3;
• f−14 = f2.
Portanto, as condições de grupo são todas satisfeitas e, por conseguinte,
{id, f2, f3, f4} é subgrupo de S4. Observe também que esse grupo é
abeliano, basta observar a comutatividade dos elementos, segundo a
composição, diretamente na tabela.
Questão 3. Determine todos os subgrupos de (Z∗7, ·).
Solução. Já sabemos que (Z∗7, ·), que representarei aqui por Z×7 possui pelo
menos 1 subgrupo, o subgrupo trivial {1}, também denotado por 〈1〉. Agora,
o que faremos será construir todos os subgrupos baseando-se nos gerados
por cada um de seus elementos. Para tanto, precisamos computar cada
potência de cada elemento de Z×7 , lembre-se que cada resultado é computado
módulo 7, poranto, se obtermos um valor maior que 7, por exemplo 9, temos
que calcular à qual classe de equivalência módulo 7 ele pertence, neste caso
9 − 2|7 ⇒ 9 ≡ 2(mod 7) ⇔ 9 = 2. Fazendo isso para cada elemento de
Z7 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, obtemos os seguintes subgrupos gerados:
• 〈2〉 = {2, 4, 1};
• 〈3〉 = {3, 2, 6, 4, 5, 1} = Z×7 ;
• 〈4〉 = {4, 2, 1} = 〈2〉;
• 〈5〉 = {5, 4, 6, 2, 3, 1} = Z×7
• 〈6〉 = {6, 1}.
Portanto, observando os resultados anteriores, encontramos 3 subgrupos de
Z×7 , são eles, o subgrupo trivial 〈1〉 e os subgrupos gerados 〈2〉 e 〈6〉. Repare
também que o centro de Z×7 e o centro de cada a ∈ Z×7 também são subgrupos
de Z×7 , porêm, Z×7 é comutativo, então esses grupos acabam, na verdade,
6
sendo o próprio Z×7 . Resolvendo essa questão, poercebi uma coisa muito
interessante ao observarmos a tabela da multiplicação para o grupo Z×7 ,
repare na simetria que podemos encontrar esses subgrupos nessa tabela e
repare também na simetria que surge:
· 1 2 3 4 5 6
1 1 2 3 4 5 6
2 2 4 6 1 3 5
3 3 6 2 5 1 4
4 4 1 5 2 6 3
5 5 3 1 6 4 2
6 6 5 4 3 2 1
Repare que com os valores que sobrarm, i.e., que não estão pintados, não
podemos formar nenhum subgrupo, já que não temosmais elementos neutros
disponíveis. Apenas uma observação extra: não colori para não poluir a
figura, mas na diagornal principal desta tabela, repare que temos também
mais dois subgrupos 〈2〉, e esta diagonal é justamente a diagonal de simetria
do grupo Z×7 , bonito né?
Questão 4. Mostre que Gx = {a ∈ G; ax = xa} é subgrupo de G.
Solução. Para resolver este problema, utilizaremos uma proposição que nos
diz que um subconjunto H de G é subgrupo de G se, e somente se, para
quaisquer elementos a, b ∈ H, temos ab−1 ∈ H. Pois bem, primeiro repare
que o elemento neutro deG, denotarei por eG está emGx, de fato, eGx = xeG,
logo Gx 6= ∅. Agora, tome a, b ∈ Gx quaisquer. Então, por deifnição de Gx,
segue que ax = xa e bx = xb, note também que ab−1ba−1 = a(b−1b)a−1 =
aeGa
−1 = aa−1 = eG chame isso de (∗). Logo, temos o seguinte:
x(ab−1) = eGx(ab
−1)
(∗)
= (ab−1ba−1)x(ab−1)
= (ab−1)b(a−1xa)b−1 = (ab−1)b(a−1ax)b−1 (já que ax = xa)
= (ab−1)b(eGx)b
−1 = (ab−1)bxb−1 = (ab−1)xbb−1 (já que bx = xb)
= (ab−1)xeG = (ab
−1)x,
ou seja, mostramos que x(ab−1) = (ab−1)x, ou seja, acabamos de mostrar
que ab−1 ∈ Gx, mas pela proposição enunciada no início desta solução, segue
que Gx é subgrupo de G.