PC_2020-2_APX1_GABARITO

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APX1 – 2020-2 Pré-Cálculo GABARITO Página 1 de 27 
 
DISCIPLINA PRÉ-CÁLCULO 2020-2 
 Profa. Maria Lúcia Campos 
Profa. Marlene Dieguez 
APX1 – GABARITO 
_________________________________________________________________________ 
Questão 1 [1,8 ponto ] TIPO 1 
Considere a expressão 𝐸(𝑥) = 
√𝑥+𝑎 + √12−|𝑥|
𝑥−√9𝑥+10
 , 𝑥 ∈ ℝ, onde 𝑎 é uma constante real. 
Determine o valor de 𝑎 para que o domínio 𝐷 dessa expressão seja 𝐷 = [−
1
2
, 10) ∪ (10,12]. 
Responda qual das opções abaixo é verdadeira. 
(a) 0 < 𝑎 < 1 
(b) −1 < 𝑎 < 0 
(c) 
3
4
< 𝑎 < 10 
(d) −12 < 𝑎 < −
10
9
 
(e) −
10
9
< 𝑎 ≤ −1 
RESOLUÇÃO 
Restrições do domínio: cada um dos três radicandos positivo ou nulo e denominador não nulo: 
𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 + 𝑎 ≥ 0 𝑒 12 − |𝑥| ≥ 0 𝑒 9𝑥 + 10 ≥ 0 𝑒 𝑥 − √9𝑥 + 10 ≠ 0}. 
Resolvendo cada restrição, 
(I) 𝑥 + 𝑎 ≥ 0 ⟺ 𝑥 ≥ −𝑎. 
(II) 12 − |𝑥| ≥ 0 ⟺ 12 ≥ |𝑥| ⟺ |𝑥| ≤ 12 ⟺ −12 ≤ 𝑥 ≤ 12. 
(III) 9𝑥 + 10 ≥ 0 ⟺ 9𝑥 ≥ −10 ⟺ 𝑥 ≥ −
10
9
. 
(IV) 𝑥 − √9𝑥 + 10 ≠ 0 
𝑥 − √9𝑥 + 10 = 0 ⟺ √9𝑥 + 10 = 𝑥 
Para que essa equação tenha solução é preciso respeitar duas restrições: 
9𝑥 + 10 ≥ 0 𝑒 𝑥 ≥ 0 ⟹ 𝑥 ≥ −
10
9
 𝑒 𝑥 ≥ 0 ⟹ 𝑥 ≥ 0. 
Resolvendo a equação junto com a restrição, 
√9𝑥 + 10 = 𝑥 𝑒 𝑥 ≥ 0 ⟺ (√9𝑥 + 10)
2
= 𝑥2 𝑒 𝑥 ≥ 0 ⟺ 
9𝑥 + 10 = 𝑥2 𝑒 𝑥 ≥ 0 ⟺ 𝑥2 − 9𝑥 − 10 = 0 𝑒 𝑥 ≥ 0 ⟺ 
⟺ 𝑥 ≥ 0 𝑒 𝑥 =
−(−9)±√(−9)2−4∙1∙(−10)
2∙1
= 
 9±√81+40
2
=
 9±√121
2
=
 9±11
2
= 
= {
9−11
2
=
−2
2
= −1 
9+11
2
=
20
2
= 10
 ⟺ 𝑥 ≥ 0 𝑒 [𝑥 = −1 𝑜𝑢 𝑥 = 10] ⟺ 𝑥 = 10. 
APX1 – 2020-2 Pré-Cálculo GABARITO Página 2 de 27 
Logo 𝑥 − √9𝑥 + 10 ≠ 0 ⟺ 𝑥 ≠ 10. 
Assim, 𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≥ −𝑎 𝑒 − 12 ≤ 𝑥 ≤ 12 𝑒 𝑥 ≥ −
10
9
 𝑒 𝑥 ≠ 10} 
Como −12 < −
10
9
< 10 < 12, 
𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≥ −𝑎 𝑒 [−
10
9
≤ 𝑥 < 10 𝑜𝑢 10 < 𝑥 ≤ 12]}. 
Dado que 𝐷 = [−
1
2
, 10) ∪ (10,12], 
{𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≥ −𝑎 𝑒 [−
10
9
≤ 𝑥 < 10 𝑜𝑢 10 < 𝑥 ≤ 12]} = [−
1
2
, 10) ∪ (10,12] 
Como −
10
9
< −
1
2
, , a igualdade dos conjuntos acima é verdadeira se −𝑎 = −
1
2
. 
Portanto 𝑎 =
1
2
 e a única opção verdadeira é a opção (a), que é 0 < 𝑎 < 1. 
_____________________________________________________________________________________ 
Questão 1 [1,8 ponto ] TIPO 2 
Considere a expressão 𝐸(𝑥) = 
√𝑥+𝑎 + √13−|𝑥|
𝑥−√7𝑥+18
, 𝑥 ∈ ℝ, onde 𝑎 é uma constante real. 
Determine o valor de 𝑎 para que o domínio 𝐷 dessa expressão seja 𝐷 = [−
3
2
, 9) ∪ (9,13]. 
Responda qual das opções abaixo é verdadeira. 
(a) 1 < 𝑎 < 2 
(b) −2 < 𝑎 < −1 
(c) 2 < 𝑎 < 3 
(d) −
18
7
< 𝑎 ≤ −2 
(e) −13 < 𝑎 < −
18
7
 
RESOLUÇÃO 
Restrições do domínio: cada um dos três radicandos positivo ou nulo e denominador não nulo: 
𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 + 𝑎 ≥ 0 𝑒 13 − |𝑥| ≥ 0 𝑒 7𝑥 + 18 ≥ 0 𝑒 𝑥 − √7𝑥 + 18 ≠ 0}. 
Resolvendo cada restrição, 
(I) 𝑥 + 𝑎 ≥ 0 ⟺ 𝑥 ≥ −𝑎. 
(II) 13 − |𝑥| ≥ 0 ⟺ 13 ≥ |𝑥| ⟺ |𝑥| ≤ 13 ⟺ −13 ≤ 𝑥 ≤ 13. 
(III) 7𝑥 + 18 ≥ 0 ⟺ 7𝑥 ≥ −18 ⟺ 𝑥 ≥ −
18
7
. 
(IV) 𝑥 − √7𝑥 + 18 ≠ 0 
𝑥 − √7𝑥 + 18 = 0 ⟺ √7𝑥 + 18 = 𝑥 
Para que essa equação tenha solução é preciso respeitar duas restrições: 
7𝑥 + 18 ≥ 0 𝑒 𝑥 ≥ 0 ⟹ 𝑥 ≥ −
18
7
 𝑒 𝑥 ≥ 0 ⟹ 𝑥 ≥ 0 
Resolvendo a equação junto com a restrição, 
√7𝑥 + 18 = 𝑥 𝑒 𝑥 ≥ 0 ⟺ (√7𝑥 + 18)
2
= 𝑥2 𝑒 𝑥 ≥ 0 ⟺ 
APX1 – 2020-2 Pré-Cálculo GABARITO Página 3 de 27 
7𝑥 + 18 = 𝑥2 𝑒 𝑥 ≥ 0 ⟺ 𝑥2 − 7𝑥 − 18 = 0 𝑒 𝑥 ≥ 0 ⟺ 
⟺ 𝑥 ≥ 0 𝑒 𝑥 =
−(−7)±√(−7)2−4∙1∙(−18)
2∙1
=
 7±√49+72
2
=
7±√121
2
=
 7±11
2
= 
= {
7−11
2
=
−4
2
= −2 
7+11
2
=
18
2
= 9
 ⟺ 𝑥 ≥ 0 𝑒 [𝑥 = −2 𝑜𝑢 𝑥 = 9] ⟺ 𝑥 = 9. 
Logo 𝑥 − √7𝑥 + 18 ≠ 0 ⟺ 𝑥 ≠ 9. 
Assim, 𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≥ −𝑎 𝑒 − 13 ≤ 𝑥 ≤ 13 𝑒 𝑥 ≥ −
18
7
 𝑒 𝑥 ≠ 9}. 
Como −13 < −
18
7
< 9 < 13, 
𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≥ −𝑎 𝑒 [−
18
7
≤ 𝑥 < 9 𝑜𝑢 9 < 𝑥 ≤ 13]}. 
Dado que 𝐷 = [−
3
2
, 9) ∪ (9,13], 
{𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≥ −𝑎 𝑒 [−
18
7
≤ 𝑥 < 9 𝑜𝑢 9 < 𝑥 ≤ 13]} = [−
3
2
, 9) ∪ (9,13] 
Como −
18
7
< −
3
2
, , a igualdade dos conjuntos acima é verdadeira se −𝑎 = −
3
2
. 
Portanto 𝑎 =
3
2
 e a única opção verdadeira é a opção (a), que é 1 < 𝑎 < 2. 
_____________________________________________________________________________________ 
Questão 1 [1,8 ponto ] TIPO 3 
Considere a expressão 𝐸(𝑥) = 
√𝑥+𝑎 + √15−|𝑥|
𝑥−√5𝑥+ 24 
 , 𝑥 ∈ ℝ, onde 𝑎 é uma constante real. 
Determine o valor de 𝑎 para que o domínio 𝐷 dessa expressão seja 𝐷 = [−
14
5
, 8) ∪ (8,15]. 
Responda qual das opções abaixo é verdadeira. 
(a) 2 < 𝑎 < 3 
(b) −3 < 𝑎 < −2 
(c) 3 < 𝑎 < 4 
(d) −15 < 𝑎 < −
24
5
 
(e) −
24
5
< 𝑎 ≤ −3 
RESOLUÇÃO 
Restrições do domínio: cada um dos três radicandos positivo ou nulo e denominador não nulo: 
𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 + 𝑎 ≥ 0 𝑒 15 − |𝑥| ≥ 0 𝑒 5𝑥 + 24 ≥ 0 𝑒 𝑥 − √5𝑥 + 24 ≠ 0}. 
Resolvendo cada restrição, 
(I) 𝑥 + 𝑎 ≥ 0 ⟺ 𝑥 ≥ −𝑎. 
(II) 15 − |𝑥| ≥ 0 ⟺ 15 ≥ |𝑥| ⟺ |𝑥| ≤ 15 ⟺ −15 ≤ 𝑥 ≤ 15. 
(III) 5𝑥 + 24 ≥ 0 ⟺ 5𝑥 ≥ −24 ⟺ 𝑥 ≥ −
24
5
. 
(IV) 𝑥 − √5𝑥 + 24 ≠ 0 
APX1 – 2020-2 Pré-Cálculo GABARITO Página 4 de 27 
𝑥 − √5𝑥 + 24 = 0 ⟺ √5𝑥 + 24 = 𝑥 
Para que essa equação tenha solução é preciso respeitar duas restrições: 
5𝑥 + 24 ≥ 0 𝑒 𝑥 ≥ 0 ⟹ 𝑥 ≥ −
24
5
 𝑒 𝑥 ≥ 0 ⟹ 𝑥 ≥ 0. 
Resolvendo a equação junto com a restrição, 
√5𝑥 + 24 = 𝑥 𝑒 𝑥 ≥ 0 ⟺ (√5𝑥 + 24)
2
= 𝑥2 𝑒 𝑥 ≥ 0 ⟺ 
5𝑥 + 24 = 𝑥2 𝑒 𝑥 ≥ 0 ⟺ 𝑥2 − 5𝑥 − 24 = 0 𝑒 𝑥 ≥ 0 ⟺ 
 𝑥 ≥ 0 𝑒 𝑥 =
−(−5)±√(−5)2−4∙1∙(−24)
2∙1
= =
 5±√25+96
2
=
5±√121
2
=
 5±11
2
= 
= {
5−11
2
=
−6
2
= −3 
5+11
2
=
16
2
= 8
 ⟺ 𝑥 ≥ 0 𝑒 [𝑥 = −3 𝑜𝑢 𝑥 = 8] ⟺ 𝑥 = 8. 
Logo 𝑥 − √5𝑥 + 24 ≠ 0 ⟺ 𝑥 ≠ 8. 
Assim, 𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≥ −𝑎 𝑒 − 15 ≤ 𝑥 ≤ 15 𝑒 𝑥 ≥ −
24
5
 𝑒 𝑥 ≠ 8}. 
Como −15 < −
24
5
< 8 < 15, 
𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≥ −𝑎 𝑒 [−
24
5
≤ 𝑥 < 8 𝑜𝑢 8 < 𝑥 ≤ 15]}. 
Dado que 𝐷 = [−
14
5
, 8) ∪ (8,15], 
{𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≥ −𝑎 𝑒 [−
24
5
≤ 𝑥 < 8 𝑜𝑢 8 < 𝑥 ≤ 15]} = [−
14
5
, 9) ∪ (8,15] 
Como −
24
5
< −
14
5
, , a igualdade dos conjuntos acima é verdadeira se −𝑎 = −
14
5
. 
Portanto 𝑎 =
14
5
 e a única opção verdadeira é a opção (a), que é 2 < 𝑎 < 3. 
 
Questão 2 [1,7] TIPO 1 
Considere que a parábola desenhada abaixo é o gráfico da função 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, onde 
𝑎, 𝑏, 𝑐 são constantes reais e 𝑎 ≠ 0. 
 
 
 
 
 
 
Considere a função 𝑓(𝑥) =
𝑔(𝑥)
2𝑥2−5𝑥−3
 , 𝑥 ∈ ℝ. Determine a expressão de 𝑔(𝑥) e o intervalo ou 
união de intervalos disjuntos de 𝑥 em que 𝑓(𝑥) < 0. 
Com os valores de 𝑎, 𝑏, 𝑐 da expressão de 𝑔(𝑥), calcule 4𝑎 − 𝑏 + 𝑐. 
APX1 – 2020-2 Pré-Cálculo GABARITO Página 5 de 27 
Responda qual das opções abaixo é a verdadeira. 
(a) 4𝑎 − 𝑏 + 𝑐 = −10 e 𝑓(𝑥) < 0 ⟺ 𝑥 ∈ (−∞,−
1
2
) ∪ (3,∞) 
(b) 4𝑎 − 𝑏 + 𝑐 = −3 e 𝑓(𝑥) < 0 ⟺ 𝑥 ∈ (−1, 6) 
(c) 4𝑎 − 𝑏 + 𝑐 = −13 e 𝑓(𝑥) < 0 ⟺ 𝑥 ∈ (−∞,−
1
2
) ∪ (3,∞) 
(d) 4𝑎 − 𝑏 + 𝑐 = −10 e 𝑓(𝑥) < 0 ⟺ 𝑥 ∈ (−∞,−1) ∪ (6,∞) 
(e) 4𝑎 − 𝑏 + 𝑐 = 11 e 𝑓(𝑥) < 0 ⟺ 𝑥 ∈ (−∞,−
1
2
) ∪ (2,∞) 
(f) 4𝑎 −𝑏 + 𝑐 = −10 e 𝑓(𝑥) < 0 ⟺ 𝑥 ∈ (−
1
2
, 3) 
(g) 4𝑎 − 𝑏 + 𝑐 = −13 e 𝑓(𝑥) < 0 ⟺ 𝑥 ∈ (−1, 6) 
RESOLUÇÃO 
Determinação da expressão de 𝒈(𝒙) 
No esboço há dois pontos da parábola: o vértice 𝑉(4,−3) e o ponto 𝑃(0,−7) do eixo 𝑦. 
Sabemos que a forma canônica da função quadrática 𝑔 é 
𝑔(𝑥) = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑘, onde ℎ = 𝑥𝑉 e 𝑘 = 𝑦𝑉 são as coordenadas do vértice. 
Como as coordenadas do vértice 𝑉 são ℎ = 4 e 𝑘 = −3, temos que 
𝑔(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 4)2 − 3. 
Para determinar a constante 𝑎 podemos substituir as coordenadas do ponto 𝑃(0,−7) na expressão 
acima, ou seja, 𝑥 = 0, 𝑦 = 𝑔(0) = −7. Assim, 
𝑔(0) = 𝑎(0 − 4)2 − 3 𝑒 𝑔(0) = −7 ⟹ 𝑎(0 − 4)2 − 3 = −7 ⟹ 16𝑎 = −7 + 3 ⟹ 
16𝑎 = −4 ⟹ 𝑎 = −
1
4
 
Logo, 𝑔(𝑥) = −
1
4
(𝑥 − 4)2 − 3. Elevando a expressão (𝑥 − 4) ao quadrado e simplificando, 
𝑔(𝑥) = −
1
4
(𝑥 − 4)2 − 3 = −
1
4
(𝑥2 − 8𝑥 + 16) − 3 = −
1
4
𝑥2 + 2𝑥 − 4 − 3 = −
1
4
𝑥2 + 2𝑥 − 7. 
Portanto 𝑔(𝑥) = −
1
4
𝑥2 + 2𝑥 − 7. Assim, 
𝑎 = −
1
4
 , 𝑏 = 2, 𝑐 = −7, donde 4𝑎 − 𝑏 + 𝑐 = 4 (−
1
4
) − 2 − 7 = −1 − 2 − 7 = −10. 
Resolução de 𝒇(𝒙) < 𝟎. 
Para responder quais são os intervalos de 𝑥 em que 𝑓(𝑥) =
𝑔(𝑥)
2𝑥2−5𝑥−3
< 0, vamos usar tabela de sinais 
de 𝑓(𝑥) =
𝑔(𝑥)
2𝑥2−5𝑥−3
 
• Sinal de 𝑔(𝑥): 
Observando o gráfico de 𝑔(𝑥), concluímos que 𝑔(𝑥) < 0 para ∀𝑥 ∈ ℝ. 
• Sinal de ℎ(𝑥) = 2𝑥2 − 5𝑥 − 3: 
2𝑥2 − 5𝑥 − 3 = 0 ⟺ 𝑥 =
−(−5)±√(−5)2−4(2)(−3)
2(2)
=
5±√25+24
4
=
5±√49
4
= 
5±7
4
 
APX1 – 2020-2 Pré-Cálculo GABARITO Página 6 de 27 
⟺ 𝑥 = −
2
4
= −
1
2
 𝑜𝑢 𝑥 =
12
4
= 3. 
Como o coeficiente de 𝑥2 é igual a 2 > 0, o gráfico de ℎ(𝑥) é uma parábola com concavidade 
para cima e concluímos que: 
2𝑥2 − 5𝑥 − 3 > 0 ⟺ 𝑥 < −
1
2
 𝑜𝑢 𝑥 > 3. 
2𝑥2 − 5𝑥 − 3 > 0 ⟺ −
1
2
< 𝑥 < 3. 
 Assim, podemos construir a tabela. 
 (−∞,−
1
2
) −
1
2
 (−
1
2
, 3) 3 (3,∞ ) 
𝑔(𝑥) − − − − − 
2𝑥2 − 5𝑥 − 3 + 0 − 0 + 
𝑔(𝑥)
2𝑥2−5𝑥−3
 − 𝑛𝑑 + 𝑛𝑑 − 
 
Observando a primeira e a última linha da tabela, concluímos que 
𝑓(𝑥) < 0 ⟺ 𝑥 ∈ (−∞,−
1
2
) ∪ (3,∞) 
Portanto a opção verdadeira é a opção(a) que é: 
4𝑎 − 𝑏 + 𝑐 = −10 e 𝑓(𝑥) < 0 ⟺ 𝑥 ∈ (−∞,−
1
2
) ∪ (3,∞). 
 
Questão 2 [1,7] TIPO 2 
Considere que a parábola desenhada abaixo é o gráfico da função 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, onde 
𝑎, 𝑏, 𝑐 são constantes reais e 𝑎 ≠ 0. 
 
 
 
 
 
 
Considere a função 𝑓(𝑥) =
𝑔(𝑥)
−3𝑥2−2𝑥+1
 , 𝑥 ∈ ℝ. Determine a expressão de 𝑔(𝑥) e o intervalo ou 
união de intervalos disjuntos de 𝑥 em que 𝑓(𝑥) > 0. 
Com os valores de 𝑎, 𝑏, 𝑐 da expressão de 𝑔(𝑥), calcule 4𝑎 − 𝑏 + 𝑐. 
Responda qual das opções abaixo é a verdadeira. 
(a) 4𝑎 − 𝑏 + 𝑐 = −8 e 𝑓(𝑥) > 0 ⟺ 𝑥 ∈ (−∞,−1) ∪ (
1
3
, ∞) 
(b) 4𝑎 − 𝑏 + 𝑐 = −7 e 𝑓(𝑥) > 0 ⟺ 𝑥 ∈ (−∞,−1) ∪ (
1
3
, ∞) 
APX1 – 2020-2 Pré-Cálculo GABARITO Página 7 de 27 
(c) 4𝑎 − 𝑏 + 𝑐 = −23 e 𝑓(𝑥) > 0 ⟺ 𝑥 ∈ (−
1
3
, 1) 
(d) 4𝑎 − 𝑏 + 𝑐 = −18 e 𝑓(𝑥) > 0 ⟺ 𝑥 ∈ (−∞,−1) ∪ (
1
3
, ∞) 
(e) 4𝑎 − 𝑏 + 𝑐 = −8 e 𝑓(𝑥) > 0 ⟺ 𝑥 ∈ (−∞,−
1
3
) ∪ (1,∞) 
(f) 4𝑎 − 𝑏 + 𝑐 = −8 e 𝑓(𝑥) > 0 ⟺ 𝑥 ∈ (−1,
1
3
) 
(g) 4𝑎 − 𝑏 + 𝑐 = −23 e 𝑓(𝑥) > 0 ⟺ 𝑥 ∈ (−1, 3) 
RESOLUÇÃO 
Determinação da expressão de 𝒈(𝒙) 
No esboço há dois pontos da parábola: o vértice 𝑉(−2,−3) e o ponto 𝑃(0,−8) do eixo 𝑦. 
Sabemos que a forma canônica da função quadrática 𝑔 é 
𝑔(𝑥) = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑘, onde ℎ = 𝑥𝑉 e 𝑘 = 𝑦𝑉 são as coordenadas do vértice. 
Como as coordenadas do vértice 𝑉 são ℎ = −2 e 𝑘 = −3, temos que 
𝑔(𝑥) = 𝑎(𝑥 − (−2))2 − 3 = 𝑎(𝑥 + 2))2 − 3. 
Para determinar a constante 𝑎 podemos substituir as coordenadas do ponto 𝑃(0,−8) na expressão 
acima, ou seja, 𝑥 = 0, 𝑦 = 𝑔(0) = −8. Assim, 
𝑔(0) = 𝑎(0 + 2)2 − 3 𝑒 𝑔(0) = −8 ⟹ 𝑎(0 + 2)2 − 3 = − 8 ⟹ 4𝑎 = −8 + 3 ⟹ 
4𝑎 = −5 ⟹ 𝑎 = −
5
4
 
Logo, 𝑔(𝑥) = −
5
4
(𝑥 + 2)2 − 3. Elevando a expressão (𝑥 + 2) ao quadrado e simplificando, 
𝑔(𝑥) = −
5
4
(𝑥 + 2)2 − 3 = −
5
4
(𝑥2 + 4𝑥 + 4) − 3 = −
5
4
𝑥2 − 5𝑥 − 5 − 3 = −
5
4
𝑥2 − 5𝑥 − 8. 
Portanto 𝑔(𝑥) = −
5
4
𝑥2 − 5𝑥 − 8. Assim, 
𝑎 = −
5
4
 , 𝑏 = −5, 𝑐 = −8 , donde 4𝑎 − 𝑏 + 𝑐 = 4 (−
5
4
) + 5 − 8 = −5 + 5 − 8 = −8. 
Resolução de 𝒇(𝒙) > 𝟎. 
Para responder quais são os intervalos de 𝑥 em que 𝑓(𝑥) =
𝑔(𝑥)
−3𝑥2−2𝑥+1
> 0, vamos usar tabela de sinais 
de 𝑓(𝑥) =
𝑔(𝑥)
−3𝑥2−2𝑥+1
 
• Sinal de 𝑔(𝑥): 
Observando o gráfico de 𝑔(𝑥), concluímos que 𝑔(𝑥) < 0 para ∀𝑥 ∈ ℝ. 
• Sinal de ℎ(𝑥) = −3𝑥2 − 2𝑥 + 1: 
−3𝑥2 − 2𝑥 + 1 = 0 ⟺ 𝑥 =
−(−2)±√(−2)2−4(−3)(1)
2(−3)
=
2±√4+12
−6
=
2±√16
−6
= 
2±4
−6
 
⟺ 𝑥 =
−2
−6
=
1
3
 𝑜𝑢 𝑥 =
6
−6
= −1. 
Como o coeficiente de 𝑥2 é igual a −3 < 0, o gráfico de ℎ(𝑥) é uma parábola com concavidade 
para baixo e concluímos que: 
APX1 – 2020-2 Pré-Cálculo GABARITO Página 8 de 27 
−3𝑥2 − 2𝑥 + 1 > 0 ⟺ −1 < 𝑥 <
1
3
. 
−3𝑥2 − 2𝑥 + 1 < 0 ⟺ 𝑥 < −1 𝑜𝑢 𝑥 >
1
3
. 
 Assim, podemos construir a tabela. 
 (−∞,−1) −1 (−1,
1
3
) 
1
3
 (
1
3
, ∞ ) 
𝑔(𝑥) − − − − − 
−3𝑥2 − 2𝑥 + 1 − 0 + 0 − 
𝑔(𝑥)
2𝑥2−5𝑥−3
 + 𝑛𝑑 − 𝑛𝑑 + 
 
Observando a primeira e a última linha da tabela, concluímos que 
𝑓(𝑥) > 0 ⟺ 𝑥 ∈ (−∞,−1) ∪ (
1
3
, ∞) 
Portanto a opção verdadeira é a opção (a) que é: 
4𝑎 − 𝑏 + 𝑐 = −8 e 𝑓(𝑥) > 0 ⟺ 𝑥 ∈ (−∞,−1) ∪ (
1
3
, ∞) 
 
Questão 3 [1,7] TIPO 1 
Seja 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑥4 + 4𝑥3 + (5𝑏 − 𝑎)𝑥2 + 𝑏𝑥 + 2 , onde 𝑎 e 𝑏 são constantes reais. 
Considere que 𝑥 = −2 e 𝑥 = 1 são raízes de 𝑝(𝑥). 
Encontre os valores das constantes 𝑎 e 𝑏 . Encontre todas as raízes reais de 𝑝(𝑥). 
Fatore esse polinômio em ℝ. 
Responda qual das opções abaixo é a verdadeira. 
(a) 𝑎 + 2𝑏 = 2 e 𝑝(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥 + 2)(2𝑥 − 1)(2𝑥 + 1) 
(b) 𝑎 + 2𝑏 = −2 e 𝑝(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥 + 2)(2𝑥 − 1)(2𝑥 + 1) 
(c) 𝑎 + 2𝑏 = 6 e 𝑝(𝑥) = 4(𝑥 − 1)(𝑥 − 2) (𝑥 −
1
2
) (𝑥 +
1
2
) 
(d) 𝑎 + 2𝑏 = 6 e 𝑝(𝑥) = 4(𝑥 − 1)(𝑥 − 2) (𝑥 −
1
4
) (𝑥 +
1
4
) 
(e) 𝑎 + 2𝑏 = 2 e 𝑝(𝑥) = 4(𝑥 − 1)(𝑥 + 2)(2𝑥 − 1)(2𝑥 + 1) 
RESOLUÇÃO: 
Como 𝑥 = 1 é raiz desse polinômio então 𝑝(𝑥) é divisível por 𝑥 − 1 . Vamos dividir 𝑝(𝑥) por (𝑥 − 1), 
usando Briot-Ruffini. 
 
 𝑎 4 (5𝑏 − 𝑎) 𝑏 2 
1 𝑎 
 1 ∙ 𝑎 + 4 
= 𝑎 + 4 
1 ∙ (𝑎 + 4) + (5𝑏 − 𝑎) =
5𝑏 + 4 
1 ∙ (5𝑏 + 4) +
𝑏 = 6𝑏 + 4 
1 ∙ (6𝑏 + 4) + 2 =
6𝑏 + 6 
APX1 – 2020-2 Pré-Cálculo GABARITO Página 9 de 27 
 
Como 𝑝(𝑥) é divisível por 𝑥 − 1 então o resto dessa divisão é zero, assim, 
6𝑏 + 𝑏 = 0 , donde 6𝑏 = −𝑏 e, portanto, 𝒃 = −𝟏. 
Do dispositivo Briot-Ruffini acima temos: 
𝑝(𝑥) = (𝑥 − 1) (𝑎𝑥3 + (𝑎 + 4)𝑥2 + (5𝑏 + 4)𝑥 + (6𝑏 + 4)). 
Chamemos de 𝑞(𝑥) o polinômio, 𝑞(𝑥) = 𝑎𝑥3 + (𝑎 + 4)𝑥2 + (5𝑏 + 4)𝑥 + (6𝑏 + 4). 
Assim, 
𝑝(𝑥) = (𝑥 − 1) (𝑎𝑥3 + (𝑎 + 4)𝑥2 + (5𝑏 + 4)𝑥 + (6𝑏 + 4)) = (𝑥 − 1) ∙ 𝑞(𝑥). 
Como 𝑥 = −2 é raiz de 𝑝(𝑥) , então, 
𝑞(𝑥) = 𝑎𝑥3 + (𝑎 + 4)𝑥2 + (5𝑏 + 4)𝑥 + (6𝑏 + 4) é divisível por 𝑥 + 2. 
Vamos dividir 𝑞(𝑥) por (𝑥 + 2), usando Briot-Ruffini. 
 𝑎 (𝑎 + 4) (5𝑏 + 4) (6𝑏 + 4) 
−2 𝑎 
(−2) ∙ 𝑎 + (𝑎 + 4) =
−𝑎 + 4 
(−2) ∙ (−𝑎 + 4) + (5𝑏 + 4)
= 2𝑎 + 5𝑏 − 4 
(−2) ∙ (2𝑎 + 5𝑏 − 4) + (6𝑏 + 4)
= −4𝑎 − 4𝑏 + 12 
Como 𝑞(𝑥) é divisível por 𝑥 + 2 então o resto dessa divisão é zero, assim, −4𝑎 − 4𝑏 + 12 = 𝟎 e 
𝒒(𝒙) = (𝒙 + 𝟐)(𝒂𝒙𝟐 + (−𝒂 + 𝟒)𝒙 + (𝟐𝒂 + 𝟓𝒃 + 𝟏𝟐)) 
Temos duas condições sobre 𝑎 e 𝑏 : 𝑏= −1 e −4𝑎 − 4𝑏 + 12 = 0 . 
Substituindo 𝑏 = −1 em −4𝑎 − 4𝑏 + 12 = 0 , temos: 
−4𝑎 − 4. (−1) + 12 = 0 ⇔ −4𝑎 + 16 = 0 ⇔ 4𝑎 = 16 ⇔ 𝑎 =
16
4
= 4 
Logo, 𝒂 = 𝟒 e 𝒃 = −1 
Como, 𝑝(𝑥) = (𝑥 − 1) ∙ 𝑞(𝑥) = (𝑥 − 1) (𝑥 + 2)(𝑎𝑥2 + (−𝑎 + 4)𝑥 + (2𝑎 + 5𝑏 − 4)). 
Fazendo 𝑎 = 4 e 𝑏 = −1 na igualdade acima, encontramos, 
𝑝(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥 + 2)(4𝑥2 − 1). 
Como queremos fatorar 𝑝(𝑥) em ℝ, basta fatorar o polinômio 𝑦 = 4𝑥2 − 1. 
Temos que, 𝑦 = 4𝑥2 − 1 = (2𝑥 − 1)(2𝑥 + 1) . Portanto, 
𝒑(𝒙) = (𝒙 − 𝟏)(𝒙 + 𝟐)(𝟐𝒙 − 𝟏)(𝟐𝒙 + 𝟏) ou 𝒑(𝒙) = 𝟒(𝒙 − 𝟏)(𝒙 + 𝟐) (𝒙 −
𝟏
𝟐
) (𝒙 +
𝟏
𝟐
). 
Como nas opções de resposta é pedido o valor de 𝑎 + 2𝑏 , temos que 𝑎 + 2𝑏 = 4 + 2 ∙ (−1) = 2 
APX1 – 2020-2 Pré-Cálculo GABARITO Página 10 de 27 
Logo, 𝒂 + 𝟐𝒃 = 𝟐. 
A resposta correta é a opção (a) que é : 𝒂 + 𝟐𝒃 = 𝟐 e 𝒑(𝒙) = (𝒙 − 𝟏)(𝒙 + 𝟐)(𝟐𝒙 −
𝟏)(𝟐𝒙 + 𝟏). 
OBSERVAÇÃO: Temos outras formas de resolver essa questão, por exemplo, usando o fato, que como 
𝑥 = −2 e 𝑥 = 1 são raízes de 𝑝(𝑥), então 𝑝(−2) = 0 e 𝑝(1) = 0. 
____________________________________________________________________________________ 
Questão 3 [1,7] TIPO 2 
Seja 𝑝(𝑥) = 3𝑎𝑥4 − 3𝑎𝑥3 − 19𝑥2 + 𝑏𝑥 + 2 , onde 𝑎 e 𝑏 são constantes reais. 
Considere que 𝑥 = −1 e 𝑥 = 2 são raízes de 𝑝(𝑥). 
Encontre os valores das constantes 𝑎 e 𝑏 . Encontre todas as raízes reais de 𝑝(𝑥). 
Fatore esse polinômio em ℝ. 
Responda qual das opções abaixo é a verdadeira. 
(a) 2𝑎 + 𝑏 = 7 e 𝑝(𝑥) = (𝑥 + 1)(𝑥 − 2)(3𝑥 − 1)(3 𝑥 + 1) 
(b) 2𝑎 + 𝑏 = 5 e 𝑝(𝑥) = 9(𝑥 + 1)(𝑥 − 2) (𝑥 −
1
3
) (𝑥 +
1
3
) 
(c) 2𝑎 + 𝑏 = −7 e 𝑝(𝑥) = (𝑥 + 1)(𝑥 − 2) (𝑥 −
1
3
) (𝑥 +
1
3
) 
(d) 2𝑎 + 𝑏 = 7 e 𝑝(𝑥) = 9(𝑥 − 1)(𝑥 − 2)(3𝑥 − 1)(3𝑥 + 1) 
(e) 2𝑎 + 𝑏 = 1 e 𝑝(𝑥) = 9(𝑥 + 1)(𝑥 + 2)(3𝑥 − 1)(3𝑥 + 1) 
RESOLUÇÃO: 
Como 𝑥 = −1 é raiz desse polinômio então 𝑝(𝑥) é divisível por 𝑥 + 1 . Vamos dividir 𝑝(𝑥) por (𝑥 + 1), 
usando Briot-Ruffini. 
 
 3𝑎 −3𝑎 −19 𝑏 2 
−1 3𝑎 
 (− 1) ∙ (3𝑎) − 3𝑎 
= −6𝑎 
 (− 1) ∙ (−6𝑎) − 19 =
6𝑎 − 19 
(−1) ∙ (6𝑎 − 19) + 𝑏 =
−6𝑎 + 𝑏 + 19 
(−1) ∙ (−6𝑎 + 𝑏 + 19) +
2 = 6𝑎 − 𝑏 − 17 
 
Como 𝑝(𝑥) é divisível por 𝑥 + 1 então o resto dessa divisão é zero, assim, 
𝟔𝒂 − 𝒃 − 𝟏𝟕 = 𝟎 . 
Do dispositivo Briot-Ruffini acima temos: 
𝑝(𝑥) = (𝑥 + 1) (3𝑎𝑥3 − 6𝑎𝑥2 + (6𝑎 − 19)𝑥 + (−6𝑎 + 𝑏 + 19) ). 
Chamemos de 𝑞(𝑥) o polinômio, 𝑞(𝑥) = 3𝑎𝑥3 − 6𝑎𝑥2 + (6𝑎 − 19)𝑥 + (−6𝑎 + 𝑏 + 19) 
Assim, 
𝑝(𝑥) = (𝑥 + 1)(3𝑎𝑥3 − 6𝑎𝑥2 + (6𝑎 − 19)𝑥 + (−6𝑎 + 𝑏 + 19)) = (𝑥 + 1) ∙ 𝑞(𝑥). 
Como 𝑥 = 2 é raiz de 𝑝(𝑥) , então, 
APX1 – 2020-2 Pré-Cálculo GABARITO Página 11 de 27 
𝑞(𝑥) = 3𝑎𝑥3 − 6𝑎𝑥2 + (6𝑎 − 19)𝑥 + (−6𝑎 + 𝑏 + 19) é divisível por 𝑥 − 2. 
Vamos dividir 𝑞(𝑥) por (𝑥 − 2), usando Briot-Ruffini. 
 
 3𝑎 −6𝑎 (6𝑎 − 19) (−6𝑎 + 𝑏 + 19) 
2 3𝑎 2 ∙ 3𝑎 − 6𝑎 = 0 
2 ∙ 0 + (6𝑎 − 19)
= 6𝑎 − 19 
2 ∙ (6𝑎 − 19) + (−6𝑎 + 𝑏 + 19)
= 6𝑎 + 𝑏 − 19 
 
Como 𝑞(𝑥) é divisível por 𝑥 + 2 então o resto dessa divisão é zero, assim, 6𝑎 + 𝑏 − 19 = 0 e 
𝑞(𝑥) = (𝑥 − 2)(3𝑎𝑥2 + 0 ∙ 𝑥 + (6𝑎 − 19)) 
Temos duas condições sobre 𝑎 e 𝑏 : 6𝑎 − 𝑏 − 17 = 0 e 6𝑎 + 𝑏 − 19 = 0 . 
Resolvendo o sistema {
𝟔𝒂 − 𝒃 = 𝟏𝟕 
𝟔𝒂 + 𝒃 = 𝟏𝟗 
, encontramos 𝒂 = 𝟑 e 𝒃 = 𝟏 , 
Como, 𝑝(𝑥) = (𝑥 + 1)(𝑥 − 2) (𝟑𝒂𝒙𝟐 + 𝟎 ∙ 𝒙 + (𝟔𝒂 − 𝟏𝟗)) = 
Fazendo 𝒂 = 𝟑 na igualdade acima, encontramos, 
𝑝(𝑥) = (𝑥 + 1)(𝑥 − 2)(9𝑥2 − 1). 
Como queremos fatorar 𝑝(𝑥) em ℝ, basta fatorar o polinômio 𝑦 = 9𝑥2 − 1. 
Temos que, 𝑦 = 9𝑥2 − 1 = (3𝑥 − 1)(3𝑥 + 1) . Portanto, 
𝒑(𝒙) = (𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟐)(𝟑𝒙 − 𝟏)(𝟑𝒙 + 𝟏) ou 𝒑(𝒙) = 𝟗(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟐) (𝒙 −
𝟏
𝟑
) (𝒙 +
𝟏
𝟑
). 
Como nas opções de resposta é pedido o valor de 2𝑎 + 𝑏 , temos que 2𝑎 + 𝑏 = 6 + 1 = 7 
Logo, 𝟐𝒂 + 𝒃 = 𝟕. 
A resposta correta é a opção (a) que é: 
𝟐𝒂 + 𝒃 = 𝟕 e 𝒑(𝒙) = (𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟐)(𝟑𝒙 − 𝟏)(𝟑 𝒙 + 𝟏) . 
OBSERVAÇÃO: Temos outras formas de resolver essa questão, por exemplo, usando o fato, que como 
𝑥 = 2 e 𝑥 = −1 são raízes de 𝑝(𝑥), então 𝑝(2) = 0 e 𝑝(−1) = 0. 
 
 
APX1 – 2020-2 Pré-Cálculo GABARITO Página 12 de 27 
Questão 4 [1,5] TIPO 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considere o gráfico da função 𝑓 esboçado acima. 
O ponto (5, −1) do gráfico de 𝑓 é obtido por translações do ponto (0, 0) do gráfico de 𝑦 = √𝑥. 
Considere os números reais 𝑎1 ≤ 𝑎2 ≤ 𝑎3 ≤ 𝑎4 ≤ 𝑎5 ≤ 𝑎6. 
A função 𝑓 pode ser definida da seguinte forma: 
𝑓(𝑥) = {
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑠𝑒 𝑎1 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎2
𝑎𝑥 + 𝑏 𝑠𝑒 𝑎3 < 𝑥 < 𝑎4
𝑎√𝑥 + 𝑏 + 𝑐 𝑠𝑒 𝑎5 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎6
 
Encontre as três expressões que estão na definição da função partida 𝑓 para escolher 
em cada um dos itens abaixo a opção correta. 
(1) A opção correta para a primeira linha da definição de 𝑓(𝑥) é: ________________________ 
(2) A opção correta para a segunda linha da definição de 𝑓(𝑥) é: ________________________ 
(3) A opção correta para a terceira linha da definição de 𝑓(𝑥) é: ________________________ 
Opções de respostas do item (1) 
Opção 1 na expressão da parábola, 𝑎 = −1, 𝑐 = 3 se 𝑥 ∈ [−2, 2] 
Opção 2 na expressão da parábola, 𝑎 = −1, 𝑐 = 3 se 𝑥 ∈ [−2, 2) 
Opção 3 na expressão da parábola, 𝑎 = −2, 𝑐 = 3 se 𝑥 ∈ [−2, 2] 
Opção 4 na expressão da parábola, 𝑎 = −2, 𝑐 = 3 se 𝑥 ∈ [−2, 2) 
Opção 5 na expressão da parábola, 𝑎 = −1, 𝑐 = −3 se 𝑥 ∈ [−5, 2] 
Opção 6 na expressão da parábola, 𝑎 = 1, 𝑐 = 3 se 𝑥 ∈ [−2, 2] 
APX1 – 2020-2 Pré-Cálculo GABARITO Página 13 de 27 
Opções de respostas do item (2) 
Opção 7 na expressão do segmento da reta, 𝑏 = 4, se 𝑥 ∈ (2, 5) 
Opção 8 na expressão do segmento da reta, 𝑏 = 4, se 𝑥 ∈ [2, 5) 
Opção 9 na expressão do segmento da reta, 𝑏 = −4 se 𝑥 ∈ (2, 5) 
Opção 10 na expressão do segmento da reta, 𝑏 = −4 se 𝑥 ∈ [2, 5) 
Opção 11 na expressão do segmento da reta, 𝑏 = 4 se 𝑥 ∈ (2, 5] 
Opções de respostas do item (3) 
Opção 12 na expressão que envolve raiz quadrada, 𝑎 = 2 𝑒 𝑏 = −5 se 𝑥 ∈ [5, 9] 
Opção 13 na expressão que envolve raiz quadrada, 𝑎 = 2 𝑒 𝑏 = 5 se 𝑥 ∈ [5, 9] 
Opção 14 na expressão que envolve raiz quadrada, 𝑎 = 1 𝑒 𝑏 = −5 se 𝑥 ∈ [5, 9) 
Opção 15 na expressão que envolve raiz quadrada, 𝑎 = −2 𝑒 𝑏 = −5 se 𝑥 ∈ [5, 9] 
Opção 16 na expressão que envolve raiz quadrada, 𝑎 = −1 𝑒 𝑏 = 5 se 𝑥 ∈ [5, 9] 
RESOLUÇÃO: 
Vamos escrever a equação da parábola que tem vértice no ponto 𝑉(1, 4) e contém o ponto (2, 3). 
Vamos usar a forma canônica da equação de uma função quadrática que é 𝑦 = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑘, onde 𝑎, 
ℎ, 𝑘 são constantes reais, 𝑎 ≠ 0. 
Neste caso 𝑦 = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑘 = 𝑎(𝑥 − 1)2 + 4. Como essa parábola contém o ponto (2, 3), então 
3 = 𝑎(2 − 1)2 + 4 = 𝑎 ∙ 1 + 4. Portanto, 𝑎 = −1. 
Assim, 𝑦 = −(𝑥 − 1)2 + 4, donde 𝑦 = −(𝑥2 − 2𝑥 + 1) + 4 = − 𝑥2 + 2𝑥 + 3 . 
Logo, a parábola que tem vértice no ponto 𝑉(1, 4) e contém o ponto (2, 3) tem como equação 
𝒚 = − 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟑. 
Escrevendo a equação da reta que contém os pontos (2, 2) e (5, −1) 
O coeficiente angular dessa reta é: 𝑚 =
 2−(−1) 
2−5
= 
 3 
−3 
= −1 . Logo, a equação da reta é: 
𝑦 − 2 = −1(𝑥 − 2) ⇔ 𝑦 = −𝑥 + 2 + 2 ⇔ 𝑦 = −𝑥 + 4 . 
Logo, a equação da reta que contém os pontos (2, 2) e (5, −1) é 𝒚 = −𝒙 + 𝟒 . 
Pela definição da função 𝑦 = 𝑓(𝑥) , temos que 𝑓(𝑥) = 𝑎√𝑥 + 𝑏 + 𝑐 𝑠𝑒 𝑎5 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎6 e sabendo 
que o ponto (5, −1) do gráfico de𝑓 é obtido por translações do ponto (0, 0) do gráfico de 𝑦 = √𝑥, 
APX1 – 2020-2 Pré-Cálculo GABARITO Página 14 de 27 
concluímos que o gráfico de 𝑦 = √𝑥 foi transladado horizontalmente 5 unidades para direita e 
transladado verticalmente, 1 unidade para baixo, assim 𝑦 = 𝑎√𝑥 − 5 − 1 . Como a função 
𝑦 = 𝑎√𝑥 − 5 − 1 contém o ponto (9, 3), então 
 3 = 𝑎√9 − 5 − 1 ⇔ 3 = 𝑎√4 − 1 ⇔ 3 = 2𝑎 − 1 ⇔ 2𝑎 = 4 ⇔ 𝑎 = 2 . 
Portanto, 𝒚 = 𝟐√𝒙 − 𝟓 − 𝟏. 
Para escrever a expressão da função 𝑓 , vamos usar: 
a equação da parábola: 𝒚 = − 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟑 ; 
a equação da reta: 𝒚 = −𝒙 + 𝟒 ; 
a equação da raiz quadrada: 𝒚 = 𝟐√𝒙 − 𝟓 − 𝟏 
Vamos observar no gráfico da função 𝑓 , que partes dos gráficos dessas três funções foram usadas na 
construção do gráfico da função 𝑓. Para isso vamos observar os intervalos determinados em cada linha 
da expressão da função 𝑓 , assim, 
𝑓(𝑥) = {
−𝑥2 + 2𝑥 + 3 𝑠𝑒 − 2 ≤ 𝑥 ≤ 2
−𝑥 + 4 𝑠𝑒 2 < 𝑥 < 5
2√𝑥 − 5 − 1 𝑠𝑒 5 ≤ 𝑥 ≤ 9
 
Lembre que, os pontos abertos no gráfico não fazem parte do gráfico da função. 
Portanto, 
No item (1), a opção correta é: na expressão da parábola, 𝑎 = −1, 𝑐 = 3 se 𝑥 ∈ [−2, 2]. 
No item (2), a opção correta é: na expressão do segmento da reta, 𝑏 = 4, se 𝑥 ∈ (2, 5). 
No item (3), a opção correta é: na expressão que envolve raiz quadrada, 𝑎 = 2 𝑒 𝑏 = −5 se 𝑥 ∈ [5, 9]. 
 
Questão 4 [1,5] TIPO 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
APX1 – 2020-2 Pré-Cálculo GABARITO Página 15 de 27 
Considere o gráfico da função 𝑓 esboçado acima. 
O ponto (8, −1) do gráfico de 𝑓 é obtido por translações do ponto (0, 0) do gráfico de 𝑦 = √𝑥. 
Considere os números reais 𝑎1 ≤ 𝑎2 ≤ 𝑎3 ≤ 𝑎4 ≤ 𝑎5 ≤ 𝑎6. 
A função 𝑓 pode ser definida da seguinte forma: 
𝑓(𝑥) = {
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑠𝑒 𝑎1 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎2
𝑎𝑥 + 𝑏 𝑠𝑒 𝑎3 < 𝑥 < 𝑎4
𝑎√𝑥 + 𝑏 + 𝑐 𝑠𝑒 𝑎5 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎6
 
Encontre as três expressões que estão na definição da função partida 𝑓 para escolher 
em cada um dos itens abaixo a opção correta. 
(1) A opção correta para a primeira linha da definição de 𝑓(𝑥) é: __________________ 
(2) A opção correta para a segunda linha da definição de 𝑓(𝑥) é: __________________ 
(3) A opção correta para a terceira linha da definição de 𝑓(𝑥) é: __________________ 
Opções de respostas do item (1) 
Opção 1 na expressão da parábola, 𝑎 = −1, 𝑐 = −12 se 𝑥 ∈ [1, 5] 
Opção 2 na expressão da parábola, 𝑎 = −1, 𝑐 = −12 se 𝑥 ∈ [1, 5) 
Opção 3 na expressão da parábola, 𝑎 = −2, 𝑐 = 3 se 𝑥 ∈ [1, 5] 
Opção 4 na expressão da parábola, 𝑎 = −2, 𝑐 = 3 se 𝑥 ∈ [1, 5) 
Opção 5 na expressão da parábola, 𝑎 = −1, 𝑐 = 12 se 𝑥 ∈ [−1, 5] 
Opção 6 na expressão da parábola, 𝑎 = 1, 𝑐 = −12 se 𝑥 ∈ [1, 5] 
Opções de respostas do item (2) 
Opção 7 na expressão do segmento da reta, 𝑏 = 7, se 𝑥 ∈ (5, 8) 
Opção 8 na expressão do segmento da reta, 𝑏 = 7, se 𝑥 ∈ [5, 8) 
Opção 9 na expressão do segmento da reta, 𝑏 = −7 se 𝑥 ∈ (5, 8) 
Opção 10 na expressão do segmento da reta, 𝑏 = −7 se 𝑥 ∈ [5, 8) 
Opção 11 na expressão do segmento da reta, 𝑏 = 7 se 𝑥 ∈ (5, 8] 
Opções de respostas do item (3) 
Opção 12 na expressão que envolve raiz quadrada, 𝑎 = 2 𝑒 𝑏 = −8 se 𝑥 ∈ [8, 12] 
Opção 13 na expressão que envolve raiz quadrada, 𝑎 = 2 𝑒 𝑏 = 8 se 𝑥 ∈ [8, 12] 
Opção 14 na expressão que envolve raiz quadrada, 𝑎 = 1 𝑒 𝑏 = −8 se 𝑥 ∈ [8, 12) 
APX1 – 2020-2 Pré-Cálculo GABARITO Página 16 de 27 
Opção 15 na expressão que envolve raiz quadrada, 𝑎 = −2 𝑒 𝑏 = −8 se 𝑥 ∈ [8, 12] 
Opção 16 na expressão que envolve raiz quadrada, 𝑎 = −1 𝑒 𝑏 = 8 se 𝑥 ∈ [8, 12] 
RESOLUÇÃO: 
Vamos escrever a equação da parábola que tem vértice no ponto 𝑉(4, 4) e contém o ponto (5, 3). 
Vamos usar a forma canônica da equação de uma função quadrática que é 𝑦 = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑘, onde 𝑎, 
ℎ, 𝑘 são constantes reais, 𝑎 ≠ 0. 
Neste caso 𝑦 = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑘 = 𝑎(𝑥 − 4)2 + 4. Como essa parábola contém o ponto (5, 3), então 
3 = 𝑎(5 − 4)2 + 4 = 𝑎 ∙ 1 + 4. Portanto, 𝑎 = −1. 
Assim, 𝑦 = −(𝑥 − 4)2 + 4, donde 𝑦 = −(𝑥2 − 8𝑥 + 16) + 4 = − 𝑥2 + 8𝑥 − 12 . 
Logo, a parábola que tem vértice no ponto 𝑉(4, 4) e contém o ponto (5, 3) tem como equação 
𝒚 = − 𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 − 𝟏𝟐. 
Escrevendo a equação da reta que contém os pontos (5, 2) e (8, −1) 
O coeficiente angular dessa reta é: 𝑚 =
 2−(−1) 
5−8
= 
 3 
−3 
= −1 . Logo, a equação da reta é: 
𝑦 − 2 = −1(𝑥 − 5) ⇔ 𝑦 = −𝑥 + 5 + 2 ⇔ 𝑦 = −𝑥 + 7 . 
Logo, a equação da reta que contém os pontos (5,2) e (8, −1) é 𝒚 = −𝒙 + 𝟕 . 
Pela definição da função 𝑦 = 𝑓(𝑥) , temos que 𝑓(𝑥) = 𝑎√𝑥 + 𝑏 + 𝑐 𝑠𝑒 𝑎5 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎6 e sabendo 
que o ponto (8, −1) do gráfico de 𝑓 é obtido por translações do ponto (0, 0) do gráfico de 
𝑦 = √𝑥, concluímos que o gráfico de 𝑦 = √𝑥 foi transladado horizontalmente 8 unidades para direita e 
transladado verticalmente, 1 unidade para baixo, assim 𝑦 = 𝑎√𝑥 − 8 − 1 . Como a função 
𝑦 = 𝑎√𝑥 − 8 − 1 contém o ponto (12, 3), então 
 3 = 𝑎√12 − 8 − 1 ⇔ 3 = 𝑎√4 − 1 ⇔ 3 = 2𝑎 − 1 ⇔ 2𝑎 = 4 ⇔ 𝑎 = 2 . 
Portanto, 𝒚 = 𝟐√𝒙 − 𝟖 − 𝟏. 
Para escrever a expressão da função 𝑓 , vamos usar: 
a equação da parábola: 𝒚 = − 𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 − 𝟏𝟐 ; 
a equação da reta: 𝒚 = −𝒙 + 𝟕 ; 
a equação da raiz quadrada: 𝒚 = 𝟐√𝒙 − 𝟖 − 𝟏 
APX1 – 2020-2 Pré-Cálculo GABARITO Página 17 de 27 
Vamos observar no gráfico da função 𝑓 , que partes dos gráficos dessas três funções foram usadas na 
construção do gráfico da função 𝑓. Para isso vamos observar os intervalos determinados em cada linha 
da expressão da função 𝑓 , assim, 
𝑓(𝑥) = {
−𝑥2 + 8𝑥 − 12 𝑠𝑒 1 ≤ 𝑥 ≤ 5
−𝑥 + 7 𝑠𝑒 5 < 𝑥 < 8
2√𝑥 − 8 − 1 𝑠𝑒 8 ≤ 𝑥 ≤ 12
 
Lembre que, os pontos abertos no gráfico não fazem parte do gráfico da função. 
Portanto, 
No item (1), a opção correta é: na expressão da parábola, 𝑎 = −1, 𝑐 = −12 se 𝑥 ∈ [1, 5]. 
No item (2), a opção correta é: na expressão do segmento da reta, 𝑏 = 7, se 𝑥 ∈ (5, 8). 
No item (3), a opção correta é: na expressão que envolve raiz quadrada, 𝑎 = 2 𝑒 𝑏 = −8 se 𝑥 ∈ [8, 12]. 
_____________________________________________________________________________________ 
Questão 5 [1,7] TIPO 1 
Considere as funções 𝑦 = 𝑓(𝑥) e 𝑦 = 𝑔(𝑥) = 3 − 𝑓(|𝑥| − 2), 
cujos gráficos estão esboçados abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicando uma sequência de transformações no gráfico de 𝑦 = 𝑓(𝑥), encontramos o gráfico 
da função 𝑦 = 𝑔(𝑥) = 3 − 𝑓(|𝑥| − 2). 
Dentre as opções abaixo marque a única sequência correta de transformações. 
 
Opção (a) 
 𝑦 = 𝑓(𝑥) 
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜 𝑛𝑜
 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥
→ 𝑦 = −𝑓(𝑥) 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
3 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎
→ 𝑦 = 3 − 𝑓(𝑥) 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 
2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎
→ 
 𝑦 = 3 − 𝑓(𝑥 − 2) 
𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 
𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑥
→ 𝑦 = 3 − 𝑓(|𝑥| − 2) 
APX1 – 2020-2 Pré-Cálculo GABARITO Página 18 de 27 
Opção (b) 
 𝑦 = 𝑓(𝑥) 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
3 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎
→ 𝑦 = 3 + 𝑓(𝑥) 
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜
𝑛𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥
→ 𝑦 = 3 − 𝑓(𝑥) 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 
2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎
→ 
 𝑦 = 3 − 𝑓(𝑥 − 2) 
𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 
𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑥
→ 𝑦 = 3 − 𝑓(|𝑥| − 2) 
Opção (c) 
 𝑦 = 𝑓(𝑥) 
𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 
𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑥
→ 𝑦 = 𝑓(|𝑥|)𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 
2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎
→ 𝑦 = 𝑓(|𝑥| − 2) 
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜
 𝑛𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥 
→ 
 𝑦 = −𝑓(|𝑥| − 2) 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
3 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎
→ 𝑦 = 3 − 𝑓(|𝑥| − 2) 
Opção (d) 
 𝑦 = 𝑓(𝑥) 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 
2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎
→ 𝑦 = 𝑓(𝑥 − 2) 
𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 
𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑥
→ 𝑦 = 𝑓(|𝑥| − 2) 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
3 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎
→ 
 𝑦 = 3 + 𝑓(|𝑥| − 2) 
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜
 𝑛𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥 
→ 𝑦 = 3 − 𝑓(|𝑥| − 2) 
Opção (e) 
 𝑦 = 𝑓(𝑥) 
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜
 𝑛𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥 
→ 𝑦 = −𝑓(𝑥) 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
3 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎
→ 𝑦 = 3 − 𝑓(𝑥) 
𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 
𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑥
→ 
 𝑦 = 3 − 𝑓(|𝑥|) 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 
2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎
→ 𝑦 = 3 − 𝑓(|𝑥| − 2) 
RESOLUÇÃO 
• Verificando as transformações da opção (a), concluímos que estão corretas. 
• Verificando as transformações da opção (b), encontramos um erro em 
 𝑦 = 3 + 𝑓(𝑥) 
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜
𝑛𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥
→ 𝑦 = 3 − 𝑓(𝑥). 
Pois, ao aplicar a reflexão no eixo 𝑥 sobre a função 𝑦 = 3 + 𝑓(𝑥), o correto é obter 𝑦 = −3 − 𝑓(𝑥). 
Se a partir de 𝑦 = −3 − 𝑓(𝑥), aplicássemos as mesmas transformações da opção 2, teríamos obtido: 
𝑦 = −3 − 𝑓(𝑥) 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 
2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎
→ 𝑦 = −3 − 𝑓(𝑥 − 2) 
𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 
𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑥
→ 𝑦 = −3 − 𝑓(|𝑥| − 2) 
E assim, encontraríamos uma expressão diferente da expressão 𝑦 = 𝑔(𝑥) = 3 − 𝑓(|𝑥| − 2). 
• Verificando as transformações da opção (c), encontramos um erro em 
 𝑦 = 𝑓(|𝑥|) 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 
2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎
→ 𝑦 = 𝑓(|𝑥| − 2). 
APX1 – 2020-2 Pré-Cálculo GABARITO Página 19 de 27 
Pois, ao aplicar a translação horizontal de 2 unidades para a direita sobre a função 𝑦 = 𝑓(|𝑥|) , o correto 
é obter 𝑦 = 𝑓(|𝑥 − 2|) . 
Se a partir de 𝑦 = 𝑓(|𝑥 − 2|) , aplicássemos as mesmas transformações da opção (c), teríamos obtido: 
𝑦 = 𝑓(|𝑥 − 2|) 
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜
 𝑛𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥 
→ 𝑦 = −𝑓(|𝑥 − 2|) 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
3 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎
→ 𝑦 = 3 − 𝑓(|𝑥 − 2|) 
E assim, encontraríamos uma expressão diferente da expressão 𝑦 = 𝑔(𝑥) = 3 − 𝑓(|𝑥| − 2). 
• Verificando as transformações da opção (d), encontramos um erro em 
𝑦 = 3 + 𝑓(|𝑥| − 2) 
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜
 𝑛𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥 
→ 𝑦 = 3 − 𝑓(|𝑥| − 2). 
Pois, ao aplicar a reflexão no eixo 𝑥 sobre a função 𝑦 = 3 + 𝑓(|𝑥| − 2), o correto é obter 𝑦 = −3 −
𝑓(|𝑥| − 2). 
E assim, encontraríamos uma expressão diferente da expressão 𝑦 = 𝑔(𝑥) = 3 − 𝑓(|𝑥| − 2). 
• Verificando as transformações da opção (e), encontramos um erro em 
𝑦 = 3 − 𝑓(|𝑥|) 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 
2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎
→ 𝑦 = 3 − 𝑓(|𝑥| − 2). 
Pois, ao aplicar a translação horizontal de 2 unidades para a direita sobre a função 𝑦 = 3 − 𝑓(|𝑥|), o 
correto é obter 𝑦 = 3 − 𝑓(|𝑥 − 2|). 
E assim, encontraríamos uma expressão diferente da expressão 𝑦 = 𝑔(𝑥) = 3 − 𝑓(|𝑥| − 2). 
 
Questão 5 [1,7] TIPO 2 
Considere as funções 𝑦 = 𝑓(𝑥) e 𝑦 = 𝑔(𝑥) = 2 − 𝑓(|𝑥| − 3), cujos gráficos 
estão esboçados abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APX1 – 2020-2 Pré-Cálculo GABARITO Página 20 de 27 
Aplicando uma sequência de transformações no gráfico de 𝑦 = 𝑓(𝑥), encontramos o gráfico 
da função 𝑦 = 𝑔(𝑥) = 2 − 𝑓(|𝑥| − 3). 
Dentre as opções abaixo marque a única sequência correta de transformações. 
Opção (a) 
 𝑦 = 𝑓(𝑥) 
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜 𝑛𝑜
 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥
→ 𝑦 = −𝑓(𝑥) 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎
→ 𝑦 = 2 − 𝑓(𝑥) 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 
3 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎
→ 
 𝑦 = 2 − 𝑓(𝑥 − 3) 
𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 
𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑥
→ 𝑦 = 2 − 𝑓(|𝑥| − 3) 
Opção (b) 
 𝑦 = 𝑓(𝑥) 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎
→ 𝑦 = 2 + 𝑓(𝑥) 
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜
𝑛𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥
→ 𝑦 = 2 − 𝑓(𝑥) 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 
3 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎
→ 
 𝑦 = 2 − 𝑓(𝑥 − 3) 
𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 
𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑥
→ 𝑦 = 2 − 𝑓(|𝑥| − 3) 
Opção (c) 
 𝑦 = 𝑓(𝑥) 
𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 
𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑥
→ 𝑦 = 𝑓(|𝑥|) 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 
3 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎
→ 𝑦 = 𝑓(|𝑥| − 3) 
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜
 𝑛𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥 
→ 
 𝑦 = −𝑓(|𝑥| − 3) 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎
→ 𝑦 = 2 − 𝑓(|𝑥| − 3) 
 
Opção (d) 
 𝑦 = 𝑓(𝑥) 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 
3 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎
→ 𝑦 = 𝑓(𝑥 − 3) 
𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 
𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑥
→ 𝑦 = 𝑓(|𝑥| − 3) 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎
→ 
 𝑦 = 2 + 𝑓(|𝑥| − 3) 
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜
 𝑛𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥 
→ 𝑦 = 2 − 𝑓(|𝑥| − 3) 
Opção (e) 
 𝑦 = 𝑓(𝑥) 
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜
 𝑛𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥 
→ 𝑦 = −𝑓(𝑥) 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎
→ 𝑦 = 2 − 𝑓(𝑥) 
𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 
𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑥
→ 
 𝑦 = 2 − 𝑓(|𝑥|) 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 
3 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎
→ 𝑦 = 2 − 𝑓(|𝑥| − 3) 
RESOLUÇÃO 
• Verificando as transformações da opção (a), concluímos que estão corretas. 
• Verificando as transformações da opção (b), encontramos um erro em 
 𝑦 = 2 + 𝑓(𝑥) 
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜
𝑛𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥
→ 𝑦 = 2 − 𝑓(𝑥). 
APX1 – 2020-2 Pré-Cálculo GABARITO Página 21 de 27 
Pois, ao aplicar a reflexão no eixo 𝑥 sobre a função 𝑦 = 2 + 𝑓(𝑥), o correto é obter 𝑦 = −2 − 𝑓(𝑥). 
Se a partir de 𝑦 = −2 − 𝑓(𝑥), aplicássemos as mesmas transformações da opção 2, teríamos obtido: 
𝑦 = −2 − 𝑓(𝑥) 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 
3 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎
→ 𝑦 = −2 − 𝑓(𝑥 − 3) 
𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 
𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑥
→ 𝑦 = −2 − 𝑓(|𝑥| − 3) 
E assim, encontraríamos uma expressão diferente da expressão 𝑦 = 𝑔(𝑥) = 2 − 𝑓(|𝑥| − 3). 
• Verificando as transformações da opção (c), encontramos um erro em 
 𝑦 = 𝑓(|𝑥|) 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 
3 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎
→ 𝑦 = 𝑓(|𝑥| − 3). 
Pois, ao aplicar a translação horizontal de 3 unidades para a direita sobre a função 𝑦 = 𝑓(|𝑥|) , o correto 
é obter 𝑦 = 𝑓(|𝑥 − 3|) . 
Se a partir de𝑦 = 𝑓(|𝑥 − 3|) , aplicássemos as mesmas transformações da opção (c), teríamos obtido: 
𝑦 = 𝑓(|𝑥 − 3|) 
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜
 𝑛𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥 
→ 𝑦 = −𝑓(|𝑥 − 3|) 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎
→ 𝑦 = 2 − 𝑓(|𝑥 − 3|) 
E assim, encontraríamos uma expressão diferente da expressão 𝑦 = 𝑔(𝑥) = 2 − 𝑓(|𝑥| − 3). 
• Verificando as transformações da opção (d), encontramos um erro em 
𝑦 = 2 + 𝑓(|𝑥| − 3) 
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜𝑛𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥 
→ 𝑦 = 2 − 𝑓(|𝑥| − 3). 
Pois, ao aplicar a reflexão no eixo 𝑥 sobre a função 𝑦 = 2 + 𝑓(𝑥), o correto é obter 𝑦 = −2 − 𝑓(|𝑥| − 3). 
E assim, encontraríamos uma expressão diferente da expressão 𝑦 = 𝑔(𝑥) = 2 − 𝑓(|𝑥| − 3). 
• Verificando as transformações da opção (e), encontramos um erro em 
𝑦 = 2 − 𝑓(|𝑥|) 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 
3 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎
→ 𝑦 = 2 − 𝑓(|𝑥| − 3). 
Pois, ao aplicar a translação horizontal de 3 unidades para a direita sobre a função 𝑦 = 2 − 𝑓(|𝑥|), o 
correto é obter 𝑦 = 2 − 𝑓(|𝑥 − 3|). 
E assim, encontraríamos uma expressão diferente da expressão 𝑦 = 𝑔(𝑥) = 2 − 𝑓(|𝑥| − 3). 
_____________________________________________________________________________________ 
 
APX1 – 2020-2 Pré-Cálculo GABARITO Página 22 de 27 
Questão 6 [1,6] TIPO 1 
 
 
 
 
 
 
Observe o gráfico acima para escolher em cada um dos itens abaixo a opção correta. 
(1) Quanto ao estudo do sinal da função ℎ, podemos dizer que: _______________________________ 
(2) Quanto ao estudo do crescimento e decrescimento da função h, podemos dizer que: __________ 
(3) Quanto à função ℎ ser inversível ou não, podemos dizer que:______________________________ 
(4) Quanto à paridade da função ℎ, podemos dizer que: ______________________________________ 
Opções de respostas do item (1) 
Opção 1 Em (−9,−6) ∪ (5, 10) a função ℎ é positiva e em (−6,−2) ∪ (3, 5) a função ℎ é negativa 
Opção 2 Em (−9,−6) ∪ (5, 10) a função ℎ é positiva e em (0, 4) ∪ (8, 12) a função ℎ é negativa 
Opção 3 Em (−4, 0) ∪ (4, 8) a função ℎ é positiva e em (−6,−2) ∪ (3, 5) a função ℎ é negativa 
Opção 4 Em (4, 8) ∪ (12, 17) a função ℎ é positiva e em (−9,−4) ∪ (0, 4) a função ℎ é negativa 
Opções de respostas do item (2) 
Opção 5 Em [12, 18] a função ℎ é crescente e em [0, 4] a função ℎ é decrescente 
Opção 6 Em [−2, 3] a função ℎ é crescente e em [0, 4] a função ℎ é decrescente 
Opção 7 Em [12, 18] a função ℎ é crescente e em [−6,−2] a função ℎ é decrescente 
Opção 8 Em [5, 10] a função ℎ é crescente e em [10, 14] a função ℎ é decrescente 
Opções de respostas do item (3) 
Opção 9 Quando restrita ao intervalo [0, 4], a função h é INVERSÍVEL 
Opção 10 Quando restrita ao intervalo [17, 22] , a função h é INVERSÍVEL 
Opção 11 Quando restrita ao intervalo [4, 8], a função h NÃO é INVERSÍVEL 
Opções de respostas do item (4) 
APX1 – 2020-2 Pré-Cálculo GABARITO Página 23 de 27 
Opção 12 A função ℎ não é par e nem ímpar 
Opção 13 A função ℎ é par 
Opção 14 A função ℎ é ímpar 
RESOLUÇÃO: 
(1) Quanto ao estudo do sinal da função h, podemos dizer que: 
Observando o gráfico, a resposta correta é: 
“Em (−9,−6) ∪ (5, 10) a função ℎ é positiva e em (−6,−2) ∪ (3, 5) a função ℎ é negativa”. 
Observamos que a opção: “Em (−9,−6) ∪ (5, 10) a função ℎ é positiva e em (0, 4) ∪ (8, 12) a função 
ℎ é negativa” não é verdadeira pois em (8, 12) a função ℎ não é negativa, já que em (8, 10) a função ℎ é 
positiva. 
Observamos que a opção: “Em (−4, 0) ∪ (4, 8) a função ℎ é positiva e em (−6,−2) ∪ (3, 5) a função 
ℎ é negativa” não é verdadeira pois em (−4, 0) a função ℎ é não é positiva, já que em (−4,−2) a função 
é negativa. 
Observamos que a opção: “Em (4, 8) ∪ (12, 17) a função ℎ é positiva e em (−9,−4) ∪ (0, 4) a função 
ℎ é negativa” não é verdadeira pois em (4, 8) ∪ (12, 17) a função ℎ é não é positiva, já que em (4, 5) a 
função ℎ é negativa e também em (12, 14) função ℎ é negativa. Também em (−9,−4) ∪ (0, 4) a função 
ℎ é não negativa, já que em (−9,−6) a função ℎ é positiva e também em (0, 4) a função ℎ é positiva. 
(2) Quanto ao estudo do crescimento e decrescimento da função 𝒉, podemos dizer que: 
Observando o gráfico, a resposta correta é: 
“Em [12, 18] a função ℎ é crescente e em [0, 4] a função ℎ é decrescente”. 
Observamos que a opção: “Em [−2, 3] a função ℎ é crescente e em [0, 4] a função ℎ é decrescente” não 
é verdadeira, pois em [−2, 3] a função ℎ não é crescente. A função ℎ é crescente em [−2, 0] e é 
decrescente em [0, 3]. 
Observamos que a opção: “Em [12, 18] a função ℎ é crescente e em [−6,−2] a função ℎ é decrescente” 
não é verdadeira, pois em [−6,−2] a função ℎ não é decrescente. A função ℎ é decrescente em [−6, −4] 
e é crescente em [−4,−2]. 
Observamos que a opção: “Em [5, 10] a função ℎ é crescente e em [10, 14] a função ℎ é decrescente” 
não é verdadeira. Em [5, 10] a função ℎ não é crescente. A função ℎ é crescente em [5, 8] e é decrescente 
em [8, 10]. Também em [10, 14] a função ℎ é não é decrescente, pois em [10, 12] a função é decrescente, 
mas em [12, 14] a função é crescente. 
APX1 – 2020-2 Pré-Cálculo GABARITO Página 24 de 27 
(3) Quanto à função 𝒉 ser inversível ou não, podemos dizer que: 
Observando o gráfico, a resposta correta é: 
"Quando restrita ao intervalo [0, 4], a função h é INVERSÍVEL". 
Essa resposta é verdadeira, pois nesse intervalo a função é decrescente, logo inversível. 
Observamos que a opção: “Quando restrita ao intervalo [17, 22] , a função h é INVERSÍVEL" não é 
verdadeira, pois no intervalo [17, 22] a função não é injetiva, pois por exemplo, a reta horizontal 𝑦 =
9
2
 
corta o gráfico em dois pontos distintos. 
Observamos que a opção: “Quando restrita ao intervalo [4, 8], a função h NÃO é INVERSÍVEL" não é 
verdadeira, pois no intervalo [4, 8] a função é inversível, já que nesse intervalo a função é crescente, logo 
inversível. 
(4) Quanto à paridade da função h, podemos dizer que: 
Observando o gráfico, a resposta correta é: 
“A função ℎ não é par e nem ímpar”. 
Para que uma função seja par ou ímpar é preciso que o seu domínio seja simétrico com relação à origem 
da reta real e o domínio da função ℎ é o intervalo [−14, 22], que não é um intervalo simétrico com 
relação à origem da reta real. O gráfico não apresenta simetria com relação ao eixo 𝑦 e nem com relação 
à origem. 
_____________________________________________________________________________________ 
Questão 6 [1,6] TIPO 2 
 
 
 
 
 
 
 Observe o gráfico acima para escolher em cada um dos itens abaixo a opção correta. 
(1) Quanto ao estudo do sinal da função ℎ, podemos dizer que: _________________________ 
(2) Quanto ao estudo do crescimento e decrescimento da função h, podemos dizer que: _____ 
(3) Quanto à função ℎ ser inversível ou não, podemos dizer que: ______________________ 
APX1 – 2020-2 Pré-Cálculo GABARITO Página 25 de 27 
(4) Quanto à paridade da função ℎ, podemos dizer que: ________________________________ 
Opções de respostas do item (1) 
Opção 1 Em (−9,−6) ∪ (5, 10) a função ℎ é negativa e em (−6,−2) ∪ (3, 5) a função ℎ é positiva 
Opção 2 Em (−9,−6) ∪ (5, 10) a função ℎ é negativa e em (0, 4) ∪ (8, 12) a função ℎ é positiva 
Opção 3 Em (−4, 0) ∪ (4, 8) a função ℎ é negativa e em (−6,−2) ∪ (3, 5) a função ℎ é positiva 
Opção 4 Em (4, 8) ∪ (12, 17) a função ℎ é negativa e em (−9,−4) ∪ (0, 4) a função ℎ é positiva 
Opções de respostas do item (2) 
Opção 5 Em [12, 18] a função ℎ é decrescente e em [0, 4] a função ℎ é crescente 
Opção 6 Em [−2, 3] a função ℎ é decrescente e em [0, 4] a função ℎ é crescente 
Opção 7 Em [12, 18] a função ℎ é decrescente e em [−6,−2] a função ℎ é crescente 
Opção 8 Em [5, 10] a função ℎ é decrescente e em [10, 14] a função ℎ é crescente 
Opções de respostas do item (3) 
Opção 9 Quando restrita ao intervalo [4, 8] , a função h é INVERSÍVEL 
Opção 10 Quando restrita ao intervalo [-14,-9] , a função h é INVERSÍVEL 
Opção 11 Quando restrita ao intervalo [0, 4] , a função h NÃO é INVERSÍVEL 
Opções de respostas do item (4) 
Opção 12 A função ℎ não é par e nem ímpar 
Opção 6 A função ℎ é par 
Opção 7 A função ℎ é ímpar 
RESOLUÇÃO: 
(1) Quanto ao estudo do sinal da função 𝒉 , podemos dizerque: 
Observando o gráfico, a resposta correta é: 
“Em (−9,−6) ∪ (5, 10) a função ℎ é negativa e em (−6,−2) ∪ (3, 5) a função ℎ é positiva”. 
Observamos que a opção: “Em (−9,−6) ∪ (5, 10) a função ℎ é positiva e em (0, 4) ∪ (8, 12) a função 
ℎ é negativa” não é verdadeira pois em (8, 12) a função ℎ não é positiva, já que em (8, 10) a função ℎ é 
negativa. 
APX1 – 2020-2 Pré-Cálculo GABARITO Página 26 de 27 
Observamos que a opção: “Em (−4, 0) ∪ (4, 8) a função ℎ é negativa e em (−6,−2) ∪ (3, 5) a função 
ℎ é positiva” não é verdadeira pois em (−4, 0) a função ℎ é não é negativa, já que em (−4,−2) a função 
é positiva. 
Observamos que a opção: “Em (4, 8) ∪ (12, 17) a função ℎ é negativa e em (−9,−4) ∪ (0, 4) a função 
ℎ é positiva” não é verdadeira pois em (4, 8) ∪ (12, 17) a função ℎ não é negativa, já que em (4, 5) a 
função ℎ é positiva e também em (12, 14) função ℎ é positiva. Também em (−9,−4) ∪ (0, 4) a função ℎ 
é não positiva, já que em (−9,−6) a função ℎ é negativa e também em (0, 4) a função ℎ é negativa. 
(2) Quanto ao estudo do crescimento e decrescimento da função 𝒉, podemos dizer que: 
Observando o gráfico, a resposta correta é: 
“Em [12, 18] a função h é decrescente e em [0, 4] a função ℎ é crescente”. 
Observamos que a opção: “Em [−2, 3] a função h é decrescente e em [0, 4] a função ℎ é crescente” não 
é verdadeira, pois em [−2, 3] a função ℎ não é decrescente. A função ℎ é decrescente em [−2, 0] e é 
crescente em [0, 3]. 
Observamos que a opção: “Em [12, 18] a função ℎ é decrescente e em [−6,−2] a função ℎ é crescente” 
não é verdadeira, pois em [−6,−2] a função ℎ não é crescente. A função ℎ é crescente em [−6,−4] e é 
decrescente em [−4,−2]. 
Observamos que a opção: “Em [5, 10] a função ℎ é decrescente e em [10, 14] a função ℎ é crescente”, 
não é verdadeira. Em [5, 10] a função ℎ não é decrescente. A função ℎ é decrescente em [5, 8] e é 
crescente em [8, 10]. Também em [10, 14] a função ℎ é não é crescente, pois em [10, 12] a função é 
crescente, mas em [12, 14] a função é decrescente. 
(3) Quanto à função 𝒉 ser inversível ou não, podemos dizer que: 
Observando o gráfico, a resposta correta é: 
“Quando restrita ao intervalo [4, 8] , a função h é INVERSÍVEL". 
Essa resposta é verdadeira, pois nesse intervalo a função é decrescente, logo inversível. 
Observamos que a opção: “Quando restrita ao intervalo [-14,-9] , a função h é INVERSÍVEL" não é 
verdadeira, pois no intervalo [−14,−9] a função não é injetiva, pois por exemplo, a reta horizontal 
 𝑦 = −
9
2
 corta o gráfico em dois pontos distintos. 
Observamos que a opção: “Quando restrita ao intervalo [0, 4] , a função h NÃO é INVERSÍVEL" não é 
verdadeira, pois no intervalo [0, 4] a função é inversível, já que nesse intervalo a função é crescente, logo 
inversível. 
APX1 – 2020-2 Pré-Cálculo GABARITO Página 27 de 27 
(4) Quanto à paridade da função 𝒉 , podemos dizer que: 
Observando o gráfico, a resposta correta é: 
“A função ℎ não é par e nem ímpar”. 
Para que uma função seja par ou ímpar é preciso que o seu domínio seja simétrico com relação à origem 
da reta real e o domínio da função ℎ é o intervalo [−14, 22], que não é um intervalo simétrico com 
relação à origem da reta real. O gráfico não apresenta simetria com relação ao eixo 𝑦 e nem com relação 
à origem.