Lista de Exercícios da Unidade I

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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO CIÊNCIA E TECNOLOGIA DA PARAÍBA
Campus: Cajazeiras
Curso: Bacharelado em Engenharia Civil
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
Professor: José Doval Nunes Martins
Período letivo: 2020.2
LISTA DE EXERCÍCIOS DA UNIDADE I
1. Uma caixa de papelão sem tampa é fabricada da seguinte forma: de um retângulo que mede 15cm de largura
e 30cm de comprimento são retirados quadrados de lados x nos quatro cantos. A caixa é, então, dobrada
(ver figura abaixo).
Determine a função, especificando o seu domínio, que define a variação do volume dessa caixa em função do
valor do lado x dos quadrados retirados.
2. O gráfico de uma função f é representado na figura abaixo.
(a) Diga o valor de f(1);
(b) É correta a estimativa 2 < f(2) < 3?
(c) Para quais valores de x é f(x) = 1?
(d) Estime os valores de x tais que f(x) = 0;
(e) Diga qual é o domínio e a imagem de f .
(f) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de f .
3. Os gráficos de f e g são dados na figura abaixo.
(a) Diga o valor de f(−4) e f(3).
(b) Para quais valores de x tem-se f(x) = g(x)?
(c) Para quantos valores de x, f(x) = 0?
(d) Para quantos valores de x, g(x) = 0?
(e) Em qual intervalo f é decrescente?
(f) Diga qual é o domínio e a imagem de f.
(g) Obtenha o domínio e a imagem de g.
4. Nos casos a seguir, verifique que Im (g) ⊂ Dom (f) para, assim, determinar a função composta f ◦ g.
(a) f (x) = x2 e g (x) =
√
x
(b) f (x) = x2 + 3 e g (x) = x+1x−2
(c) f (x) = −
√
x e g (x) =
√
2− x
(d) f (x) = xx+1 e g (x) =
x+1
x−1
5. Considere a função f : R− {4} → R− {5} definida por f (x) = 5x+3x−4 .
(a) Mostre que f é bijetiva.
(b) Determine a inversa de f .
(c) Mostre que f
(
f−1 (x)
)
= x.
6. Uma máquina ao sair da fabrica, sofre uma desvalorização constante pelo seu uso, representada pela função
P (t) = 50 − 5t, em que P é o preço da maquina (em reais) e t é o tempo de uso (em anos). Faça o que se
pede:
(a) Determine o custo da maquina ao sair da fabrica;
(b) Determine o custo da maquina após 5 anos de uso;
(c) Determine o tempo para que a máquina se desvalorize totalmente;
(d) Esboce o gráfico dessa função.
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7. Dados os pontos A(3, 7), B(4, 5), C(5, 5) e D(5, 3) em R2, determine a função afim f(x) = ax+b cujo gráfico
contém três desses pontos.
8. Em um dia de inverno, a temperatura y de uma região, em grau Celsius, em função do horário x, no período
das 5h às 11h, pôde ser descrita pelo gráfico:
(a) Em que horário desse período a temperatura atingiu 0◦C?
(b) Durante quanto tempo desse período a temperatura esteve negativa?
(c) Durante quanto tempo desse período a temperatura esteve positiva?
9. Considere a função f : R→ R definida por f(x) = x2 + 4x+ 5.
(a) Verifique que f (x) = (x+ 2)2 + 1;
(b) Esboce o gráfico de f ;
(c) Calcule o menor valor de f (x) e para qual x esse valor é assumido.
10. Seja f a função f : R→ R definida por f(x) = −2x2 − 8x+ 10.
(a) Escreva f na forma canônica;
(b) Determine os zeros da função, caso exista;
(c) Determine as coordenadas do vértice;
(d) O valor mínimo ou máximo;
(e) Os pontos em que o gráfico determinado pela função f intercepta os eixos x e y;
(f) Construa o gráfico de f ;
(g) Obtenha o conjunto imagem de f .
(h) Os intervalos de crescimento e decrescimento.
11. Determine o domínio das funções a seguir.
(a) f (x) = x
x2+1
(b) f (x) = x
x2−1
(c) f (x) =
√
4− x2
(d) f (x) =
√
x− 1 +
√
3− x
(e) f (x) =
√
2x−1
1−3x
(f) f (x) =
√
x+1
x2+2x−3
3
12. Determine as coordenadas (x, y) de todos os pontos em que os gráficos das funções dadas a seguir se inter-
ceptam e em seguida, no mesmo sistema de eixos, esboce o gráfico das mesmas.
(a) y = x2 e y =
√
x
(b) y = 2x+ 3 e y = x2 − 8x+ 12
(c) y =
√
4− x e y = x3
(d) y = x2, y = 2− x2 e y = 2x+ 8
13. Um lote retangular, doado a uma instituição filantrópica, deverá ser demarcado num terreno em formato de
triângulo retângulo. Na figura abaixo, x e y representam as dimensões desse lote.
(a) Sabendo que a área, S, do lote é dada pela expressão S = 60x− 2x2, determine o valor de x para que
o lote doado tenha a maior área possível.
(b) Usando os dados da figura e a fórmula para cálculo da área de um retângulo, mostre como obter a
expressão S = 60x− 2x2.
14. Esboce o gráfico das funções a seguir.
(a) f (x) = |x− 4|
(b) f (x) = 2 + |x− 1|
(c) f(x) =
{
|x+3|
x+3 , se x 6= −3
0, se x = −3
(d) f(x) =

1
x , se x < 0
x2, se 0 ≤ x < 1
2, se x = 1
2− x, se x > 1
15. Seja f a função f : R→ R, definida por f (x) = |x− 1|+ |x− 2|. Mostre que
f(x) =

−2x+ 3, se x ≤ 1
1, se 1 < x < 2
2x− 3, se x ≥ 2
e esboce o gráfico de f.
16. Seja f a função definida por
f(x) =

x+ 3, se x < 0
1, se x = 0
(x− 2)2 − 1, se x > 0
(a) Determine f(−1), f(0) e f(3);
(b) Esboce o gráfico de f.
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17. Considere a função f :
[
1
2 ,+∞
)
→
[
3
4 ,+∞
)
definida por f(x) = x2 − x + 1. Quem é f−1 (x)? Esboce em
um mesmo plano cartesiano o gráfico de f e f−1.
18. Dada a função f(x) =
(
3
2
)x, determine:
(a) f(3) e f(−2);
(b) o valor de x para que se tenha f(x) = 24332 ;
(c) o valor de x para que se tenha f(x) = 827 .
19. Seja f a função definida por f (x) = 3x.
(a) Esboce o gráfico de f ;
(b) Determine o domínio e a imagem de f ;
(c) Observe o gráfico do item (a) e responda (intuitivamente) :
(i) o que ocorre com f(x) quando o valor de x tende a −∞.
(ii) o que ocorre com f(x) quando o valor de x tende a +∞.
20. Seja f a função definida por f (x) =
(
1
3
)x.
(a) Esboce o gráfico de f ;
(b) Determine o domínio e a imagem de f ;
(c) Observe o gráfico do item (a) e responda (intuitivamente) :
(i) o que ocorre com f(x) quando o valor de x tende a −∞.
(ii) o que ocorre com f(x) quando o valor de x tende a +∞.
21. Uma substancia se decompõe aproximadamente segundo a lei, onde K é uma constante, t indica o tempo
(em minutos) e Q(t) indica a quantidade de substancia (em gramas) no instante t. Considerando-se os dados
desse processo de decomposição mostrados no gráfico, determine os valores de K e a.
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22. Calcular a soma S nos seguintes casos:
(a) S = log 1
16
√
2 + log3
√
243
(b) S = log8
√
2 + log√2 8− log√2
√
8
(c) S = [log5 (log3 243)]
2
23. Desenvolver aplicando as propriedades dos logaritmos (a, b e c são números reais positivos).
(a) log2
2ab
c (b) log
a3b2
c4
(c) ln a
3
b2
√
c
24. Qual é a expressão cujo desenvolvimento logarítmico é dado abaixo (a, b e c são reais positivos)?
(a) 2 log a− log b− 3 log c (b) 12 ln a− 2 ln b−
1
3 ln c (c) 2 +
1
3 log2 a+
1
6 log2 b− log2 c
25. Seja f a função definida por f (x) = log3 x.
(a) Esboce o gráfico de f ;
(b) Determine o domínio e a imagem de f ;
(c) Observe o gráfico do item (a) e responda (intuitivamente) :
(i) o que ocorre com f(x) quando o valor de x tende a um valor próximo de zero pela direita.
(ii) o que ocorre com f(x) quando o valor de x tende a +∞.
26. Seja f a função definida por f (x) = log 1
3
x.
(a) Esboce o gráfico de f ;
(b) Determine o domínio e a imagem de f ;
(c) Observe o gráfico do item (a) e responda (intuitivamente) :
(i) o que ocorre com f(x) quando o valor de x tende a um valor próximo de zero pela direita.
(ii) o que ocorre com f(x) quando o valor de x tende a +∞.
27. A curva seguinte representa o gráfico da função f : R∗+ → R definida por f (x) = log4 x.
Determine o valor da área da região destacada na figura acima.
6
28. Determine o domínio das funções a seguir.
(a) log(4−x)
(
x2 − 4x− 21
)
(b) f (x) = ln
(
2x− x2
)
(c) f (x) = log
(
9−x2
x−1
)
29. Seja f a função definida por f (x) = ln
√
2− 2x. Determine a função inversa de f , o domínio e a imagem de
f−1.
30. Na figura a seguir, os pontos C e D estão sobre o gráfico da função y = log2 x, os pontos A e B tem abscissas
iguais a 83 e 12 respectivamente, e os segmentos AD e BC são paralelos ao eixo y.
Dessa forma, qual o valor da área do trapézio ABCD?
31. Esboce o gráfico de cada uma das seguintes funções, determinando seu domínio, conjunto imagem e período:
(a) f (x) = 4 sinx
(b) f (x) =sin 4x
(c) f (x) = 3 sin
(
x− π3
)
(d) f (x) = 3 cosx
(e) f (x) = 1 + 2 cos 3x
(f) f (x) = 4 cos
(
x− π4
)
32. O gráfico da figura abaixo é o da função f : [0, 4π]→ R definida por:
(a) f (x) = 2 sin (3x)
(b) f (x) = 2 sin
(
x
3
) (c) f (x) = 3 sin (x2)
(d) f (x) = 3 sin (3x)
(e) f (x) = 4 sin (3x)
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Referências Bibliográficas
[1] Fleming, d.m; Gonçalves, m.b. Cálculo A: funções, limite, derivação, integração, São Paulo: Pearson
Prentice Hall, 6a ed. rev. e ampl., 2006.
[2] Iezzi, G.; Murakami, C. Fundamentos de matemática elementar, 1: Conjuntos, Funções, São Paulo: Atual,
2013.
[3] matos, m.p. Complementos de cálculo e análise. Disponível em: http://www.mpmatos.com.br/Calculo1/Lista01.pdf.
Acesso em: 26 de julho de 2020.
[4] matos, m.p. Complementos de cálculo e análise. Disponível em: http://www.mpmatos.com.br/Calculo1/Lista02.pdf.
Acesso em: 30 de julho de 2020.
[5] Paiva, Manuel. Matemática - Paiva, 1. ed, São Paulo: Moderna, 2009.
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