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DECOM-FEEC-UNICAMP EE-881 – Princípios de Comunicações I EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1 DECOM-FEEC-UNICAMP EE-881 – Princípios de Comunicações I 1. Um experimento consiste em observar a soma dos números de 2 dados quando eles são jogados. a) Descreva o espaço amostral. S = 1−6( ) 2−6( ) 3−6( ) 4−6( ) 5−6( ) 6−6( ) 1−5( ) 2−5( ) 3−5( ) 4−5( ) 5−5( ) 6−5( ) 1− 4( ) 2− 4( ) 3− 4( ) 4− 4( ) 5− 4( ) 6− 4( ) 1−3( ) 2−3( ) 3−3( ) 4−3( ) 5−3( ) 6−3( ) 1− 2( ) 2− 2( ) 3− 2( ) 4− 2( ) 5− 2( ) 6− 2( ) 1−1( ) 2−1( ) 3−1( ) 4−1( ) 5−1( ) 6−1( ) " # $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ % & ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' DECOM-FEEC-UNICAMP EE-881 – Princípios de Comunicações I b) Assumido todos os resultados equiprováveis, encontre a probabilidade da soma ser 7 e a probabilidade da soma ser maior que 10. P soma = 7( ) = P 1−6( )+ P 2−5( )+ P 3− 4( )+ P 4−3( )+ P 5− 2( )+ P 6−1( ) = 6× 1 36 = 1 6 P soma >10( ) = P 5−6( )+ P 6−6( )+ P 6−5( ) = 3× 136 = 1 12 DECOM-FEEC-UNICAMP EE-881 – Princípios de Comunicações I 2. Um experimento consiste em observar 6 pulsos consecutivos em um enlace de comunicações. Pulso pode ser positivo, negativo ou ausente. Experimentos individuais que determinam o tipo de pulso são independentes. i-ésimo pulso: positivo: {xi = +1} negativo: {xi = -1} ausente: {xi = 0} Assuma que P(xi = +1) = 0,4 e P(xi = -1) = 0,3. a) Encontre a probabilidade de todos os pulsos serem positivos. b) Encontre a probabilidade dos 3 primeiros serem positivos, os 2 seguintes serem negativos e o último ausente. P x1 = +1( ) , x2 = +1( ) , x3 = +1( ) , x4 = +1( ) , x5 = +1( ) , x6 = +1( )!" #$= P x1 = +1( )P x2 = +1( )P x3 = +1( )P x4 = +1( )P x5 = +1( )P x6 = +1( ) = 0,46 = 0,0041 P x1 = +1( ) , x2 = +1( ) , x3 = +1( ) , x4 = −1( ) , x5 = −1( ) , x6 = 0( )"# $%= P x1 = +1( )P x2 = +1( )P x3 = +1( )P x4 = −1( )P x5 = −1( )P x6 = 0( ) = 0,43 ×0,32 ×0,3= 0,0017 DECOM-FEEC-UNICAMP EE-881 – Princípios de Comunicações I 3. Um submarino atira 3 torpedos contra um porta-aviões. O porta-aviões só será afundado de 2 ou mais torpedos o atingirem. Sabendo que a probabilidade de um torpedo acertar o porta-aviões é de 0,4, qual é a probabilidade de afundar o porta-aviões. P não acertar nenhum torpedo( ) = 3 0 ! " # # $ % & & 0,4( ) 0 1−0,4( ) 3 = 0,216 P acertar 1 torpedo( ) = 3 1 ! " # # $ % & & 0,4( ) 1 1−0,4( ) 2 = 0,432 P acertar 2 torpedos( ) = 3 2 ! " # # $ % & & 0,4( ) 2 1−0,4( ) 1 = 0,288 P acertar 3 torpedos( ) = 3 3 ! " # # $ % & & 0,4( ) 3 1−0,4( ) 0 = 0,064 P afundar o porta-aviões( ) = P acertar 2 torpedos( )+ P acertar 3 torpedos( ) = 0,352 DECOM-FEEC-UNICAMP EE-881 – Princípios de Comunicações I 4. Variável aleatória X: 0 ⇒ P(0) = α 1 ⇒ P(1) = 1 - α a) Média: b) Variância: mX = E X!" #$= 0 ⋅α +1⋅ 1−α( ) =1−α σ X 2 = E X 2!" #$−mX 2 E X 2!" #$= 0 2 ⋅α +12 ⋅ 1−α( ) =1−α σ X 2 = 1−α( )− 1−α( ) 2 = 1−α( )α DECOM-FEEC-UNICAMP EE-881 – Princípios de Comunicações I 5. A PDF de uma variável aleatória X é dada por: a) Determine k. b) Seja a = -1 e b = 2. Calcule P(|X| ≤ 1/2). f X x( ) = k a ≤ x ≤ b 0 fora " # $ %$ f X x( )dx−∞ ∞ ∫ =1⇒ k dxa b ∫ =1⇒ k = 1b− a f X x( ) = 1 3 −1≤ x ≤ 2 0 fora # $ % & % P X ≤1 2( ) = P − 12 ≤ X ≤ 1 2 # $ % & ' (= f X x( )dx−1 2 1 2 ∫ = 13dx−1 2 1 2 ∫ = 13 x -1 0 2 -1/2 1/2 fX(x) 1/3 DECOM-FEEC-UNICAMP EE-881 – Princípios de Comunicações I 6. Assuma que a altura das nuvens é uma variável aleatória gaussiana X com média 1830 m e desvio padrão de 460 m. Qual a probabilidade das nuvens estarem acima de 2750 m? FX x( ) = P X ≤ x( ) = 1 2 1+ erf x −mx 2σ X ! " # # $ % & & ' ( ) ) * + , , P X > 2750( ) =1− P X ≤ 2750( ) =1− 12 1+ erf 2750−1830 2460 " # $ % & ' ( ) * + , - = 1 2 − 1 2 erf 2( ) = 12 − 1 2 ⋅0,954 = 0,023 DECOM-FEEC-UNICAMP EE-881 – Princípios de Comunicações I 7. Encontre a covariância de X e Y para a) X e Y independentes. b) X e Y relacionados por Y = aX + b. Cov XY!" #$= E XY!" #$−mXmY = E X!" #$E Y!" #$−mXmY =mXmY −mXmY = 0 Cov XY!" #$= E XY!" #$−mXmY = E X aX +b( )!" #$−mXmY E XY!" #$= E X aX +b( )!" #$= E aX 2 +bX!" #$= aE X 2!" #$+bE X!" #$= aE X 2!" #$+bmX mY = E aX +b!" #$= amX +b Cov XY!" #$= aE X 2! " # $+bmX −mX amX +b( ) = aE X 2!" #$− amX2 = aσ X2 DECOM-FEEC-UNICAMP EE-881 – Princípios de Comunicações I 8. Considere um processo aleatório X(t) = Acos(ωt) + Bsen(ωt) onde ω é uma constante e A e B são variáveis aleatórias a) Mostre que a condição E[A] =E[B] = 0 é necessária para X(t) ser estacionário. b) Mostre que X(t) é estacionário no sentido amplo (WSS) se e somente se as variáveis A e B forem descorrelacionadas com igual variância, ou seja, E[AB] = 0 e E[A2] = E[B2] =σ2 mX t( ) = E Acos ωt( )+ Bsen ωt( )!" #$= E A!" #$cos ωt( )+ E B!" #$sen ωt( ) Para X(t) ser estacionário, mX(t) tem que ser independente de de t, então E A!" #$= E B!" #$= 0 DECOM-FEEC-UNICAMP EE-881 – Princípios de Comunicações I E X 2 0( )!" #$= E X 2 π 2ω ! " # $ % & ' ( ) * + ,= RX 0( ) =σ X2 mas X 0( ) = A e X π2ω ! " # $ % &= B Então, E A2!" #$= E B 2! " # $=σ X 2 =σ 2 Se X(t) é estacionário no sentido amplo, então RX t,t +τ( ) = E X t( ) X t +τ( )!" #$= E Acos ωt( )+ Bsen ωt( )( ) Acos ωt +τ( )+ Bsen ωt +τ( )( )!" #$= E A2 cos ωt( )cos ωt +τ( )!" #$+ E ABcos ωt( )sen ωt +τ( )!" #$+ E ABsen ωt( )cos ωt +τ( )!" #$+ E B2 sen ωt( )sen ωt +τ( )!" #$= 1 2 E A2!" #$+ E B 2! " # ${ }cos ωτ( )+ E AB!" #$cosω 2t +τ( ) DECOM-FEEC-UNICAMP EE-881 – Princípios de Comunicações I RX t,t +τ( ) = 1 2 E A2!" #$+ E B 2! " # ${ }cos ωτ( )+ E AB!" #$cosω 2t +τ( ) mas E A2!" #$= E B 2! " # $=σ 2 Então, RX t,t +τ( ) =σ 2 cos ωτ( )+ E AB!" #$cosω 2t +τ( ) Note que RX(t, t+τ) será função apenas de τ se E[AB]=0. Assim, se E[AB]=0 e E[A2] = E[B2] = σ2 , então temos: mX(t) = 0 RX(t, t+τ) = σ2cosωτ = RX(τ) logo X(t) é WSS!!! DECOM-FEEC-UNICAMP EE-881 – Princípios de Comunicações I 9. Mostre que se X(t) é WSS, então, E[[X(t + τ) - X(t) ]2] = 2[RX(0) - RX(τ)] onde RX(τ) é a autocorrelação de X(t). E X t +τ( )− X t( )"# $% 2" #& $ %' = E X 2 t +τ( )− 2X t +τ( ) X t( )+ X 2 t( )"# $%= E X 2 t +τ( )"# $%− 2E X t +τ( ) X t( )"# $%+ E X 2 t( )"# $%= RX 0( )− 2RX τ( )+ RX 0( ) = 2 RX 0( )− RX τ( )"# $% DECOM-FEEC-UNICAMP EE-881 – Princípios de Comunicações I 10. Um processo aleatório X(t) é dado pela soma de N sinais complexos: onde An é uma variável aleatória representando a amplitude do n-ésimo sinal. A variável aleatória Θn é uniformemente distribuída no intervalo {0, 2π}. An e Θn são estatisticamente independentes. Encontre a autocorrelação de X(t). X t( ) = An exp j2π f0t + jΘn( ) n=1 N ∑ RX τ( ) = E X * t( ) X * t +τ( )!" #$ = E An exp − j2π f0t − jΘn( ) Am exp j2π f0 t +τ( )+ jΘm( ) m=1 N ∑ n=1 N ∑ ! " ( # $ ) = exp j2π f0τ( ) E m=1 N ∑ n=1 N ∑ AnAm!" #$E exp j Θm −Θn( ){ }!" #$ Pois An e Θn são estatisticamente independentes. DECOM-FEEC-UNICAMP EE-881 – Princípios de Comunicações I Entretanto, E exp j Θm −Θn( ){ }#$ %&= E cos Θm −Θn( )#$ %&+ jE sen Θm −Θn( )#$ %& = cos θm −θn( )+ jsen θm −θn( )#$ %&0 2π ∫0 2π ∫ dθmdθn = 1 para m ≠ n 0 para m = n ) * + ,+ Logo, RX τ( ) = exp j2π f0τ( ) E An2!" #$ n=1 N ∑ DECOM-FEEC-UNICAMP EE-881 – Princípios de Comunicações I 11. Um processo aleatório X(t) estacionário no sentido amplo possui função de autocorrelação: onde A é uma constante. Encontre o espectro de potência deste processo. RX τ( ) = Aexp −3 τ( ) S f( ) = RX τ( )−∞ ∞ ∫ exp − j2π f τ( )dτ = Aexp −3 τ( )−∞ ∞ ∫ exp − j2π f τ( )dτ = A exp − 3+ j2π f( )τ$% &'dτ0 ∞ ∫ + P exp 3− j2π f( )τ$% &'dτ−∞ 0 ∫ = A 3+ j2π f + A 3− j2π f = 6A 9+ 4π 2 f 2 DECOM-FEEC-UNICAMP EE-881 – Princípios de Comunicações I 12. A relação entre a entrada e a saída de um diodo é: Seja X(t) um processo aleatório gaussiano com média zero e autocorrelação dada por: Encontre a média, a autocorrelação e a densidade espectral de potência de Y(t). média: Y t( ) = X 2 t( ) RX τ( ) = exp −α τ( ) α > 0 mY = E Y t( )!" #$= E X 2 t( )!" #$ = RX 0( ) = exp 0( ) =1 DECOM-FEEC-UNICAMP EE-881 – Princípios de Comunicações I Autocorrelação: mas X(t) e X(t – τ) são variáveis aleatórias gaussianas com média zero, então: RY τ( ) = E Y t( )Y t −τ( )"# $%= E X 2 t( ) X 2 t −τ( )"# $% RY τ( ) = E X 2 t( )!" #$E X 2 t −τ( )"# $%+ 2 E X t( ) X t −τ( )"# $%{ } 2 = RX 0( )RX 0( )+ 2 RX τ( )!" #$ 2 =1+ 2exp −2α τ( ) α > 0 E X 2 t( ) X 2 t −τ( )!" #$= E X 2 t( )!" #$E X 2 t −τ( )!" #$+ 2 E X t( ) X t −τ( )!" #${ } 2 (provar) DECOM-FEEC-UNICAMP EE-881 – Princípios de Comunicações I Densidade espectral de potência: SY f( ) = RY τ( )−∞ ∞ ∫ exp − j2π f τ( )dτ = 1+ 2exp −2α τ( )$% &'−∞ ∞ ∫ exp − j2π f τ( )dτ = exp − j2π f τ( )dτ−∞ ∞ ∫ + 2 exp − j2π f τ − 2α τ( )dτ−∞ ∞ ∫ = δ f( )+ 2α π 2 f 2 +α 2 DECOM-FEEC-UNICAMP EE-881 – Princípios de Comunicações I 13. Suponha que um processo aleatório X(t) estacionário no sentido amplo com densidade espectral de potência SX(t) é a entrada de um filtro como mostrado abaixo. Encontre a densidade espectral de potência do processo Y(t) de saída. Atraso T Σ X(t) Y(t) + - Y t( ) = X t( )− X t −T( ) h t( ) = δ t( )−δ t −T( )Resposta ao impulso do filtro: H f( ) =1− exp − j2π fT( ) DECOM-FEEC-UNICAMP EE-881 – Princípios de Comunicações I Então, SY f( ) = H f( ) 2 SX f( ) = 1− exp − j2π fT( ) 2 SX f( ) = 1− cos 2π fT( )( ) 2 + sen2 2π fT( )!"# $ %& SX f( ) = 2 1− cos 2π fT( )( )SX f( ) exp ± jθ( ) = cosθ ± jsenθ DECOM-FEEC-UNICAMP EE-881 – Princípios de Comunicações I 14. Um processo gaussiano estacionário X(t) com média zero e densidade espectral de potência SX(f) é aplicado em um filtro linear cuja resposta ao impulso h(t) é mostrada abaixo. Uma amostra Y do processo aleatório é tomada na saída do filtro no tempo T. a) Determine a média e a variância de Y. b) Qual é a função densidade de probabilidade de Y? ( )th t T 1 T0 DECOM-FEEC-UNICAMP EE-881 – Princípios de Comunicações I a) Saída do filtro Fazendo T – τ = u, então, o valor da amostra de Y(t) em t = T é igual a A média de Y é portanto, Y t( ) = h τ( ) X t −τ( )dτ−∞ ∞ ∫ = 1 T X t −τ( )dτ0 T ∫ Y = 1 T X u( )du0 T ∫ E Y!" #$= 1 T E X u( )du0 T ∫"#$ % &' = 1 T E X u( )!" #$du0 T ∫ = 0 ( )th t T 1 T0 DECOM-FEEC-UNICAMP EE-881 – Princípios de Comunicações I e a variância de Y é mas então, σY 2 = E Y 2!" #$− E Y!" #$ 2 = E Y 2!" #$ = RY 0( ) σY 2 = SY f( )df−∞ ∞ ∫ = SX f( ) H f( ) 2 df −∞ ∞ ∫ H f( ) = h t( )exp − j2π f t( )dt−∞ ∞ ∫ = 1T exp − j2π f t( )dt0 T ∫ = 1T exp − j2π f t( ) − j2π f 0 T = 1 2π f T 1− exp − j2π f T( )!" #$= sinc f T( )exp − jπ f T( ) σY 2 = SY f( )df−∞ ∞ ∫ = SX f( )sinc2 f T( )df−∞ ∞ ∫ DECOM-FEEC-UNICAMP EE-881 – Princípios de Comunicações I b) Como a entrada do filtro é gaussiana, segue que a saída do filtro também é gaussiana. Então, a função densidade de probabilidade de Y é dada por: fY y( ) = 1 2πσY exp − y 2 2σY 2 " # $$ % & '' DECOM-FEEC-UNICAMP EE-881 – Princípios de Comunicações I 15. Seja X(t) e Y(t) definidos por X(t) = Acos(ωt) + Bsen(ωt) Y(t) = Bcos(ωt) - Asen(ωt) onde ω é uma constante e A e B são variáveis aleatórias independentes possuindo média nula e variância σ2. Encontre a correlação cruzada de X(t) e Y(t). RXY t1,t2( ) = E X t1( )Y t2( )!" #$ = E Acos ωt1( )+ Bsen ωt1( )( ) Bcos ωt2( )− Asen ωt2( )( )!" #$ = E AB!" #$ cos ωt1( )cos ωt2( )− sen ωt1( )sen ωt2( )( ) −E A2!" #$ cos ωt1( )sen ωt2( )( ) −E B2!" #$ sen ωt1( )cos ωt2( )( ) DECOM-FEEC-UNICAMP EE-881 – Princípios de Comunicações I Como E AB!" #$= E A!" #$E B!" #$= 0 E A2!" #$= E B 2! " # $=σ 2 Então, RXY t1,t2( ) = −E A2!" #$ cos ωt1( )sen ωt2( )( ) +E B2!" #$ sen ωt1( )cos ωt2( )( ) =σ 2 sen ωt1( )cos ωt2( )− cos ωt1( )sen ωt2( )( ) =σ 2 senω t1 − t2( ) RXY τ( ) =σ 2 sen ωτ( )
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