lista de exercicios

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LISTA DE EXERCÍCIOS: CÁLCULO
(CB0587)
Prof. Lucas Castello Branco
(lucascastello@mat.ufc.br)
Problema 1 Sejam f e g duas funções contínuas no ponto 1.
(a) Se f(1) = 6 e g(1) = −9, calcule o limite
lim
x→1
3f(x) + 2g(x).
(b) O que podemos dizer dos limites laterais à direita e à esquerda da
função 3f(x) + 2g(x) no ponto 1?
(c) A função 3f + 2g é contínua em 1?
Problema 2 Seja f uma função real e p ∈ R. Utilizando a definição de
limite, conclua que
(a)
lim
x→p
f(x) = 0 ⇐⇒ lim
x→p
∣f(x)∣ = 0.
(b) Considere a função
f(x) = {
1 , se x ∈ Q
−1 , se x ∈ R −Q
Calcule lim
x→p
f(x) e lim
x→p
∣f(x)∣.
(c) Conclua, pelo item anterior, que o limite do módulo de uma função
nem sempre é igual ao módulo do limite.
• Em geral,
lim
x→p
f(x) = L Ô⇒ lim
x→p
∣f(x)∣ = ∣L∣.
Porém, como vimos no exercício, a recíproca só é verdadeira quando
L = 0.
Problema 3 Seja f(x) = 1/x.
(a) Qual o domínio máximo de definição da função f?
(b) A função f é contínua (em seu domínio)? Justifique informalmente.
1
(c) A partir do gráfico de f , ache o valor de:
lim
x→0+
f(x), lim
x→0−
f(x), lim
x→∞
f(x), lim
x→−∞
f(x).
Problema 4 Calcule os seguintes limites:
(a) lim
x→π−
7
(b) lim
x→−4−
x2 − 5
(c) lim
x→−∞
x9
(d) lim
x→0
(x7 − 6)
(e) lim
x→0
x3 + 1
x2 + 4x + 3
(f) lim
x→−1
x3 + 1
x2 + 4x + 3
(g) lim
x→0
√
x + 7 −
√
7
x
Dica: Multiplicar a expressão no numerador e no denominador por√
x + 7 +
√
7.
(h) lim
x→+∞
x
x2 + 3x + 1
(i) lim
x→+∞
33 − 4x + 2
7x3 + 5
(j) lim
x→−∞
2x + 1
x + 3
(k) lim
x→+∞
x4 − 3x + 2
(l) lim
x→3−
5
4 − x
(m) lim
x→3+
5
3 − x
Problema 5 Suponha que f e g são funções reais tais que, para todo x,
f(x)4 + g(x)4 = 1.
(a) Conclua que 0 ≤ f(x)4 ≤ 1 e assim devemos ter 0 ≤ f(x)2 ≤ 1.
(b) Conclua que −1 ≤ f(x) ≤ 1, ou seja, ∣f(x)∣ ≤ 1.
(c) Utilizando o teorema do confronto, calcule
lim
x→0
xf(x).
2
(Dica: Usar o teorema do confronto e o Problema 2, item (b).)
Problema 6 Seja
f(x) = {
1 , se x ∈ Q
−1 , se x ∈ R −Q
Use o teorema do confronto para calcular
lim
x→0
x2f(x).
3