Geometria: Axiomas e Posições de Retas

Prévia do material em texto

das
A
Gabarito
utoatividades
MAD | 2013/2 | Módulo III
GEOMETRIA
Centro Universitário Leonardo da Vinci
Rodovia BR 470, Km 71, nº 1.040
Bairro Benedito - CEP 89130-000
Indaial - Santa Catarina - 47 3281-9000
Elaboração:
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci - UNIASSELVI
Prof.ª Márcia Vilma Aparecida Depiné Dalpiaz
Prof.º Juliano Bona
3UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
G
E
O
M
E
T
R
I
A
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES DE
GEOMETRIA
Centro Universitário Leonardo da Vinci
Rodovia BR 470, Km 71, nº 1.040
Bairro Benedito - CEP 89130-000
Indaial - Santa Catarina - 47 3281-9000
Elaboração:
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci - UNIASSELVI
UNIDADE 1
TÓPICO 1 
1 Para saber se você entendeu o assunto estudado neste tópico, faça 
uma relação com cinco objetos do seu cotidiano que deem ideia de 
pontos, retas e planos.
R.: A resposta desta atividade é pessoal, porém citam-se alguns objetos 
como sugestão:
● Ideia de ponto – a bolinha do dado indicando o número um, as bolinhas nas 
peças de um dominó, a luz do timer da TV, o ponto final de uma frase etc.
● Ideia de reta – o fio elétrico de um poste a outro, um fio de cabelo, a faixa 
branca do asfalto, as linhas da folha do caderno, um fio de arame da cerca etc.
● Ideia de plano – o piso da casa, a parede da sala, a tela da TV, uma folha 
A4, o vidro da janela etc.
2 Os axiomas ou postulados de Euclides estabelecem relações 
primitivas entre os entes geométricos. A cerca dessas relações, 
analise as sentenças e classifique V para verdadeiras e F para falsas.
a) (V) Por um ponto passam infinitas retas.
b) (V) Por quatro pontos, todos distintos, pode passar uma só reta.
c) (V) Dois pontos distintos determinam uma e uma só reta.
d) (V) Por três pontos alinhados para uma única reta.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
a) ( ) V – F – V – V.
b) ( ) V – V – F – V.
c) ( ) V – V – F – F.
d) ( ) V – F – V – F.
Errata: Questão 2 não possui alternativa correta. Texto para o item d: Por ter 
pontos alinhados, PASSAM uma única reta.
3 Para as sentenças do exercício 2 justifique a condição de serem 
falsas.
4 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
G
E
O
M
E
T
R
I
A
R.: Você ganhou um descanso, vá para a próxima questão.
Não há sentenças falsas no exercício 2. 
4 Complete as lacunas das sentenças a seguir:
• Quatro pontos distintos podem determinar um PLANO.
• Dados três pontos ALINHADOS sempre é possível traçar uma reta que 
contenha os três pontos.
• Uma reta está totalmente contida em um plano quando tem DOIS pontos 
DISTINTOS deste plano.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
a) ( ) ponto – alinhados – dois – distintos.
b) ( ) plano – quaisquer – três – alinhados.
c) ( ) plano – alinhados – dois – distintos.
d) ( ) ponto – alinhados – três – alinhados
R.: Alternativa (C).
 
5 Sobre os axiomas de Euclides, analise as sentenças a seguir:
I – Por dois pontos distintos passa uma reta. VERDADEIRO
II – Três pontos distintos são sempre colineares. FALSO
III – Três pontos distintos são sempre coplanares. VERDADEIRO
IV – Quatro pontos distintos podem determinar duas retas.VERDADEIRO
V – Três pontos coplanares são sempre colineares. FALSO
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
a) ( ) Somente afirmativa IV está correta.
b) ( ) As afirmativas II e III estão corretas.
c) ( ) As afirmativas I e IV estão corretas.
d) ( ) Somente a afirmativa V está correta.
ERRATA: A questão não possui alternativa correta.
TÓPICO 2 
1 Objetos com formato de prisma, como as embalagens de pizza, 
permitem verificar os conceitos de posições de retas etudados neste 
tópico. Assim, vamos observar a imagem com o olhar de geômetra, 
5UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
G
E
O
M
E
T
R
I
A
traçando retas suportes aos segmentos que definem com os lados 
da embalagem, e reponder aos questionamentos.
R.: Assumindo que o polígono é regular temos:
a) As retas e estão em que posição relativa? Explique:
R.: As duas retas são perpendiculares, pois são concorrentes, são retas 
suportes de lados não paralelos de um mesmo polígono e perpendiculares 
conforme a figura. 
b) As retas e são coplanares e paralelas? Por quê?
R.: Sim, pois são lados opostos de um polígono regular com número de 
lados par.
6 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
G
E
O
M
E
T
R
I
A
c) Identifique três exemplos de retas reversas. 
R.: , e 
d) Identifique três exemplos de retas perpendiculares.
R.: e ; e ; e 
e) Há exemplos de retas coincidentes? Justifique.
R.: Não. Como podemos observar em nossa imagem, o objeto é uma figura 
tridimensional, na qual não existem retas coincidentes, pois uma reta que, 
supostamente, está embaixo de outra, pode ser vista como pertencente a 
outro plano. 
2 Segmentos de reta é a reunião de todos os pontos compreendidos 
entre dois pontos distintos. Partindo da definição de segmento de 
reta, analise as afirmações a seguir, e classifique V para verdadeiras 
ou F para falsas:
a) (F) Se dois segmentos são consecutivos, então eles são colineares.
b) (F) Se dois segmentos são colineares, então eles são consecutivos.
c) (F) Se dois segmentos são adjacentes, então eles são colineares.
d) (F) Se dois segmentos são colineares, então eles são adjacentes.
e) (V) Se dois segmentos são adjacentes, então eles são consecutivos.
f) (V) Se dois segmentos são consecutivos, então eles são adjacentes.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
a) ( ) V – F – V – V – F – F.
b) ( ) F – V – F – V – V – F.
c) ( ) V – F – V – F – V – V.
d) ( ) V – F – V – V – V – F .
Errata: não há altenativa correta.
3 Explique por que toda reta perpendicular é concorrente mas, nem 
toda reta concorrente é perpendicular.
R.: Ambas possuem um ponto comum, porém as perpendiculares devem ter 
o ângulo formado reto.
7UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
G
E
O
M
E
T
R
I
A
4 Nossa viagem pela geometria já vai continuar. Agora vamos refletir 
um pouco sobre os conceitos aprendidos até aqui. Para fazer esta 
síntese o convidamos a escrever um pequeno texto exemplificando 
as direrentes maneiras que podemos visualizar estas estruturas 
geométricas no cotidiano. Vamos começar e você continua.
 Segmento de reta: parte de uma corda compreendida entre duas 
pessoas que etao disputando um cabo de guerra...
R.: Essa é uma resposta pessoal. Caro(a) tutor(a) externo(a), aproveite para 
exploar as diferentes respostas possíveis.
TÓPICO 3
1 Classifique cada afirmação a seguir em V para verdadeira ou F para 
falsa, de acordo com os estudos realizados neste tópico:
(F) Dois ângulos adjacentes são opostos pelo vértice.
(F) Dois ângulos opostos pelo vértice são consecutivos.
(V) Dois ângulos suplementares são adjacentes.
(F) Dois ângulos adjacentes são complementares.
Agora assinale a alternativa correta:
a) ( ) V - V - F - F.
b) ( ) F - F - V - F.
c) ( ) F - V - F - V.
d) ( ) F - V - V - F.
R.: Alternativa B
2 Se um ângulo mede 35º, então seu complemento mede:
a) 65º
b) 145º
c) 45º
d) 55º
R.: 90° = 35°+ x ⇒ x = 55° (Alternativa D)
3 Dois ângulos α e β são opostos pelo vértice. O ângulo α mede 24º e 
β é suplementar de α. Nestas condições a medida do ângulo β é:
8 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
G
E
O
M
E
T
R
I
A
a) 156º
b) 66º
c) 24º
d)114º
R.: 180° = 24° + x ⇒ x = 156° alternativa A
4 Escreva uma equação em cada situação para determinar as medidas 
dos ângulos:
 
a) A medida do ângulo que vale o dobro do seu complemento.
R.: 60º
b) A medida do ângulo igual ao triplo do seu complemento.
R.: 67,5º
c) A medida do ângulo, sabendo que um quarto do seu suplemento vale 36º.
R.: 360
d) A medida do ângulo que somado ao triplo do seu complemento dá 210º.
R.: 300
5 Converta os seguintes ângulos em radianos:
a)15º
b)120º
c)150º
d)300º
a) R.: 
b) R.: 
c) R.: 
9UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
G
E
O
M
E
T
R
IA
c) R.: 
6 Agora faça o oposto, transforme os radianos para graus:
a) R.: º
b) R.: º
c) R.: º
d) R.: º
7 Calcule o complementar dos ângulos:
a) 75º
b) 15º
c) 90º
d) 22º32’
a) R.: º
b) R.: º
c) R.: º
d) R.: 
8 Calcule o suplemento dos ângulos:
a) 155º45’
b) 120º
c) 175º32’
d) 22º32’
a) R.: 
b) R.: º
c) R.: 
10 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
G
E
O
M
E
T
R
I
A
d) R.: 
9 Verifique se os ângulos são de fato opostos pelo vértice.
TÓPICO 4
1 O esquema a seguir, representa quatro estradas paralelas que são 
cortadas por três avenidas transversais. Algumas das distâncias entre 
os cruzamentos dessas avenidas e estradas estão indicadas (em km). 
Complete o esquema calculado com as distâncias faltantes.
11UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
G
E
O
M
E
T
R
I
A
Então: x = 10, y = 30 e z = 22,5
2 Dados quatro números a, b, c e d, dispostos em duas razões, dizemos 
que formam uma proporção se o produto dos meios for igual ao 
produto dos extremos, assim: . Verifique se as relações a seguir 
definem proporções.
3 As linhas que pautam a folha do caderno são paralelas (conforme 
figura). Trace duas retas transversais e com o auxílio de uma régua 
meça a distância de uma linha a outra sobre a diagonal (estas medidas 
podem ser representadas por a, b, c e d). Agora, com o valor das 
medidas, calcule a proporcionalidade entre os segmentos.
Se você quiser pode medir linhas alternadas, não é necessário que as 
linhas sejam consecutivas.
12 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
G
E
O
M
E
T
R
I
A
R.: Caro(a) tutor(a) externo(a)! Essa resposta é pessoal. Aproveite a 
oportunidade para socializar as diferentes respostas.
4 Calcule a constante de proporcionalidade entre as grandezas x e y 
indicadas nas tabelas.
a) R.: ⇒ todas as proporções te a constante equivalente 
a 0,5.
b) R.: ⇒ todas as proporções te a constante equivalente 
a 5.
5 Multiplique os meios pelos extremos das proporções, resolva a 
equação obtida e
assinale a opção que contém o valor do x e da constante de 
proporcionalidade,
respectivamente.
a) ( ) 3; 0,6 ( ) 2; 1,67 ( ) 3; 0,3 ( ) 1,5 ; 2,85
R.: ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ 
e a proporção já está pronta 
13UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
G
E
O
M
E
T
R
I
A
b) ( ) 1,37; 11,62 ( ) 1,28; 9,62 ( ) 1,36; 10,92 ( ) 1,34; 12,9
R.: ⇒ ⇒ ⇒
⇒ 
e a proporção pode ser encontrada em qualquer lado da igualdade: 
ERRATA: a questão não possui alternativa correta.
c) ( ) -2; -0,7 ( ) -1; -1,7 ( ) 2; 0,7 ( ) -2; 1,7
R.: ⇒ ⇒
⇒
⇒ e a proporção já está pronta 
6 O número de Ouro é um número irracional representado pela 
letra grega φ (fi) e vale, aproximadamente, 1,618. Segundo vários 
estudiosos da Beleza Áurea, o corpo humano tem padrões de 
beleza onde podemos verificar a secção áurea que se trata de uma 
proporcionalidade áurea.
14 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
G
E
O
M
E
T
R
I
A
Utilize uma fita métrica e verifique esta relação de proporcionalidade entre 
seus colegas.
R.: Caro(a) tutor(a) externo(a)! Essa resposta é pessoal. Aproveite a 
oportunidade para socializar as diferentes respostas
TÓPICO 5
1 Aplique o padrão das unidades de medidas estudas para responder 
aos questionamentos:
a) Quantos metros quadrados tem um quilômetro quadrado?
R.: 1000 x 1000 = 1 000 000 m2.
b) Quantos metros quadrados tem uma quadra de esportes com 100 m de 
medida lado?
R.: 100 x 100 = 10 000 m2.
c) Um litro tem quantos cm3?
R.: 10 x 10 x 10 = 1 000 cm3.
d) Quantos cm3 tem um mililitro?
R.: 1 x 1 x 1 = 1 cm3.
e) Quantos litros tem um m3?
R.: 1 000 litros
f) Quantos km têm em 864m?
R.: 864 x 1 000 = 0,864 km.
g) Quantos cm têm em 864m?
R.: 864 x 100 = 86400 cm.
15UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
G
E
O
M
E
T
R
I
A
2 Desde o ano de 1911, ocorre, na cidade de Indianápolis (Estados 
Unidos), a famosa corrida 500 Milhas de Indianápolis, também 
chamada de Indianápolis 500 ou só Indy 500. Participam da prova 33 
carros (grid) que percorrem 500 ____________ ou ____________ km. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
a) ( ) Milhas 800.
b) ( ) Pés – 805,5.
c) ( ) Quilômetros – 803.
d) ( ) Milhas – 804,5.
R.: 1 milha = 1,6093 km, assim: 500 x 1,609 = 804,5 km (alternativa D)
3 Complete, adequadamente, utilizando os símbolos (dm, km, hm, mm, 
cm, dam):
0,1 m = 1 ______________
0,01 m = 1 _____________
0,001 m = 1 ____________
10 m = 1 ______________
100 m = 1 _____________
1000 m = 1____________
R.: 0,1 m = 0,1 x 10 = 1dm
0,01 m = 0,001 x 10 x 10 = 1 cm
0,001 m = 0,001 x 10 x 10 x 10 = 1 mm
10 m = 10 : 10 = 1 dam
100 m = 100 : 10 : 10 = 1 hm
1000 m = 1000 : 10 : 10 : 10 = 1km
4 Quantos centímetros cabem em:
R.: a) 1 m = 1 x 10 x 10 = 100 cm
b) 1 dm = 1 x 10 = 10 cm
c) 1 km = 1 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 100000 cm
5 O romance Vinte Mil Léguas Submarinas, escrito por Júlio Verne, 
no século XIX, descreve uma fantástica viagem com um submarino 
chamado Nautilus movido apenas à eletricidade. Se mudássemos a 
unidade de medida utilizada por Júlio Verne para km, como seria o 
nome do filme?
16 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
G
E
O
M
E
T
R
I
A
R.: 1 légua = 5,555m, assim: 20 000 x 5,555 = 111 100 km.
6 Que unidade de comprimento você usaria para medir:
a) A largura do seu Caderno de Estudos? 
R.: cm
b) A distância entre duas cidades?
R.: km
c) A altura de um prédio de 20 andares?
R.: m
7 Baseando-se na questão anterior escreva um texto abordando outras 
situações práticas onde utilizamos as unidades de medida linear, 
quadrática e cúbica.
R.: Caro(a) tutor(a) externo(a)! Essa resposta é pessoal. Aproveite a 
oportunidade para socializar as diferentes respostas.
UNIDADE 2
TÓPICO 1 
1 Sobre a soma e a medida dos ângulos de um polígono, efetue os 
cálculos solicitados. Considere que todos os polígonos são regulares.
a) A soma dos ângulos internos de um hexágono convexo.
R.:
Si = 720º
17UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
G
E
O
M
E
T
R
I
A
b) A medida do ângulo interno e externo de um triângulo que possui os três 
lados iguais.
R.: 
ai = 60º, ae = 120º
 
c) A soma dos ângulos internos de um decágono. 
R.:
 
Si = 1440º
d) O número de diagonais que partem de cada vértice de um undecágono.
R.: Fórmula geral: cada ponto tem n - 3 diagonais ( Errata: não possui no 
caderno esta informação)
Então 11- 3 = 7 diagonais
e) A medida do ângulo interno do pentágono.
R.: 
f) O número de diagonais de um octógono.
R.:
g) A medida do ângulo externo do pentágono.
R.:
2 Encontre o valor de x e determine a medida dos ângulos de cada 
polígono a seguir.
18 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
G
E
O
M
E
T
R
I
A
R.:
Então os ângulos medem: 60,90,70 e 140 graus.
19UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
G
E
O
M
E
T
R
I
A
Os ângulos medem: 90, 105, 70, 137,5 e 137,5 graus. 
Os ângulos medem: 150, 120, 130, 90, 110 e 120 graus.
20 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
G
E
O
M
E
T
R
I
A
Assim, os ângulos internos do pentágono medem: 90,120,120, 90 e 120. E 
os dois ângulos externos medem 60 graus.
3 Se o número de diagonais de um octógono é o quíntuplo do número 
de lados de um polígono. Qual é o polígono?
R.:
4 Sobre as propriedades dos polígonos, analise as sentenças e 
classifique V para as verdadeiras e F para as falsas.
( ) Todos os lados de um polígono qualquer têm a mesma medida.
( ) Um polígono côncavo é também não convexo.
( ) Os ângulos de um polígono regular têm a mesma medida.
( ) A diagonal de um polígono é igual a razão do quadrado dos lados mais 
o triplo do lado por dois.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
a) ( ) V – F – V – V.
b) ( ) V – V – F – V.
c) ( ) F – V – V – F.
d) ( ) V – F – V – F.
R.: Alternativa C
5 Para determinar o número de lados de um polígono podemos utilizar 
a relação d = n - 3. Baseado nesta relação calcule:
a) O número de lados de um polígono que possui 25 diagonais partindo de 
cada vértice.21UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
G
E
O
M
E
T
R
I
A
R.:
b) O número de diagonais que parte de cada vértice de um polígono que 
possui 20 lados:
R.:
6 Qual é o polígono?
a) Cuja soma dos ângulos internos é igual a 1800º.
R.: 
b) Cujo número de diagonais é o triplo do número de lados.
R.: 
7 (DOLCE; POMPEO, 2005). Podem os ângulos internos e externos 
de um polígono regular apresentar medidas iguais? Justifique sua 
resposta.
R.: Sim. 
 
22 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
G
E
O
M
E
T
R
I
A
 
Com isso podemos concluir que nos quadriláteros e somente neles há a 
existência desta igualdade.
TÓPICO 2 
1 Analise as sentenças e classifique V para as verdadeiras e F para as 
falsas.
( ) Todo polígono tem mais de três lados.
( ) Um triângulo retângulo pode ser isósceles.
( ) Todo triangulo equilátero é isósceles.
( ) Um triângulo equilátero pode ser retângulo.
( ) Um triângulo escaleno pode ser isósceles.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
( ) F – V – V – F – F.
( ) V – V – F – V – V.
( ) F – F – V – F – V.
( ) V – V – V – F – F.
R.: F, V, V, V, F
Errata: não possui resposta correta na questão.
2 Complete as lacunas das sentenças:
• Os triângulos com 3 lados iguais são ____________.
• Os triângulos com 2 lados iguais são ____________.
• Os triângulos com 3 lados diferentes são ____________.
• Os triângulos com 3 ângulos iguais são ____________.
• Os triângulos com 2 ângulos iguais são ____________.
• Os triângulos com 3 ângulos diferentes são ____________.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
( ) equiláteros – acutângulo – escalenos – obtusângulo – isósceles – retângulo.
( ) equiláteros – isósceles – escalenos – acutângulo – obtusângulo – retângulo.
( ) escalenos – equiláteros – isósceles – acutângulo – obtusângulo – retângulo.
( ) equiláteros – isósceles – escalenos – retângulo – obtusângulo – acutângulo
23UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
G
E
O
M
E
T
R
I
A
R.: Errata: não possui resposta correta na questão.
Equilátero, isósceles, escaleno, equilátero, isósceles e escaleno.
3 Os triângulos têm medidas pontos notáveis chamados de 
circuncentro, incentro, ortocentro e baricentro. Sobre estes pontos 
analise as sentenças e classifique V para as verdadeiras e F para as 
falsas.
( ) O incentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo.
( ) O circuncentro é o centro da circunferência circunscrita no triângulo.
( ) O baricentro é interno ao triângulo.
( ) O ortocentro é interno ao triângulo.
( ) O circuncentro é interno ao triângulo.
( ) O incentro é interno ao triângulo.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
( ) V – F – V – V – F – F.
( ) V – V – F – V – V – V.
( ) V – V – V – F – F – V.
( ) V – F – V – F – V – F.
R.: Alternativa V-V-V-F-F-V
4 Determine “x” em cada um dos triângulos:
24 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
G
E
O
M
E
T
R
I
A
R.: A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre 180°, com 
isso podemos descobrir cada um dos itens.
a) 50 + 30 + x = 180 então
x = 100°
b) 30 + 90 + x = 180 então
x = 60°
c) 50 + 65 + x = 180 então
x = 65°
d) 60 + 75 + x = 180 então
x = 45°
5 Sabemos que o baricentro dista dois terços do vértice até a mediana 
correspondente. Vamos utilizar esta relação para determinar as 
medidas de x, y e z no triângulo ABC.
 Dados: AG = 10; BG = y e CG = 14
R.: Rever a pergunta, pois está incompleta.
6 Vamos utilizar materiais de desenho? Você precisará de uma régua 
e um transferidor.
25UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
G
E
O
M
E
T
R
I
A
a) Desenhe três triângulos, um obtusângulo, outro retângulo e o último 
acutângulo. Meça os ângulos com o transferidor e calcule a soma deles. O 
que você pode concluir?
R.: que independente do triângulo, a soma interna é sempre 180º
b) Desenhe um triângulo com medidas de lados 3, 4 e 5 centímetros, 
respectivamente.
Qual é a medida dos ângulos? Qual é o tipo de triângulo quanto aos lados 
e aos ângulos?
R.: 90º e os outros dois, aproximadamente, 53º e 37º. Triângulo retângulo. 
c) Desenhe três triângulos: um escaleno retângulo, um isósceles retângulo 
e escaleno obtusângulo. É possível construir um triângulo equilátero e 
obtusângulo?
R.: Não. Para ser equilátero, deve possuir somente ângulos de 60º.
d) Desenhe dois triângulos: um escaleno acutângulo e um isósceles 
acutângulo. É possível construir um triângulo equilátero e acutângulo?
R.:Sim, todo triângulo equilátero é acutângulo pelo motivo mencionado 
acima. Seguem alguns links de vídeos que podem ajudar na compreensão 
do assunto:
<https://www.youtube.com/watch?v=VEEP2McXtos>
<https://www.youtube.com/watch?v=JQPVJapETzE>
<https://www.youtube.com/watch?v=Mg0DvpDQ4gQ>
7 Verifique a condição de existência de cada triângulo, conforme 
medidas indicadas nas sentenças. Após a análise de possibilidade 
de existência ou não classifique V para as sentenças verdadeiras e 
F para as falsas.
( ) 3 cm, 5 cm e 7 cm.
( ) 15 cm, 8 cm e 8 cm.
( ) 3 cm, 2 cm e 7 cm.
( ) 7 m, 3,9 m e 3,7 m.
( ) 3,7 cm, 9,1 cm e 8,4 cm.
( ) 6 cm, 17,5 cm e 10 cm.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
26 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
G
E
O
M
E
T
R
I
A
a) ( ) V – F – V – V – F – F.
b) ( ) V – V – F – V – V – F.
c) ( ) V – V – V – F – F – V.
d) ( ) V – F – V – F – V – F.
R.:Alternativa B
TÓPICO 3
1 Os triângulos da figura a seguir são semelhantes, mas estão em 
posições diferentes. Sabemos que triângulos semelhantes têm 
medidas proporcionais. Com base nisso, calcule as medidas x e y.
2 Num triângulo retângulo, como são chamados:
a) Os lados que formam o ângulo reto?
R.: Catetos.
b) O lado oposto ao ângulo reto?
27UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
G
E
O
M
E
T
R
I
A
R.: Hipotenusa.
3 Se o perímetro de um triângulo equilátero mede 75 cm, quanto mede 
cada um de seus lados?
R.: Lembre-se: o triângulo equilátero tem três lados iguais.
Perímetro = soma dos lados.
75 ÷ 3 = 25 cm
4 Se o perímetro de um triângulo isósceles mede 100 m e a base mede 
40 m, quanto mede cada um dos outros lados?
R.: Lembre-se: o triângulo isósceles tem dois lados iguais. 
100 – 40 = 60 ÷ 2 = 30 cm
5 Encontre o perímetro do triângulo ABC em cada um dos seguintes 
casos:
a) Um triângulo equilátero ABC com AB = x + 2y; AC = 2x – y e BC = x 
+ y + 3.
R.: 45.
b) Um triângulo isósceles ABC de base BC, com AB = 2x + 3; AC = 3x 
– 3 e BC = x + 3.
R.: 39.
6 No ABC, o ângulo A = 70º, AC = 3 m e AB = 5 m; em outro XYZ, o 
ângulo Y = 70º, YZ = 5 m e XY = 3 m. Justifique a semelhança entre 
os dois triângulos e diga quais os ângulos e lados congruentes.
R.: São semelhantes por LAL, com: AB ≡ YZ; 
^^
YA ≡ ; AC ≡ YX.
7 Uma rampa de inclinação constante, como a que dá acesso ao Palácio 
do Planalto em Brasília, tem 4 metros de altura na sua parte mais alta. 
Uma pessoa, tendo começado a subi-la, nota que após caminhar 12,3 
metros sobre a rampa está a 1,5 metros de altura em relação ao solo.
R.: a) Faça uma figura ilustrativa da situação descrita.
28 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
G
E
O
M
E
T
R
I
A
b) Calcule quantos metros a pessoa ainda deve caminhar para atingir o ponto 
mais alto da rampa.
TÓPICO 4
1 Pode um setor circular coincidir com um segmento circular? Explique 
isso.
R.: Sim, é possível, quando a corda que determina o segmento for um diâmetro 
do círculo. Assim, teremos um segmento que é um semicírculo e poderíamos 
ter um setor com essa área. 
2 Em que caso um setor circular é um semicírculo?
R.: Quando a corda que determina o segmento for um diâmetro do círculo.
3 Numa mesa circular, uma pessoa fica bem acomodada ocupando 
cerca de 70 cm da borda deste móvel. Quanto maior o número de 
pessoas, maior deverá ser o diâmetro desta mesa. Para acomodar 
confortavelmente 4 pessoas, qual deverá ser a circunferência da 
mesa? Você é capaz de resolver este problema?
R.: Para acomodar 4 pessoas, acircunferência da mesa deverá ter 280 cm, 
portanto o diâmetro da circunferência será de 89,17 cm, aproximadamente. 
29UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
G
E
O
M
E
T
R
I
A
4 Justifique por que o diâmetro é a maior corda da circunferência.
R.: Porque é a corda que passa pelo centro da circunferência, onde a distância 
entre os dois extremos é maior. 
5 Escreva um pequeno texto, pode ser em tópicos, especificando de 
que forma se podem explorar os conceitos vistos neste tópico com 
situações do dia a dia. Faça uma pesquisa, seja criativo. Lembre-se: 
“Não basta saber é preciso saber fazer”.
R.: Esta é uma resposta pessoal. 
TÓPICO 5
1 Pense num paralelogramo com as medidas da base e da altura, 
respectivamente indicados por b e h. Se construirmos um outro 
paralelogramo que tem o dobro da base e o dobro da altura do 
primeiro paralelogramo, qual será a relação entre as áreas dos dois 
paralelogramos?
R.: Sugestão: para entender melhor a situação construa um paralelogramo.
30 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
G
E
O
M
E
T
R
I
A
1º – A = b . h = bh
2º – A = 2b . 2h = 4bh
A área do segundo é o quádruplo da área do primeiro.
2 Calcule a área de um losango que possui suas diagonais medindo 
10 cm e 16 cm (em centímetros quadrados).
R.: 
3 Um dos lados de um retângulo mede 10 cm. Qual deve ser a medida 
do outro lado para que a área deste retângulo seja equivalente à 
área do retângulo cujos lados medem 9 cm e 12 cm (em centímetros 
quadrados)?
4 Calcule a área de um triângulo retângulo que possui como medida 
de sua hipotenusa e de um dos seus catetos, respectivamente, 10 
cm e 8 cm (resposta em centímetros quadrados).
5 A figura a seguir representa as dimensões de uma sala que vai ser 
assoalhada com tábuas de 20 cm de largura por 3,5 m de comprimento. 
Quantas tábuas são necessárias?
31UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
G
E
O
M
E
T
R
I
A
R.: A área da sala é de 49 m². A área de uma tábua é de 0,7 m², então são 
necessárias 70 tábuas para assoalhar a sala.
6 Para refazer o jardim de sua residência, o Sr. Júlio resolveu comprar 
blocos de grama para colocar entre as árvores e as flores. A grama 
é vendida em blocos que medem 50 cm x 30 cm. Quantos blocos, no 
mínimo, o Sr. Júlio deve comprar para cobrir uma área de 165 m2?
R.: 1600 ÷ 1500 = 1.100 blocos
Serão necessários 1.100 blocos de grama com as dimensões descritas. 
7 Observe a figura ao lado. Cada quadradinho da malha tem um cm 
de lado e portanto, 1 cm2 de área. Com base nestes dados, calcule a 
área da região limitada pela linha escura.
R.: Cada quadradinho tem 1 cm² de área. Existem 14 quadradinhos inteiros (1).
Considerando duas semicircunferências com 1 cm de raio, temos uma área 
de: (2).
2 - 1,57 = 0,43 cm2 (3).
Então: fazendo 1 + 2 + 3 temos:
14 + 1,57 + 0,43 = 16cm2.
16 cm2 
32 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
G
E
O
M
E
T
R
I
A
8 A frente de uma casa tem a forma de um quadrado com um triângulo 
retângulo isósceles em cima. Se um dos catetos do triângulo mede 
7 metros, qual é a área frontal desta casa? 
R.: 
hip² = cat² + cat² 
hip² = 7² + 7²
hip² = 49 + 49
hip² = 98
hip = 7 = lado do quadrado (m)
Área do triângulo = = = = 24,5 m²
Área do quadrado = = m²
Área frontal = área do triângulo + área do quadrado = 24,5 + 98 = 122,5 m²]
9 ABC é um triângulo retângulo com ângulo reto em C. Se m(AB) = 15 
cm e m(BC) = 9 cm, qual é a área do quadrado de lado AC?
33UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
G
E
O
M
E
T
R
I
A
R.: Determinar m(AC):
hip² = cat² + cat²
15² = 9² + cat²
225 = 81 + cat²
225 – 81 = cat²
144 = cat²
12 = cat
cat = 12 cm
Área do quadrado de lado m(AC) = .
TÓPICO 6
1 Em uma cidade, há um terreno abandonado. Esse terreno tem a forma 
de um trapézio retangular cujas bases medem 18 m e 12 m e cuja 
altura mede 30 m. João amarrou seu cavalo, ponto P, a uma corda de 
12 m de comprimento, para pastar. De acordo com a figura ao lado, 
calcule a área (em metros quadrados) de pasto que o cavalo não pode 
comer.
R.: Primeiro calculamos a área do trapézio: 450 m2. 
Agora ¼ da circunferência de raio 12: aproximadamente 113 cm2.
34 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
G
E
O
M
E
T
R
I
A
Finalmente fazemos a diferença entre as duas áreas: 450 - 113 = 337 cm2 é 
a área que ele não pode comer.
2 No semicírculo ao lado temos BC = 10 cm e AB = 8 cm. Qual o 
valor aproximado, em centímetros quadrados, da área sombreada, 
sabendo-se que o triângulo ABC é um triângulo retângulo?
R.: Calculamos a superfície do triângulo ABC inscrito na semicircunferência: 
24 cm2. 
a² = b² + c²
10² = 8² + c²
100 = 64 + c²
36 = c² 
c = 6
Sendo assim a área do triangulo retângulo 
Calculamos a área de ½ círculo: 39,25 cm2. 
Finalmente, fazemos a diferença entre as duas áreas: 39,25 -24 = 15,25 cm² 
é a área da superfície sombreada.
3 Calcule a área da sacada de um apartamento apresentada na figura 
ao lado.
35UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
G
E
O
M
E
T
R
I
A
R.: Calculamos a área da circunferência e lembre-se que temos 2/4 de 
circunferência com 1,5 m de raio. 
Então: 3,5 cm2.
Um retângulo de 3 x 1,5 = 4,5 m2. 
Então, somam-se as áreas 3,53 + 4,5 = 8,03. 
Assim a área da sacada é aproximadamente 8 m2.
4 O comprimento da linha do Equador da Terra tem aproximadamente 
40.000 km. Qual é o raio da Terra?
R.: C= 2 ð r 
40000 = 2 . 3,14 . r
40000 = 6,28 r
r = 6369,43
Aproximadamente 6.369 km.
5 Uma pizza tem raio igual a 15 cm e está dividida em 6 fatias. Calcule 
a área de cada fatia.
R.: , assim dividimos o total por 6 = 706,5 ÷ 6 
= 117,75
Cada fatia tem 117,75 cm2.
6 Num círculo de raio r = 10 cm, calcule:
a) o comprimento de um arco com α = 45º.
b) a área de um setor circular com α = 60º.
c) a área de um setor circular com α = 120º.
R.: a) Primeiro encontramos o valor da circunferência:
C = 2 ð r 
C = 2.3,14.10
C = 62,80
Então, multiplica-se pelo ângulo correspondente e divide-se por 360.
C = 62,80 *45 / 360 = 7,85 cm 
36 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
G
E
O
M
E
T
R
I
A
7 Observe a figura ao lado. Cada quadradinho tem uma unidade 
quadrada de área. Encontre a área da superfície contornada pela 
linha escura.
R.: Cada quadrinho tem uma unidade quadrada de área. Então, a figura tem 
16 cm2.
UNIDADE 3
TÓPICO 1 
1 Sobre a mesa da figura há dois livros apoiados em diferentes 
posições. Vamos analisar duas situações:
37UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
G
E
O
M
E
T
R
I
A
a) Qual é a posição dos planos da capa e contracapa do livro B em relação 
à mesa?
R.: Planos paralelos
Planos paralelos coincidentes
b) Qual é a posição dos planos da capa, da contracapa e de uma das folhas 
de dentro, tomados dois a dois, em relação ao plano da mesa?
R.: Planos secantes perpendiculares
2 Uma bola de futebol é um poliedro que possui 12 faces pentagonais e 
20 faces hexagonais, todas regulares. Com base nestas informações, 
classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas.
( ) O número de arestas deste poliedro equivale a 180.
( ) Este poliedro apresenta 60 vértices.
( ) A bola apresenta 32 faces.
( ) Este poliedro classifica-se como um sólido de Platão.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
a) ( ) V – V – V – F.
b) ( ) F – F – V – V.
c) ( ) F – V – V – F.
d) ( ) F – V – V – F.
e) ( ) V – F – F – V
Resposta: Alternativa D
3 Joana ganhou um par de brincos no formato de uma pirâmide de 
base quadrada, que sabemos ser um poliedro o número de vértices 
e de faces é cinco. Aplique a relação de Euler e calcule o número de 
arestas do par de brincos.
38 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
G
E
O
M
E
T
R
I
A
R.: V = 5
F = 5
A= ?
F + V = A +2
5 + 5 = A + 2
10 = A + 2
A = 8
O brinco possui 8 arestas.
4 Classifique as afirmações a seguir em V para as verdadeiras ou F 
para as falsas:
a) (V) Duas retas ou são coincidentes ou são distintas.
b) (V) Duas retas ou são coplanares ou são reversas.
c) (F) Duas retas distintas determinamum plano.
d) (V) Duas retas concorrentes têm um ponto comum.
e) (V) Duas retas não coplanares são reversas.
5 Num poliedro convexo de 10 arestas, o número de faces é igual ao 
número de vértices. Quantas faces tem esse poliedro?
R.: F + V = A + 2
F + V = 10 + 2 
F + V = 12
Como o número de faces e vértices são os mesmos 12 dividido por 2 esse 
poliedro tem 6 faces.
6 Em nossos estudos vimos que entre dois planos são possíveis quatro 
posições relativas no espaço. Sobre estas posições classifique as 
afirmações a seguir em V para as verdadeiras ou F para as falsas:
R.: a) (V) Planos secantes são dois planos distintos que se interceptam.
b) (F) Dois planos se interceptam num único ponto.
c) (V) Dois planos concorrentes no espaço são planos cuja intersecção é 
uma reta.
d) (F) Dois planos concorrentes formam um triedro.
e) (V) Planos paralelos no espaço são planos que não têm interseção
7 Um plano é determinado por:
a) ( ) Uma reta e um ponto não pertencente a ela.
b) ( ) Uma reta e um ponto a ela pertencente.
39UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
G
E
O
M
E
T
R
I
A
c) ( ) Três pontos.
d) ( ) Duas retas quaisquer.
e) ( ) Uma reta apenas.
R.: a) V
b) F
c) F
d) F
e) F
8 Classifique os poliedros em convexos (C) e não convexos (NC):
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
a) ( ) NC, NC, C, C, NC.
b) ( ) C, NC, NC, C, C.
c) ( ) C, NC, C, C, NC.
d) ( ) C, NC, C, NC, NC.
e) ( ) NC, NC, C, C, NC.
R.: Resposta: alternativa C
9 Em matemática precisamos tomar cuidado com o inverso das 
afirmações, por exemplo: todo poliedro é um sólido geométrico, mas 
nem todo sólido geométrico é um poliedro.
 Neste sentido, classifique as afirmações a seguir em V para as 
verdadeiras ou F para as falsas:
( ) Todo poliedro convexo é um sólido geométrico.
( ) Todo sólido geométrico é de Platão.
40 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
G
E
O
M
E
T
R
I
A
( ) Todo poliedro de Platão é um sólido geométrico.
( ) Todo poliedro convexo é euleriano.
( ) Todo poliedro euleriano é de Platão.
( ) Todo poliedro de Platão é euleriano.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
a) ( ) V – V – V – F – V – V.
b) ( ) F – F – V – V – V – F.
c) ( ) F – V – V – F – V – F.
d) ( ) F – V – V – F – F – V.
e) ( ) V – F – V – V – F – V.
R.: Alternativa E.
10 Com a intenção de formar um ângulo poliédrico tomaram-se algumas 
faces poligonais cujas medidas que formarão o ângulo poliédrico são 
conhecidas conforme a seguir. Todas as construções são possíveis? 
Justifique suas respostas
R.: a) 70º 80º e 130º: 70 + 80 +130 = 280º < 360º. A construção é possível 
pois a soma dos ângulos é menor que 360º.
b) 90º, 120º e 150º: 90 + 120 + 150 = 360º. A construção NÃO é possível pois 
a soma dos ângulos é 360º.
c) 70º, 80º, 90º e 100º: 70 + 80 + 90+ 100 = 340º < 360º. A construção é 
possível pois a soma dos ângulos é menor que 360º.
11 Quantas faces no máximo, de um polígono que tem os ângulos 
internos de 50º, podem ser utilizadas para formar um ângulo 
poliédrico?
R.: A soma dos ângulos deve ser menor que 360º, portanto:
360 / 50 = 12, porém 12 faces totalizaria 360º, com a soma deve ser menor 
que 360º, temos que o maior número de faces é igual a 11.
Resposta: 11 faces
12 Sobre poliedro é correto afirmar:
a) ( ) O número de faces é o dobro do número de arestas.
b) ( ) O menor número possível de faces de um poliedro é três.
c) ( ) Todo poliedro tem 8 vértices.
41UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
G
E
O
M
E
T
R
I
A
d) ( ) Um octaedro tem doze faces.
e) ( ) Uma aresta é a intersecção de duas faces.
R.: a) F
b) F
c) F
d) F
e) V
13 Determine:
a) O poliedro convexo que tem 6 vértices e 12 arestas.
b) O número de vértices de dodecaedro que tem 20 arestas.
c) O número de faces de um poliedro convexo que tem 15 arestas e 8 vértices.
d) Determine o número de arestas e o número de vértices de um icosaedro 
regular.
R.: a) F+V = A +2
 F + 6 = 12 + 2
 F = 8
8 Faces: Octaedro
b) F+V = A+2
 12 + V = 20 +2
 V = 10
10 Vértices
c) F+V = A+2
 F+8 = 15 +2
 F = 9
9 Faces
d) icosaedro = 20 faces
F+V = A + 2
20 + V = 30 +2
V = 12
42 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
G
E
O
M
E
T
R
I
A
12 vértices
30 arestas
TÓPICO 2 
1 Uma pequena indústria de artesanatos pretende fabricar caixas 
(papelão) decorativas de dois modelos. Uma em forma de um 
paralelepípedo retangular e outra, em forma de cubo, ambas com a 
mesma capacidade. As dimensões do paralelepípedo equivalem a 
base de 15 cm e 20 cm, altura de 5 cm.
Fundo e Tampa
Papelão gasto na caixa cúbica: 11,5 * 11,5 = 132,25 * 6= 793,50
Papelão gasto na caixa retangular: 300 + 300 + 75 +75 + 100 + 100 = 950
Assim: 950 – 793,50 = 156,50 cm² 
Para sabermos as medidas do cubo 
43UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
G
E
O
M
E
T
R
I
A
Com relação a estas caixas, analise as seguintes sentenças:
I – Na caixa cúbica serão gastos 132 cm² de papelão. F
II – A capacidade da caixa em forma de paralelepípedo equivale a 1 500 cm³. V
III – As dimensões da caixa cúbica são de aproximadamente 11,5 cm. V
IV – Na caixa em forma de paralelepípedo serão gastos aproximadamente 
163,4 cm² 
a mais de papelão do que na caixa cúbica. F
Agora, assinale a alternativa CORRETA:
a) ( ) Somente a afirmativa II está correta.
b) ( ) As afirmativas II, III e IV estão corretas.
c) ( ) As afirmativas I, II e III estão corretas.
d) ( ) Somente a afirmativa I está correta.
Atenção: A questão não tem alternativa correta, pois as sentenças verdadeiras 
são II e III. 
TÓPICO 3 
Um grupo de casais foi acampar e levou uma barraca de lona que, 
depois de montada, tinha a forma de uma pirâmide regular hexagonal, 
cuja aresta da base media 1 m.
Depois de montada, o ar em seu interior ocupava um volume de 
Associe os itens, utilizando o código a seguir:
R.: (I) O apótema da base da barraca.
(III) A área da base da barraca.
(II) A altura da pirâmide da barraca.
44 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
G
E
O
M
E
T
R
I
A
TÓPICO 4 
1 O que é um cilindro equilátero?
R.: Cilindro equilátero é um cilindro cuja secção meridiana é um quadrado e, 
portanto, apresenta g = h = 2r, ou seja o diâmetro da base é igual à altura. 
2 Um restaurante costuma usar grandes panelas em dias de muito 
movimento. Para encher de água uma dessas panelas, o cozinheiro 
utiliza latas (ou galões) de 18 litros. Quantos desses galões são 
necessários para encher completamente uma panela cilíndrica, de 
60 cm de diâmetro e 50 cm de altura? (Use π = 3,14)
R.: 
Como cada galão tem 18 litros 141,3 / 18 =7,85, são necessários, 
aproximadamente, 8 galões de água.
3 Qual é o volume da grafite de um lápis de 17 cm de comprimento, se 
a grafite tem 2 mm de diâmetro? (Use π = 3,14).
R.: 
O volume da grafite é, aproximadamente, 0,53 cm3.
Lembrando que precisamos trabalhar com medidas equivalentes, ou seja, 
cm em cm, mm em mm, m em m.
4 Para fazer 1m3 de concreto, gastam-se 9 sacos de cimento. Um prédio 
está apoiado sobre 12 colunas cilíndricas de concreto, cada uma com 
5 m de altura e 40 cm de diâmetro da base. Quantos sacos de cimento 
foram gastos na construção destas colunas? (Use π = 3,14).
R.: 
Assim se para 1 m³ foram utilizados 9 sacos de cimento para 7,54 m³ será 
usado 67,86 sacos de cimento, aproximadamente 68 sacos para construir 
as colunas.
45UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
G
E
O
M
E
T
R
I
A
5 Um vaso cilíndrico tem 30 dm de diâmetro interior e 70 dm 
de profundidade. Quantos litros de água o vaso pode conter, 
aproximadamente? (Use π = 3,14).
6 Um suco de frutas é vendido em dois tipos de latas cilíndricas: uma 
de raio r, cheia até a altura h. Outra de raio e cheia até altura 2h. 
A primeira é vendida por R$ 3,00 e a segunda é vendida por R$ 1,60. 
Qual é a embalagem mais vantajosa para o consumidor?
A primeira embalagem é mais vantajosa para o consumidor, pois o volume 
da primeira em relação a segunda é o dobro já o valor não, pois a segundalata custaria 3,20 para obtermos a mesma quantidade.
7 Um tanque subterrâneo, que tem o formato de um cilindro circular 
reto na posição vertical, está completamente cheio com 30 m³ de 
água e 42 m³ de petróleo. Considerando que a altura do tanque é de 
12 metros, calcule a altura da camada de petróleo.
46 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
G
E
O
M
E
T
R
I
A
8 A figura indica o tambor cilíndrico de um aquecedor solar com 
capacidade de 1.570 litros.
Sabendo que 1.000 litros de água ocupam um volume de 1 m³ e adotado 
π = 3,14 determine a medida do raio r do cilindro.
47UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
G
E
O
M
E
T
R
I
A
TÓPICO 5 
Dois reservatórios, um cilíndrico e outro cônico, de mesma altura e 
mesmo raio, estão totalmente vazios e cada um será alimentado por 
uma torneira, ambas com mesma vazão. O reservatório cilíndrico levou 5 
horas e meia para ficar completamente cheio. Qual é o tempo necessário 
para que isto ocorra com o reservatório cônico?
a) ( ) 1 hora e 50 minutos.
b) ( ) 2 horas.
c) ( ) 1 hora.
d) ( ) 2 horas e 15 minutos.
R.: Como a vazão é a mesma para o cilindro e o cone e o volume do cone 
é 1/3 do volume do cilindro. Podemos constatar que para encher todo o 
cilindro o tempo gasto foi 5 horas e 30 minutos, então, 1/3 desse valor é 1 
hora e 50 minutos. 
TÓPICO 6 
1 Qual a quantidade de chumbo necessária para a confecção de 100 
bolinhas esféricas, maciças, de 1 cm de diâmetro cada uma?
Cada esfera tem um Volume de 0,523 cm³ e para 100 = 52,33 cm³ de chumbo.
2 O diâmetro da Lua é, aproximadamente, ¼ do diâmetro da Terra. 
Determine o volume da Lua.
R.: Lembre-se que a Circunferência da terra é de 40 000 km.
48 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
G
E
O
M
E
T
R
I
A
3 Numa indústria química, deseja-se instalar um reservatório esférico 
para armazenar determinado gás. A capacidade do reservatório 
deve ser de 33,5 m3. Qual deve ser, aproximadamente, o raio desse 
reservatório?
R.: 
O raio deve ter, aproximadamente, 2 metros de comprimento.
4 Uma fábrica de suco confeccionou suas embalagens em dois 
formatos: uma esférica de 8 cm de diâmetro e outra cilíndrica. 
Sabendo que as duas embalagens têm a mesma altura e a mesma 
largura, calcule seus volumes.
49UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
G
E
O
M
E
T
R
I
A
5 Num recipiente de forma cilíndrica, com 4 cm de raio da base, há 
água até certa altura. Calcule a elevação do nível da água quando 
mergulhamos ali uma esfera de aço com 2 cm de diâmetro.
6 Considere uma laranja como uma esfera com 6 cm de raio. Se a 
dividirmos em doze gomos (cunhas esféricas) praticamente iguais, 
qual será o volume de cada gomo?
7 Qual é o comprimento aproximado de um meridiano terrestre?
R.: Considerando a terra uma esfera perfeita, um meridiano é um círculo 
máximo que passa pelos polos, portanto, seu comprimento tem a mesma 
medida do equador, aproximadamente, 40 000 km.
8 Qual é o volume da esfera, cujo raio mede 3 cm?
9 Qual é a área da superfície esférica, cujo raio mede 3 m?