Formulario_Trigonometria_Prof_Gabriel_Cremona_Parma

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��� � = ���=
���
��
��� � =
�������� �
�� ����� ����.
��� � = ���=
���
��
��� � =
�������� �
�� ����� ����.
��� � = TA=
���
���
��� � =
�������� �
�������� �
eixo dos cossenos
ei
xo
 d
o
s 
se
n
o
s
ei
xo
 d
a
s 
ta
n
g
en
te
s
Prof. Gabriel Cremona Parma
Raio do círculo trigonométrico sempre o raio unitário (igual á uma unidade).
Simulação online das Funções Trigonométricas: http://alexsanderam.brinkster.net/geogebra/2.html
sen(α)=cos(90-α)
cos(α)=sen(90-α)
sen(α)=sen(180-α)
cos(α)=-cos(180-α)
sen(α)=-sen(180+α)
cos(α)=-cos(180+α)
sen(α)=-sen(360-α)
cos(α)=cos(360-α)
α α α
180 − α 180 + α 360 − α
X’
X’
X’
tan(X)
EQUIVALÊNCIAS
180⁰ =π(rd)
1⁰ = 60’=3600”
1’ = 60”
TRANSFORMAR
Graus/minutos/ segundos para graus decimais:
30⁰16’46” = 30,2794445⁰
Processo:
30 + 16/60 + 46/3600 =
30 + 0,2666667 + 0,0127778 = 30,2794445⁰
TRANSFORMAR
Graus decimais para graus/minutos/segundos:
30,2794445⁰ = 30⁰16’46”
Processo:
graus: parte inteira do número
g = parte inteira do número = int(30,2794445)
g = 30⁰
Minutos:
m = int(0,2794445x60) = int(16,7666700)
m = 16’
Segundos:
s = int(0, 7666700x60) = int(46,0002000)
s = 46” (nunca usar decimais para os seg.)
Finalmente o valor transformado é:
30⁰16’46
α
α α
2 2 2
2 2 2 2 2 2
Funções Básicas
. .
cos
.
.
cos
.
. .
tan cot
.
.
cot tan
. .
Teorema Pitágoras
;
Relações Fundamentais
tan = , cot
cos
a cat op
sen
c hip
b cat adj
sen
c hip
a cat op
c cat adj
b cat adj
a cat op
c a b
a c b b c a
sen
 
 
 
 

 

  
  
  
  
  
   

   
2 2
1
tan
cos 1sen

  
2 2 2
2 2 2
2 2 2
Teorema Seno
2
Teorema cosseno
2
2
2
Teoerma Tangentes
tan
2 ; 90
2 2tan
2
Teorema projeções
cos cos
cos cos
a b c
R
sen sen sen
a c b c b cos
b c a c a cos
c a b a b cos
a b
a b
a b c
b a c
c b
  



 
  
 
 
 
  
     
     
     

 
  
 
   
   
 cos cosa  
2
2
raio circunf. inscrita
raio circunf. circunscrita
2
( )( )( )
Area ( )( )( )
Area 2
Area 2
Area base altura
r
R
a b c
s
s a s b s c
r
s
rs s s a s b s c
R sen sen sen
a b sen
  

 


 

  

    
   
  
a
b
c
B C
A
α
β γ
180
: 90
90
se
  

 
   
  
  
a
b
c
C
B
A
α
β
γ
90
90
90



 
 
 
180     
tan ; tan ; tan
2 ( ) 2 ( ) 2 ( )
( )( )
; ...; ...
2 2 2
tan ; tan ...; tan ...
cos
r r r
s a s b s c
s b s c
sen sen sen
bc
a sen
c a
  
  

  

  
  
 
  

  
 
Prof. Gabriel Cremona Parma
����çã� ��������
� = 90°
� = 90° − �; c= � × ����
Solução básica
� = 180° − � − �
c =
� × ����
���� Segunda Solução 
�� = 180 − �
�� = 180° − � − ��
�� =
� × �����
����
a) Se : � × ���� > � → �ã� ������ ���ℎ��� ����çã�.
b) Se: � ≥ � → � < 90°: ��� ��� ����çã� ú���� ���� �:
c) Se: � < � →verificar possível segunda solução
−Se: � × ���� < � → ������ ��� ������� ����çã�:
−Se: � × ���� = � → ������ uma única ����çã� ��������:
Caso 1: um lado e dois ângulos
adjacentes. Dados: c; α; β
Caso 2: dois lados e o ângulo compreendido. Dados: a; b; γ
Caso 3: 2 lados e o ângulo oposto. Dados: a; b; α (Caso duvidoso)
Caso 4: três lados. Dados: a; b; c
a
b
c
C
B
α
β
γ
A
90
90
90



 
 
 
180     
� = 180° − � − �
b =
� × ����
����
a =
� × ����
����
� = �� + �� − 2�� × ����
���� =
� × ����
�
� = 180° − � − �
Método A: Método B:
���
���
�
=
���
���
×
�
���
�
�
→
���
�
= �
� + �
2
= 90 −
�
2
= �
� = � + �; β = � = �
c =
� × ����
����
� =
� + � + �
2
; � =
(� − �)(� − �)(� − �)
�
; ���� =
�
� − �
; ���� =
�
� − �
; � = 180° − � − �
���� =
��������
���
; ���� =
��������
���
; � = 180° − � − �Método A:
Método B:
���� =
� × ����
�
Verificação da Solução:
Prof. Gabriel Cremona Parma
Calcular primeiro:
�������� �� = �� 
������
� ��; ��; ��
� ��; ��; ��
�����çõ�� �/�����
���� = �� − ��
���� = �� − ��
���� = �� − ��
�����. ������� �� �� 
(��������� �� ����� �)
�� ����ç� ���: 
 �� = ����; �;� ��
�� ����� ℎ��������� ��:
 ���� = �ℎ��; ��
����â����� ℎ��������� � ���������
�ℎ�� = ���� � + ���� �
���� = �ℎ�� � + ���� �
���� = ���� � + ���� � + ���� �
Â����� �� �������çã� �:
��� � =
����
����
; ��� � =
����
����
; ��� � =
����
����
Â����� �� �������çã� ℎ��������� �:
��� � =
����
����
; ��� � =
����
����
; ��� � =
����
����
Prof. Gabriel Cremona Parma
ORIGEM ORIENTAÇAO NO EIXO HORIZONTAL +Y (NORTE)
ARREDONDAMENTO DE NÚMEROS
• Medidas lineares com precisão de milímetros:
– Três casas decimais depois da vírgula. CERTO: 234,233m ERRADO: 234,233441214m
– Exemplos de arredondamentos ao milímetro (a três casas decimais): 
• 15,6232m → 15,623m
• 15,6237m → 15,624m
• 15,6235m → 15,624m
• 15,6245m → 15,624m
• Medidas angulares com precisão de segundos.
– Sem decimas de segundos. CERTO: 124° 23' 34“ ERRADO: 124° 23' 34,23“
– Exemplos de arredondamento ao segundo:
• 20⁰30’16,32” → 20⁰30’16”
• 20⁰30’16,73” → 20⁰30’17” 
• 20⁰30’16,50” → 20⁰30’16”
• 20⁰30’15,50” → 20⁰30’16”
• Cálculos/valores intermediários
– Usar a precisão total da calculadora e usar a capacidade da calculadora de fazer cálculos complexos de 
uma só vez. Porém, nunca use menos de seis casas decimais nos resultados parciais;
• Recomenda-se não copiar resultados intermediários/parciais da calculadora na folha dos cálculos. 
• Matematicamente só deve-se indicar o modelo matemático, os valores das variáveis e o resultado final, sem 
os resultados parciais (faça os cálculos de uma única vez na calculadora!)
Estas condições de precisões e formalismos serão cobradas nos resultados numéricos das 
provas, descontando-se nos cálculos (precisões) e no método (formalismos matemáticos)
No caso do “5” arredondar 
para o par mais próximo!
No caso do “5” arredondar 
para o par mais próximo!
X
X
Tecla “GRAUS” para trabalhar com graus, minutos e segundos 
sexagesimais nos dois formatos usuais (ggg/mm/ss ou g.ddddddd)
Exemplo: calcular o cosseno de 30⁰16’46”: 
No ecrã da calculadora resulta:
cos ⁰ ’ ”3 1 ⁰ ’ ” 4 ⁰ ’ ” )0 6 6 =
Exemplo: calcular o arco cosseno de 0.923456 (descobrir o ângulo): 
No ecrã da calculadora resulta:
SHIFT .cos 9 3 4 6 )0 2 5 = ⁰ ’ ”
Observação: os parênteses iniciais nas funções 
trigonométricas dependem do modelo de CASIO: 
se apertar a função e aparecer a abertura de 
parêntese, lembre-se de fechá-lo antes da tecla “=“
Exemplo: calcular a raiz quadrada de 5,32 menos 32 (metros): 
No ecrã da calculadora resulta:
Neste caso, o resultado deve ser
considerado como 22°33’48”
Nunca usar decimas de segundos
No mínimo, trabalhar com 6 casas 
decimais nas funções trigonométricas, se 
necessário valores intermediários. Neste 
caso seria: 0,833576
Nos resultados finais de comprimento de 
segmentos de retas, usar só três casas 
decimais: 4,369m neste caso.
5• �� - 3 ) =( 2 ��. 3
Classificações dos ângulos
Com relação às suas medidas
• Giro: 
– ângulo que mede 360° (também pode ser chamado de Ângulo de uma volta ou 
completo).
– Um ângulo de 360 graus é aquele que completa o círculo. 
– A volta completa coincide com o ângulo de 0° mas possui a grandeza de 360°. 
– Tal identificação se assemelha à do ângulo negativo com o ângulo positivo que tem como 
medida exatamente aquele (negativo) somado com a volta completa.
• Consecutivos: 
– dois ângulos são chamados consecutivos se um dos lados de um deles coincide com um 
dos lados do outro ângulo; 
• Adjacentes: 
– Ângulos adjacentes são aqueles que possuem um lado em comum, mas as regiões 
determinadas não possuem pontos em comum; 
• Opostos: 
– Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um deles são semirretas 
opostas aos lados do outro.
• Congruentes: 
– Dois ângulos são congruente (ou coincidentes) se quando sobrepostos os lados de um 
deles são as mesmas semirretas dos lados do outro.
Classificaçõesdos ângulos
Com relação às suas medidas
• Nulo: 
– um ângulo nulo mede 0°;
• Agudo: 
– ângulo cuja medida é maior do que 0° e menor do que 90°;
• Reto: 
– um ângulo reto é um ângulo cuja medida é exatamente 90°; assim os 
seus lados estão localizados em retas perpendiculares;
• Obtuso: 
– é um ângulo cuja medida está entre 90° e 180°;
• Raso: 
– ângulo que mede exatamente 180°, os seus lados são semirretas 
opostas;
• Côncavo ou reentrante: 
– ângulo que mede mais de 180°e menos de 360°;
Classificações dos ângulos
Quanto a suas complementações
• Complementares: 
– dois ângulos são complementares se a soma de suas medidas é 
igual a 90°. Neste caso, cada um é o complemento do outro.
• Suplementares:
– dois ângulos são Suplementares quando a soma de suas medidas 
é igual a 180°. Neste caso, cada um é o suplemento do outro.
• Explementares:
– Dois ângulos são Explementares quando a diferença de suas 
medidas é igual a 180. Neste caso, cada um é o explemento do 
outro.
• Replementares:
– dois ângulos são Replementares quando a soma de suas medidas 
é igual a 360°. Neste caso, cada um é o replemento do outro.