Introdução a Circuitos Elétricos Alternados

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CIRCUITOS ELÉTRICOS ALTERNADOS: Introdução 
Prof. Antonio Sergio C. de Menezes - DEE-CEAR-UFPB 
 
1- CONSIDERAÇÕES PRELIMINARES 
 
Quando se estuda circuitos elétricos básicos, considera-se que os mesmos são de 
corrente contínua (C.C), isto é, alimentado por uma fonte de tensão contínua (voltagem ou 
diferença de potencial) e que circuito só tem resistências lineares. 
Se R for o valor da resistência de um resistor, I for a corrente que passa por ele re 
e V for a diferença de potencial que surge nos terminais deste resistor devido à passagem da 
corrente elétrica pelo mesmo, pela lei de Ohm temos: 
 
V = R.I (1) 
 
Voltagem é diferença de potencial também conhecida como tensão elétrica. 
Unidade: volt 
 Corrente elétrica: É o resultado da aplicação de uma tensão entre dois pontos, 
continuamente ou durante um certo tempo. Unidade: ampére, símbolo A. 
 Corrente contínua é constante com o tempo (pilhas, acumuladores, circuitos 
eletrônicos e outros). 
 A corrente elétrica é definida como sendo a taxa de passagem de cargas elétricas 
por unidade de tempo num determinado ponto do condutor. 
 Energia: capacidade de um sistema de realizar trabalho. 
 Potência é o trabalho realizado em um determinado tempo. 
 
A potência desenvolvida num resistor por feito Joule, por exemplo é: 
 
 , aonde P tem unidade de W = [J]/[s]: watt (2) 
Potência de 1 watt é desenvolvida quando se realiza o trabalho de um joule, em 
cada segundo, contínua e uniformemente. 
R
VI.RI.VP
2
2 ===
 2 
 Exemplo: Uma potência de 500 W significa que foi realizado um trabalho de 500 
joules em 1 segundo 
 Unidades elétricas: 
 m eletricidade (assim como em eletrônica) costuma-se empregar unidades 
multiplicativas para os componentes e outras grandezas como, por exemplo, freqüência. 
 Assim. 
 Pico (p) : 10-12; nano (n): 10-9; micro (μ): 10-6; mili (m): 10-3; kilo (K): 103 
 Mega (M) : 106; giga (G): 109 e tera 1012 
 
 Um resistor, por exemplo pode ter 1.000 mas se diz que tem 1K . Um 
capacitor pode ter 3x10-6F, mas se diz que tem 3μF. Um pendrive pode ter 2x109 bytes, mas 
se diz que tem 2G Bytes. A frequência da rádio tabajara é de 105.500.000 Hz (sinal da 
portadora), mas se diz que a frequência desta rádio é de 105.5 MHz 
 Lei das malhas. 
Num circuito série, onde uma fonte de tensão contínua VDC (DC : direct current) 
é aplicada 2 ou mais resistores (R1, R2, ..e .RN), nos terminais dos quais são desenvolvidas 
as voltagem V1, V2, ...e VN. Pela Lei de Kirchhoff das malhas, tem-se: 
 
 VDC = V1 + V2 + ...VN (3) 
 
Em outras palavras, a soma das tensões numa malha fechada é zero. 
Outra característica do circuito série é que a corrente é mesma em todos os 
elementos. O exemplo clássico de circuito série é a arvore de Natal. 
 
 Fig. 1 – Circuito resistivo série 
 
 Lei dos nós 
 
Num circuito paralelo `da Fig 2, no entanto, cada elemento do circuito está 
submetido à mesma voltagem, mas as correntes que podem ser diferentes. Assim, seja ainda 
W W
 3 
um circuito paralelo com 2 mais resistores (R1, R2, ..e .RN) por onde passam as correntes I1, 
I2, ...e IN.. Considerando IT a corrente total de entrada do circuito, tem-se: 
 
 IT = I1 + I2 + ...IN (4) 
 
 Em outras palavras, a soma das correntes que chegam a um nó é zero. 
 
 Fig 2 – Circuito paralelo resistivo 
 
Sentido da corrente (contínua) 
 
 No início da história da eletricidade definiu-se o sentido da corrente elétrica como 
sendo o sentido do fluxo de cargas positivas, ou seja, as cargas que se movimentam do pólo 
positivo para o pólo negativo. Naquele tempo nada se conhecia sobre a estrutura dos átomos. 
Não se imaginava que em condutores sólidos as cargas positivas estão fortemente ligadas aos 
núcleos dos átomos e, portanto, não pode haver fluxo macroscópico de cargas positivas em 
condutores sólidos. No entanto, quando a física subatômica estabeleceu esse fato, o conceito 
anterior já estava arraigado e era amplamente utilizado em cálculos e representações para 
análise de circuitos. 
 Esse sentido continua a ser utilizado até os dias de hoje e é chamado sentido 
convencional da corrente. Em qualquer tipo de condutor, este é o sentido contrário ao fluxo 
líquido das cargas negativas ou o sentido do campo elétrico estabelecido no condutor. Na 
prática qualquer corrente elétrica pode ser representada por um fluxo de portadores positivos 
sem que disso decorram erros de cálculo ou quaisquer problemas práticos. 
 Já na corrente alternada não se precisa se preocupar com o sentido 
 
 
 
 
 
 
 4 
 
 2- CORRENTES E VOLTAGENS ALTERNADAS 
 
 A mais simples forma de onda alternada é a senoidal, seja de voltagem ou de 
corrente. Uma forma de onda senoidal é gerada pela variação da componente vertical de um 
vetor que gira no sentido anti-horário com uma velocidade angular constante w, aonde w tem 
unidade de rad/s e w = 2.p.f, sendo f = ciclos/seg, ou Hertz. O inverso da frequencia é o 
período T do sinal alternado. Assim, 
 
 
 
 
 
 
 Fig.3 – Sinal senoidal gerado pela rotação anti-horária de um vetor. : 
 
 (5) 
 
 História 
 
 A corrente alternada surgiu quando Nikola Tesla foi contratado por J. Westinghouse 
para construir uma linha de transmissão entre Niágara e Búfalo, em NY. Thomas Edison fez 
o possível para desacreditar Tesla, mas o sistema polifásico de Tesla foi adotado. 
 A corrente alternada é a forma mais eficaz de se transmitir uma corrente elétrica por 
longas distâncias. 
 Na primeira metade do século XX havia sistemas de corrente alternada de 25 Hz no 
Canadá (Ontário) e no norte dos EUA. Em alguns casos, alguns destes sistemas (por 
exemplo, nas quedas de Niágara) perduram até hoje por conveniência das fabricas industriais 
que não tinham interesse em trocar o equipamento para que operasse a 60 Hz. As baixas 
freqüências facilitam construção de motores de baixa rotação. 
 Há também sistemas de 16,67 Hz em ferrovias da Europa (Suíça e Suécia). 
 Sistemas AC de 400 Hz são usados na indústria têxtil, aviões, navios, espaçonaves 
e em grandes computadores. 
 No Brasil a freqüência da rede elétrica é de 60 Hz. Na América do Sul, além do 
Brasil, também usam 60 Hz o Equador, Peru, Venezuela e a Colômbia. Em outros países, por 
f
1T =
marin
Destacar
marin
Destacar
 5 
exemplo, a Argentina, a Bolívia, o Chile e o Paraguai, bem como na Europa é usada a 
freqüência de 50Hz. 
 A corrente alternada foi adotada para transmissão de energia elétrica a longas 
distâncias devido à facilidade relativa que esta apresenta para ter o valor de sua tensão 
alterada por intermédio de transformadores. No entanto as primeiras experiências e 
transmissões foram feitas com corrente contínua (CC ou, em inglês, DC) 
 
 Exemplo 1 : A frequência da rede elétrica é 60 Hz. Logo, o período é: 
 
 T = 1/60 = 0,0166s 
 O produto da frequência em radianos pelo período é igual a 2p, ou 3600, ou seja w.T 
= 2p. Portanto,um sinal senoidal de voltagem com w de frequência angular pode ser escrito 
da seguinte forma: 
 
 v(t) = Vm.sen(wt) = Vm.sen(2.p.f. t) (6) 
 
 onde Vm é o valor máximo atingido pela função no período, ou seja, a função varia 
no período de –Vm a +Vm. 
 
 Exemplo 2: 
 A voltagem da rede elétrica doméstica no Nordeste tem uma frequência de 60 Hz, 
isso porque no sistema de geração as turbinas giram a uma frequencia de 60 voltas por 
segundo ou algum submúltiplo dela e os seus valores variam nominalmente de –311 a + 
311V. Assim, podemos representar matematicamente este sinal (sinal é toda voltagem ou 
corrente que varia continuamente com o tempo, como é o caso da rede elétrica) como sendo: 
 v(t) = 311.sen(2.p.60.t) = 311.sen(377.t) (7) 
 
 Como se justificará mais adiante, 
 Como o vetor que gera o sinal senoidal pode começar a girar em qualquer ângulo f 
diferente de zero, genericamente podemos escrever um sinal senoidal de voltagem (assim 
como de corrente) como sendo: 
 
 v(t) = Vm .sen(w.t + f) (8) 
 
V220x2311@
marin
Destacar
marin
Destacar
marin
Destacar
marin
Destacar
 6 
 
 
 Fig. 4 – Sinal senoidal gerado com um defasamento f 
 
Exemplo 3: 
 
Esboçar o sinal de corrente i(t) = 10.sen(w.t + 90o). 
 
Solução: 
 
A função sen(x) assume valor zero quando x = 0. Assim, i(t) = 0 se w.t + 90o=0, 
ou seja, w.t = -90o. Portanto com f = -900 a voltagem se adianta em 900, conforme está 
mostrado na figura abaixo. 
 
 
 Fig. 5 – Sinal senoidal adiantado de 90o em relação à origem 
 
Observando-se a forma de onda acima, nota-se que se comporta como uma função 
cossenoidal. Assim, uma propriedade trigonométrica bastante útil é: 
 
marin
Destacar
 7 
cos(x) = sen(x + 900) (9) 
 
Por outro lado, i(t) = 10.sen(w.t – 900) = 0 se w.t = + 900 , isto é o sinal se atrasa 
900 em relação à origem conforme Fig. 6 . 
 
Exercício 1: 
Esboçar f(x) = -sen(x) e mostrar que –sen(x) = +sen(x +/- 1800) 
Exemplo 4 . 
Escrever as seguintes funções em forma de seno positivo. 
a) v1(t) = -10.sen(w.t + 100) (b) v2(t) = -10.sen(w.t + 2200) 
 (c) v3(t) = 5.cos(w.t + 100) (d) v4(t) = -10.cos(w.t + 2000) 
 
 
 
 Fig. 6 – Sinal senoidal atrasado de 90o em relação à origem 
 
Solução: 
a) v1(t) = -10.sen(w.t + 1000) = +10.sen(w.t + 1000 ± 1800) = 
 v1(t) = +10.sen(w.t + 2800) ou v1(t) = +10.sen(w.t - 800) 
 
b) v2(t) = - 10.sen(w.t + 2200) = +10.sen(w.t - 400 
c) v3(t) = 5.cos(w.t + 100) = 5.sen(w.t + 100 + 900) = 
 8 
 5.sen(w.t + 1000) 
 
d) v5(t) = -10.cos(w.t + 2000) = -10sen(w.t + 2000 +900) = 
 -10sen(w.t + 2900) = + 10sen(w.t + 2900- 1800) = 
 + 10sen(w.t + 1100) 
 
3- DEFASAMENTO (diferença de fase) 
 
Duas formas de onda senoidais que tem a mesma frequencia, mas passam pelo zero 
em diferentes tempos são ditas fora de fase. Assim, seja v1(t) e v2(t) dois sinais de tensão 
que tem as seguintes expressões matemáticas associadas: 
 
v1(t) = Vm1.sen(w.t + f1) 10.1 
v2(t) = Vm2.sen(w.t + f2) 10.2 
 
Vê-se pelo esboço abaixo das funções acima que existe um defasamento de f = f2 
-f1 , ou seja, que v1(t) está adiantada em relação v2(t) e que, por outro lado, v2(t) está 
atrasada em relação v2(t). 
A situação acima ocorre com frequência nas chamadas cargas reativas, isto é 
cargas que tem características indutivas ou capacitivas, onde a corrente se atrasa em relação 
à voltagem aplicada no primeiro caso e se adianta no segundo. Estuda-se isso mais adiante. 
 
 
 
 Fig. 7 – Dois sinais defasados por um ângulo f 
 
 
 
 9 
 
Exemplo 5: 
Esboçar nos mesmos eixos de coordenadas as seguintes voltagens: 
 a) v1(t) = 10.sen(w.t + 10o) 
 v2(t) = 12.sen(w.t - 20o) 
 
 Fig. 8-b – Sinais senoidais defasados de +10o e -20o 
 f = 100 – (-200) = 300 
 b) v1(t) = 10.sen(w.t - 10o) 
 v2(t) = 10.sen(w.t -50o) 
 
 
 Fig. 8-b – Sinais senoidais defasados de -10o e -50o 
 
 
 
 
 10 
4- VALOR MÉDIO 
 
É importante em sinais elétricos a noção de valor médio. O valor médio de uma 
função contínua no certo intervalo de tempo é a integral desta função dividida por este 
intervalo de tempo T: 
 (11) 
No caso do sinal senoidal (rede elétrica), v(t) = Vm.sen(w.t). Assim, 
 
 (11.a) 
 
Assim sendo, o valor médio de um sinal senoidal é zero. Isto quer dizer que 
quando se vai medir um sinal senoidal com um voltímetro (ou amperímetro) DC 
(voltagem/corrente contínua) ele vai indicar valor zero, mesmo que os valores de voltagem 
(ou corrente) alternada que ele tenta medir sejam maiores que zero. Exemplo: ao se tentar 
medir a voltagem de uma tomada de uma rede elétrica qualquer com um voltímetro DC ou 
um multímetro nesta faixa de medição, se verá que ele indicará valor zero mesmo que logo 
após você ligue qualquer aparelho elétrico nela e ele funcione normalmente! 
Por outro lado, ao se introduzir entre o sinal alternado e a carga um elemento 
eletrônico chamado diodo que retifica o sinal, ou seja, oferece uma muito baixa resistência à 
passagem de corrente em um sentido (do anodo para o catodo) e uma muito alta resistência 
no sentido inverso, o resultado fica como mostrado na figura abaixo: 
 
 
 
 
 D1 = diodo semicondutor 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 9.1 – Circuito retificador de meia-onda 
 
 
 
ò=
T
0
dt).t(v
T
1V
0)]0cos().2cos([
.2
V
)]0cos()T.cos([
T.
Vdt).t.sen(.V
T
1V
om
omT
0 m
=+p-
p
=
+w-
w
=w= ò
 11 
 Fig. 9.2 – Sinal senoidal retificado em meia onda 
 
Desta forma, é até intuitivo concluir que surgirá um nível médio na saída maior que 
zero, visto que a parte negativa da senoide que anulava a parte positiva não está mais presente. 
Mas que valor é este? Vamos recorrer de novo à integral da equação (11), só que 
estabelecendo como limite de integração 0 ® T/2 (p): 
 
 (12) 
 
 
 Também pode-se com auxílio de um ponte diodos (quatro diodos ligados 
convenientemente) retificar o sinal senoidal completamente, conforme figura baixo: 
 Visto de outra forma, o que obtemos é o módulo da função, isto é, v(t) = 
½Vm.sen(wt)½. Valendo-se novamente da Equação 11, e tomando novamente o intervalo de 
integração 0 ® T/2 (p), mas agora integrando também no mesmo intervalo, tem-se: 
 
 (13) 
 
 
 Fig. 10 – Sinal senoidal retificado de onda completa. 
(1) – Valor médio da retificação de onda completa. 
(2) - Valor médio da retificação de meia onda. 
 
Tanto a retificação de meia onda como de onda completa são feitas internamente 
em voltímetros e amperímetros alternados para leitura apropriada de valores alternados de 
voltagem e decorrente. O de meia onda, em medidores eletrodinâmicos e o de onda completa 
em medidores ditos eletrônicos, notadamente os digitais. Nos eletrônicos esta retificação se 
dá também com diodos, mas conta com o auxílio de circuitos com amplificadores especiais 
que minimizam em muito a não-linearidade dos diodos, o que não acontece com os 
eletrodinâmicos. Portanto, para valores muito baixos de voltagem ou corrente alternadas o 
voltímetro digital é mais preciso. 
 
 
p
=
p
=qq
p
=w= òò
p Vm.
2
Vm..2d).sen( Vm.
2
1dt).tsen( Vm.
T
1V
0
2
T
0
p
=qq
p
=w= òò
p Vm..2d).sen( Vm.1dt).tsen( Vm.
2
T
1V
0
2
T
0
 12 
 
5- VALOR EFICAZ 
 
Observando a Equação 1 vê-se que é muito direto e fácil determinar a potência joule 
de um circuito de corrente contínua, pois estamos tratando de valores invariantes com o 
tempo. Mas quando te trata de voltagem e corrente que variam com tempo a abordagem 
muda. 
Se uma voltagem ou corrente variam com tempo tem-se que pensar numa média de 
dissipação de potência. Seja um sinal qualquer como mostrado na figura abaixo. Pode-se 
tomar N amostras deste sinal num determinado intervalo de tempo, determinar a potência em 
cada um dos instantes em que a amostra foi tomada e considerar uma potência média 
dissipado, conforme está ilustrado na Fig. 11. Assim, 
 
 (14) 
Porém, se o sinal for contínuo e o numero de amostras N for muito grande (
) a expressão da potência média se torna uma integral: 
 
 (15) 
 
onde T representa o intervalo de tempo no qualquer se determinar a potência média. Por outro 
lado podemos igualar a expressão acima com potência desenvolvida por valor de voltagem 
constante (ou de corrente) que desenvolva a mesma potência média: 
 
 
 Fig. 11 – Tomada de N amostras de um sinal qualquer para calculo do 
 valor eficaz (RMS 
 
 (16) 
 
å
=
=
N
0i
2
i
R
V
N
1P
¥®N
dt
R
)t(v
T
1P
T
o
2
ò=
dt)t(v
T
1V
R
Vdt
R
)t(v
T
1 T
o
2
RMS
2
RMST
o
2
òò =Þ=
marin
Destacar
 13 
Assim, o valor acima é chamado valor eficaz ou valor RMS, onde R é Root (raiz), 
M é mean (média) e S é square (quadrado). Em outras palavras, VRMS quer dizer mais ou 
menos a raiz quadrada da média infinitesimal do quadrado da voltagem ou corrente que varia 
continuamente com o tempo. 
Se o sinal é o do tipo senoidal, tem-se: 
 
 (17) 
 
considerando que 
 
 Exemplo 6: 
 
 Uma tensão senoidal do tipo v(t) = 311.sen(377.t) é aplicada a um resistor de 
 30 W. Que potência é dissipada quando aplicamos a tensão neste resistor? 
 
 Solução: 
 A potência dissipada por um resistor por uma onda completa é dada por: 
 
 
 
 Exemplo 7: 
 Determinar o valor RMS de v(t) = 10 + 10. sen(w.t). 
 Solução: 
 
 
 Exercício: aplique diretamente v(t) acima em (15) e mostre que o resultado acima é 
correto. No desenvolvimento considere também (11) 
 
 7 -FATOR DE FORMA 
 
 Um voltímetro ou amperímetro alternados respondem pelo valor médio e são 
calibrados em termos de valor RMS. Para isso, o valor médio detectado por eles é 
multiplicado pelo Fator de Forma. 
 
 Fator de Forma = (20) 
 
2
Vm..d).(sen .Vm1dt).t(sen .Vm
2
T
1V
0
22
2
T
0
22
RMS =qqp
=w= òò
p
2
)2cos(1)(sen2 q-=q
V220
2
311
2
VV
R
VP mRMS
2
RMS ===\=
W33,1613
30
220P
2
==
V24,12
2
1010V
2
2
RMS =+=
medio
RMS
V
V
marin
Destacar
 14 
 Os voltímetros e amperímetros AC analógicos (de ponteiros) fazem uma retificação 
de meia onda (com um diodo, como já mostrado anteriormente). Neste caso o Fator de 
Forma, considerando (12) e (17), é dado por: 
 
 Fator de forma = (21) 
 
 Nos voltímetros e amperímetros digitais (eletrônicos), no entanto, a retificação é de 
onda completa o Fator de Forma é dado por (considerando 13 e 17): 
 
 (22) 
 
 
 
 
 Fig. 12 – Visão de um multímetro analógico comercial. 
 
 
 
 
 
 
22,2
2/V
2/V
V
V
m
m
medio
RMS =
p
=
p
=
11,1
22/V.2
2/V
V
V
m
m
medio
RMS =
p
=
p
=
 15 
 Exemplo 8: 
 
 Deseja-se medir uma voltagem do tipo v(t) = 311.sen(2π.60t) num voltímetro a de 
Como seria esta medida? 
 Solução: 
 Observe que o multímetro tem duas faixas de medida para voltagem: uma para DC 
e outra para AC. 
 Na faixa ACV o voltímetro faz uma retificação de meia onda e responde pelo valor 
dela. 
 O valor médio da voltagem acima é: 
 Vmédio = = 99,045 V 
 A escala é marcada aplicando-se a ela o fator de forma (2,22): 
 
 VRMS = 2,22x99,045 = 219,88 V 220 V 
 
 Exemplo 9: 
 
 Qual seria a medida da mesma voltagem para um multímetro digital: 
 Solução: 
 Na faixa ACV o voltímetro faz uma retificação de onda completa e responde pelo 
valor dela. 
 O valor médio da voltagem acima é: 
 Vmédio = = 197,99 V 
 A escala é marcada aplicando-se a ela o fator de forma (1,11): 
 
 VRMS = 1,11x 197,99 = 219,88 V 220 V 
 
 
 
p
311
@
p
311x2
@
 16 
 
 Exemplo 10: 
 
 Qual o valor eficaz verdadeiro de um sinal de voltagem simétrico quadrado de 
acordo coma figura abaixo, para Vm = 10V? 
 
 Solução: 
 
 Vm = 10V 
 Como o voltímetro analógico mede? 
 Antes ele faz uma retificação de meia-onda conforme a Fig. 13-b. O valor médio é 
: 
 Vmédio = = 5V 
 A escala é marcada aplicando-se a ela o fator de forma (1,11): 
 VRMS = 2,22x5 = 11,1V 
 Então, para esse sinal o erro é de 11,1%. 
 
 
 Fig. 13-a Sinal quadrático simétrico 13-b Sinal retificado em meia-onda 
 
 
 
 
== ò dt..Vm
2
T
1V
2
T
0
2
RMS
2
Vm
 17 
 
8- ANÁLISE DE CIRCUITOS SIMPLES NO DOMÍNIO DO TEMPO 
 
8-1 CIRCUITO RESISTIVO 
 
 
 Foto de um resistor 
 
 Seja v(t) = Vm.sen(ω.t + θ) uma voltagem aplicada a um resistor. A corrente que 
circula por este resistor de resistência R é dada por: 
 
 i(t) = = = Im.sen(ω.t + θ), onde Im = 
 
 
 Resposta de uma caga resistiva a uma voltagem senoidal 
R
)t(v
R
)t.(sen.Vm q+w
R
Vm
 18 
 
 Numa instalação elétrica há vários exemplos de cargas resistivas: lâmpadas 
incandescentes comuns, chuveiros elétricos, ferros elétricos, fornos, etc. Nestes casos, a 
corrente e a voltagem estão em fase. 
 
 8-2 – CIRCUITO COM CAPACITIVO IDEAL 
 
 Capacitores eletrolíticos Capacitores de poliester 
 Um capacitor é um armazenador de energia elétrica entre duas placas metálicas 
separadas por um dielétrico. 
 Seja v(t) = Vm .sen(ω.t + θ) uma voltagem aplicada a um capacitor. A corrente que 
circula por este capacitor de capacitância C é dada por: 
 
 i(t) = C. = ωC.Vm.cos(ω.t +θ) = sen(ω.t +θ + 90o) 
 i(t) = Im.sen(ω.t + ) onde Im = = e = θ + 90o 
 XC = é areatância capacitiva do capacitor de capacitância C. 
 A unidade de XC é a mesma da resistência, ou seja, ohm. 
 Também, 
 VRMS= XC.IRMS ou, simplesmente, V = XC.I (lei de Ohm) 
 
 
dt
)t(dv
C.
1
Vm
w
f
C.
1
Vm
w C
m
X
V
f
C.
1
w
 19 
 
 i(t) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exemplo 11: 
 
 Uma voltagem v(t) = 311.sen(2.π.60.t) é aplicada a um capacitor de 2μF. Qual a 
corrente eficaz que circula por ele? 
 Solução: 
 IC = ; VRMS = 220 V; XC = 1326,3 
 IC = = 0,166 A = 166 mA 
 
 
 
C
RMS
X
V
2
311
@ 610x2x60..2
1
-p
@ W
3,1326
220
 20 
 Capacitores em série: 
 
 Quando dois ou mais capacitores estão em série a capacitância equivalente total é 
dada por: 
 ........ 
 Também, 
 ........ 
 
 No que se conclui que a reatância total é a soma das reatâncias: 
 
 XCT = XC1 + XC2 + ........ XC¨N 
 
 Se tivermos N capacitores iguais em série iguais a C, deduz-se que 
 CT = 
 
 Capacitores em paralelo 
 
 Se N capacitores estão em paralelo, a capacitância equivalente total é dada por: 
 
 CT = C1 + C2 + CN 
 
 Também, 
 
 ωCT = ω.C1 + ω.C2 + ...+ ω.CN 
 
 No que se conclui: 
 
++=
21T C
1
C
1
C
1
NC
1
+
w
+
w
=
w 21T C.
1
C.
1
C.
1
NC.
1
w
N
C
 21 
 
 
 Exemplo 12: 
 
 Uma voltagem de v(t) = 311.sen(2.π.60.t) é aplicada em dois capacitores de 2μF e 
3 μF, respectivamente. Determinar as quedas de voltagem eficazes em cada um deles 
 Solução 
 XC1 = = 1326,29 ; XC2 = = 1768,38 
 
 XT = XC1 + XC2 = 1326,29 + 1768,38 = 3094,67 
 A corrente eficaz que passa pelos dois capacitores é: 
 I = = = 0,071 A = 71 mA 
 A voltagem eficaz no primeiro capacitor é dada por 
 
 V1=I.XC1= 0.071x1326,29 = 94,17V 
 
 A voltagem eficaz no segundo capacitor é dada por 
 
 V2=I.XC2= 0.071x 1768,38 = 125,58 V 
 
 Somando V1 e V2 220 V (voltagem eficaz de entrada) 
 
 
 
 
 
 
CN2C1CCT X
1......
X
1
X
1
X
1
+++=
610x2.60..2
1
-p
W 610x3.60..2
1
-p
W
W
T
RMS
X
V
67,3094
2/311
@
 22 
 Exercício proposto. 
 
 Calcular a corrente eficaz total se estas capacitâncias estiverem em paralelo. 
 Reposta: 0,29 A 
 
 Valores comerciais de resistência e capacitância. 
 
 Os valores comerciais de resistência e capacitância são os valores abaixo (cada 
valor é, valores redondos, cerca de 10% maior que o anterior) . 
 Para os valores dos resistores basta multiplicar por 10, 102, 103, 104, 105, 106 (71) 
 Para os valores dos capacitores basta multiplicar por mili, micro, nano e pico (F) 
 
1 1.1 1.2 1.3 1.5 1.6 
1.8 2.0 2.2 2.4 2.7 3.0 
3.3 3.6 3.9 4.3 4.7 5.1 
5.6 6.2 6.8 7.5 8.2 9.1 
 
 
8-3- CIRCUITO INDUTIVO IDEAL 
 
 
 Fotos de alguns indutores 
 
 Não existe circuito indutivo puro, pois sempre tem uma resistência associada à ele. 
Um indutor é construído enrolando-se um fio de cobre esmaltado num núcleo de ar ou de 
 23 
material magnetizável. Mas quando se pode desprezar esta resistência, diz-se que o indutor 
é ideal. 
Quando um indutor está submetido a um sinal senoidal, como é o nosso caso, 
podemos considerá-lo ideal quando wL >>R, onde w é a frequência em radianos/seg do sinal, 
L é o valor da indutância e R é valor da resistência associada. Uma das formas de se conseguir 
isso é enrolar a espira do indutor com um fio de cobre de grande seção com grande número 
de voltas sobre um núcleo ferromagnético. 
 
A relação entre corrente e voltagem num indutor é dada por: 
 
Admitindo-se que este indutor é excitado por uma corrente senoidal e aplicando-se 
na expressão acima tem-se: 
 
, (26) 
Também percebe-se que Vm = = XL.Im (lei de Ohm), onde 
XL = .L é reatância indutiva de um indutor de indutância L 
 
 
 
 Isto é, o indutor reage contra variação da corrente adiantando a voltagem em 90o 
ou atrasando a corrente em 90o. 
 
dt
)t(diL)t(v =
)90t.(sen.LI)t.cos(.LI)]t.(sen.I[
dt
dL)t(v ommm +ww=ww=w=
)90t.(senV).t(v om +w=
mLIw
w
marin
Destacar
marin
Destacar
marin
Destacar
 24 
 
 Resposta de um ideal a uma voltagem senoidal. 
 Valor indutivo. 
 O valor da indutância para um solenoide longo ( >> A) ou um toroide é dado por: 
 L = 
 
 L: valor da indutância; μ: permeabilidade do núcleo; N: numero de espiras; 
 A (m2) : área da seção transversal e (m), o comprimento do solenoide. 
 
 
 Toroide Solenoide 
 
 
 
 
 
 
 
!
!
A.N. 2µ
!
 25 
 
 Indutâncias em série. 
 
 Se N indutâncias estão em série, a reatância indutiva total é dada por: 
 
 XLT = XL1 + XL1 + .........+ XLN, já que LT = L1 + L2 + .......+LN 
 
 Se, por outro lado, N indutâncias estão em paralelo a reatância indutiva total é dada 
por: 
 já que ........ 
 
 Exemplo 13 
 Uma voltagem de v(t) = 50.sen(2π.1000) é aplicada a dois indutores em série, uma 
de 2mH e outro de 3mH. Determinar a corrente que passa por eles e a queda de voltagem em 
cada um deles. 
 Solução: 
 
 XL1 = 2π.1000x2x10-3 = 6,283 
 XL2 = 2π.1000x3x10-3 = 9,425 
 
 Como estão em série a corrente total é dada por: 
 I = = = 2,251 A 
 As quedas de voltagem em cada indutor são dadas por: 
 
 VL1 = XL1.I = 14,14 V; VL2 = XL2.I = 21,22 V 
 
 
 
 
LN2L1LLT X
1......
X
1
X
1
X
1
+++= ++=
21T L
1
L
1
L
1
NL
1
W
W
1L1L
RMS
XX
V
+ 425,9283,6
2/50
+