extensivoenem-matemática1-Revisão sobre sistemas lineares-26-11-2020-e39b41e18b528bda9e46d24cae48c55f

Prévia do material em texto

1 
Matemática 
 
Revisão sobre sistemas lineares 
 
Exercícios 
 
1. Visando atingir metas econômicas previamente estabelecidas, é comum no final do mês algumas lojas 
colocarem certos produtos em promoção. Uma determinada loja de departamentos colocou em oferta 
os seguintes produtos: televisão, sofá e estante. Na compra da televisão mais o sofá, o cliente pagaria 
R$ 3 800,00. Se ele levasse o sofá mais a estante, pagaria R$ 3 400,00. A televisão mais a estante 
sairiam por R$ 4 200,00. Um cliente resolveu levar duas televisões e um sofá que estavam na promoção, 
conseguindo ainda mais 5% de desconto pelo pagamento à vista. 
O valor total, em real, pago pelo cliente foi de 
a) 3 610,00. 
b) 5 035,00. 
c) 5 415,00. 
d) 5 795,00. 
e) 6 100,00. 
 
 
2. Uma agência de turismo vendeu um total de 78 passagens para os destinos: Lisboa, Paris e Roma. 
Sabe-se que o número de passagens vendidas para Paris foi o dobro do número de passagens vendidas 
para os outros dois destinos conjuntamente. Sabe-se também que, para Roma, foram vendidas duas 
passagens a mais que a metade das vendidas para Lisboa. Qual foi o total de passagens vendidas, 
conjuntamente, para Paris e Roma? 
a) 26 
b) 38 
c) 42 
d) 62 
e) 68 
 
 
3. Uma pessoa encheu o cartão de memória de sua câmera duas vezes, somente com vídeos e fotos. Na 
primeira vez, conseguiu armazenar 10 minutos de vídeo e 190 fotos. Já na segunda, foi possível realizar 
15 minutos de vídeo e tirar 150 fotos. Todos os vídeos possuem a mesma qualidade de imagem entre 
si, assim como todas as fotos. Agora, essa pessoa deseja armazenar nesse cartão de memória 
exclusivamente fotos, com a mesma qualidade das anteriores. 
(Disponível em: www.techlider.com.br. Acesso em: 31 jul. 2012.) 
O número máximo de fotos que ela poderá armazenar é 
a) 200. 
b) 209. 
c) 270. 
d) 340 
e) 475. 
 
 
 
 
 
 
2 
Matemática 
 
4. No início de um dia de coleta de lixo para reciclagem, foram usados quatro recipientes de coleta, todos 
vazios e de mesmo peso. 
 
Ao final do dia, o recipiente com vidro pesava 3 kg, a soma do peso dos recipientes com metal e com 
plástico era igual ao peso do recipiente com papel e, por fim, o peso do recipiente com metal superava 
o peso do recipiente com plástico em 1,2 kg. Se a soma dos pesos dos quatro recipientes, ao final 
desse dia, era igual a 8 kg, então, a coleta de papel superou a de metal em 
a) 500 g. 
b) 450 g. 
c) 1,45 kg. 
d) 1,85 kg. 
e) 650 g. 
 
 
5. Uma companhia de seguros levantou dados sobre os carros de determinada cidade e constatou que 
são roubados, em média, 150 carros por ano. 
O número de carros roubados da marca X é o dobro do número de carros roubados da marca Y, e as 
marcas X e Y juntas respondem por cerca de 60% dos carros roubados. O número esperado de carros 
roubados da marca Y é: 
a) 20 
b) 30 
c) 40 
d) 50 
e) 60 
 
 
6. Dado o sistema {
𝑥 − 3𝑦 = 0
(𝑚 + 1)𝑦 = 0
, para que valores de m o sistema admite somente a solução trivial: 
a) m = -1 
b) m ≠ -1 
c) m = 2 
d) m ≠ 2 
e) m ≠ 0 
 
 
 
 
 
 
 
3 
Matemática 
 
7. No sistema linear {
𝑎𝑥 − 𝑦 = 1
𝑦 + 𝑧 = 1
𝑥 + 𝑧 = 𝑚
, nas variáveis x, y e z, a e m são constantes reais. É correto afirmar: 
a) No caso em que a = 1, o sistema tem solução se, e somente se, m = 2. 
b) O sistema tem solução, quaisquer que sejam os valores de a e de m. 
c) No caso em que m = 2, o sistema tem solução se, e somente se, a = 1. 
d) O sistema só tem solução se a = m = 1. 
e) O sistema não tem solução, quaisquer que sejam os valores de a e de m. 
 
 
8. Relativas ao sistema {
𝑘𝑥 + 4𝑘𝑦 = 0
3𝑥 + 𝑘𝑦 = 8
𝑘 ∈ 𝑅
, considere as afirmações I, II e III abaixo. 
I. Apresenta solução única para, exatamente, dois valores distintos de k. 
II. Apresenta mais de 1 solução para um único valor de k. 
III. É impossível para um único valor de k. 
 
Dessa forma, 
a) somente I está correta. 
b) somente II e III estão corretas. 
c) somente I e III estão corretas. 
d) somente III está correta. 
e) I, II e III estão corretas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
Matemática 
 
9. Sabemos que os sistemas possuem uma representação matricial formada pelos coeficientes 
numéricos de cada incógnita. Por exemplo, o sistema de equações 
{
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 𝑑
𝑒𝑥 + 𝑓𝑦 + 𝑔𝑧 = ℎ
𝑖𝑥 + 𝑗𝑦 + 𝑘𝑧 = 𝑙
 
possui a seguinte representação matricial: 
|
𝑎 𝑏 𝑐
𝑒 𝑓 𝑔
𝑖 𝑗 𝑘
| ∙ |
𝑥
𝑦
𝑧
| = |
𝑑
ℎ
𝑙
| 
O sistema também pode ser representado pela matriz incompleta formada somente pelos coeficientes 
numéricos das incógnitas. 
|
𝑎 𝑏 𝑐
𝑒 𝑓 𝑔
𝑖 𝑗 𝑘
| 
Essa representação de sistemas na forma de matrizes permite a utilização da Regra de Cramer no 
cálculo das incógnitas do sistema. 
Com base nas informações, calcule os valores de x, y e z do sistema de equações 
{
𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = −1
𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = −2
2𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 1
 
utilizando a Regra de Cramer. 
a) (1, 2, -1) 
b) (1, 2, 1) 
c) (1, -2, 1) 
d) (-1, 2, 1) 
e) (-1, 2, -1) 
 
10. Se a terna (a, b, c) é solução do sistema{
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 9
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 3
3𝑥 − 𝑦 − 2𝑦 = −4
, qual o valor numérico (a+b+c)? 
a) 2 
b) 4 
c) 6 
d) 8 
e) 10 
 
 
 
 
 
5 
Matemática 
 
Gabarito 
 
1. D 
Sejam t, s e e, respectivamente, o preço de uma televisão, o preço de um sofá e o preço de uma estante. 
Logo, vem: 
 
A resposta é 0,95.(2.2300 + 1500) = R$5795,00 
 
2. D 
Sejam ℓ, p e r, respectivamente, o número de passagens vendidas para Lisboa, Paris e Roma. Logo, tem-
se que 
 
A resposta é p + r = 52 + 10 = 62 
 
3. C 
 
 
 
 
 
4. E 
Sem V, o peso do recipiente de vidro, M o peso do recipiente de metal, P o peso do recipiente de plástico e 
K o peso do recipiente de papel, pode-se escrever: 
 
Assim, K – P = 2,5 – 1,85 = 0,65 = 650 gramas 
 
 
 
 
 
6 
Matemática 
 
5. B 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. B 
Para admitir apenas a solução trivial, x=0 e y=0. Para isso, 𝑚 + 1 ≠ 0 ⇔ 𝑚 ≠ −1. 
 
7. A 
O determinante da matriz dos coeficientes é igual a 
|𝑎 − 1 0 0 1 1 1 0 1 | = 𝑎 − 1. 
Para ser SI ou SPI: 
a-1=0, logo a=1 
 
Para não ter solução: 
m – 2 ≠ 0 
m ≠ 2 
 
8. B 
|𝑘 4𝑘 3 𝑘 | ≠ 0 ⇔ 𝑘2 − 12𝑘 ≠ 0 ⇔ 𝑘 ≠ 0 𝑒 𝑘 ≠ 12 (o sistema possui solução única) 
Se k = 0 temos 
{0 + 0 = 0 3𝑥 = 8 ⇔ 𝑥 =
8
3
 e y pode ser qualquer real, logo, o sistema possui infinitas soluções. 
Se k = 12 temos {12𝑥 + 48𝑦 = 0(: 4) 3𝑥 + 12𝑦 = 8 ⇔ {3𝑥 + 12𝑦 = 0 3𝑥 + 12𝑦 = 8 (𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑖𝑚𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑙) 
I. Falsa. Possui solução única para infinitos valores de k. 
II. Verdadeira, se k = 0 o sistema apresenta infinitas soluções. 
III. Verdadeira, é impossível se k = 12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
Matemática 
 
9. A 
No cálculo do determinante das matrizes indicadas utilizaremos o método de Sarrus. 
 
x = Dx / D 
x = –8/–8 
x = 1 
 
y = Dy/D 
y = –16/–8 
y = 2 
 
z = Dz/D 
z = 8/–8 = –1 
 
Conjunto solução: x = 1, y = 2 e z = –1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
Matemática 
 
 
10. C 
Tomando a matriz ampliada do sistema e escalonando, obtemos 
 
Portanto, o sistema escalonado equivalente é 
{
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 9
−𝑦 + 𝑧 = −1
−6𝑧 = −12
 
Resolvendo esse sistema, obtemos facilmente x=1, y=3 e z=2. Portanto, segue que a+b+c=1+3+2=6.