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MÉTODOS 
QUANTITATIVOS
Eduardo Dias
Lidiane Farias Costa
Démerson André Polli
Usiara Britto
Juliani Karsten Alves
Robinson Panaino
Centro Universitário Adventista de São Paulo
Fundado em 1915 — www.unasp.br
Missão Educar no contexto dos valores bíblicos para um viver pleno e para 
a excelência no serviço a Deus e à humanidade.
Visão Ser uma instituição educacional reconhecida pela excelência nos serviços prestados, 
pelos seus elevados padrões éticos e pela qualidade pessoal e pro� ssional de seus egressos.
Administração da Entidade
Mantenedora (IAE)
Diretor-Presidente: Maurício Lima
Diretor Administrativo: Edson Medeiros
Diretor-Secretário: Emmanuel Oliveira Guimarães
Diretor Depto. de Educação: Ivan Góes
Administração Geral
do Unasp
Reitor: Martin Kuhn
Vice-Reitor Executivo Campus EC: Antônio Marcos da Silva Alves
Vice-Reitor Executivo Campus HT: Afonso Ligório Cardoso
Vice-Reitor Executivo Campus SP: Douglas Jeferson Menslin
Pró-Reitor Administrativo: Telson Bombassaro Vargas
Pró-Reitor Acadêmico: Afonso Ligório Cardoso
Pró-Reitor de Educação a Distância: Fabiano Leichsenring Silva
Pró-Reitor de Pesquisa e Desenvolvimento Institucional: Allan Macedo de Novaes
Pró-Reitor de Desenvolvimento Espiritual, Comunitário e Estudantil: Martin Kuhn
Secretário-Geral: Marcelo Franca Alves
Faculdade Adventista
de Teologia
Diretor: Reinaldo Wenceslau Siqueira
Coordenador de Pós-Graduação: Vanderlei Dorneles da Silva
Coordenador de Graduação: Adriani Milli Rodrigues
Órgãos Executivos 
Campus Engenheiro Coelho
Pró-Reitor Administrativo Associado: Murilo Marques Bezerra
Pró-Reitor Acadêmico Associado: Everson Muckenberger
Pró-Reitor de Desenvolvimento Estudantil Associado: Bruno de Moura Fortes
Pró-Reitor de Desenvolvimento Espiritual e Comunitário Associado: Ebenézer do Vale Oliveira
Órgãos Executivos 
Campus Hortolândia
Pró-Reitor Administrativo Associado: Claudio Valdir Knoener
Pró-Reitora Acadêmica Associada: Suzete Araújo Águas Maia
Pró-Reitor de Desenvolvimento Estudantil Associado: Daniel Fioramonte Costa
Pró-Reitor de Desenvolvimento Espiritual e Comunitário Associado: Wanderson Paiva
Órgãos Executivos 
Campus São Paulo
Pró-Reitor Administrativo Associado: Flavio Knöner
Pró-Reitora Acadêmica Associada: Silvia Cristina de Oliveira Quadros
Pró-Reitor de Desenvolvimento Estudantil Associado: Ricardo Bertazzo
Pró-Reitor de Desenvolvimento Espiritual e Comunitário Associado: Robson Aleixo de Souza
Editor-chefe Rodrigo Follis
Gerente de projetos Bruno Sales Ferreira
Editor associado Alysson Huf
Supervisor administrativo Werter Gouveia
Gerente de vendas Francileide Santos
Editores Adriane Ferrari, Gabriel Pilon Galvani,Jônathas Sant’Ana e � amires Mattos
Designers grá� cos Felipe Rocha e Kenny Zukowski
Imprensa Universitária Adventista
Centro Universitário Adventista de São Paulo
Fundado em 1915 — www.unasp.br
Missão Educar no contexto dos valores bíblicos para um viver pleno e para 
a excelência no serviço a Deus e à humanidade.
Visão Ser uma instituição educacional reconhecida pela excelência nos serviços prestados, 
pelos seus elevados padrões éticos e pela qualidade pessoal e pro� ssional de seus egressos.
Administração da Entidade
Mantenedora (IAE)
Diretor-Presidente: Maurício Lima
Diretor Administrativo: Edson Medeiros
Diretor-Secretário: Emmanuel Oliveira Guimarães
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Administração Geral
do Unasp
Reitor: Martin Kuhn
Vice-Reitor Executivo Campus EC: Antônio Marcos da Silva Alves
Vice-Reitor Executivo Campus HT: Afonso Ligório Cardoso
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Pró-Reitor Administrativo: Telson Bombassaro Vargas
Pró-Reitor Acadêmico: Afonso Ligório Cardoso
Pró-Reitor de Educação a Distância: Fabiano Leichsenring Silva
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Pró-Reitor de Desenvolvimento Espiritual, Comunitário e Estudantil: Martin Kuhn
Secretário-Geral: Marcelo Franca Alves
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Diretor: Reinaldo Wenceslau Siqueira
Coordenador de Pós-Graduação: Vanderlei Dorneles da Silva
Coordenador de Graduação: Adriani Milli Rodrigues
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Pró-Reitor Administrativo Associado: Murilo Marques Bezerra
Pró-Reitor Acadêmico Associado: Everson Muckenberger
Pró-Reitor de Desenvolvimento Estudantil Associado: Bruno de Moura Fortes
Pró-Reitor de Desenvolvimento Espiritual e Comunitário Associado: Ebenézer do Vale Oliveira
Órgãos Executivos 
Campus Hortolândia
Pró-Reitor Administrativo Associado: Claudio Valdir Knoener
Pró-Reitora Acadêmica Associada: Suzete Araújo Águas Maia
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Órgãos Executivos 
Campus São Paulo
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Pró-Reitora Acadêmica Associada: Silvia Cristina de Oliveira Quadros
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Visão Ser uma instituição educacional reconhecida pela excelência nos serviços prestados, 
pelos seus elevados padrões éticos e pela qualidade pessoal e pro� ssional de seus egressos.
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Mantenedora (IAE)
Diretor-Presidente: Maurício Lima
Diretor Administrativo: Edson Medeiros
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Reitor: Martin Kuhn
Vice-Reitor Executivo Campus EC: Antônio Marcos da Silva Alves
Vice-Reitor Executivo Campus HT: Afonso Ligório Cardoso
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Pró-Reitor Administrativo: Telson Bombassaro Vargas
Pró-Reitor Acadêmico: Afonso Ligório Cardoso
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Diretor Administrativo: Edson Medeiros
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Reitor: Martin Kuhn
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Diretor Administrativo: Edson Medeiros
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Reitor: Martin Kuhn
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Imprensa Universitária Adventista
1ª Edição, 2020
MÉTODOS 
QUANTITATIVOS
Imprensa Universitária Adventista
Engenheiro Coelho, SP
Eduardo Dias
Lidiane Farias Costa
Démerson André Polli
Usiara Britto
Juliani Karsten Alves
Robinson Panaino
Dias, Eduardo
Métodos quantitativos [livro eletrônico] / Eduardo Dias; Lidiane Farias Costa; Démerson
André Polli; Usiara Britto; Juliani Karsten Alves; Robinson Panaino. Engenheiro Coelho:
Unaspress, 2020.
1 Mb, PDF
ISBN 978-85-8463-172-8
1. Carreira pro� ssional 2. Contabilidade 3. Contabilidade como pro� ssão 4. Contabilidade como 
pro� ssão - Leis e legislação 5. Formação pro� ssional 6. Negócios I. Título.
20-33026 CDD-370.113
Dados Internacionais da Catalogação na Publicação (CIP)
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Índices para catálogo sistemático:
1. Contabilidade : Educação pro� ssional 370.113
Maria Alice Ferreira - Bibliotecária - CRB-8/7964
Métodos quantitativos
1ª edição – 2020
e-book (PDF)
OP 00123_034
Editora associada:
Todos os direitos reservados para a Unaspress - Imprensa Universitária Adventista. 
Proibida a reprodução por quaisquer meios, sem prévia autorização escrita da editora, 
salvo em breves citações, com indicação da fonte.
Preparação: Matheus Cardoso
Revisão: Giovanna Finco
Projeto grá� co: Ana Paula Pirani 
Capa: Jonathas Sant’Ana
Diagramação: William Nunes
Caixa Postal 88 – Reitoria Unasp
Engenheiro Coelho, SP CEP 13.448-900
Tels.: (19) 3858-5222 / (19) 3858-5221
www.unaspress.com.br
Imprensa Universitária Adventista
Validação editorial cientí� ca ad hoc:
Robertson Campelo Panaino
Mestre em Engenharia de Produção pela
Universidade Federal de São Carlos
Conselho editorial e artístico: Dr. Martin Kuhn, Esp. 
Telson Vargas, Me. Antônio Marcos, Dr. Afonso Cardoso, 
Dr. Douglas Menslin, Dr. Rodrigo Follis, Dr. Lélio Lellis, Dr. 
Allan Novaes, Esp. Jael Enéas, Esp. José Júnior, Dr. Reinaldo 
Siqueira, Dr. Fábio Al� eri, Dra. Gildene Lopes, Me. Edilson 
Valiante, Me. Diogo Cavalcante, Dr. Adolfo Suárez
VO
CÊ
 ES
TÁ
 A
QU
I
SUMÁRIO
ESTATÍSTICA DESCRITIVA....................................... 17
Introdução ........................................................................................18
Conceitos iniciais ..............................................................................20
Fases da estatística ...........................................................................22
Objetivo ...................................................................................23
População e amostra...............................................................24
Medidas de posição .........................................................................32Média aritmética simples .......................................................33
Média ponderada ....................................................................34
Média ponderada para dados agrupados 
com intervalo ..........................................................................38
Mediana ..................................................................................40
Moda .......................................................................................47
Medidas de variação ...............................................................53
Amplitude total ................................................................................54
Variância e desvio padrão .......................................................55
Princípios de probabilidade .............................................................60
Experimento aleatório, espaço amostral 
e eventos: definições ...............................................................62
Operações com eventos ..........................................................65
Eventos complementares, mutuamente 
exclusivos e independentes ....................................................81
Três tipos importantes de eventos ..........................................82
Função de probabilidade e valor esperado .....................................87
Referências .......................................................................................98
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE ..................... 101
Introdução .......................................................................................102
Variáveis discretas e contínuas .......................................................104
Variáveis discretas ..................................................................108
Variável contínua ....................................................................109
VO
CÊ
 ES
TÁ
 A
QU
I
Distribuições discretas ....................................................................111
Distribuição binomial .............................................................112
Distribuição de Poisson ..........................................................115
Problemas com distribuição discreta .............................................120
Problemas de distribuição binomial ......................................122
Problemas de distribuição Poisson ........................................129
Distribuição contínua (normal) ......................................................132
Uso da tabela Z ......................................................................136
Problemas de distribuição normal ........................................142
Tamanho de amostra ......................................................................150
Tamanho de amostra para estimativas de proporção ...........157
Referências ......................................................................................171
ESTIMAÇÃO .......................................................... 173
Introdução .......................................................................................174
Estimação pontual ..........................................................................176
Estimação intervalar ..............................................................179
Intervalo de confiança para média populacional ..........................183
Intervalo de confiança para a proporção ...............................188
Correlação e regressão ....................................................................196
Relações estatísticas ...............................................................197
Gráfico de dispersão ...............................................................202
Diagramas de dispersão.........................................................204
Modelo matemático do cálculo do coeficiente 
de correlação de Pearson ................................................................216
Regressão linear ..............................................................................226
Referências ......................................................................................239
PRINCÍPIOS DE CÁLCULO ATUARIAL ..................... 241
Introdução .......................................................................................242
Cálculos e análises atuariais ...........................................................245
Fundamentos da demografia, taxa de natalidade 
e mortalidade e taxa de crescimento populacional .......................247
Taxa de natalidade .................................................................249
Taxa de mortalidade ..............................................................252
Taxa de crescimento populacional ........................................254
Tábua de mortalidade e suas funções ............................................258
Tábua de sobrevivência e suas funções .................................261
Construção das tábuas de sobrevivência 
ou mortalidade ......................................................................266
Cálculos com taxa de mortalidade .................................................269
Cálculo de vida da população ao nascer................................271
Tópicos importantes para o cálculo de seguros 
na ciência atuarial ...........................................................................280
Seguradora .............................................................................281
Risco .......................................................................................281
Sinistro....................................................................................282
Seguro ....................................................................................283
Cálculo de seguro ...................................................................289
Risco .......................................................................................290
Valor matemático do risco (VMR) .........................................292
Cálculo do valor médio por sinistro .......................................296
Cálculo do prêmio estatístico e do prêmio comercial ...........298
Referências ......................................................................................312
PARA OTIMIZAR A IMPRESSÃO DESTE ARQUIVO, CONFIGURE 
A IMPRESSORA PARA DUAS PÁGINAS POR FOLHA.
Uso da quantificação para coleta e tratamento de dados 
por meio de técnicas estatísticas com vistas à elaboração 
de relatórios e tomada de decisão. Introdução à estatística 
descritiva; estudo de probabilidade e distribuição de dados. 
Introdução à teoria de amostragem, inferência estatística e 
teoria de estimação. Interpretação de testes estatísticos (teste 
de hipóteses, teste de qui-quadrado e não paramétricos, 
análise de variância, correlação e regressão, análise fatorial, 
análise de conglomerados). Noções de cálculo atuarial.
EMENTA
CONHEÇA O CONTEÚDO
Prezado(a) aluno(a),
É um grande privilégio ter você conosco 
para estudarmos os conteúdos de métodos 
quantitativos. Convidamos você a desfrutar 
da leitura desse material onde trataremos, 
ao longo de quatro unidades, de população, 
amostra, variáveis, medidas de posição, 
medidas de variabilidade, princípios de pro-
babilidade, distribuições discretas de pro-
babilidade, distribuições contínuas de pro-
babilidade, tamanho de amostra, estimação, 
coeficiente de correlação e cálculo atuarial.
Vamos iniciar com os conceitos de estatística 
descritiva. Em seguida iremos aprofundar 
nossos conhecimentos de Probabilidade 
trabalhando com as distribuições de proba-
bilidades. Já a unidade três tratará especifi-
camente da estimação de parâmetros para 
algumas distribuições de probabilidade 
conhecidas. Começaremos os estudos com 
a apresentação dos conceitos de estimação 
pontual e intervalar (intervalos de confian-
ça). Além disso, nesta unidade estudaremos 
os principais conceitos que irão basear o 
estudo da correlação e da regressão lineares.Por fim, na unidade quatro trataremos do 
cálculo atuarial, afinal, um assunto de gran-
de importância no Brasil (e no mundo) é 
quanto dinheiro é necessário para garantir 
as aposentadorias de cerca de 200 mil par-
ticipantes e as devidas pensões a seus fami-
liares no longo de um período estipulado. 
Entre os conhecimentos exigidos dos pro-
fissionais de atuária, estão os conceitos de 
Matemática Financeira, Estatística, Matemá-
tica e as questões de demografia. Também 
abordaremos os seguros e seus elementos. 
A partir de agora, concentração, foco e bons 
estudos para você!
UNIDADE 1
- Conhecer os métodos quantitativos 
normalmente utilizados nas pesquisas teóricas 
e práticas em Ciências Contábeis, bem como 
desenvolver a capacidade de resolução de 
problemas quantitativos encontrados pelo 
profi ssional de ciências contábeis. 
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
OB
JE
TI
VO
18
MÉTODOS QUANTITATIVOS
INTRODUÇÃO
É um privilégio muito grande ter você conosco para 
estudarmos os conteúdos de métodos quantitativos! Aqui 
você terá a oportunidade de ampliar seus conhecimentos 
com o objetivo de facilitar a tomada de uma decisão. 
Um conjunto de dados, por si só, não nos fornece todas 
as informações necessárias para se tomar uma decisão a 
não ser que dominemos técnicas e recursos para poder 
utilizar essas informações a nosso favor e podermos, com 
isso, tomar decisões mais próximas de nossos objetivos. 
Portanto, vamos tratar dessas técnicas quantitativas para 
agregar as informações fornecidas pelos dados coletados de 
maneira correta.
Nosso objetivo está longe de ser um material completo para 
que você tenha o total domínio sobre informações recebidas, 
antes vamos desenvolver algumas ideias para incentivar você 
a ser mais eficiente na utilização dessas ferramentas tanto em 
seu cotidiano, como dentro de uma empresa, caso necessário. 
Estaremos, portanto, dividindo os conteúdos em estatística 
descritiva e estatística inferencial e, ao final, ainda vamos tratar 
de conceitos básicos de cálculo atuarial que também tem como 
base os conceitos de probabilidade. 
19
ESTATíSTICA DESCRITIVA
Sendo assim, convidamos você a desfrutar da leitura deste 
material, em que trataremos de população, amostra, variáveis, 
medidas de posição, medidas de variabilidade, princípios 
de probabilidade, distribuições discretas de probabilidade, 
distribuições contínuas de probabilidade, tamanho de amostra, 
estimação, coeficiente de correlação e cálculo atuarial. Esperamos 
que ao fim da unidade você tenha compreendido que:
• população pode ser definida como o 
conjunto de elementos que têm em comum 
uma característica a ser estudada;
• amostra é uma parcela retirada da 
população para estudo;
• as variáveis são as características que são 
observadas em um elemento de estudo;
• medidas de posição são medidas utilizadas para 
representar melhor, um conjunto de números;
• as medidas de variação auxiliam as 
medidas de tendência central a descrever 
o conjunto de dados adequadamente;
20
MÉTODOS QUANTITATIVOS
• a probabilidade frequentista se refere à 
frequência com a qual um fato ocorre 
em uma sequência de repetições.
CONCEITOS INICIAIS
A Estatística hoje se faz presente para a maioria das 
pessoas em nosso mundo, mesmo que não tenhamos essa 
percepção tão clara em nosso dia a dia. Nas empresas não 
é diferente, pois muitas decisões precisam ser tomadas 
com o menor erro possível e os levantamentos e estudos 
estatísticos auxiliam nessas decisões. Segundo Silva (1996, 
p. 11), “O termo Estatística provém da palavra Estado e 
foi utilizado originalmente para denominar levantamentos 
de dados, cuja finalidade era orientar o Estado em suas 
decisões”. Ele ainda complementa dizendo que, para os 
comandante, esses levantamentos feitos auxiliavam nas 
cobranças de impostos e também na formação de seus 
exércitos nas estratégias em guerras. Seguindo essa ideia, 
encontramos na Bíblia versos que mencionam exemplos de 
levantamentos de dados com estes objetivos:
• em Números 1:1-3 encontramos Arão e Moisés 
levantando o censo para preparar o povo para 
21
ESTATíSTICA DESCRITIVA
as batalhas que se seguiriam para conquistar a 
Terra da Palestina, onde deveriam habitar;
• em Lucas 2:1-5 os pais de Jesus vão até Belém 
para alistar-se em um censo publicado pelos 
líderes romanos que dominavam aquela região.
Atualmente, segundo Magalhães e Lima (2015) a 
Estatística, em sua essência, é a ciência que tem por 
objetivo coletar, resumir, apresentar, interpretar e analisar 
adequadamente conjuntos de dados, sejam eles numéricos 
ou não. Pode-se dizer que seu objetivo é o de apresentar 
informações sobre dados em análise para que se tenha maior 
compreensão dos fatos que eles representam. 
A Estatística subdivide-se em duas áreas: descritiva 
e inferencial. A parte inicial de coleta, organização 
e apresentação dos dados está a cargo da Estatística 
Descritiva enquanto a análise e interpretação desses dados 
ficam a cargo da Estatística Inferencial. Quando as pessoas 
se referem ao termo estatística, em geral o fazem no sentido 
da organização e descrição dos dados (estatística dos 
acidentes de tráfego, estatística do número de mortos por 
balas perdidas etc.), desconhecendo que o aspecto essencial 
22
MÉTODOS QUANTITATIVOS
da Estatística é o de proporcionar 
métodos inferenciais, que permitam 
conclusões a partir dos dados obtidos 
inicialmente. Assim, a análise e a 
interpretação dos dados estatísticos 
tornam possível o diagnóstico de 
uma empresa, o conhecimento 
de seus problemas (condições de 
funcionamento, produtividade), a 
formulação de soluções apropriadas 
e um planejamento adequado para 
solucionar os problemas.
FASES DA ESTATÍSTICA
Tendo em vista que a Estatística 
é uma ferramenta para auxiliar na 
tomada de decisão, quando vamos 
fazer um levantamento estatístico, faz-
se necessária uma sequência para que 
o trabalho alcance os seus objetivos. 
Assim sendo, podemos trilhar os 
seguintes passos (Figura 1):
O aspecto 
essencial da 
Estatística 
é o de 
proporcionar 
métodos 
inferenciais, 
que permitam 
conclusões 
a partir dos 
dados obtidos 
inicialmente.
23
ESTATíSTICA DESCRITIVA
Figura 1 - Fases da estatística 
Objetivo
De�nir população e amostra
Coleta de dados
Organização e estudos descritivosdos dados
Inferência dos dados
Apresentação dos dados e conclusão 
ou sugestões �nais
Fonte: elaborado pelo autor
Podemos ver pelo gráfico que sempre vamos partir de 
um objetivo específico até uma conclusão ao final de um 
estudo estatístico. 
OBJETIVO
Dentro de uma empresa, utilizamos Estatística para 
apoiar o trabalho, na seleção e planejamento da instituição, 
adotando as técnicas de verificação e avaliação consideradas 
importantes e suficientes à viabilidade do seu negócio. Para 
24
MÉTODOS QUANTITATIVOS
que isso seja possível, é pertinente que se tenha claro o 
objetivo de sua análise.
POPULAÇÃO E AMOSTRA
População ou universo de estudo, pode ser definida 
como sendo o conjunto de elementos que têm em comum 
uma característica a ser estudada ou apenas como todo o 
grupo passível de exame. Na conceituação de Costa (p. 25), 
população é qualquer conjunto de informações que tenham, 
entre si, uma característica comum.
Sabemos que nem sempre é possível trabalhar com o total 
de elementos de uma população. Quando isso se faz impossível, 
então retiramos da população uma amostra, portanto: 
• amostra, é uma parcela retirada da população para 
estudo, segundo uma técnica adequada, de sorte a 
caracterizar-se como representativa. Costa (1992, 
p. 26) chega a dizer que a amostra nada mais é que 
uma redução da população a dimensões menores, 
sem perda das características essenciais (Figura 2).
25
ESTATíSTICA DESCRITIVA
Figura 2 - População e amostra
Amostra
População
Fonte: elaborado pelo autor
Essa ilustração nos mostra que ao estudarmos uma amostra 
queremos que ela tenha as mesmas características básicas 
da população. Para tanto, ela deve ser colhidade maneira 
cuidadosa para não prejudicar o estudo que será feito. Precisa 
de um número suficiente de elementos e no decorrer de 
nosso estudo veremos como fazer isso. Sua escolha deve ser 
totalmente aleatória, ou seja, todos os elementos pertencentes à 
população têm a mesma probabilidade de ser selecionados.
COLETA DE DADOS
Segundo o que vimos até aqui, a colheita de dados será 
executada, na maioria das vezes, por amostra escolhida e 
geralmente se faz através de um questionário, podendo 
ser feita de uma observação direta ou de informações já 
26
MÉTODOS QUANTITATIVOS
cadastradas em relatórios ou órgãos governamentais ou 
não. Após essa coleta faz-se necessária a organização desses 
dados que se faz por meio das respostas obtidas a cada 
questionamento feito, gerando as variáveis.
VARIÁVEIS
Após garantir uma amostragem segura e objetiva, respostas 
obtidas geram as nossas variáveis que serão estudadas. As 
variáveis são as características que são observadas em um 
elemento de estudo (pessoa, objeto, animal etc.). Por exemplo, 
uma empresa tem interesse em saber o perfil dos consumidores 
e coleta várias características desses consumidores, como faixa 
de renda, idade e nível de escolaridade. A cada uma dessas 
características, denominamos variáveis. Considerando que as 
variáveis assumem valores possíveis dentro de um conjunto de 
amostragem, vamos conhecer alguns tipos de variáveis e suas 
características. Vejamos:
• Variáveis qualitativas: quando seus valores são 
expressos por atributos, tais como: religião, nível 
de escolaridade, cor dos olhos etc. Esse tipo de 
variável não é representada por números, mas 
pode apresentar uma certa ordem entre si; nesse 
caso são chamadas de ordinais, como nível de 
escolaridade (fundamental, médio, superior), classe 
27
ESTATíSTICA DESCRITIVA
social (baixa, média, alta). Caso não apresente 
essa ordem, são conhecidas como nominais; 
• Variáveis quantitativas: são aquelas que se 
caracterizam em apresentar valores numéricos, 
em uma escala quantitativa. Esse tipo de variável 
divide-se em duas variações também:
1. variáveis discretas: caracterizam-se pelo 
fato de o resultado ser uma contagem que 
assume valores inteiros, como quantidade 
de livros de uma biblioteca, quantidade de 
filhos de uma família;
2. variáveis contínuas: caracterizam-se por 
assumir qualquer valor em um intervalo 
contínuo. Usualmente, são resultados de 
medidas. Exemplos: peso, comprimento, 
temperatura.
ORGANIZAÇÃO E ESTUDO DESCRITIVO DOS DADOS
Aprendemos nos tópicos anteriores que a organização dos 
dados vem após a amostragem e coleta de dados, e posteriormente 
a realização dos cálculos descritivos que nos levarão para a análise. 
É muito importante que você, como um futuro profissional, tenha 
28
MÉTODOS QUANTITATIVOS
a capacidade de avaliar os resultados apresentados com base na 
amostragem utilizada e também tabular os seus dados para a 
realização dos cálculos necessários, sejam eles feitos através de um 
computador ou mesmo manualmente.
Nós vamos nos deter aqui aos estudos das variáveis 
quantitativas, portanto vejamos como montar uma distribuição 
de frequência para amostras de variáveis discretas e contínuas 
de determinada amostra. Para tanto, como vamos trabalhar 
com alguns símbolos e fórmulas, vamos construir um quadro 
(Figura 3) com os símbolos, o que significam e as fórmulas 
(quando houver) que determinam cada um:
Figura 3 - Nomenclaturas utilizadas nos cálculos estatísticos 
SIMBOLO SIGNIFICADO FÓRMULA
Xmin Menor valor da amostra
Xmax Maior valor da amostra
K Número de intervalos da amostra k = √n
N Quantidade de elementos da amostra
At Amplitude Total
At = Xmax - Xmin
H Amplitude do intervalo da classe
fri Frequência simples relativa
29
ESTATíSTICA DESCRITIVA
SIMBOLO SIGNIFICADO FÓRMULA
li Limite inferior do intervalo
Li Limite superior do intervalo
Xi Ponto médio de um intervalo 2
Fi Frequência acumulada
Fi = Fant + fi
Fri Frequência relativa acumulada
FiFri
Fonte: elaborado pelo autor
MATERIAL COMPLEMENTAR
A distribuição de frequências é um agrupamento de 
dados em classes, que permite que aconteça conta-
gem de ocorrências em cada classes, com o objetivo 
de analisar e organizar os dados de maneira mais in-
formativa. No canal do Youtube Unasp acervo EaD, 
nós encontramos uma série de aulas de Estatística 
para se aprofundar no tema.
Disponível em: <https://bit.ly/3336i8I>. Acesso em: 06 set. 2020.
Vejamos na Figura 4, a seguir, como montar uma 
distribuição de frequência com intervalo de classe com os dados 
coletados de gastos de 70 clientes de uma loja:
30
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Figura 4 - Amostragem de gastos por cliente em uma loja
20 30 35 34 35 40 40
30 20 28 25 26 30 30
40 40 40 42 45 49 50
51 50 50 50 50 51 55
57 60 60 60 62 62 65
60 58 59 59 60 60 60
65 65 65 66 68 68 68
70 75 74 78 80 80 80
75 70 70 70 72 74 73
82 86 90 90 90 98 103
Fonte: elaborado pelo autor
Neste caso:
Xmin = 20 Xmax = 103 n = 70
At = 103 - 20 At = 83
k = √70 k = 8,3667 - arredondando esse valor temos k = 8
Como h = temos, então h = onde encontramos o valor de 10,3750
At
k
83
8
Observação: Como as variáveis são formadas por números 
inteiros, o intervalo também será de números inteiros. Caso haja 
casas decimais, o intervalo segue com a mesma quantidade de 
casas decimais das variáveis. Arredondando o valor de h para 
31
ESTATíSTICA DESCRITIVA
número inteiro temos h = 10. Temos que tomar um cuidado aqui, 
pois h x k > At . Caso isso não ocorra, devemos acrescentar 1 ao 
valor de h. Em nosso caso 10 x 8 = 80 que não é maior que 83, 
portanto nosso intervalo ficará 10 + 1 = 11.
Baseados nesses dados coletados e nos cálculos para a 
definição de quantidade de intervalos e tamanho de intervalo 
podemos completar a tabela (Figura 5) não somente com os 
dados brutos coletados, mas também com a frequência em 
porcentagem, frequência acumulada e a média de gastos por 
intervalo. Esses valores completam uma tabela de frequências.
Figura 5 - Tabela de frequência
CLASSE INTERVALO FREQUÊNCIA SIMPLES (fi)
FREQUÊNCIA EM 
% (fri)
FREQUÊNCIA 
ACUMULADA (Fi)
MÉDIA POR 
INTERVALO (Xi)
1 20 ⊢ 31 9 (9÷70) = 12,86% 9 (20+31) ÷2=25,5
2 31⊢42 8 (8÷70) = 11,43% (9+8)=17 (31+42) ÷2=36,5
3 42⊢53 10 (10÷70) = 14,29% (17+10)=27 (42+53) ÷2=47,5
4 53⊢64 14 (14÷70) = 20% (27+14)=41 (53+64) ÷2=58,5
5 64⊢75 16 (16÷70) = 22,86% (41+16)=57 (64+75) ÷2=69,5
6 75⊢86 7 (7÷70) = 10% (57+7)=64 (75+86) ÷2=80,5
7 86⊢97 4 (4÷70) = 5,71% (64+4)=68 (86+97) ÷2=91,5
8 97⊢108 2 (2÷70) = 2,86% (68+2)=70 (97+108) ÷2=102,5
Total n = 70 100,01%
Fonte: elaborado pelo autor
32
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Com base nos dados obtidos podemos rapidamente 
concluir que obtivemos, dentro dessa amostra, um gasto 
maior pelos clientes entre R$ 64,00 e R$ 75,00, e o menor 
número de clientes gastaram entre R$ 97,00 e R$ 108,00. 
Ainda com base nessa simples amostra, podemos avaliar 
o desempenho das vendas dos produtos de maior e menor 
valor, e o perfil de consumo dos compradores. Esses dados 
também serão base para os cálculos de medidas de posição e 
de variabilidade como veremos a seguir.
MEDIDAS DE POSIÇÃO
Relembrando o que vimos até agora, é possível 
resumir uma série de dados coletados por meio de tabelas 
(distribuição de frequência) e até mesmo por gráficos onde 
são transmitidos os aspectos importantes desses dados. 
Podemos ainda resumir mais esses dados, apresentando 
apenas um ou alguns valores que representam a série toda. 
Esses valores são conhecidos como medidas de posição e 
medidas de dispersão.
A média, assim como a mediana e a moda são medidas 
de posição, ou seja, são medidas utilizadas para representar 
melhor um conjunto de números.
33
ESTATíSTICA DESCRITIVA
Medri (p. 22) prefere afirmar que as medidas de tendência 
central são aquelas que produzem um valor em torno do qual 
os dados observados se distribuem e que visam sintetizarem 
um único número o conjunto de dados.
IMPORTANTE
Em nosso estudo, você verá alguns termos que serão muito repetidos:
• Dados não agrupados: são valores que não se apresentam 
na forma de tabela e, por ser em pequena quantidade, são 
calculados de forma diferente;
• Dados agrupados sem intervalo de classe: são dados que se 
apresentam na forma de uma distribuição de frequência, mas sem 
intervalo, portanto o “Xi” é a própria variável de estudo;
• Dados agrupados com intervalo de classe: é a tabela com 
intervalo de classe.
MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES
Quando perguntamos o que é média, na maioria das vezes 
ouvimos a resposta soma dos valores dividido pela quantidade 
de elementos. Esse é um tipo de média que conhecemos como 
média aritmética simples. Assim sendo, denomina-se como 
média simples ou média aritmética o resultado da divisão 
34
MÉTODOS QUANTITATIVOS
da soma de todos os n valores amostrados pelo número 
de elementos amostrados. Em termos numéricos, pode-se 
representar a média da seguinte forma:
n
Exemplo: calculando a média de vendas de um produto em 
uma determinada semana:
Xi = 52, 48, 35, 63, 44
X = 52+48+35+63+44
5
242
5
= 48,4
Esse tipo de média é usada para dados não agrupados, ou 
seja, quando esses dados não se apresentam em forma de tabela e 
também quando os valores coletados têm a mesma importância.
MÉDIA PONDERADA
Quando calculamos a média aritmética simples, cada 
elemento observado tem a mesma importância, ou seja, todos 
os elementos têm importância igual a 1. Ao contrário, quando 
35
ESTATíSTICA DESCRITIVA
os elementos coletados têm importâncias diferentes um do 
outro temos a necessidade de, primeiramente, ajustar os valores 
conforme suas respectivas importâncias. Essas importâncias 
diferentes são denominadas por Spiegel (p. 55) como fatores 
de ponderação ou pesos. Assim, a média ponderada é 
representada com o uso da seguinte fórmula:
Essa fórmula é a que utilizamos para os cálculos de 
dados agrupados, ou seja, como vimos anteriormente são os 
dados que se apresentam na forma de tabelas, podendo ter 
ou não intervalos de classe.
Vejamos como fazer isso utilizando alguns exemplos.
Foi levantado o número de faltas/mês de 60 funcionários 
de uma empresa, como indicado no rol abaixo:
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2
36
MÉTODOS QUANTITATIVOS
2 2 2 2 2 2 2 2 3 3
3 3 3 3 3 3 4 4 4 4
Ao querer calcular a média dessas faltas, você poderia 
pensar que a média aritmética simples seria o instrumento a 
ser utilizado nesse cálculo, mas para isso seria necessário a 
soma dos 60 dados coletados e a divisão por 60, o que torna o 
cálculo um pouco trabalhoso.
Neste caso, iremos utilizar a média ponderada onde o 
peso é representado pela frequência de quantidades de faltas 
que foram coletadas. Para isso, antes do cálculo é necessário 
construir uma tabela (Figura 6) de frequência.
Figura 6 – Tabela para cálculo de média ponderada
N Nº DE FALTAS QUANTIDADE DE FUNCIONÁRIOS Xi * fi
1 0 21 0
2 1 15 15
3 2 12 24
4 3 8 24
5 4 4 16
60 79
Fonte: elaborado pelo autor
37
ESTATíSTICA DESCRITIVA
Se dermos uma olhada na distribuição de frequência 
em que foi construída, vamos perceber que a última coluna 
tem uma multiplicação do “Xi” (variável faltas) por “fi” 
(frequência simples - quantidade de funcionários). Essa 
multiplicação faz parte da fórmula que vimos para calcular 
média ponderada, onde o numerador é constituído da soma 
dessa multiplicação e é exatamente por isso que ao final da 
coluna está feita esta soma, que é 79.
Para encontrar o resultado da média das faltas da empresa 
neste mês, basta dividir esse resultado (79) por 60, que é a soma 
da frequência simples. Teremos então:
79
60
Que resulta em 1,3 faltas em média por funcionário 
dessa empresa, no mês.
Como podemos ver, a utilização da média ponderada 
facilita o cálculo quando a quantidade de valores é muito 
grande, evitando longas contas com a soma de todas as 
variáveis. Agora vamos ver como fica o cálculo quando temos 
uma tabela de frequência com intervalo de classe e não apenas 
com a própria variável.
38
MÉTODOS QUANTITATIVOS
MÉDIA PONDERADA PARA DADOS AGRUPADOS 
COM INTERVALO
Para calcular a média ponderada de dados agrupados 
com intervalo de classe é preciso que tenhamos um valor 
representativo de cada intervalo para ser multiplicado pela 
frequência. Esse valor é conhecido por ponto médio e consiste 
na média do limite inferior com o limite superior de cada 
intervalo. Vamos ver como isso é feito.
Vamos calcular a média de valores de depósito bancário da 
empresa Rápida S.A. em um período de um mês (Figura 7):
Figura 7 – Tabela para cálculo de média ponderada
CLASSE DEPÓSITO BANCÁRIO (x 1000)
Nº DE 
DEPÓSITO
PONTO 
MÉDIO (Xi) Xi * fi
1 0,9 |-- 1,5 4 1,2 4,8
2 1,5 |-- 2,1 6 1,8 10,8
3 2,1 | -- 2,7 11 2,4 26,4
4 2,7 |-- 3,3 7 3,0 21
5 3,3 | -- 3,9 5 3,6 18
6 3,9 | -- 4,5 2 4,2 8,4
7 4,5 |-- 5,1 1 4,8 4,8
36 94,2
Fonte: elaborado pelo autor
39
ESTATíSTICA DESCRITIVA
Essa tabela facilita o cálculo da média ponderada para dados 
agrupados com intervalo. Como não podemos multiplicar a 
quantidade de depósito por um intervalo de valores, calculamos 
o ponto médio desse intervalo utilizando a fórmula: 
Li+li
2
Xi
Esse processo foi feito para cada intervalo. Somente após 
encontrarmos cada ponto médio é que multiplicamos cada 
um deles pela sua respectiva quantidade e, no final, os valores 
dessa multiplicação foram somados. Agora, com esses valores, 
podemos calcular a média ponderada:
94,2
36
Assim, podemos concluir que a média de depósito bancário 
efetuado pela empresa Rápido S.A. é de aproximadamente 
2,62 mil reais para o período desse mês. A média tem várias 
propriedades que a tornam extremamente importante, além de 
representar a tendência central de uma distribuição:
• ela sempre existe, isto é, pode ser sempre calculada;
40
MÉTODOS QUANTITATIVOS
• multiplicando-se ou dividindo-se todos os valores 
da variável por um número constante, a média fica 
também multiplicada ou dividida por esse número;
• somando-se ou subtraindo-se um número 
constante a todas as variáveis, a média também 
fica somada ou subtraída por esse número;
• seu valor é único e só existe para 
variáveis quantitativas.
A média tem apenas um problema, ela é influenciada 
por valores muito grandes ou pequenos, que podem não 
representar com precisão a distribuição que apresenta esses 
valores. Quando isso acontece, é importante que tenhamos uma 
média que não seja influenciada pelos valores extremos. 
MEDIANA
Definimos como mediana o valor que se localiza no centro de 
uma distribuição previamente ordenada, neste caso haverá sempre 
um número igual de valores acima e abaixo da mediana. Se por 
acaso a amostra contiver uma quantidade par de valores, a mediana 
é definida pela média dos dois valores centrais da distribuição.
41
ESTATíSTICA DESCRITIVA
Na prática, se a quantidade total de elementos (n) for 
ímpar, a mediana será o valor do elemento que se encontra 
na posição: n + 1
2
.
Se a quantidade de elementos (n) for par, a mediana será a 
média aritmética simples entre os elementos que se encontram 
na posição: n
2
 e o próximo elemento da distribuição.
NA PRÁTICA
Em uma indústria, o consumo de energia no período de uma semana 
foi, em kWh: 120, 275, 280, 250, 200, 210, 185. Qual o valor 
mediano de gasto nesta semana na indústria?
• primeiramente precisamos colocar em ordem os valores: 120, 185, 
200, 210, 250, 275, 280;
• como a quantidade de elementos da distribuição é ímpar (7), então 
a mediana será o valor que estiver na posição: 7 + 1
2
, ou seja: 
posição 4;
• procurando na distribuição o 4º elemento, vamos encontrar o valor 
de 210 kWh.
MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS SEM INTERVALO
Como mediana é o valor que se encontra no centro da 
distribuição deixando 50% dos valores acima dele e 50% 
abaixo dele, podemos utilizar na tabela de distribuição 
42
MÉTODOS QUANTITATIVOSde frequências a frequência acumulada (Fi) para localizar 
o elemento cuja frequência acumulada supera 50% dos 
elementos da distribuição.
Vejamos como fazer isso na prática: Calcular a mediana da 
quantidade de filhos de 200 famílias pesquisadas em um bairro 
de uma cidade grande (Figura 8).
Figura 8 – Quantidade de filhos por família
CLASSE Nº FILHOS POR FAMÍLIA
QUANTIDADE DE 
FAMÍLIAS Fi
1 0 35 35
2 1 60 95
3 2 44 139
4 3 28 167
5 4 21 188
6 5 12 200
Total 200
Fonte: elaborado pelo autor
Se dividirmos o total de elementos desta distribuição 
(200) por 2, vamos encontrar a posição do elemento que 
divide a distribuição deixando 100 elementos acima e 100 
elementos abaixo dele. Como a menor frequência acumulada 
que supera esse valor é 139, isso significa que a mediana se 
43
ESTATíSTICA DESCRITIVA
encontra dentro dessa classe, que corresponde a 2 filhos na 
família, sendo essa a mediana.
MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS COM INTERVALO
Quando a distribuição de frequência se apresentar 
com valores agrupados com intervalo de classes, além de 
encontrarmos em qual classe se encontra a mediana, também 
se faz necessário encontrar dentro do intervalo um valor que 
será o representante da mediana. Sendo assim, a mediana será 
calculada através da expressão:
Md = lmed + h* 
2
fmed 
( - Fant ) 
Veja quais os passos para fazer isso:
• 1° passo: calcular a classe que contém a mediana:
2
• 2° passo: identificar qual classe contém a mediana. 
Isso é feito semelhante quando calculamos a 
mediana para dados agrupados sem intervalo, 
em que vamos verificar qual a menor frequência 
44
MÉTODOS QUANTITATIVOS
acumulada que supera o valor da divisão entre a 
soma de todas as frequências dividido por dois; 
• 3° passo: identificar os elementos que 
compõem a fórmula acima:
 lmed = limite inferior da classe da mediana
 = resultado da divisão da soma de todas as frequências divido por dois
Fant = frequência acumulada anterior da classe da mediana
fmed = frequência simples da classe da mediana
h* = tamanho do intervalo da classe da mediana
2
Vejamos como isso acontece, utilizando como exemplo a 
tabela de gastos efetuados por clientes (Figura 9) de uma loja de 
departamentos que montamos anteriormente, utilizando apenas 
as colunas que necessitamos para o cálculo da mediana:
Figura 9 – Tabela para cálculo de mediana para dados agrupados
CLASSE INTERVALO FREQUÊNCIA SIMPLES (FI)
FREQUÊNCIA 
ACUMULADA (FA)
1 20 ⊢ 31 9 9
2 31⊢42 8 (9+8)=17
45
ESTATíSTICA DESCRITIVA
CLASSE INTERVALO FREQUÊNCIA SIMPLES (FI)
FREQUÊNCIA 
ACUMULADA (FA)
3 42⊢53 10 (17+10)=27
4 53⊢64 14 (27+14)=41
5 64⊢75 16 (41+16)=57
6 75⊢86 7 (57+7)=64
7 86⊢97 4 (64+4)=68
8 97⊢108 2 (68+2)=70
Total n = 70
Fonte: elaborado pelo autor
• 1° passo: calcular a classe que contém a mediana;
70
2
35
• 2° passo: identificar qual classe contém a mediana. 
A primeira classe que supera essa divisão é a 
quarta classe, porque a terceira termina em 27 e 
ainda não chegou ao valor 35, enquanto essa classe 
chega a 41 ultrapassando o valor da divisão;
• 3° passo: identificar os elementos que 
compõem a fórmula acima:
46
MÉTODOS QUANTITATIVOS
 lmed = 53
 = 35
Fant = 27
fmed = 14
h* = 64 - 53 = 11
2
Colocando esses valores na fórmula temos:
Md = 53 + . 11(35 - 27)
14
Não se esqueça que devemos resolver parênteses primeiro, 
depois multiplicação, divisão e por último a soma. Então a 
mediana desta distribuição é (Figura 9):
Md = 53 + . 11(35 - 27)
14
Md = 53 + 88
14
Md = 53 + 6,29 Md = 59,29
Como podemos perceber, a mediana encontra-se no 
intervalo de 53 a 64, mas através da fórmula podemos encontrar 
um valor específico que representa a mediana, que é 59,29. Por 
fim, vamos ver algumas propriedades da mediana:
47
ESTATíSTICA DESCRITIVA
• existe apenas uma mediana para 
um conjunto de dados;
• a mediana não é afetada pelos valores extremos 
como a média aritmética, por isso, se diz 
que a mediana é uma medida robusta;
• em caso de distribuição com uma quantidade 
grande de valores o efeito desses valores extremos 
não afeta tanto a média, portanto os valores 
de média serão bem próximos da mediana.
MODA
Define-se moda como sendo o valor que surge com mais 
frequência se os dados são discretos ou o intervalo de classe 
com maior frequência, se os dados são contínuos.
Até mesmo quando observamos uma distribuição na forma 
de gráficos, fica fácil identificarmos o valor que representa a 
moda ou a classe modal. Esta medida é especialmente útil para 
reduzir a informação de um conjunto de dados qualitativos, 
apresentados sob a forma de nomes ou categorias, pois não se 
pode calcular a média e a mediana.
48
MÉTODOS QUANTITATIVOS
MODA PARA DADOS NÃO AGRUPADOS
Os dados abaixo se referem à idade de 15 alunos de uma 
turma do 7º ano:
Idade: {12, 11, 12, 13, 12, 11, 13, 12, 13, 12, 11, 12, 13, 14, 11}
A moda desse conjunto de dados será a idade que mais 
aparece, ou seja, 12.
MODA PARA DADOS AGRUPADOS SEM INTERVALO DE CLASSE
A Figura 10 abaixo apresenta as notas em estatística de uma 
turma de economia:
Figura 10 - Tabela para cálculo de moda
CLASSE NOTAS QUANTIDADE DE ALUNOS – fI
1 3 4
2 4 6
3 5 9
4 6 12
5 7 6
6 8 4
7 9 1
Fonte: elaborado pelo autor
49
ESTATíSTICA DESCRITIVA
Veja que também não se faz necessário 
nenhum cálculo específico para identificar 
a moda deste grupo de dados, dessa forma, 
basta observar que a nota que mais aparece 
nesse conjunto de dados é 6, pois aparece 12 
vezes, assim sendo a Mo = 6.
MODA PARA DADOS AGRUPADOS COM 
INTERVALO DE CLASSE
Quando os dados se apresentarem 
em forma de tabela com intervalo de 
classe, não basta apenas identificar a 
classe modal como vimos até agora, mas 
precisamos também calcular um valor 
dentro deste intervalo que represente a 
moda. Para tanto utilizamos a seguinte 
fórmula para fazer este cálculo:
Mo = lmo + . h*
( fmo - fant )
2. fmo - ( fant - fpot )
Veja quais os passos para fazer isso:
• 1º passo: identificar qual 
classe contém a moda. Isso 
MODAL
Segundo o site Dicio, modal é 
“relativo a modo, modalidade, 
maneira própria de fazer algu-
ma coisa.”
Fonte: <https://bit.ly/2Gx91zB>. 
Acesso em: 04 set. 2020.
50
MÉTODOS QUANTITATIVOS
é feito semelhante a quando calculamos a moda 
para dados agrupados sem intervalo, onde vamos 
verificar qual classe apresenta maior frequência; 
• 2º passo: identificar os elementos que 
compõem a fórmula da moda:
 lmo = limite inferior da classe da moda
fant = frequência simples anterior da classe da moda
fmo = frequência simples da classe da moda
fpost = frequência simples posterior da classe da moda
h* = tamanho do intervalo da classe da moda
Vamos utilizar a mesma tabela de gastos efetuados 
por clientes (Figura 11) de uma loja de departamentos que 
montamos anteriormente, utilizando apenas as colunas que 
necessitamos para o cálculo da moda:
Figura 11 - Tabela para cálculo de moda para dados agrupados com intervalo
CLASSE INTERVALO FREQUÊNCIA SIMPLES (Fi)
1 20 ⊢ 31 9
2 31⊢42 8
3 42⊢53 10
4 53⊢64 14
51
ESTATíSTICA DESCRITIVA
5 64⊢75 16
6 75⊢86 7
7 86⊢97 4
8 97⊢108 2
Total n = 70
Fonte: elaborado pelo autor
• 1º passo: identificar qual classe contém a 
moda. A classe com maior frequência é a 
quinta classe, porque temos 16 pessoas que 
apresentam gastos entre 64 e 75 reais;
• 2º passo: identificar os elementos que 
compõem a fórmula acima:
 lmo = 64
fant = 14
fmo = 16
fpost = 7
h* = 75 - 64 = 11
Colocando esses valores na fórmula temos:
Mo = 64 + . 11(16 - 14)
2.16 - (14+7)
52
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Não se esqueça de resolver os parênteses primeiro, 
depois multiplicação, divisão e por último a soma. A 
mediana desta distribuição é:
Mo = 64 + . 112
32 - 21
Mo = 64 + 22
11
Mo = 64 + 2 Mo = 66
Como podemos perceber a moda está no intervalo de 64 
a 75, mas através da fórmula podemos encontrar um valor 
específicoque representa a moda que é 66.
A moda, como vimos, nos mostra a variável ou o intervalo 
que apresenta maior frequência, o que pode ser muito útil em 
determinados estudos em que a média e a mediana não são 
bons representantes, entretanto, a moda tem uma deficiência, 
pois pode acontecer de não existir. Isso acontece quando todos 
os valores possuem a mesma frequência e também pode ser que 
tenhamos mais de uma moda dentro da mesma distribuição.
Os dados abaixo são referentes a quantidade de produtos 
vendidos em 10 dias em uma loja de conveniência:
{35, 33, 36, 35, 37, 36, 39, 40, 35, 36}
53
ESTATíSTICA DESCRITIVA
Nesse caso, existem duas quantidades vendidas que 
aparecem mais vezes: 35 e 36. Logo, a moda é:
Mo = 35 e Mo = 36
Não podemos dizer com isso que a moda deve ser 
completamente descartada de nossos cálculos, mas para 
que tenhamos condições de avaliar um conjunto de dados, 
é muito importante que realizemos todas essas medidas 
apresentadas para que tenhamos base para as análises 
necessárias nessa tão importante tarefa.
MEDIDAS DE VARIAÇÃO
Saber apenas as medidas de posições não completa a 
pesquisa que estamos realizando, pois uma análise estatística 
envolve semelhanças e variabilidades. As medidas de variação 
auxiliam as medidas de tendência central a descrever o 
conjunto de dados adequadamente. Também indicam se os 
dados estão distantes ou próximos uns dos outros.
Se existe ausência de dispersão e a medida de variação 
é igual a zero, não faz sentido realizar uma pesquisa. Por 
outro lado, se a variação for muito grande, a média não será 
54
MÉTODOS QUANTITATIVOS
uma medida de tendência central representativa. Faz-se 
necessário, portanto, ao menos uma medida de tendência 
central e uma medida de dispersão para descrever um 
conjunto de dados.
AMPLITUDE TOTAL
Uma medida muito simples de medir a variabilidade é 
através da amplitude total de um conjunto de dados, que é a 
diferença entre o maior e o menor valor observado. Esta medida 
de variação não leva em consideração os valores que estão entre 
esses valores extremos, perdendo a informação de como os 
dados estão distribuídos:
AT = Xmax – Xmin
EXEMPLO
Os valores de uma pesquisa sobre a venda de 
quantidade de produtos em uma semana de uma loja foi 45, 
49, 32, 51, 44, 42, 48. Qual a amplitude total da quantidade 
de produtos vendidos?
AT = 51 – 32 = 19, isto é, as vendas durante a semana diferem na quantidade de 19 produtos.
55
ESTATíSTICA DESCRITIVA
VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO
Enquanto a amplitude total leva em consideração apenas 
os valores extremos dos dados coletados, podemos resolver 
essa limitação calculando a variância e o desvio padrão, que 
se apropriam de todos os valores coletados, tornando essas 
medidas mais estáveis e as mais utilizadas para as medidas 
de variação. Assim, podemos dizer que a variância e o desvio 
padrão são medidas de dispersão que mostram o quão distante 
cada valor desse conjunto está da média. O cálculo da variância 
para dados não agrupados pode ser definido pela soma de 
todas as diferenças em cada valor em relação à média elevado 
ao quadrado, dividido pela quantidade de valores menos 1:
Se os dados são agrupados com ou sem intervalo de classe, 
definimos a variância como:
Entretanto, quando calculamos a variância observamos que 
o resultado é dado em unidades quadráticas, o que dificulta a 
sua interpretação. Para resolvermos esse problema, extraímos 
56
MÉTODOS QUANTITATIVOS
a raiz quadrada da variância, obtendo assim, o desvio padrão 
para dados não agrupados e agrupados respectivamente:
DESVIO PADRÃO PARA DADOS NÃO AGRUPADOS
Os dados abaixo se referem a valor de depósitos feitos por 
uma empresa durante uma semana:
(R$ 11200,00; R$ 14500,00; R$ 10820,00; R$ 13450,00; R$ 19200,00; R$ 15230,00)
Na prática, seguimos os seguintes passos:
• 1º passo: calcular a média dos dados:
11200 + 14500 + 10820 + 13450 + 19200 + 15130 14050
6
• 2º passo: calcular o desvio médio de 
cada um dos valores da variável:
11200 – 14050 = -2850
14500 – 14050 = 450
57
ESTATíSTICA DESCRITIVA
10820 – 14050 = -3230
13450 – 14050 = -600
19200 – 14050 = 5150
15130 – 14050 = 1080
• 3º passo: elevar cada desvio médio ao 
quadrado e somar esses valores:
Desvio médio (xi - x )
2
11200 - 14050 = -2850 8122500
14500 - 14050 = 450 205500
10820 – 14050 = -3230 10432900
13450 – 14050 = -600 360000
19200 – 14050 = 5150 26522500
15130 – 14050 = 1080 1166400
Soma 46809800
• 4º passo: dividimos essa soma do desvio 
médio ao quadrado por (n-1). Em nosso 
problema n = 6 então vamos dividir por 5:
46809800 = 93619605
58
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Esse valor encontrado é a variança, para termos o desvio 
padrão extraímos a raiz quadrada desse valor:
= 3059,739361960
Obtemos, assim, o desvio padrão desta distribuição de 
dados não agrupados, ou seja a variação dos valores de cada 
conjunto em relação a média.
DESVIO PADRÃO PARA DADOS AGRUPADOS COM OU SEM 
INTERVALO DE CLASSE
A Figura 12 abaixo apresenta as notas em estatística de uma 
turma de economia:
Figura 12 - Tabela para cálculo de desvio padrão para dados agrupados
CLASSE NOTAS QUANTIDADE DE ALUNOS – Fi
Xi . Fi Xi
2.Fi
1 3 4 12 36
2 4 6 24 96
3 5 9 45 225
4 6 12 72 432
5 7 6 42 294
6 8 4 32 256
59
ESTATíSTICA DESCRITIVA
7 9 1 9 81
Total 42 236 1420
Fonte: elaborado pelo autor
Essa tabela contempla os valores que precisamos para 
substituir na fórmula de desvio padrão. Assim temos:
1420
42
236
42
Assim, temos: 
(33,8095)-(5,6190)2 (33,8095 - 31,5732) 2,2363 = 1,4954
Quando analisamos a variação dos dados de uma pesquisa 
dizemos que se um desvio padrão é grande, os valores amostrais 
estão bem distribuídos em torno da média. Em contrapartida, 
quando um desvio padrão é pequeno, dizemos que eles estão 
condensados próximos da média. Em poucas palavras, quanto 
menor o desvio padrão, mais homogênea é a amostra.
COEFICIENTE DE VARIAÇÃO
As medidas de dispersão vistas até agora são medidas 
absolutas e, portanto, avaliam a dispersão absoluta da série. 
60
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Quando queremos verificar a variação relativa, utilizamos o 
coeficiente de variação que é uma medida de dispersão relativa 
definida como a razão entre o desvio padrão e a média:
CV = . 100
A partir do coeficiente de variação pode-se avaliar a 
homogeneidade do conjunto de dados e para comparar 
conjuntos com unidades de medidas distintas. Um coeficiente 
de variação superior a 50% sugere alta dispersão, o que indica 
heterogeneidade dos dados. Quanto maior for este valor, menos 
representativa será a média. Neste caso, opta-se pela mediana 
ou moda, não existindo uma regra prática para a escolha de 
uma destas medidas. O pesquisador, com sua experiência, é que 
deverá decidir por uma ou outra. Por outro lado, quanto mais 
próximo de zero, mais homogêneo é o conjunto de dados e mais 
representativa será sua média.
PRINCÍPIOS DE PROBABILIDADE
Todos nós, de alguma forma, temos uma intuição sobre 
probabilidade. Sempre que tomamos alguma decisão, 
seja pela roupa que vamos usar para sair de casa, seja 
61
ESTATíSTICA DESCRITIVA
ao tomar uma decisão financeira 
dentro da empresa onde trabalhamos, 
estamos usando nossa intuição 
sobre probabilidade. De maneira 
formal, existe dentro da matemática 
uma maneira que permite calcular 
e interpretar esses valores chamada 
teoria da probabilidade. Existem duas 
definições possíveis de probabilidade. A 
probabilidade subjetiva, normalmente 
baseada em alguma experiência no 
passado, opinião pessoal ou análise de 
algum indivíduo. Esse tipo pode ser 
útil, quando não há possibilidade de 
utilização da probabilidade frequentista. 
A probabilidade frequentista se refere à 
frequência com a qual um fato ocorre em 
uma sequência de repetições. Quando se 
diz que a probabilidade de sair “cara” 
em uma moeda é 12 , significa que, se a 
moeda for lançada em uma quantidade 
de vezes muito grande, a “cara” será 
observada, em média, metade das vezes 
e a “coroa”a outra metade.
Sempre que 
tomamos 
uma decisão, 
usamos a 
probabilidade 
de maneira 
intuitiva.
62
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Neste tópico vamos estudar a probabilidade frequentista, 
que pode ser calculada e não se baseia apenas em um 
julgamento pessoal e, para isso alguns conceitos são 
importantes como experimento aleatório, espaço amostral e 
eventos, bem como as relações entre estes conceitos e a medida 
chamada probabilidade.
EXPERIMENTO ALEATÓRIO, ESPAÇO AMOSTRAL E 
EVENTOS: DEFINIÇÕES
Um experimento é chamado de aleatório quando, 
mantidas as mesmas condições, os resultados apresentados 
são diferentes. Por exemplo, se jogamos um dado de seis faces 
o resultado poderá apresentar na face superior os números 1, 
2, 3, 4, 5, ou 6 com probabilidades iguais, porém, o resultado 
do experimento não pode ser afirmado antes de se lançar 
o dado. Ao realizar uma longa sequência de lançamentos, 
vamos chegar a probabilidade de 1/6 como sendo a chance de 
ocorrência para cada valor. Por outro lado, um experimento 
que, mantidas as condições iniciais, apresenta sempre o 
mesmo resultado, (por exemplo, o ato de lançar um tijolo de 
cima de uma plataforma, sabemos que ele chegará ao chão ao 
ser lançado) é chamado de determinístico.
63
ESTATíSTICA DESCRITIVA
Ao se realizar um experimento aleatório, como ele admite 
mais do que um resultado, classificamos todos os possíveis 
resultados de um experimento de espaço amostral. Esse 
conjunto é representado pela letra “S”. 
Por exemplo, no lançamento de uma moeda, o espaço 
amostral é dado por “cara” ou “coroa”. No lançamento 
de um dado, o espaço amostral é representado pelas faces 
enumeradas 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Em um baralho de cartas, o espaço 
amostral envolve 52 cartas.
Outro elemento importante no cálculo de probabilidade são 
os eventos que são um subconjunto do espaço amostral”. Todo 
resultado possível de um experimento aleatório é um evento, 
pois é um elemento (um subconjunto) do espaço amostral. 
Vamos representar o evento pela letra “A”.
Por exemplo, quando lançamos um dado de seis faces o 
espaço amostral de experimento é: {1, 2, 3, 4, 5, 6} e podemos 
definir um evento como: “sair face menor que 3”, assim 
teríamos: A = {1, 2}, podemos também definir outro evento 
como: “sair um número par”, representamos por A = {2, 4, 
6}. Note que A = {1, 2} e A = {2, 4, 6} são subconjuntos de S e, 
portanto, são eventos.
64
MÉTODOS QUANTITATIVOS
MATERIAL COMPLEMENTAR
Para se aprofundar sobre o tema, indicamos a leitura do 
capítulo 1, do livro Probabilidade e estatística, dos auto-
res Murray R. Spiegel, John J. Schiller e R. Alu. Srinivasan.
Disponível em: <https://bit.ly/3530GxP> Acesso em: 04 set. 2020.
Até aqui foram apresentados os conceitos de probabilidade, 
de experimento aleatório, de eventos e de espaço amostral. 
Vimos que apesar de termos naturalmente alguma intuição 
a respeito do conceito de probabilidade, a formalização 
matemática deste conceito é necessária para permitir seu uso. 
A partir desses conceitos podemos definir uma medida para 
exprimir a possibilidade de ocorrência de um evento. Esta 
medida é um número chamado probabilidade. A definição 
clásica desse número é dado por:
número de resultados favoráveis ao evento “A”
número de resultado possíveis
P(A) =
Considerando o experimento aleatório de jogar dois dados 
com seis faces cada um e anotar o valor de cada face superior, 
qual a probabilidade da soma dessas duas faces ser igual a 4?
65
ESTATíSTICA DESCRITIVA
A quantidade de elementos de todos 
os possíveis resultados de jogar dois 
dados é 36. O evento consiste em a soma 
ser 4 que resulta no seguinte conjunto de 
valores: {(1,3),(3,1),(2,2)}, num total de 3 
possíveis resultados. Portanto, a P (soma 
de dois dados ser 4) = ou .
A partir deste conceito é possível o 
cálculo das chances de acontecimentos de 
cada evento estudado. Agora veremos que 
o evento não precisa ter um elemento único 
(um resultado do experimento aleatório); 
pode ser um conjunto de resultados que 
representa uniões ou intersecções de 
outros eventos, o que permite representar 
eventos mais complexos. Para isso, serão 
apresentados os conceitos de intersecção de 
eventos e união de eventos. 
OPERAÇÕES COM EVENTOS
Quando realizamos um experimento 
aleatório, selecionamos os eventos de 
A intersecção de eventos é 
a operação que seleciona 
aqueles elementos que 
estão simultaneamente 
em todos os eventos 
relacionados.
Fonte: Shutterstock (https://shutr.bz/32WHWNH)
66
MÉTODOS QUANTITATIVOS
um conjunto chamado espaço amostral 
e esta seleção ocorre de acordo com as 
probabilidades associadas aos eventos. 
No entanto, muitas vezes há o interesse 
no cálculo de probabilidade da união 
ou da intersecção de eventos. Questões 
como “qual a probabilidade de sair 
duas bolas brancas de uma urna com 
bolas pretas e brancas?” ou “qual a 
probabilidade de uma determinada 
ação da Bolsa de Valores subir em dois 
dias consecutivos?” são respondidas 
por meio de operações de união e 
intersecção de eventos.
INTERSECÇÃO DE EVENTOS
Assim como na Teoria dos Conjuntos, 
a intersecção de eventos é a operação 
que seleciona os elementos que estão 
simultaneamente em todos os eventos 
relacionados. Trata-se de uma operação 
de “multiplicação” dos eventos. Na 
prática podemos dizer que a intersecção 
é a operação que liga dois eventos pela 
conjunção ”E”, pois a intersecção de dois 
INTERSECÇÃO
Segundo o site Dicio, intersecção 
é a “ação ou efeito de cortar ao 
meio. [...] Ponto estabelecido 
em que se transpõem ou cruzam 
duas linhas, planos e/ou super-
fícies. Operação através da qual 
se consegue um conjunto com-
posto por elementos comuns a 
outros (dois) conjuntos”.
Fonte: <https://bit.ly/2F8pv0c>. 
Acesso em: 04 set. 2020.
67
ESTATíSTICA DESCRITIVA
eventos A e B seleciona todos os elementos que estão no evento 
A e no evento B simultaneamente.
No lançamento de um dado de seis faces, o evento “sair 
um número maior que três” é representado pelo conjunto {4, 
5, 6}, pois se sair alguma das faces “4”, “5” ou “6” considera-
se o evento que ocorreu. O evento “sair um número par” é 
representado pelo conjunto {2, 4, 6}, pois se no lançamento 
do dado sair alguma das faces “2”, “4”, ou “6” considera-se a 
ocorrência do evento. A intersecção dos eventos é o conjunto 
dos elementos que estão, ou seja, no lançamento do dado 
deverá ocorrer “sair um número maior que três” e também 
“sair um número par”. Observe o conector “E” indicando que 
a intersecção representa uma relação na qual ocorre um evento 
“E” e outro evento simultaneamente. Em nosso exemplo, os 
eventos ocorrerão simultaneamente se ocorrerem as faces “4” 
ou “6”. Assim, a intersecção entre os eventos “sair um número 
maior que três” e “sair um número par no lançamento de um 
dado” é representado pelo conjunto {4, 6}.
A probabilidade de um evento é calculada como o número 
de elementos de um evento (um conjunto) dividido pelo 
número de elementos no espaço amostral (conjunto de todas as 
possibilidades). No exemplo acima, o evento “sair um número 
maior que três e par no lançamento de um dado” é o conjunto {4, 
68
MÉTODOS QUANTITATIVOS
6} que possui 2 elementos (a face “4” e a face “6”) e o conjunto de 
todas as possibilidades de resultados do lançamento de um dado 
é {1, 2, 3, 4, 5, 6} que possui 6 elementos. A probabilidade de “sair 
um número maior que três e par no lançamento de um dado” é 
igual a 26 , ou seja, 
1
3 . Se o dado for lançado um número grande 
de vezes, em média, 1 a cada 3 vezes ocorrerá o evento. O cálculo 
da probabilidade da intersecção de eventos é feito, assim, pela 
chamada regra da multiplicação.
A operação de intersecção entre dois eventos nomeados 
“A” e “B” pode ser representada como A ∩ B ou A ˄ B ou ainda 
por A.B. A segunda representação nos remete à operação lógica 
“E” e a última representação nos remete à multiplicação entre os 
eventos. De fato, a intersecção pode ser interpretada de ambas as 
formas. A intersecção entre