Módulo 03 - Funções Parte 2

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CURSO ÁGAPE
	EEAR
2018/2019
	Álgebra 1
	
	
	MÓDULO 03
 Prof. Carlos
CONTINUAÇÃO DE FUNÇÕES
7. ESTUDO DA VARIAÇÃO DO SINAL DO 1° GRAU
Estudar o sinal de uma função y = f(x) é determinar os valor de x para os quais y é positivo, os valores de x para os quais y é zero e os valores de x para os quais y é negativo. Consideremos uma função afim y = f(x) = ax + b vamos estudar seu sinal. Já vimos que essa função se anula pra raiz x = - b/a. Há dois casos possíveis:
1º) a > 0 (a função é crescente) 
y > 0 → ax + b > 0 → x > - b/a 
y < 0 → ax + b < 0 → x < - b/a 
Conclusão: y é positivo para valores de x maiores que a raiz; y é negativo para valores de x menores que a raiz.
2º) a < 0 (a função é decrescente) 
y > 0 → ax + b > 0 → x < - b/a 
y < 0 → ax + b < 0 → x > - b/a 
Conclusão: y é positivo para valores de x menores que a raiz; y é negativo para valores de x maiores que a raiz.
8. INEQUAÇÕES DO 1° GRAU 
A equação é caracterizada pelo sinal da igualdade (=). A inequação é caracterizada pelos sinais de maior (>), menor (<), maior ou igual (≥) e menor ou igual (≤). 
a) Inequações inteiras do 1° Grau 
Pode-se resolver qualquer inequação do 1° grau por meio do estudo do sinal de uma função do 1° grau, com o seguinte procedimento: 
1. Iguala-se a expressão ax + b a zero; 
2. Localiza-se a raiz no eixo x; 
3. Estuda-se o sinal conforme o caso. 
Exemplo:
-2x + 7 > 0 -2x + 7 = 0 x = 7/2
b. Inequações Produto 
Resolver uma inequação produto consiste em encontrar os valores de x que satisfazem a condição estabelecida pela inequação. Para isso utilizamos o estudo do sinal de uma função. Observe a resolução da seguinte equação produto: 
(2x + 6)( – 3x + 12) > 0. 
 Vamos estabelecer as seguintes funções: 
y1 = 2x + 6 e y2 = – 3x + 12. 
Determinando a raiz da função (y = 0) e a posição da reta (a > 0 crescente e a < 0 decrescente).
Verificando o sinal da inequação produto (2x + 6)(– 3x + 12) > 0. Observe que a inequação produto exige a seguinte condição: os possíveis valores devem ser maiores que zero, isto é, positivo.
Através do esquema que demonstra os sinais da inequação produto y1 x y2, podemos chegar à seguinte conclusão quanto aos valores de x: x Є R / –3 < x < 4.
c) Inequações Quociente 
Na resolução da inequação quociente utilizamos os mesmos recursos da inequação produto, o que difere é que, ao calcularmos a função do denominador, precisamos adotar valores maiores ou menores que zero e nunca igual a zero. Observe a resolução da seguinte inequação quociente:
Resolver as funções y1 = x + 1 e y2 = 2x – 1, determinando a raiz da função (y = 0) e a posição da reta (a > 0 crescente e a < 0 decrescente).
Com base no jogo de sinal concluímos que x assume os seguintes valores na inequação quociente: 
{x Є R / –1 ≤ x < 1/2}
9. SINAL DA FUNÇÃO DO 2°GRAU
Consideramos uma função quadrática y = f(x) = ax2 + bx + c e determinamos os valores de x para os quais y é negativo, e os valores de x para os quais y é positivo. 
Conforme o sinal de Δ = b² - 4ac, pode ocorrer os seguintes casos:
Método para construção da parábola (BIZUUUU!!!) 
1° Passo: Determine a concavidade da parábola avaliando o valor de a. 
2° Passo: Determinar onde a parábola intercepta o eixo-y, avaliando o valor de c 
3° Passo: Determinar onde a parábola intercepta o eixo-x, para tal basta achar suas raízes. 
4° Passo: Encontre as coordenadas do Vértice Xv e Yv 
5° Passo: Marque as informações obtidas no gráfico 
6° Passo: Trace o Gráfico.
10. INEQUAÇÃO DO 2º GRAU 
As inequações do 2º grau são resolvidas utilizando o teorema de Báskara. O resultado deve ser comparado ao sinal da inequação, com o objetivo de formular o conjunto solução. 
Exemplo: 
Vamos resolver a inequação 3x² + 10x + 7 < 0.
Solução: {x R/ -7/3 < x < -1}
11. EQUAÇÕES EXPONENCIAIS
São equações cuja incógnita aparece no expoente. Para resolver uma equação exponencial devemos, basicamente:
· reduzir os dois membros da equação à mesma base;
· igualar os expoentes e resolver a equação resultante.
Ou seja, para resolver uma equação exponencial tente transformar a equação dada em outra equivalente, da forma . Para isso use inicialmente as propriedades da potenciação. 
Exemplo: 
Resolução: 
Como , podemos escrever 
Então, x = 4
Propriedades da Potenciação
· am . an = am + n
· am : an = am - n
· (am)n = am . n
· (a . b)n = an . bn
· 
 (b 0)
· 
12. FUNÇÃO EXPONENCIAL
Toda relação de dependência, em que uma incógnita depende do valor da outra, é denominada função. A função denominada como exponencial possui essa relação de dependência e sua principal característica é que a parte variável representada por x se encontra no expoente.
f : RR tal que y = a x, sendo que a > 1 ou 0 < a < 1.
a) Gráfico da Função Exponencial
f : RR tal que f( x ) 
1° Caso: Se a > 0, a função é crescente.
2° Caso: Se 0 < a < 1, a função é decrescente.
Obs.: Veja que no primeiro caso a função é crescente, já no segundo ela decresce. Note ainda que em ambos os casos o gráfico da função f( x )  não toca o eixo-x e, além disso a exponencial sempre toca o eixo y no ponto y 1, isso ocorre pois a° 1.
b) Principais propriedades da Função Exponencial (Bizu!!!!!)
(I) Domínio: D( f ) R
(II) Imagem: Im (f ) R(ou seja, y 0)
(III) Se a 1 então f é crescente. Se 0 a 1 então f é decrescente
(IV) Não existe xR, tal que , ou seja a função exponencial não tem raiz. Assim o gráfico se aproxima do eixo x, mas não o intercepta.
 (V) A função exponencial é bijetora. Como conseqüência é inversível (admite função inversa).
(VI) A interseção do gráfico da função exponencial com o eixo y é o ponto (0,1).
13. FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Sejam a, b e x números reais, tais que a > 0 e 
1 b > 0. Definimos, então:
log b a = x bx = a
em que a é o logaritmando ou antilogaritmo; b é a base; x é o logaritmo.
Observação:
· Há dois sistemas especiais de logaritmos: o sistema de logaritmos decimais (base 10) e o sistema de logaritmos neperianos ou naturais (base e). As suas representações são:
 e 
a) Conseqüências da definição
· 
 ( a > 0 e a 1)
· 
 ( a > 0 e a 1)
· 
 ( a > 0 e a 1)
· logc a = logc b a = b (a > 0, b > 0 e 1 c > 0)
· 
(b > 0 e 1 a > 0)
b) Cologaritmo
c) Antilogarítmo
  sendo que 
Percebemos através dessa expressão que o antilogaritmo nada mais é  que uma “demonstração” da inversão de um logaritmo.
Obs: Não devemos confundir o estudo dos antilogaritmos com os cologaritmos , apesar de ambos estarem ligados intimamente aos conceitos relativos a logaritmos, devemos lembrar que o antilogaritmo é uma inversão do logaritmo, já o cologaritmo é definido como oposto do logaritmo.
d) Propriedades operatórias
Considerando satisfeitas as condições de existência, são válidas as seguintes propriedades operatórias dos logaritmos:
· 
· 
· 
· 
Mudança de base: 
e) Gráfico de uma função logarítmica 
Uma função logarítmica é crescente se a>1. Sempre que aumentamos os valores de x, os valores correspondentes de y também aumentam, isto é: 
Uma função logarítmica é decrescente se a > 1. Sempre que aumentamos os valores de x, os valores correspondentes de y diminuem, isto é: 
Conclusão (BIZUUUUUU):
a) O gráfico da função logarítmica passa sempre pelo ponto (1,0). 
b) O gráfico nunca toca o eixo y e não ocupa pontos dos quadrantes II e III. 
c) Quando a > 1, a função logarítmica é crescente 
(). 
d) Quando 0 < a <1, a função logarítmica é decrescente 
().
QUESTÕES DE PROVAS ANTERIORES
01) (EEAR 1/2019) Considere que o número de células de um embrião, contadas diariamente desde o dia da fecundação do óvulo até o 30° dia de gestação, forma a sequência: 1, 2, 4, 8, 16... A função que mostra o número de células, conforme o número de dias x é 
a)
b) 2x – 1
c) – 1
d) x² – 1
02) (EEAR 1/2019) Sejam m, n e b números reais positivos, com .Se e , então é igual a
a) x
b) 2y
c) x + y
d) 2x – y
03) (EEAR 2/2018) Na função , tal que , o valor de x para que f(x) =, é um número
a) divisível por 2
b) divisível por 3
c) divisível por 5
d) divisível por 7
04) (EEAR2/2018) O valor real que satisfaz a equação é um número
a) entre –2 e 2
b) ent re 2 e 4
c) maior que 4
d) menor que –2
05) (EEAR 1/2018) Considere a inequação . Está contido no conjunto solução dessa inequação o intervalo
a) [–3, 0]
b) [–1, 1]
c) [1, 3]
d) [3, 4]
06) (EEAR 2/2017) As funções logarítmicas e são, respectivamente,
a) crescente e crescente
b) crescente e decrescente
c) decrescente e crescente
d) decrescente e decrescente
07) (EEAR 1/2017) Se log2 = 0,3 e log36 = 1,6, então log 3 = _____.
a) 0,4
b) 0,5
c) 0,6
d) 0,7
08) (EEAR 1/2017) desigualdade tem como conjunto solução
a) 
b) 
c) 
d) 
09) (EEAR 1/2016) O conjunto solução da inequação 
a) 
b) 
c) 
d) 
10) (EEAR 1/2016) O valor de x na equação é
a) 1
b) 3
c) 9
d) 27
11) (EEAR 1/2016) Resolvendo, em o sistema de inequações abaixo:
,tem-se como solução o conjunto
a) 
b) 
c) 
d) 
12) (EEAR 2015) Se a > 0, b > 0, c > 0 e , então é correto afirmar que:
a) 
b) 
c) 
d) 
13) (EEAR 2014) A solução da inequação é um intervalo real. Pode-se afirmar que pertence a esse intervalo o número:
a) 2
b) 3 
c) 4
d) 5
14) (EEAR 2014) Se e a.b = 1, então f(a) + f(b) é igual a:
a) 0
b) 1
c) 10
d) 100
15) (EEAR-2014) Se log 2 = a e log3 = b, então a solução da equação 10x= 60 é:
a) 2a + b		
b) a + b +1
c) a + 2b
d) 2a + 2b + 1
16) (EEAR 2013) Para que exista a função , é necessário que x seja:
a) maior que m
b) menor que m
c) maior ou igual a m
d) menor ou igual a m
17) (EEAR 2013) Se log x + log y = k, então log x5 + log y5 é:
a) 10k	
b) k10	
c) 5k	
d) k5
18) (EEAR 2012) Seja a função , definida por g(x) = . O valor de x para o qual g(x) = 3 é:
a) 6	
b) 7	
c) 8	
d) 9
19) (EEAR 2012) Dada a função definida por , o valor de f(1) + f(2) é:
a) 3	
b) 5	
c) 6	
d) 10
20) (EEAR 2012) No conjunto dos números reais, a equação tem por raízes
a) um número positivo e um negativo.
b) um número negativo e o zero.
c) dois números negativos.
d) dois números positivos.
21) (EEAR 1/2011) A razão entre o logaritmo de 16 e o de 4, numa mesma base b, sendo , é
a) 1/4.
b) 1/2.
c) 4.
d) 2.
22) (EEAR 1/2011) O número de valores inteiros de x para os quais se verifica a inequação x² < 7x – 6 é
a) três.
b) seis.
c) cinco.
d) quatro.
23) (EEAR 2/2011) Sejam as funções logarítmicas e . Se f(x) é crescente e g(x) é decrescente, então
a) a > 1 e b < 1.
b) a > 1 e 0 < b < 1.
c) 0 < a < 1 e b > 1.
d) 0 < a < 1 e 0 < b < 1.
24) (EEAR 1/2010) Considerando n > 1, se , então o valor de a é
a) n.
b) 
c) 
d) 
25) (EEAR 2/2010) Seja a inequação . A soma dos números inteiros que satisfazem essa inequação:
a) 8
b) 7
c) 5
d) 4
26) (EEAR 1/2009) Sejam x, y e b números reais maiores que 1. Se e , então o valor de é:
a) 13.
b) 11.
c) 10.
d) 8.
27) (EEAR 1/2009) Se x e y são números reais positivos, , e , então x + y é igual a
a) 2.
b) 4.
c) 7.
d) 9.
28) ( EEAR 1/2009) Se x é a raiz da equação , então o valor de x é
a) 5.
b) 3.
c) - 2.
d) - 4.
29) (EEAR 1/2009) Em ℜ, o conjunto solução da é formado por:
a) dois elementos, sendo um negativo e um nulo.
b) dois elementos, sendo um positivo e um nulo.
c) somente um elemento, que é positivo.
d) apenas um elemento, que é negativo.
30) (EEAR 2/2008) A raiz real da equação é um número múltiplo de
a) 7.
b) 5.
c) 3.
d) 2.
31) (EEAR 2/2008) Estudando um grupo de crianças de uma determinada cidade, um pediatra concluiu que suas estaturas variavam segundo a fórmula , onde h é a estatura (em metros), e i é a idade (em anos). Assim, segundo a fórmula, a estatura de uma criança de 10 anos dessa cidade é, em m,
a) 1,20.
b) 1,18.
c) 1,17.
d) 1,15.
32) (EEAR 1/2007) No conjunto solução da inequação ,quantidade de números inteiros pares é
a) 14.
b) 12.
c) 10.
d) 8.
33) (EEAR 1/2007) Sejam as funções f , g , h e t definidas, respectivamente, por , , e . Dessas quatro funções, é(são) decrescente(s)
a) todas.
b) somente três.
c) somente duas.
d) somente uma.
34) (EEAR 1/2007) Sendo a > 0 e , o conjunto solução da equação está contido no conjunto
a) {1, 2, 3, 4}.
b) {-4, -3, -2, -1, 0, 1}.
c) {-1, 0, 1, 2, 3, 4}.
d) {0, 1, 2, 3, 4}.
35) (EEAR 2/2007) A inequação tem para conjunto solução
a) 
b) 
c) 
d) 
36) (EEAR 2/2007) Se , então vale
a) 
b) 
c) 
d) 
37) (EEAR 2/2006) O menor número inteiro que satisfaz a inequação é um número
a) par negativo.
b) par positivo.
c) ímpar negativo.
d) ímpar positivo.
38) (EEAR 2/2006) A solução do sistema é
a) ]-3, 7].
b) [3, 7].
c) [7, 3[.
d) ]7, 3].
39) (EEAR 2/2006) O logaritmo de 8 é , se a base do logaritmo for igual a
a) 4.
b) 8.
c) 16.
d) 64.
40) (EEAR 2/2006) Dada a inequação 2 – x < 3x + 2 < 4x + 1, o menor valor inteiro que a satisfaz é um número múltiplo de
a) 3.
b) 2.
c) 7.
d) 5.
41) (EEAR 1/2005) Se log 2,36 = 0,3729, então antilog 3,3729 é
a) 236. 
b) 23,6. 
c) 2360. 
d) 23600.
42) (EEAR 1/2005) A soma dos valores de x que verificam a equação é
a) log10 . 
b) 
c) 
d) 
43) (EEAR 1/2005) A expressão que completa o conjunto , solução das inequações, é
a) 
b) 
c) 
d) 
44) (EEAR 2/2005) Dada a função , definida por f(x) = -x² + 3x – 2 , é correto afirmar que
a) , para x 1 ou x 2.
b) , para qualquer valor de x.
c) , para nenhum valor de x.
d) , para 1 < x < 2.
45) (EEAR 2/2005) Se e , então é:
a) 
b) 
c) 
d) 
46) (EEAR 1/2004) A quantidade de números inteiros positivos que verificam as inequações 3x − 8 < e x + 20 > 10x, ao mesmo tempo, é
a) 1. 
b) 2. 
c) 3. 
d) 4.
47) (EEAR 1/2004) Na equação , é verdadeira a afirmativa:
a) Uma das raízes é 1.
b) A soma das raízes é um número inteiro positivo.
c) O produto das raízes é um número inteiro negativo.
d) O quociente das raízes pode ser zero (0).
48) (EEAR 1/2004) A possui
a) duas raízes positivas.
b) duas raízes negativas. 
c) duas raízes simétricas.
d) uma única raiz.
GABARITO
	01
	02
	03
	04
	05
	06
	07
	08
	09
	10
	A
	B
	A
	A
	B
	C
	B
	B
	B
	A
	11
	12
	13
	14
	15
	16
	17
	18
	19
	20
	C
	C
	A
	A
	C
	A
	C
	C
	B
	A
	21
	22
	23
	24
	25
	26
	27
	28
	29
	30
	D
	D
	B
	D
	B
	A
	D
	C
	C
	D
	31
	32
	33
	34
	35
	36
	37
	38
	39
	40
	A
	A
	D
	C
	B
	C
	D
	A
	C
	B
	41
	42
	43
	44
	45
	46
	47
	48
	C
	B
	C
	D
	C
	B
	D
	A
	
	- 7 -
	
	
x
x
f
4
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(
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/
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5
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1
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2
.
4
5
2
2
1
2
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+
+
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x
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x
x
s
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}
1
1
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Î
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x
x
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{
}
1
0
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{
}
1
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x
x
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x
1
0
21
x
x
+
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2
3
...
...
0
/
x
ou
x
x
s
þ
ý
ü
î
í
ì
£
£
Â
Î
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2
3
0
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x
x
s
þ
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>
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Î
=
2
3
/
x
x
s
þ
ý
ü
î
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³
Â
Î
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2
3
/
x
x
s
0
¹
c
)
(log
)
(log
)
(
log
b
a
b
a
c
c
c
+
=
+
)
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(log
)
(
log
b
a
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a
c
c
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=
+
)
(log
)
(log
)
.
(
log
b
a
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a
c
c
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+
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)
).(log
(log
)
.
(
log
b
a
b
a
c
c
c
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(
4
5
)
2
(
2
+
£
+
+
x
x
x
x
x
f
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)
(
=
)
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)
(
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x
x
f
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®
Â
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*
 
:
g
x
2
log
Â
®
Â
+
*
 
:
f
x
x
f
2
log
5
)
(
×
=
8
9
)
3
(
=
x
x
1
0
¹
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b
x
x
f
a
log
)
(
=
x
x
g
b
log
)
(
=
n
n
a
=
log
n
n
n
1
n
n
1
3
1
£
-
x
2
log
=
x
b
3
log
=
y
b
³)
²
(
log
y
x
b
x
co
=
32
1
log
2
4
256
log
=
y
25
,
2
3
2
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
x
1
2
2
+
=
-
x
x
25
5
.
24
25
=
-
x
x
(
)
i
h
.
10
log
7
,
0
=
5
3
1
<
-
x
xy
aa
=
x
x
f
-
÷
ø
ö
ç
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æ
=
3
2
)
(
x
x
g
p
=
)
(
(
)
x
x
h
-
=
2
)
(
x
x
t
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
3
10
)
(
1
¹
a
(
)
10
log
2
3
²
log
6
10
a
a
x
x
=
+
-
0
)
3
)(
6
5
²
(
³
-
+
-
x
x
x
{
}
3
/
£
Â
Î
x
x
{
}
2
/
³
Â
Î
x
x
{
}
3
2
/
£
£
Â
Î
x
x
381
x
=
{
}
3
....
...
2
/
³
£
Â
Î
x
ou
x
x
a
=
8
log
3
2
log
2
a
4
a
9
a
3
a
3
)
5
3
(
log
2
>
-
x
î
í
ì
>
+
-
³
+
0
3
6
4
1
3
x
x
x
4
3
4
813
=
0
10
5
.
7
5
2
=
+
-
x
x
10
log
5
2
log
5
log
5
2
+
5
log
2
log
2
2
+
{
}
..........
/
Â
Î
=
x
S
x
x
x
5
3
²
2
1
²
-
£
-
<
+
2
1
2
£
<
-
x
2
2
1
<
£
x
2
3
-
<
£
-
x
2
1
....
....
2
³
<
-
x
ou
x
4
33
x
=
Â
®
Â
:
f
0
)
(
³
x
f
£
³
0
)
(
<
x
f
0
)
(
£
x
f
0
)
(
>
x
f
a
=
2
log
3
b
=
3
log
7
14
log
3
n
n
nb
a
b
a
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
a
b
1
+
b
a
1
+
a
ab
1
+
b
ab
1
+
2
x
3
2
2
1
=
+
-
+
x
x
)
1
3
(
log
2
)
7
9
(
log
1
2
1
2
+
+
=
+
-
-
x
x
n
m
n
m
a
a
=
x
a
=
10
logxlogx
 x
n
x
log
e
l
=
1
log
=
a
a
0
1
log
=
a
n
a
n
a
=
log
b
a
b
a
=
log
)
(
log
log
log
1
a
b
b
b
a
a
co
=
-
=
b
Antlogax
=
a
bx
=
b
a
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a
c
c
c
log
log
)
.
(
log
+
=
b
a
c
c
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a
c
log
log
)
(
log
-
=
a
n
a
c
n
c
log
.
log
=
n
a
a
n
a
c
c
n
c
log
log
1
log
=
=
b
a
a
c
c
b
log
log
log
=
1212
0loglog
aa
xxxx
<<Û<
1212
0loglog
aa
xxxx
<<Û>
1212
,loglog
aa
xxxx
>>
1212
,loglog
aa
xxxx
><
{
}
=
À
®
£
£
À
Î
)
(
;
30
1
/
:
x
f
x
x
f
1
2
-
x
x
2
1
¹
b
x
m
b
=
log
y
n
b
=
log
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
m
n
n
m
b
b
log
)
.
(
log
x
x
x
f
2
27
)
(
+
=
0
¹
x
6
3
0
2
2
4
=
-
-
x
x
3
1
²
£
-
x