LIVRO ELEMENTOS FINITOS 2019

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ELEMENTOS 
FINITOS 
 
 
 
 
 
 
 
LUIZ CARLOS MENDES 
 
 
 
 
 
 
2019 
 
 
 
 
APRESENTAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
Este trabalho pretende apresentar os fundamentos do método dos 
elementos finitos para o curso de Pós-Graduação em Engenharia Civil. São 
necessárias as revisões do tratamento matricial das estruturas pelo método da 
rigidez, os fundamentos da teoria da elasticidade e das técnicas variacionais. 
Ao se empregar o método, o modelo matemático deve ser bem 
estabelecido em consonância com o sistema físico em estudo. Nada mais 
essencial do que se conhecer o método através de seus fundamentos, 
formulações e principais elementos. A partir de então é que se recomenda a 
utilização dos sistemas computacionais comerciais que, juntos com os 
conhecimentos teóricos básicos, permitem uma interpretação adequada dos 
resultados de análise. Espera-se assim, contribuir com o ensino avançado na 
Universidade com uma ferramenta útil e consistente para o aprendizado. 
 
 
 
 
Luiz Carlos Mendes 
 
 
 
 abril de 2014 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
 
 
1 MÉTODO DA RIGIDEZ COM ORIENTAÇÃO PARA ELEMENTOS 
FINITOS....................................................................................................1 
 
1.1 INTRODUÇÃO....................................................................................1 
1.2 ELEMENTO CONSTITUÍDO DE DUAS FORÇAS – ESTUDO DO 
DESLOCAMENTO UNIAXIAL...................................................................1 
1.3 BARRA CONSTITUÍDA DE DOIS ELEMENTOS...............................2 
1.4 REUNIÃO DE ELEMENTOS..............................................................4 
1.5 EXEMPLO 1.......................................................................................7 
1.6 EXEMPLO 2.......................................................................................8 
1.7 BARRA CONSTITUÍDA DE TRÊS ELEMENTOS.............................10 
1.8 DESLOCAMENTO PLANO GERAL – COORDENADAS GLOBAIS E 
LOCAIS...................................................................................................12 
1.9 TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS......................................14 
1.10 EXEMPLO 3....................................................................................18 
1.11 EXEMPLO 4....................................................................................19 
1.12 ELEMENTO DE BARRA COM ROTAÇÃO.....................................28 
1.12.1 Deslocamento linear v1 = 1..........................................................30 
1.12.2 Deslocamento angular θ1 = 1.......................................................31 
1.12.3 Deslocamento linear v2 = 1..........................................................32 
1.12.4 Deslocamento angular θ1 = 1.......................................................33 
1.13 ELEMENTO DE BARRA COM ROTAÇÃO CARREGADA 
AXIALMENTE.........................................................................................34 
 
2 CONCEITOS INICIAIS DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS..35 
 
2.1 INTRODUÇÃO..................................................................................35 
2.2 SISTEMAS DE COORDENADAS.....................................................35 
2.2.1 Sistema de coordenadas naturais para um elemento de barra.....35 
2.2.2 Exemplo 1......................................................................................37 
2.2.3 Sistema de coordenadas naturais para um elemento triangular...38 
2.2.4 Exemplo 2......................................................................................39 
2.3 TENSÕES E DEFORMAÇÕES........................................................40 
2.4 RELAÇÕES ENTRE TENSÕES E DEFORMAÇÕES......................41 
2.5 EQUAÇÃO CONSTITUTIVA PARA O ESTADO DE TENSÕES 
PLANAS.................................................................................................43 
2.6 EQUAÇÃO CONSTITUTIVA PARA O ESTADO DE 
DEFORMAÇÕES PLANAS.....................................................................44 
2.7 TRABALHO E FUNÇÃO DE ENERGIA POTENCIAL......................45 
2.7.1 Exemplo 3......................................................................................47 
2.7.2 Exemplo 4......................................................................................48 
2.7.3 Exemplo 5......................................................................................48 
2.7.4 Exemplo 6......................................................................................49 
2.7.5 Função de energia potencial..........................................................49 
2.7.6 Exemplo 7......................................................................................50 
2.7.7 Expressão final da energia potencial.............................................52 
2.8 ENERGIA DE DEFORMAÇÃO.........................................................52 
2.8.1 Exemplo 8......................................................................................55 
2.9 PRINCÍPIO DA ENERGIA POTENCIAL MÍNIMA.............................58 
2.9.1 Primeiro passo: estabelecimento de uma função de deslocamento 
2.9.2 Segundo passo: obtenção da expressão para a energia de 
deformação.............................................................................................59 
2.9.3 Terceiro passo: obtenção da expressão para a energia potencial 
2.9.4 Quarto passo: determinação da energia potencial total................60 
2.9.5 Quinto passo: diferenciação da energia potencial total π em 
relação a C1 para se obter o mínimo.......................................................61 
2.9.6 Sexto passo: substituição do valor de C1 na função de 
deslocamento genérico...........................................................................61 
2.10 FORMULAÇÃO VARIACIONAL.....................................................62 
2.10.1 Exemplo 9....................................................................................66 
2.11 O MÉTODO DE RAYLEIGH-RITZ..................................................68 
2.11.1 Exemplo 10..................................................................................69 
2.11.2 Exemplo 11..................................................................................74 
2.12 FUNÇÕES DE APROXIMAÇÃO MÚLTIPLAS................................78 
2.13 FUNCIONAL PARA VIGA COM CARREGAMENTO AXIAL 
UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDO........................................................83 
2.14 FUNCIONAL PARA VIGA COM CARREGAMENTO 
UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDO TRANSVERSAL AO EIXO.............84 
 
3 O ELEMENTO LINEAR.......................................................................85 
 
3.1 INTRODUÇÃO..................................................................................85 
3.2 O MODELO DE ELEMENTO LINEAR COM TENSÕES UNIAXIAIS 
3.3 PASSO 1: DETERMINAÇÃO DA FUNÇÃO DE DESLOCAMENTO 
3.3.1 Uso do sistema de coordenadas globais.......................................86 
3.3.2 Uso do sistema de coordenadas locais.........................................90 
3.4 PASSO 2: DERIVAÇÃO DA ENERGIA DE DEFORMAÇÃO...........91 
3.4.1 Expressão da deformação utilizando-se as coordenadas globais91 
3.4.2 Expressão da deformação utilizando-se as coordenadas locais..92 
3.4.3 Expressão da energia de deformação...........................................92 
3.5 PASSO 3: DERIVAÇÃO DA ENERGIA POTENCIAL DA CARGA 
APLICADA..............................................................................................93 
3.5.1 Energia potencial das forças aplicadas nos nós............................93 
3.5.2 Energia potencial das cargas axiais distribuídas......................94 
3.5.3 Energia potencial para elemento de barra sujeito a 
carregamento uniformemente distribuído axial w................................95 
3.5.3.1 Em termos de coordenadas globais.......................................95 
3.5.3.2 Em termos de coordenadas locais..........................................963.5.4 Energia potencial para elemento de barra sujeito a 
carregamento axial triangular distribuído de forma crescente..........96 
3.5.5 Energia potencial para elemento de barra sujeito a 
carregamento axial trapezoidal distribuído de forma crescente.....97 
3.6 PASSO 4: SOMATÓRIO DOS TERMOS DE ENERGIA..........99 
3.7 PASSO 5: APLICAÇÃO DO PRINCÍPIO DA ENERGIA 
POTENCIAL MÍNIMA...........................................................................100 
3.7.1 Diferenciação de π em relação a ui........................................100 
3.7.2 Diferenciação de π em relação a uj........................................100 
3.7.3 Sistema de equações formado.................................................101 
3.8 MODELAGEM DE UM ELEMENTO DE BARRA......................102 
3.9 EXEMPLO DE ELEMENTO LINEAR UNIDIMENSIONAL.........104 
3.9.1 Condições de contorno para as forças..................................104 
3.9.2 Condições de contorno para os deslocamentos....................104 
3.9.3 Modelagem em elemento único...............................................105 
3.9.4 Modelagem em dois elementos...............................................107 
3.9.5 Modelagem em três elementos................................................110 
3.9.6 Modelagem em quatro elementos...........................................114 
3.9.7 Modelagem em cinco elementos.............................................118 
3.9.8 Modelagem em seis elementos...............................................124 
3.9.9 Comparação de resultados de deformações..........................131 
3.9.10 Comparação de resultados de tensões em kN/m2................131 
 
4 O ELEMENTO TRIANGULAR.......................................................135 
 
4.1 GENERALIDADES.........................................................................135 
4.2 O EMPREGO DE COORDENADAS GLOBAIS NO 
ELEMENTO TRIANGULAR.................................................................135 
4.2.1 Passo 1: função deslocamento considerada...........................135 
4.2.2 Passo 2: derivação da tensão e energia de deformação....140 
4.2.2.1 Exemplo 1................................................................................142 
4.2.3 Passo 3: derivação da função de energia potencial da carga 
aplicada................................................................................................145 
4.2.3.1 Forças concentradas aplicadas nos nós..............................145 
4.2.3.2 Carga distribuída ao longo do bordo do elemento...........147 
4.2.3.3 Forças de volume..................................................................148 
4.2.3.4 Exemplo 2................................................................................149 
4.2.3.5 Exemplo 3............................................... ................................152 
4.2.4 Passo 4: somação dos termos de energia............................156 
4.2.5 Passo 5: aplicação do princípio da minimização de energia 
4.2.6 Exemplo 4..................................................................................157 
4.3 EMPREGO DE COORDENADAS LOCAIS NO ELEMENTO 
TRIANGULAR.......................................................................................162 
4.3.1 Passo 1: função deslocamento a ser considerada...............162 
4.3.2 Passo 2: Energia de deformação do elemento.....................167 
4.3.3 Passo 3: energia potencial das cargas aplicadas................169 
4.3.3.1 Carga concentrada..................................................................169 
4.3.3.2 Carga distribuída ao longo do bordo do elemento............170 
4.3.3.3 Forças de volume..................................................................171 
4.3.4 Passo 4: somação dos termos de energia............................171 
4.3.5 Passo 5: aplicação do princípio de energia potencial mínima 
4.3.6 Exemplo 5..................................................................................173 
4.4 REUNIÃO DE ELEMENTOS......................................................178 
4.4.1 Exemplo 6...................................................................................181 
4.4.2 Exemplo com vínculos..............................................................184 
 
5 FÓRMULAS DE INTERPOLAÇÃO E INTEGRAÇÀO NUMÉRICA 
 
5.1 INTRODUÇÃO................................................................................189 
5.2 FÓRMULAS DE INTERPOLAÇÃO..............................................189 
5.2.1 Uma variável independente............................................................189 
5.2.2 Fórmula de interpolação de Lagrange....................................190 
5.2.3 Exemplo 1...................................................................................191 
5.2.4 Duas variáveis independentes..................................................193 
5.2.5 Fórmula de interpolação aplicada a elemento triangular com 
o uso de coordenadas globais..........................................................197 
5.2.6 Fórmula de interpolação aplicada a elemento triangular com 
o uso de coordenadas naturais.........................................................198 
5.2.7 Exemplo 2...................................................................................199 
5.3 INTEGRAÇÃO PELA QUADRATURA DE GAUSS...................200 
5.3.1 Com uma variável.....................................................................200 
5.3.2 Os fatores de ponderação para uma variável.........................202 
5.3.3 Fatores de ponderação para duas variáveis.............................204 
5.3.3.1 Exemplo 3................................................................................205 
5.3.4 Mudança na variável de integração e determinante jacobiano 
5.3.4.1 Exemplo 4................................................................................206 
 
 
6 O ELEMENTO TRIANGULAR ISOPARAMÉTRICO.........................212 
 
6.1 INTRODUÇÃO...............................................................................212 
6.2 DEFINIÇÃO...................................................................................212 
6.3 DESENVOLVIMENTO DA MATRIZ DE RIGIDEZ.....................212 
6.3.1 Passo 1: consideração da função de deslocamento.............212 
6.3.2 Derivação da deformação........................................................213 
6.3.3 Energia de deformação.............................................................217 
6.3.4 Expressão da rigidez................................................................217 
6.4 DETERMINAÇÃO DAS FORÇAS NODAIS EQUIVELENTES..217 
6.4.1 Exemplo 1..................................................................................220 
6.5 FÓRMULAS DE INTEGRAÇÃO PARA COORDENADAS 
NATURAIS DO TRIÂNGULO..............................................................224 
6.5.1 Exemplo 2...................................................................................224 
6.5.2 Exemplo 3....................................................................................229 
6.6 CARREGAMENTOS UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDOS MAIS 
COMUNS..............................................................................................231 
6.6.1 Carregamento uniformemente distribuído................................231 
6.6.2 Carregamento triangular............................................................232 
6.6.3 Carregamento trapezoidal.........................................................233 
6.7 RELAÇÃO BÁSICA DA FORÇA X DESLOCAMENTO..............234 
 
7 ELEMENTO QUADRILÁTERO ISOPARAMÉTRICO....................235 
 
7.1 INTRODUÇÃO...............................................................................2357.2 COORDENADAS NATURAIS DO ELEMENTO QUADRANGULAR 
7.3 FÓRMULAS DE INTERPOLAÇÃO DO ELEMENTO 
QUADRANGULAR................................................................................236 
7.3.1 Exemplo 1...................................................................................237 
7.4 DESENVOLVIMENTO DA MATRIZ DEFORMAÇÃO DO 
ELEMENTO..........................................................................................239 
7.5 EXEMPLO DE ELEMENTO QUADRANGULAR 1.........................250 
7.6 EXEMPLO DE ELEMENTO QUADRANGULAR 2.........................254 
7.7 A MATRIZ DE RIGIDEZ DO ELEMENTO.......................................256 
7.8 EXEMPLO DE ELEMENTO QUADRANGULAR 3........................258 
 
8 O ELEMENTO TRIANGULAR DE ORDEM SUPERIOR.................266 
 
8.1 ELEMENTO TRIANGULAR ISOPARAMÉTRICO DE SEIS NÓS..266 
8.2 DEFINIÇÃO DAS COMPONENTES DE DEFORMAÇÃO.............270 
8.3 FORÇAS NODAIS EQUIVALENTES DAS CARGAS 
UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDAS....................................................277 
8.4 EXEMPLO 1...................................................................................278 
8.5 FORÇAS NODAIS EQUIVALENTES PARA UMA DISTRUBUIÇÃO 
TRAPEZOIDAL QUALQUER................................................................280 
8.6 FORÇAS NODAIS EQUIVALENTES PARA UMA DISTRUBUIÇÃO 
QUADRÁTICA QUALQUER.................................................................281 
 
9 O ELEMENTO QUADRANGULAR DE ORDEM SUPERIOR..........283 
 
9.1 O ELEMENTO QUADRILÁTERO ISOPARAMÉTRICO DE OITO 
NÓS......................................................................................................283 
9.2 DESENVOLVIMENTO DA MATRIZ DE DEFORMAÇÃO DO 
ELEMENTO..........................................................................................286 
9.3 A MATRIZ DE RIGIDEZ..............................................................292 
9.4 FORÇAS NODAIS EQUIVALENTES.............................................294 
9.5 EXEMPLO 1...................................................................................294 
9.6 FORÇAS DE VOLUME..................................................................296 
 
10 ELEMENTOS EM TRÊS DIMENSÕES...........................297 
 
10.1 INTRODUÇÃO.............................................................................297 
10.2 EQUAÇÕES GERAIS DOS ELEMENTOS FINITOS...................297 
10.3 EQUAÇÕES DE ELASTICIDADE................................................298 
10.4 O TETRAEDRO DE QUATRO NÓS............................................300 
10.5 O SÓLIDO ISOPARAMÉTRICO DE OITO NÓS.........................307 
 
11 ELEMENTOS AXISIMÉTRICOS....................................................316 
 
11.1 GENERALIDADES......................................................................316 
11.2 EQUAÇÕES BÁSICAS DO ELEMENTO..................................319 
11.3 EQUAÇÕES DA ELASTICIDADE AXISIMÉTRICA....................320 
11.4 AS FUNÇÕES DE DESLOCAMENTO DO ELEMENTO..........321 
 
BIBLIOGRAFIA....................................................................................325 
 
 
 1 
CAPITULO I 
 
MÉTODO DA RIGIDEZ COM ORIENTAÇÃO PARA 
ELEMENTOS FINITOS 
 
 
1.1 INTRODUÇÃO 
 
O método dos elementos finitos teve a sua origem no começo da 
década de 40 com o objetivo de apresentar soluções no campo da análise 
estrutural. Com ele tem sido desenvolvida uma ampla base matemática 
para soluções de problemas de elasticidade, transferência de calor e fluxo 
de fluidos. São aplicados os procedimentos comuns e implementações na 
análise estrutural com o desenvolvimento dos conceitos gerais do método 
dos elementos finitos. 
 
1.2 ELEMENTO CONSTITUÍDO DE DUAS FORÇAS – ESTUDO 
DO DESLOCAMENTO UNIAXIAL. 
 
Considere duas forças agindo em uma barra prismática de 
comprimento L, seção transversal A e módulo de elasticidade E. 
 
As extremidades desta barra são identificadas como nós e 
constituem pontos de junção para outros elementos, onde são observados 
os deslocamentos. 
 
Y 
 X1 L 
 
 
 X 
 X2 
 
 
Y u1 u2 
 
 
 F1 1 2 F2 X 
Figura 1.1 - Elemento de barra de comprimento L 
 
 2 
 
AE
LFuu 12 =δ=− 
(1.1) 
 
k = rigidez do membro 
 
k = 
δ
F 
(1.2) 
k = 
L
EA 
(1.3) 
As forças são expressas em cada nó do membro em termos de 
deslocamentos u1, u2 e a rigidez do membro k.. 
 
F1 = k ( u1 - u2 ) 
(1.4) 
F2 = k ( u2 - u1) 
(1.5) 
Postas na forma matricial, tem-se: 
 












−
−
=






2
1
2
1
u
u
11
11
k
F
F
 
(1.6) 
{ } [ ]{ }qkQ = 
(1.7) 
{ } [ ]T21 FFQ = = vetor de carga em cada elemento nodal 
 
[ ]k = matriz de rigidez de um elemento da barra. 
 
{ } [ ]T21 uuq = = vetor dos deslocamentos dos nós do elemento. 
 
 
1.3 BARRA CONSTITUÍDA DE DOIS ELEMENTOS 
 
 
Considere a barra constituída da reunião de dois elementos 
conforme a Figura 1.2 
 
 3 
 
 Y 
 
 e = 1 e = 2 
 
 1 2 3 X 
 
Figura 1.2 - Reunião de dois elementos. 
 
São designados: 
 
1,2,3 = numeração dos nós globais dos elementos 
 
1,2 = numeração dos elementos, ou seja, e = 1 ; e = 2. 
 
 1 2 
 
 
 1 2 3 c. globais 
 
 1 2 
 
 1 2 1 2 c. locais 
 
Figura 1.3 - Elementos em coordenadas globais e locais. 
 
Assim, pode-se idealizar o mapa dos nós globais de acordo com a 
Figura 1.3. 
 
Tabela 1.1 
NÚMERO DE 
ELEMENTO 
NÚMERO DE NÓ 
GLOBAL 
NÚMERO DE 
NÓ GLOBAL 
 Nó local 1 Nó local 2 
1 1 2 
2 2 3 
 
 
Identificando apenas dois deslocamentos em cada elemento, observa-
se que um grau de liberdade de uma estrutura é um deslocamento 
independente de um nó. 
 
Neste caso, cada nó só pode se deslocar ao longo do eixo X, 
portanto, cada nó só possui apenas 1 grau de liberdade. 
 4 
 
1.4 REUNIÃO DE ELEMENTOS 
 
A equação força x deslocamento para 1 elemento apenas foi escrita 
como: 
 












−
−
=






2
1
2
1
u
u
11
11
k
F
F
 
(1.8) 
 
Esta mesma equação pode ser aplicada à barra constituída de dois 
elementos: 
 
Para o elemento 1: 
 
12
1
12
1
u
u
11
11
k
F
F












−
−
=





 
(1.9) 
Para o elemento 2: 
 
22
1
22
1
u
u
11
11
k
F
F












−
−
=





 
(1.10) 
O subscrito indica o elemento em particular. 
 
O próximo passo é ajustar os subscritos para os nós globais. 
 
Para o elemento 1 tem-se: 
 
12
1
1
121
11
u
u
11
11
k
F
F












−
−
=





 
(1.11) 
Para o elemento 2 tem-se: 
 
23
2
2
232
22
u
u
11
11
k
F
F












−
−
=






 
(1.12) 
 
Assim, Fij é a força que age em cada nó global i do elemento j. 
 5 
 
 
 1 23 
 
 
 
Figura 1.5 – Elementos reunidos. 
 
 
F11 e = 1 F21 F22 e = 2 F32 
 
 1 2 2 3 
 
 
Figura 1.6 – Elementos desmembrados. 
 
 R1 R2 R3 
 
 
 1 2 3 
 
 u1 u2 u3 
 
 
 2 
 R2 
 
 
 F21 F22 
 
Figura 1.7 - Interação com os deslocamentos. 
 
 
A força resultante que age em cada nó global i, chama-se Ri. 
 
O equilíbrio da região do nó 2 é expresso por: 
 
R2 = F21 + F22 
(1.13) 
Para os demais nós, tem-se: 
 
R1 = F11 
(1.14) 
 6 
R3 = F32 
(1.15) 
 
O objetivo é combinar as duas equações dos elementos para se 
obter uma única, que relacione as forças nodais Ri para os deslocamentos 
globais do conjunto. É preciso alargar as equações de modo a incluir 
todos os deslocamentos globais. 
 
 




















−
−
=










3
2
1
121
11
u
u
u
000
011
011
k
0
F
F
 
(1.16) 




















−
−=










3
2
1
2
32
22
110
110
0000
u
u
u
k
F
F 
(1.17) 
Somando-se as equações de cada elemento, tem-se: 
 




















−
−+




















−
−
=










+










3
2
1
2
3
2
1
1
32
2221
11
u
u
u
110
110
000
k
u
u
u
000
011
011
k
F
F
0
0
F
F
 
(1.18) 
 Isolando-se o vetor de deslocamento, tem-se, finalmente: 
 




















−
−+−
−
=










+=










3
2
1
22
2211
11
32
2221
11
3
2
1
u
u
u
kk0
kkkk
0kk
F
FF
F
R
R
R
 
(1.19) 
{ } [ ]{ }rKR = 
(1.20) 
 
 
{ }R = vetor dos carregamentos nodais do conjunto. 
{ }r = vetor dos deslocamentos nodais do conjunto. 
[ ]K = matriz de rigidez global do sistema 
 
 
 
 7 
1.5 EXEMPLO 1 
 
Considere dois elementos de barra possuindo a mesma seção 
transversal A, comprimento L e módulo de elasticidade E. 
 
 
 1 e = 1 2 e = 2 3 X 
 
 
 R2 = 10 R3 = - 15 kN 
 
 
Figura 1.8 - Dois elementos de barra. 
 
 
A equação de rigidez dos elementos se escreve por: 
 




















−
−+−
−
=










3
2
1
22
2211
11
3
2
1
u
u
u
kk0
kkkk
0kk
R
R
R
 
(1.21) 
Substituindo os valores: 
 




















−
−−
−
=










− 3
2
1
u
u
0
110
121
011
L
AE
15
10
R
 
 (1.22) 
 
 
Usando a equação matriz reduzida que envolve apenas forças nodais 
conhecidas e deslocamentos nodais desconhecidos, tem-se: 
 












−
−
=






− 3
2
u
u
11
12
L
EA
15
10
 
(1.23) 
{ } [ ]{ }rKR = 
(1.24) 
{ } [ ] { }RKr 1−= 
(1.25) 
 8 
 





−
−
=






−




=






20
5
EA
L
15
10
21
11
EA
L
u
u
3
2 
(1.26) 
EA
L5u2
−
= 
(1.27) 
EA
L20u3
−
= 
(1.28) 
Inserindo os valores na equação de R1, obtém-se: 
 
21 uL
EAR −= 
(1.29) 





 −
−=
EA
L5
L
EAR1 
 
R1 = 5 kN 
 
1.6 EXEMPLO 2 
 
Seja a barra constituída de dois elementos com variação de inércia. 
 
 
 e = 1 e = 2 
 
 2000 kN 
 
 12 16 (cm) 
 
 
 
Figura 1.9 – Elementos com variação de inércia. 
 
O elemento 1 possui E = 10 x 106 kN / cm2, de área de seção 
transversal A = 2 cm2 e comprimento L = 12 cm. 
 
O elemento 2 possui E = 30 x 106 kN / cm2, de área de seção 
transversal A = 1 cm2 e comprimento L = 16 cm. 
 
 9 
Determinar para o nó 2 o deslocamento correspondente e as reações 
nos bordos engastados. 
 
Determinação das rigidezes: 
 
cm/kN10x667,1
12
10x10x2
L
EAk 6
6
1 =





=




= 
(1.30) 
cm/kN10x875,1
16
10x30x1
L
EAk 6
6
2 =





=




= 
(1.31) 
Condições de contorno: 
 
u1 = 0 
u3 = 0 
 
Equação de rigidez dos elementos: 
 




















−
−+−
−
=










3
2
1
22
2211
11
3
2
1
u
u
u
kk0
kkkk
0kk
R
R
R
 
(1.32) 




















−
−−
−
=










−
0
u
0
875,1875,10
875,1542,3667,1
0667,1667,1
10
R
2000
R
2
6
3
1
 
 
Retirando-se as linhas 1 e 3 e as colunas 1 e 3, tem-se 
 
-2000 = 106 x 3,542 u2 
 
u2 = -564 x 10-6 cm 
 
Como R1 = 106 x (-1,667) u2 
 
R1 = 942 kN 
 
Como R3 = 106 x (-1,875) u2 
 
R3 = 1058 kN 
 
 10 
1.7 BARRA CONSTITUÍDA DE TRÊS ELEMENTOS 
 
O objetivo é a determinação da matriz de rigidez para a barra 
dotada de três elementos, com quatro pontos nodais, conforme a Figura 
1.10. 
 
 1 2 3 4 
R1 R4 
 
 e = 1 e = 2 e = 3 
 
Figura 1.10 - Barra constituída de três elementos. 
 
Mapa do número dos nós 
 
Tabela 1.2 
Número do 
elemento 
NÚMERO DE NÓS 
GLOBAIS 
NÚMERO DE 
NÓS GLOBAIS 
 Nó local 1 (esq) Nó local 2 (dir) 
1 1 2 
2 2 3 
3 3 4 
 
 
` F11 e = 1 F21 
 
 
 F22 e = 2 F32 
 
 
 
 F33 e = 3 F43 
 
 
 
Figura 1.11 – Elementos desmembrados. 
 
Para o primeiro elemento: 
 












−
−
=






2
1
11
11
21
11
u
u
kk
kk
F
F
 
(1.33) 
 11 
Para o segundo elemento: 
 












−
−
=






3
2
22
22
32
22
u
u
kk
kk
F
F
 
(1.34) 
Para o terceiro elemento: 
 












−
−
=






4
3
33
33
43
33
u
u
kk
kk
F
F
 
(1.35) 
Em Fi,j os índices denotam: 
 
i = número dos nós globais 
j = número do elemento 
 
Equação matriz do conjunto: 
 


























=














+
+
=














4
3
2
1
44434241
34333231
24232221
14131211
43
3332
2221
11
4
3
2
1
u
u
u
u
kkkk
kkkk
kkkk
kkkk
F
FF
FF
F
R
R
R
R
 
(1.36) 
Observando-se o equilíbrio dos nós: 
 
F11 e = 1 F21 
 
 1 k1 2 
 u1 u2 
 
 F22 e = 2 F32 
 
 2 k2 3 
 u2 u3 
 
 F33 e = 3 F43 
 
 3 k3 4u3 u4 
 
Figura 1.12 – Barra desmembrada com equilíbrio dos nós. 
 12 
R1 = F11 
(1.37) 
R2 = F21 + F22 
(1.38) 
R3 = F32 + F33 
(1.39) 
R4 = F43 
(1.40) 
 
Para o elemento 1: 
 






−
−
=
11
11
1 kk
kk
k 
(1.41) 
Para o elemento 2: 
 






−
−
=
22
22
2 kk
kk
k 
(1.42) 
Para o elemento 3: 
 






−
−
=
33
33
3 kk
kk
k 
(1.43) 
 
A matriz de rigidez global fica expressa da seguinte forma: 
 
[ ]












−
−+−
−+−
−
=
33
3322
2211
11
kk00
kkkk0
0kkkk
00kk
K 
(1.44) 
 
 
1.8 DESLOCAMENTO PLANO GERAL, COORDENADAS 
GLOBAIS E LOCAIS 
 
Considere um elemento de barra posicionado arbitrariamente no 
plano XY, ao invés de ser apenas confinada ao longo do eixo X.. 
 
 13 
São estabelecidos dois sistemas de coordenadas: 
 
a) O sistema de coordenadas globais de eixos XY, que servem para 
representar a estrutura inteira. 
b) O sistema de coordenadas locais de eixos xy, que servem para 
representar as propriedades dos elementos. 
 
As componentes das forças nodais ficam expressas da seguinte 
forma: 
 
F1X = componente da força F1 no nó 1 na direção da coordenada 
global X. 
F1Y = componente da força F1 no nó 1 na direção da coordenada 
global Y. 
F1x = componente da força F1 no nó 1 na direção da coordenada 
local x. 
F1y = componente da força F1 no nó 1 na direção da coordenada 
local y. 
 
As componentes dos deslocamentos nodais são representadas por: 
 
uiX = deslocamento do nó i na direção da coordenada global X. 
 
uiY = deslocamento do nó i na direção da coordenada global Y. 
 
uix = deslocamento do nó i na direção da coordenada local x. 
 
uiy = deslocamento do nó i na direção da coordenada local y. 
 
As forças e deslocamentos são positivos quando desenvolvidos na 
direção positiva dos eixos coordenados. 
 
 Y x 
 F2 
 y 
 
 θ 
 F1 
 
 X 
 
Figura 1.13 - Coordenadas globais e locais. 
 
 14 
Equação de rigidez da barra expressa em sistema global de 
coordenadas: 
 












−
−
=






X2
X1
X2
X1
u
u
11
11
k
F
F
 
(1.45) 
 
Equação de rigidez da barra expressa em sistema local de 
coordenadas: 
 












−
−
=






x2
x1
x2
x1
u
u
11
11
k
F
F
 
(1.46) 
 
Expandindo-se a equação de rigidez para os quatro graus de 
liberdade em termos de coordenadas locais, tem-se: 
 


























−
−
=














y2
x2
y1
x1
y2
x2
y1
x1
u
u
u
u
0000
0101
0000
0101
k
F
F
F
F
 
(1.47) 
{ } [ ] { }xyxyxy qkQ = 
(1.48) 
 
Observa-se, então, que a matriz de rigidez é sempre quadrada, 
simétrica para sistemas lineares, sendo os elementos da diagonal principal 
sempre positivos ou zero. 
 
1.9 TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS 
 
Um vetor qualquer pode ser sempre expresso em função de 
qualquer sistema de coordenadas, seja local ou global. 
 
 
[ ] [ ]






=






=
y
x
Y
X
V
V
ĵî
V
V
ĴÎV 
(1.49) 
 15 
[ ] [ ] [ ][ ]AĴÎ
cossen
sencos
ĴÎĵî =





θθ
θ−θ
= 
(1.50) 
 
 y Y 
 
 θ 
 x 
 
 j J i 
 θ 
 X 
 I 
 
Figura 1.14 – Mudança de coordenadas. 
 
 
O ângulo θ é sempre positivo no sentido horário. 
 
Sendo: 
 
[ ] [ ]






=






=
y
x
Y
X
V
V
ĵî
V
V
ĴÎV 
(1.51) 
então: 
 
[ ][ ]






=
y
x
V
V
AĴÎV 
(1.52) 
Assim: 
 
[ ]






=






y
x
Y
X
V
V
A
V
V
 
(1.53) 
 
 
Os elementos da matriz quadrada [A] são os cossenos diretores dos 
ângulos formados entre os vetores unitários dos dois sistemas de 
coordenadas. 
 
 16 
Se: 
 
[ ] [ ][ ]AĴÎĵî = 
(1.54) 
então: 
 
[ ] [ ][ ]TAĵîĴÎ = 
(1.55) 
Observa-se que: 
 
[AT] = [A-1] 
(1.56) 
 
Considere, agora, a transformação do vetor força do sistema de 
coordenadas locais xy para o sistema de coordenadas globais XY. 
 
 Y 
 
 y F2y 
 x 
 
 F1y 2 F2x 
 
 
 
 F1x 1 
 
 X 
 
Figura 1.15 - Transformação das coordenadas. 
 
Para as forças nodais 1: 
 
[ ]






=






y1
x1
Y1
X1
F
F
A
F
F
 
(1.57) 
Para as forças nodais 2: 
 
[ ]






=






y2
x2
Y2
X2
F
F
A
F
F
 
(1.58) 
 17 
Reunindo todas elas: 
 
[ ]
[ ]




















=














y2
x2
y1
x1
Y2
X2
Y1
X1
F
F
F
F
A0
0A
F
F
F
F
 
(1.59) 
A matriz dos cossenos diretores se define por [A2]: 
 












θθ
θ−θ
θθ
θ−θ
=
cossen
sencos
cossen
sencos
]A[ 2 
(1.60) 
xy2XY }Q{]A[}Q{ = 
(1.61) 
Uma vez que, em coordenadas locais: 
 
xyxyxy }q{]k[}Q{ = 
(1.62) 
Tem-se, em coordenadas globais: 
 
xyxy2XY }q{]k[]A[}Q{ = 
(1.63) 
Mas, 
 
xy2XY }q{]A[}q{ = 
(1.64) 
Ou seja: 
 














=














y2
x2
y1
x1
2
Y2
X2
Y1
X1
v
u
v
u
]A[
v
u
v
u
 
(1.65) 
Pode-se escrever também que: 
 
 18 
XY
1
2xy }q{]A[}q{
−= ou 
 
XY
T
2xy }q{]A[}q{ = 
(1.66) 
 
Então, o vetor dos esforços em termos de coordenadas globais pode 
ser escrito como: 
 
XY
T
2xy2XY }q{]A[}k{]A[}Q{ = 
(1.67a) 
Mas, de (1.7) tem-se: XYXYXY }q{]k[}Q{ = 
(1.67b) 
Confrontando as duas expressões anteriores (1.67a) e (1.67b), tem-se: 
 
XY
T
2xy2XYXY }q{]A[}k{]A[}q{]k[ = 
(1.68) 
 
Obtém-se finalmente a expressão da matriz de rigidez em 
coordenadas globais: 
 
T
2xy2XY ]A[}k{]A[}k{ = 
(1.69) 
 
1.10 EXEMPLO 3 
 
Seja o elemento de barra mostrado na Figura 1.16. Determine a 
matriz de rigidez no sistema global XY. 
 
 Y x 
 
 2 
 
 
 
 
 y 1 
 X 
 
 
Figura 1.16 – Elemento de barra rotacionado para a esquerda. 
 19 
 
Matriz de rigidez relativa ao sistema local xy: 
 












−
−
=
0000
0101
0000
0101
L
EA]k[ xy 
(1.70) 
Matriz [A2]: 
 












θθ
θ−θ
θθ
θ−θ
=
cossen00
sencos00
00cossen
00sencos
]A[ 2 
(1.71) 
θ = 90° 
 












−
−
=
0100
1000
0001
0010
]A[ 2 
(1.72) 
Matriz de rigidez relativa ao sistema global XY: 
 
T
2xy2XY ]A[}k{]A[}k{ = 
(1.73) 
xyXY }k{]I[}k{ = 
(1.74) 
 
1.11 EXEMPLO 4 
 
Desenvolver as matrizes de rigidez para cadaelemento da estrutura 
da Figura 1.17 relativo ao sistema global XY de coordenadas. Em 
seguida, reúna os elementos e determine a matriz de rigidez global para a 
estrutura integrada. Módulo de elasticidade E = 30 x 106 kN / cm2. 
 
Elemento 1: A = 1,5 cm2 e L = 30 cm 
Elemento 2: A = 4 cm2 e L = 50 cm 
 
 20 
 
 Y 
 3 F = 10 kN 
 
 L=50 cm 
 
 e = 2 
 30 cm 
 e = 1 
 
 θ 
 1 2 X 
 
 
 40 cm 
 
 
Figura 1.17 - Estrutura formada por duas barras. 
 
 
 
a) Coordenadas locais do elemento 1. 
 
 
 Y 
 
 1 y 
 θ = - π / 2 
 
 
 
 
 
 2 
 x 
 X 
 
Figura 1.18 - Elemento 1.e suas coordenadas locais. 
 
 
 
 
 
 21 
b) Matriz de rotação [A2] do elemento 1: 
 
 












θθ
θ−θ
θθ
θ−θ
=
cossen00
sencos00
00cossen
00sencos
]A[ 2 
(1.75) 
 
2
π
−=θ 
 
 












−
+
−
+
=
0100
1000
0001
0010
]A[ 2 
 
 
c) Matriz de rigidez relativa ao sistema global XY do elemento 1: 
 
 
T
2xy2XY ]A[}k{]A[}k{ = 
(1.76) 
 












−
−












−
−












−
+
−
+
=
0100
1000
0001
0010
0000
0101
0000
0101
k
0100
1000
0001
0010
]k[ 1XY 
 
 
1XY k
1010
0000
1010
0000
]k[












−
−
= 
 
 
 
 22 
d) Coordenadas locais do elemento 2: 
 
 Y 
 x 
 
 
 2 
 y 
 
 
 θ 
 1 
 
 X 
 
 
Figura 1.19 - Elemento 2 e suas coordenadas locais. 
 
e) Matriz de rotação [A2] do elemento 2: 
 












θθ
θ−θ
θθ
θ−θ
=
cossen00
sencos00
00cossen
00sencos
]A[ 2 
(1.77) 
θ = 36° 
 












−
−
=
8,06,000
6,08,000
008,06,0
006,08,0
]A[ 2 
 
f) Matriz de rigidez relativa ao sistema global XY do elemento 2: 
 
T
2xy2XY ]A[}k{]A[}k{ = 
(1.78) 
 
 23 












−
−












−
−












−
−
=
8,06,000
6,08,000
008,06,0
006,08,0
0000
0101
0000
0101
k
8,06,000
6,08,000
008,06,0
006,08,0
]k[ 2XY
 
 
2XY k
36,048,036,048,0
48,064,048,064,0
36,048,036,048,0
48,064,048,064,0
]k[












−−
−−
−−
−−
= 
 
 
g) Endereços locais do elemento 1: 
 
 u1 (1) 
 
 1 v1 (2) 
 
 
 e = 1 
 
 
 2 v2 (4) 
 
 
 u2 (3) 
 
 
 
Figura 1.20 - Elemento 1 com seus endereços locais. 
 
 
 
Tabela 1.3 
Número do nó local 1 1 2 2 
Deslocamento local u1 v1 u2 v2 
Número do deslocamento local 1 2 3 4 
 
 
 
 24 
 
 
h) Endereços locais do elemento 2: 
 
 (4) 
 v2 
 (2) 
 u2 (3) 
 v1 
 e = 2 2 
 
 
(1) u1 
 1 
 
 
Figura 1.21 - Elemento 2 com seus endereços locais. 
 
 
Tabela 1.4 
Número do nó local 1 1 2 2 
Deslocamento local u1 v1 u2 v2 
Número do deslocamento local 1 2 3 4 
 
i) Endereços globais para a estrutura integrada: 
 
 v3 (6) 
 
 u3 (5) 
 
 3 
 
 
 (1) 1 
 2 
 u1 v2 (4) 
 
 v1 (2) u2 (3) 
 
 
Figura 1.22 - Estrutura integrada e seus endereços globais. 
 
 
 25 
Tabela 1.5 
Número do nó global 1 1 2 2 3 3 
Deslocamento global u1 v1 u2 v2 u3 v3 
Número do deslocamento global 1 2 3 4 5 6 
 
j) Endereços locais e globais para a matriz do elemento 1: 
 
Tabela 1.6 
NDG 5 6 3 4 
 NDL 1 2 3 4 
 
5 1 0 0 0 0 
6 2 0 1 0 -1 
3 3 0 0 0 0 
4 4 0 -1 0 1 
 
NDL = Número do deslocamento local 
NDG = Número do deslocamento global 
 
k) Endereços locais e globais para a matriz do elemento 2 
 
Tabela 1.7 
NDG 1 2 5 6 
 NDL 1 2 3 4 
 
1 1 0,64 0,48 -0,64 -0,48 
2 2 0,48 0,36 -0,48 -0,36 
5 3 -0,64 -0,48 0,64 0,48 
6 4 -0,48 -0,36 0,48 0,36 
 
l) Matriz de rigidez global da estrutura: 
 
[ ]


















++−−−
++−−
−
−−
−−
=
122122
2222
11
2222
2222
kk36,00k48,0k0k36,0k48,0
0k48,00k64,000k48,0k64,0
k0k000
000000
k36,0k48,000k36,0k48,0
k48,0k64,000k48,0k64,0
K 
 
 26 
cm/kN10x5,1
30
10x30x5,1
L
AEk 6
6
1
11
1 === 
 
cm/kN10x4,2
50
10x30x4
L
AEk 6
6
2
22
2 === 
 
[ ] cm/kN10x
364,2152,15,10864,0152,1
152,1536,100152,1536,1
5,105,1000
000000
864,0152,100864,0152,1
152,1536,100152,1536,1
K 6


















−−−
−−
−
−−
−−
= 
 
 
 
 
 
m) Vetor de carregamento externo 
 
 
 
 F = 10 kN 
 
 
 
 
 
R1X R2X 
 
 
 
 R1Y R2Y 
 
 
 
Figura 1.23 - Cargas externas em kN. 
 
 27 
{ }


















=


















=
0
10
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
Y2
X2
Y1
X1
Y3
X3
Y2
X2
Y1
X1
 
(1.79) 
n) Vetor de deslocamentos: 
 
{ }


















=


















=
3
3
3
3
2
2
1
1
v
u
0
0
0
0
v
u
v
u
v
u
r 
(1.80) 
o) Equação da rigidez: 
 
{R} = [K] {r} 
(1.81) 
 




































−−−
−−
−
−−
−−
=


















Y3
X3
6
Y2
X2
Y1
X1
v
u
0
0
0
0
x10x
364,2152,15,10864,0152,1
152,1536,100152,1536,1
5,105,1000
000000
864,0152,100864,0152,1
152,1536,100152,1536,1
0
10
R
R
R
R
 
 
Usando apenas os termos que envolvem u3X e v3Y 
 












=






Y3
X36
v
u
10x
364,2152,1
152,1536,1
0
10
 
 
u3X = 0,0103 cm 
 
v3Y = - 0,050 cm 
 28 
 
Para o restantedos deslocamentos, tem-se: 
 












−
−
=


















−












−
−−
−−
=














5,7
0
5,7
10
050,0
0103,0
0
0
0
0
10
5,105,1000
000000
864,0152,100864,0152,1
152,1536,100152,1536,1
R
R
R
R
6
Y2
X2
Y1
X1
 
 
 
 F = 10 kN 
 
 
 
 
 
R1X = -10 R2X = 0 
 
 
 
 R1Y = -7,5 R2Y = 7,5 
 
 
Figura 1.24 - Esforços finais em kN. 
 
 
 
1.12 ELEMENTO DE BARRA COM ROTAÇÃO 
 
Seja um elemento de barra, conforme a Figura 1.26, sujeita a 
rotações e cargas transversais ao eixo longitudinal. Não ocorre a presença 
de cargas axiais. 
 
As forças Fi e os momentos fletores agem apenas nas extremidades 
do elemento e o sistema de coordenadas locais permanece paralelo ao de 
coordenadas globais. A origem do sistema é sempre o nó local 1. 
 
 
 
 29 
 
 y 
 
 
 v1 v2 
 M1 , θ1 M2 , θ2 
 
 
 F1 L F2 
 
 
Figura 1.25 - Coordenadas do elemento de barra. 
 
 
O elemento de barra possui rigidez à flexão uniforme expresso por: 
 
 
L
JEk = 
(1.82) 
 
 
A relação carga x rigidez x deslocamento para este elemento é a 
mesma para cargas axiais. 
 
 
 
{Q} = [k]{q} 
 
 
 














θ
θ












=














2
2
1
1
44434241
34333231
24232221
14131211
2
2
1
1
v
v
kkkk
kkkk
kkkk
kkkk
M
F
M
F
 
(1.83) 
 
 
 
O problema, agora, consiste na determinação dos valores de ki,j do 
elemento local da matriz de rigidez. 
 30 
 
1.12.1 Deslocamento linear v1 = 1 
 
 y 
 
 M1 
 
 
 F1 
 
 v1 M2 
 
 x 
 
 
 F2 
 
 
Figura 1.26 – Aplicação de v1. 
 
 
























=














0
0
0
1
kkkk
kkkk
kkkk
kkkk
M
F
M
F
44434241
34333231
24232221
14131211
2
2
1
1
 
(1.84) 
 
 
2412
3312
2211
3111
L
JE6kM
L
JE12kF
L
JE6kM
L
JE12kF
−
==
−
==
−
==
==
 
(1.85) 
 
 
 
 31 
 
1.12.2 Deslocamento angular θ1 = 1 
 
 
 y 
 
 M1 M2 
 
 x 
 
 θ1 
 
 
 F2 
 F1 
 
 
 
Figura 1.27 - Aplicação de θ1. 
 
 
 
























=














0
0
1
0
kkkk
kkkk
kkkk
kkkk
M
F
M
F
44434241
34333231
24232221
14131211
2
2
1
1
 
(1.86) 
 
L
JE2kM
L
JE6kF
L
JE4kM
L
JE6kF
422
2322
221
2121
==
==
==
−
==
 
(1.87) 
 
 
 
 32 
1.12.3 Deslocamento linear v2 = 1 
 
 
 y 
 
 M2 
 
 
 F2 v2 
 
 F1 
 
 
 x 
 M1 
 
Figura 1.28 - Aplicação de v2. 
 
 
 
























=














0
1
0
0
kkkk
kkkk
kkkk
kkkk
M
F
M
F
44434241
34333231
24232221
14131211
2
2
1
1
 
(1.88) 
 
2432
3332
2231
3131
L
JE6kM
L
JE12kF
L
JE6kM
L
JE12kF
==
==
==
−
==
 
(1.89) 
 
 
 
 
 
 33 
1.12.4 Deslocamento angular θ2 = 1 
 
 y 
 
 F1 M2 
 
 
 θ2=1 
 x 
 
 M1 
 F2 
 
 
Figura 1.29 - Aplicação de θ2. 
 
























=














1
0
0
0
kkkk
kkkk
kkkk
kkkk
M
F
M
F
44434241
34333231
24232221
14131211
2
2
1
1
 
(1.90) 
 
L
JE4kM
L
JE6kF
L
JE2kM
L
JE6kF
442
2342
241
2141
==
==
==
−
==
 
(1.91) 
 
A equação resultante se escreve por: 
 














θ
θ












−
−
−
−−−
=














2
2
1
1
22
22
3
2
2
1
1
v
v
L4L6L2L6
L612L612
L2L6L4L6
L612L612
L
JE
M
F
M
F
 
(1.92) 
 34 
 
1.13 ELEMENTO DE BARRA COM ROTAÇÃO CARREGADA 
AXIALMENTE 
 
O elemento completo de barra é aquele constituído de cargas 
axiais, esforços cortantes e momentos fletores. O desenvolvimento deste 
elemento é muito simples porque para pequenas deflexões as relações da 
teoria força x deslocamento são lineares e o princípio da superposição se 
aplica. 
 
O sistema de coordenadas locais é mostrado na Figura 1.30 como 
um ângulo arbitrário em relação aos eixos globais, pois neste elemento 
cada extremidade que constitui um nó pode se deslocar em duas direções 
coordenadas. Dessa forma, o elemento fica constituído com seis graus de 
liberdade. 
 
 y 
 M2 
 
u1x F1x θ1 θ2 F2x u2x x 
 
 
 M1 
 F1y F2y 
 
 
 
 v1y v2y 
 
 Figura 1.30 - Elemento com deslocamentos axiais, transversais e 
rotações. 
 


















θ
θ
























−
−
−
−
−−−
−
=


















2
y2
x2
1
y1
x1
22
22
2
y2
x2
1
y1
x1
v
u
v
u
A
J4
AL
J60
A
J2
AL
J60
AL
J6
AL
J120
AL
J6
AL
J120
001001
A
J2
AL
J60
A
J4
AL
J60
AL
J6
AL
J120
AL
J6
AL
J120
001001
L
EA
M
F
F
M
F
F
 
(1.93) 
 35 
CAPÍTULO 2 
 
 
CONCEITOS INICIAIS DO MÉTODO DOS ELEMENTOS 
FINITOS 
 
 
2.1 INTRODUÇÃO 
 
São apresentados neste capítulo os sistemas de coordenadas globais, 
locais e naturais, bem como ampla discussão sobre trabalho, energia 
potencial, energia de deformação e aplicação da energia potencial mínima 
aos problemas de elasticidade. 
 
2.2 SISTEMAS DE COORDENADAS 
 
Existem três diferentes sistemas de coordenadas usadas na análise 
do método dos elementos finitos: o sistema de coordenadas globais, locais 
e naturais. 
O global toma a estrutura completa, em um meio contínuo completo. 
O local é conjugado ao elemento. É nele que se estabelecem as relações 
do elemento. Sua orientação relativa ao elemento não muda. Só muda a 
orientação relativa ao sistema global. O sistema de coordenadas naturais 
não apresentadimensões. Só possui orientações que identificam posições 
nos elementos, sem levar em conta o seu tamanho ou a sua forma. 
 
2.2.1 Sistema de coordenadas naturais para um elemento 
de barra 
 
Seja o elemento de barra conforme apresentado na Figura 2.1: 
 
 Y 
 XA 
 
 X1 S 
 A 
 X 
 1 L 2 
 
 X2 
 
 
Figura 2.1 - Elemento de barra. 
 36 
 
XA = X1 + S 
(2.1) 
XA = X1 + L
L
S 
 
Mas L = X2 - X1 
 
( )121A XXL
SXX −+= 
 
121A XL
SX
L
SXX −+= 
 
 
XA = 21 XL
SX
L
S1 +




 − 
(2.2) 
Assim, se definem duas coordenadas naturais, L1 e L2. 
 
L1 = 1 - 
L
S 
(2.3) 
L2 = 
L
S 
(2.4) 
Assim, a equação (2.1) se escreve: 
 
XA = L 1 X1 + L2 X2 
(2.5) 
 
Observa-se que L1 e L2 não são independentes e oscilam entre 
valores de 0 a 1. 
 
Se o ponto A está no nó 1, L1 = 1 e L2 = 0. Se estiver locado 
no nó 2, L1 = 0 e L2 = 1. 
 
Então, as coordenadas naturais do elemento podem ser reorientadas 
da forma indicada na Figura 2.2. 
 
 
 
 37 
 
 Y 
 
 
 L2 L1 
 
 X 
 
 1 2 
 
Figura 2.2 - Coordenadas naturais 
 
 
2.2.2 Exemplo 1 
 
Determine as coordenadas naturais do ponto P, locado no elemento 
de barra da Figura 2.3. 
 
 Y 
 XA = 5 
 
 X1=4 S 
 P 
 X 
 1 L 2 
 
 X2 = 8 
 
 
 
Figura 2.3 – Coordenadas naturais do ponto P. 
 
L1 = 1 - 
L
S 
(2.6) 
L2 = 
L
S 
(2.7) 
 
L1 = 1 - 
4
3
4
1
= e L2 = 
4
1 
 
 38 
 
2.2.3 Sistema de coordenadas naturais para um elemento 
triangular 
 
Seja o elemento triangular indicado na Figura 2.4. 
 
 
 Y 2 
 
 
 A1 
 A3 
 3 A2 
 
 1 
 
 
 X 
 
 
Figura 2.4 - Elemento triangular. 
 
 
A área total do triângulo é designada por A. As linhas que 
convergem para o ponto P formam três triângulos internos do elemento 
maior. Neste caso, as coordenadas naturais do ponto P podem ser 
definidas como a razão da área dos triângulos internos pela área total A 
do elemento. 
 
A
AL 11 = 
(2.8) 
A
AL 22 = 
(2.9) 
A
AL 33 = 
(2.10) 
 
As coordenadas naturais de um elemento triangular também podem 
ser definidas em função das alturas, de acordo com a Figura 2.5. 
 
 39 
 
 
 2 
 
 
 A1 
 A3 
 3 A2 
 
 t1 1 t2 T2 
 
 t3 
 
 T1 
 
 
 T3 
 
 
 
 
Figura 2.5 – Coordenadas naturais de elemento triangular. 
 
1
1
1
1
1
1 T
t
Tb
2
1
tb
2
1
A
AL === 
(2.11) 
2
2
2
2
2
2 T
t
Tb
2
1
tb
2
1
A
AL === 
(2.12) 
3
3
3
3
3
3 T
t
Tb
2
1
tb
2
1
A
AL === 
(2.13) 
2.2.4 Exemplo 2 
 
Determine o valor das coordenadas naturais dos vértices e dos 
pontos médios dos lados do elemento triangular da Figura 2.6. 
 40 
 
 Y 
 L1 3 
 L2 L3 
 
 6 5 
 4 
 1 2 
 X 
 
 
 
Figura 2.6 – Elemento triangular. 
 
Tabela 2.1 – Coordenadas naturais. 
PONTO L1 L2 L3 
 
1 1 0 0 
2 0 1 0 
3 0 0 1 
4 ½ ½ 0 
5 0 ½ ½ 
6 ½ 0 ½ 
 
 
2.3 TENSÕES E DEFORMAÇÕES 
 
As componentes de deslocamentos de um meio contínuo ao longo 
das coordenadas globais são expressas por u, v e w. As deformações 
longitudinais destas componentes nas direções X, Y e Z são: 
 
X
u
X ∂
∂
=ε 
(2.14) 
Y
v
Y ∂
∂
=ε 
(2.15) 
Z
w
Z ∂
∂
=ε 
(2.16) 
As deformações de cisalhamento são escritas como: 
 
 41 
X
v
Y
u
XY ∂
∂
+
∂
∂
=γ 
(2.17) 
Y
w
Z
v
YZ ∂
∂
+
∂
∂
=γ 
(2.18) 
Z
u
X
w
ZX ∂
∂
+
∂
∂
=γ 
(2.19) 
 
Escrevendo estas equações em forma matricial, tem-se: 
 
 








































∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=


















γ
γ
γ
ε
ε
ε
w
v
u
X
0
Z
YZ
0
0
XY
Z
00
0
Y
0
00
X
ZX
YZ
XY
Z
Y
X
 
(2.20) 
 
 
 
2.4 RELAÇÕES ENTRE TENSÕES E DEFORMAÇÕES 
 
 
As equações constitutivas que relacionam tensões com deformações 
são empregadas no âmbito da elasticidade linear para materiais 
homogêneos e isotrópicos. 
 
São apresentados nestas equações o módulo de elasticidade 
longitudinal E e o coeficiente de Poisson ν. 
 
 
 
 
 42 
Para tensão uniaxial agindo segundo a direção X: 
 
 Y 
 
 
 σX X 
 
 Z 
 
Figura 2.7 – Tensão no eixo X. 
 
 
XZ
XY
X
X E
εν−=ε
εν−=ε
σ
=ε
 
(2.21) 
 
Para tensão uniaxial agindo segundo a direção Y: 
 
 
 Y 
 σY 
 
 X 
 
 Z 
 
 
 Figura 2.8 – Tensão no eixo Y. 
 
 
YZ
YX
Y
Y E
εν−=ε
εν−=ε
σ
=ε
 
(2.22) 
 
 
 
 
 43 
 
Para tensão uniaxial agindo segundo a direção Z: 
 
 
 Y 
 
 
 X 
 
 σz 
 
Z 
 
Figura 2.9 – Tensão no eixo Z. 
 
ZY
ZX
Z
Z E
εν−=ε
εν−=ε
σ
=ε
 
(2.23) 
 
2.5 EQUAÇÃO CONSTITUTIVA PARA O ESTADO DE 
TENSÕES PLANAS 
 
As relações entre tensões e deformações são escritas por: 
 
( )YX2X 1
E
εν+ε
ν−
=σ 
(2.24) 
( )XY2Y 1
E
εν+ε
ν−
=σ 
(2.25) 
XYXY G γ=τ 
(2.26) 
 
As equações constitutivas escritas em forma matricial, se apresentam 
na forma: 
 
 
 44 










γ
ε
ε











ν−
ν
ν
ν−
=










τ
σ
σ
XY
Y
X
2
XY
Y
X
2
100
01
01
1
E 
(2.26) 
ou, resumidamente: 
 
[σ] = [C]σ {ε} 
(2.27) 
onde: 
 
[C]σ = matriz constitutiva para o estado plano de tensões. 
 
[σ] = vetor de tensões 
 
{ε} = vetor de deformações. 
 
2.6 EQUAÇÃO CONSTITUTIVA PARA O ESTADO DE 
DEFORMAÇÕES PLANAS 
 
Quando uma deformação sobre um determinado eixo é mantida 
nula, as distorções relativas a este eixo também o serão. 
 
Sendo, por exemplo, mantida nula a deformação relativa ao eixo Z, 
isto é, εZ = 0, as distorções γZX e γZY também são nulas. 
 
As equações de tensões em função de deformações tomam o 
aspecto: 
 
[ ]YXX )1()21()1(
E
εν+εν−
ν−ν+
=σ 
(2.28) 
[ ]YXY )1()21()1(
E
εν−+εν
ν−ν+
=σ 
(2.29) 
[ ] )(
)21()1(
E
YXYXZ σ+σν=ε+εν−ν+
ν
=σ 
(2.30) 
τXY = G γXY 
(2.31) 
 45 
 
Ao serem escritas no plano, em forma matricial, tem-se: 
 










γ
ε
ε












ν−
ν−ν
νν−
ν−ν+
=










τ
σ
σ
XY
Y
X
XY
Y
X
2
2100
01
01
)21()1(
E 
(2.32) 
ou, resumidamente: 
 
{σ} = [C]ε {ε} 
(2.33) 
onde: 
 
[C]ε = matriz constitutiva para o estado plano de deformações. 
 
[σ] = vetor de tensões 
 
{ε} = vetor de deformações. 
 
2.7 TRABALHO E FUNÇÃO DE ENERGIA POTENCIAL 
 
O trabalho W realizado por uma força F quando ela sofre uma 
mudança de posição R, é definida de acordo com a Figura 2.11 por: 
 
W = ∫
2R
1R
dRF 
(2.34) 
 Y 
 F 2 
 
 
 
 J R 
 1 
 X 
 I 
 
Figura 2.11 – Trabalho realizado por uma força F. 
 
 46 
Este valor escalar depende em geral do caminho de integração, bem 
como da posição inicial e da posição final. 
 
Expandindo F e dR para as componentes de coordenadas 
retangulares e observando a expressão de trabalho, tem-se: 
 
F = FX I + FY J 
(2.35) 
dR = dX I + dY J 
(2.36) 
dW = FX dX + FY dY 
(2.37) 
 
A diferencial dW não pode ser tratada como exata. A integração é 
obtida ao longo de um caminho particular e o resultado depende deste 
caminho e dos limites de integração. 
 
Há forças que criam uma integral que depende dos limites, mas não 
depende do caminho de integração. São as chamadas forças conservativas. 
Neste caso, o trabalho diferencial é uma diferencial exata e é avaliado 
como a diferença da função escalar da posição entre os limites de 
integração. 
 
Seja a função de trabalho ϕ de forças conservativas. O trabalho 
Wc feito por estas forças conservativas será a diferença escalar destas 
funções ϕ avaliadas em duas posições diferentes de coordenadas. 
 
Wc = ∫
2
1
c dRF
R
R
 = ϕ2 - ϕ1 
(2.38) 
 
Se ϕ é uma função de posição, ela é apenas uma diferencial exata. 
 
dY
Y
dX
X
d
∂
ϕ∂
+
∂
ϕ∂
=ϕ 
(2.39) 
dϕ = ∇ϕ dR 
(2.40) 
Y
J
X
I
∂
∂
+
∂
∂
=∇ 
(2.41) 
 
 47 
Sendo dϕ = dW 
(2.42) 
dYFdXFdY
Y
dX
X
d cYcX +=∂
ϕ∂
+
∂
ϕ∂
=ϕ 
(2.43) 
As componentes das forças conservativas são: 
 
cXFX
=
∂
ϕ∂ 
(2.44) 
cYFY
=
∂
ϕ∂ 
(2.45) 
e Fc = ∇ϕ 
(2.46) 
2.7.1 Exemplo 3 
 
Seja a função conservativa Fc = 10 I . Determine para o escalar a 
função trabalho ϕ. 
 
10
X
FcX =∂
ϕ∂
= 
 
0
Y
FcY =∂
ϕ∂
= 
 
dYFdXFd cYcX +=ϕ 
 
dYFdXFd cYcX ∫∫∫ +=ϕ 
 
ϕ = 10 X + C 
 
Se ϕ for tomado como zero, no ponto inicial Xi, tem-se: 
 
0 = 10 Xi + C 
 
C = - 10 Xi 
 
Logo: 
 48 
 
ϕ = 10X - 10Xi 
 
ϕ = 10 ( X - Xi ) 
 
X - Xi = u 
 
ϕ = 10 u 
 
u = deslocamento de Fc na direção X. 
 
2.7.2 Exemplo 4 
 
Determine a função trabalho ϕ da força conservativa Fc = 10 X I. 
 
X10
X
FcX =∂
ϕ∂
= 
 
0
Y
FcY =∂
ϕ∂
= 
 
dYFdXFd cYcX ∫∫∫ +=ϕ 
 
ϕ = 5 X2 + C 
 
A avaliação da integral do trabalho para cada força é igual à 
diferença da função escalar derivada ϕ nos pontos extremos no caminho 
da força. 
 
W = ∫
2R
1R
dRF 
 
W = ∫
2X
1X
cX dXF 
 
2.7.3 Exemplo 5 
 
Avalie a integral de trabalho se a força ϕ se move na direção X 
na posição X = 5 até a posição X = 20, sendo ϕ = 10X + C. 
 49 
 
ϕ = 10 X + C 
 
W = 15050200]10XdX10dXFdRF 205
20
5
2X
1X
cX
2R
1R
c =−==== ∫∫∫ 
 
W = 150 N.m 
 
2.7.4 Exemplo 6 
 
Para a mesma força, avalie a correspondente mudança na função 
trabalho ϕ. 
 
ϕ1 = 10 X1 + C 
 
ϕ2 = 10 X2 + C 
 
ϕ2 - ϕ1 = 10 X2 + C - [ 10 X1 + C ] = 10 X2 - 10 X1 = 
 
 = 10 (X2 - X1) = 10 (20 - 5) = 150 N.m 
 
2.7.5 Função de energia potencial 
 
Para definir o potencial da força conservativa para realizar trabalho, 
é estabelecida uma função escalar V chamada função energia potencial. 
Ela é sempre negativa na função de trabalho ϕ. 
 
É lembrado que o trabalho realizado por uma força conservativa 
mais a sua mudança no potencial para realizar este trabalho é sempre 
igual a zero. 
 
Assim, pode-se escrever: 
 
W + (V2 - V1) = 0 
(2.47) 
(ϕ2 - ϕ1) + (V2 - V1) = 0 
(2.48) 
Considerando-se mudança no diferencial, tem-se: 
 
dϕ + dV = 0 
(2.49) 
d (ϕ + V) = 0 
 50 
 
ϕ + V = C 
(2.50) 
 
Fazendo C = 0, tem-se a relação entre a função trabalho ϕ e a 
energia potencial V. 
 
ϕ = - V 
(2.51) 
 
A força conservativa pode ser expressa em função da energia 
potencial: 
 
Fc = ∇ ϕ = - ∇ V 
(2.52) 
 
A função de energia potencial V para existir, o trabalho da força 
deve ser um caminho independente, ou qualquer função escalar de posição 
B(X,Y). 
 
∇ x ∇ B(X,Y) = 0 
(2.53) 
∇ Fc = 0 
(2.54) 
 
que é a condição necessária, mas não suficiente para a existência 
de função de energia potencial. 
 
2.7.6 Exemplo 7 
 
Determine a função de energia potencial V da força constante 
representada por: 
 
F = 3 i + 7 j 
 
∇ x F = 0 
 
F = - ∇.V 
 
F = - 



∂
∂
+
∂
∂
Y
V
X
V 
 
 51 
 3
X
V
=
∂
∂− 
 
3
X
V
−=
∂
∂ 
 
7
Y
V
=
∂
∂− 
 
7
Y
V
−=
∂
∂ 
 
Integrando a primeira expressão 3
X
V
=
∂
∂− tem-se: 
 
V = - 3X + CY 
 
Substituindo na quarta 7
Y
V
−=
∂
∂ 
 
7
Y
CY −=
∂
∂ 
 
CY = - 7Y + C 
 
V = -3X - 7Y + C 
 
A função V da energia potencial define a capacidade da força 
realizar trabalho e é sempre expressa em termos das coordenadas globais 
X e Y. 
 
Anulando-se a energia potencial para coordenadas iniciais Xi e Yi, 
onde o meio contínuo ainda é indeformado, determina-se a constante C: 
 
- 3Xi - 7Yi + C = 0 
 
C = 3Xi + 7Yi 
 
Nova expressão da energia potencial: 
 
V = -3 ( X - Xi ) - 7 (Y - Yi ) 
 52 
 
Deslocamentos da força quando o meio contínuo começa a se deformar: 
 
u = X - Xi 
 
v = Y - Yi 
 
Expressão final da energia potencial em termos de seus 
deslocamentos. 
 
V = - 3u - 7v 
 
2.7.7 Expressão final da energia potencial 
 
A expressão final da energia potencial de qualquer força que possua 
uma intensidade independente do seu deslocamento se resume no produto 
negativodas componentes da força pelos componentes do deslocamentos. 
 
V = - FX u - FY v 
(2.55) 
 
2.8 ENERGIA DE DEFORMAÇÃO 
 
Considere uma barra tensionada de acordo com a Figura 2.12. 
 
 
 
 
 L 
 
 
 u 
 
 F 
 
 
 
Figura 2.12 – Barra tensionada. 
 
 
A força F é aplicada na extremidade e aumenta gradualmente à 
medida que a deformação u também aumenta. 
 
 53 
 
 F 
 
 Fm 
 
 
 um u 
 
Figura 2.13 – Gráfico de força x deformação. 
 
A deformação varia linearmente com a aplicação da força e o 
trabalho realizado por esta força é a área sob a curva. 
 
∫∫ ===
mu
0
mm
m
m uF2
1du
u
uFdRFW 
(2.56) 
 
Pelo princípio da conservação de energia, é estabelecido que a 
energia interna da barra aumenta numa quantidade igual ao trabalho 
realizado pela força F. 
 
A redução gradual da força para zero resulta num retorno elástico 
para um estado indeformável da barra. É portanto o trabalho uma força 
reversível neste processo. 
 
Esta energia retornável, que é armazenada num corpo elástico dotado 
de um volume deformado é chamada de energia de deformação. 
 
Para um estado uniaxial de tensões, a diferencial da energia de 
deformação se escreve por: 
 
Ωεσ= d
2
1dU XX 
(2.57) 
Para um estado biaxial, seria: 
 
( ) Ωεσ+εσ= d
2
1dU YYXX 
(2.58) 
 
 
 
 54 
Para um caso de cisalhamento puro, seria: 
 
Ωγτ= d
2
1dU XYXY 
(2.59) 
Para um estado tridimensional de tensões, seria: 
 
( ) Ωγτ+γτ+γτ+εσ+εσ+εσ= d
2
1dU ZXZXYZYZXYXYZZYYXX 
(2.60) 
 
Postas em forma matricial estas equações se escrevem como: 
 
{ } { } Ωσε= d
2
1dU T 
(2.61) 
onde: 
 
{ }


















γ
γ
γ
ε
ε
ε
=ε
ZX
YZ
XY
Z
Y
X
 
(2.62) 
{ }


















τ
τ
τ
σ
σ
σ
=σ
ZX
YZ
XY
Z
Y
X
 
(2.63) 
Sendo a expressão simbólica da energia de deformação escrita por: 
 
{ } { } Ωσε= ∫
Ω
d
2
1U T 
(2.64) 
 55 
e usando as equações constitutivas em termos de tensões: 
 
{ } [ ] { }ε=σ σC 
(2.65) 
a expressão da energia de deformação se escreve por: 
 
{ } [ ] { } Ωεε= σ
Ω
∫ dC21U T 
(2.66) 
Para o caso de tensão uniaxial: 
 
{ } Ωε= ∫
Ω
dE
2
1U 2X 
(2.67) 
Sendo dΩ = A dx, então: 
 
dX
2
AEU 2X∫
Ω
ε= 
(2.68) 
 
Para deformações planas, a energia de deformação se escreve por: 
 
{ } [ ] { } Ωεε= ε
Ω
∫ dC21U T 
(2.69) 
 
2.8.1 Exemplo 8 
 
A deflexão do eixo neutro de uma viga é expressa por: 
 
v = 22
e X
L
v 
 
Determine a energia de deformação da viga considerando as tensões 
planas uniaxiais. 
 
 
 56 
 
 Y 
 
 L 
 
 
 
 
 X ve 
 v 
 X 
 
 
Figura 2.14 – Deflexão de uma viga. 
 
2
2
dX
vdJEM = 
 





= 22
e
2
2
X
L
v
dX
dJEM 
 
2
e
L
vJE2M = 
 
Mas 
J
yM
X =σ 
 
w
M
X =σ 
 
y
Jw = 
 
Deformações correspondentes às tensões uniaxiais: 
 
JE
y
L
vJE2
JE
yM
E 2
eX
X ==
σ
=ε 
 
y
L
v2
2
e
X =ε 
 57 
 
y
L
v2
2
e
XY ν−=εν−=ε 
 
Energia de deformação para as tensões de flexão uniaxiais: 
 
{ } [ ] { } Ωεε= σ
Ω
∫ dC21U T 
 
Ω












ν−
ν
ν
ν−





= ∫
Ω
d
2
100
01
01
1
Ey
L
v2
2
1U 2
2
2
e 
 
Sendo ν = 0, toda equação constitutiva em termos de tensões se 
reduz a E. 
 
dΩEy
L
v4
2
1U 24
2
e
Ω








= ∫ 
 
Mas dΩ = dA.dX 
 
dXdAy
L
vE2U 2
L A
4
2
e∫∫= 
 
∫=
A
2
4
2
e dALy
L
vE2U 
 
∫=
A
2
3
2
e dAy
L
vE2U 
 
Mas ∫=
A
2 dAyJ 
 58 
 
J
L
vE2U 3
2
e= 
 
3
2
e
L
vJE2U = 
 
2.9 PRINCÍPIO DA ENERGIA POTENCIAL MÍNIMA 
 
A energia potencial total π do sistema é expressa pela soma da 
energia potencial V pela energia de deformação U. 
 
π = V + U 
(2.70) 
 
O princípio da energia potencial mínima estabelece que todas as 
configurações possíveis que um corpo elástico pode assumir, a única e 
verdadeira que corresponde à satisfação do equilíbrio estável é aquela que 
corresponde a um valor mínimo da energia potencial total. 
 
Seja o elemento de barra carregado uniaxialmente de acordo com a 
Figura 2.15, para a aplicação do princípio da energia potencial mínima. 
 
 
 
 
 
 X L 
 
 
 
 
 u 
 
 
 
 
 Fm 
 
Figura 2.15 – Elemento de barra carregado uniaxialmente. 
 
 
 59 
2.9.1 Primeiro passo: estabelecimento de uma função 
deslocamento 
 
Seja uma função linear considerada para os deslocamentos: 
 
u(X) = C0 + C1 X 
(2.71) 
Condição de contorno: 
 
X = 0 → u(X) = 0 e C0 = 0 
 
u(X) = C1 X 
(2.72) 
 
O valor correto da constante é o que determina a energia potencial 
mínima. 
 
2.9.2 Segundo passo: obtenção da expressão para a 
energia de deformação 
 
dX
du
X =ε 
 
( )XC
dX
d
1X =ε 
 
1X C=ε 
 
∫= L
2
X dXε2
AEU 
 
∫= L
2
1 dXC2
AEU 
 
[ ] L021 XC2
AEU = 
 
LC
2
AEU 21= 
 
 60 
2.9.3 terceiro passo: obtenção da expressão para a 
energia potencial 
 
V = -FX u - FY v 
 
Mas, em uma direção: 
 
V = - Fm u 
 
V = - Fm C1 L 
 
2.9.4 Quarto passo: determinação de energia potencial 
total 
 
π = U + V 
 
LCFLC
2
AE
1m
2
1 −=π 
 
Ao se plotar um gráfico, observa-se que a energia potencial total 
começa com um valor zero, decresce , alcança um mínimo e depois 
aumenta, tal como ilustrado na Figura 2.16. 
 
 π 
 
 
 
 
 
 C1 
 
 
 
 
 
Figura 2.16 – Gráfico da energia potencial em função da constante C1. 
 
 
O valor mínimo de π define o valor correto da constante C1, para 
o qual o equilíbrio do sistema se torna estável. 
 
 
 61 
2.9.5 Quinto passo: diferenciação da energia potencial 
total π em relação a C1 para se obter o mínimo 
 
0
dC
d
1
=
π 
 
LFLC
2
AE2
dC
d
m1
1
−=
π 
 
0LFLCAE
dC
d
m1
1
=−=
π 
 
L ( E A C1 - Fm ) = 0 
 
E A C1 - Fm = 0 
 
AE
FC m1 = 
 
2.9.6 Sexto passo: substituição do valor de C1 na 
função de deslocamento genérico 
 
u(X) = C1 X 
 
X
AE
F)X(u m= 
 
Esta é a solução correta para a tensão na barra. 
 
Nem sempre é possível se criar uma boa função de deslocamento 
quando se trata de uma estrutura complexa com condições de contorno 
também complexas. Para isto, é necessária de uma formulação variacional 
mais avançada. 
 
 62 
2.10 A FORMULAÇÃO VARIACIONAL 
 
O objetivo principal do problema no cálculo variacional é 
determinar a função u(X) que causa ao funcional π um valor estacionário, 
devendo a função u(X) também satisfazer às condições de contorno do 
problema. 
 
Seja uma integral definida que possui um integrando que envolve: 
 
- uma variável independente X 
- uma função u(X) 
- uma derivação de u(X)