Exercícios de Análise Combinatória e Probabilidades

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ATIVIDADE – AVALIATIVA 1/aula 1 
 
CURSO: Licenciatura em Matemática 
DISCIPLINA: Tópicos Avançados 
CARGA HORÁRIA: 80h 
Prof. M.e: Ricardo Bonfim Cruz 
 
NOME: PAULO BISPO DOS SANTOS RGM: 073.1403 
 
Análise combinatória e Teoria das probabilidades 
 
Exercícios 
1) Quantos números de 3 algarismos distintos podem ser formados usando-se os algarismos 
1, 2, 3, 4 e 5? 
RESP: 
5.4.3 = 60 
1 - No primeiro, você tem cinco opcões: 1, 2, 3, 4 e 5. 
2 - No segundo, você tem quatro opções, pois já usou um algarismo. 
3 - Agora tem apenas três números, pois usou já usou dois algarismos. 
2) Numa eleição de uma escola há três candidatos a presidente, cinco a vice-presidente, seis a 
secretário e sete a tesoureiro. Quantos podem ser os resultados da eleição? 
RESP: 
Existem 630 maneiras de obter os resultados. 
Vamos considerar que os traços a seguir representam os candidatos escolhidos na eleição de uma 
escola para presidente, vice-presidente, secretário e tesoureiro, respectivamente: _ _ _ _. 
Sendo assim, temos que: 
Para o primeiro traço, existem 3 candidatos; 
Para o segundo traço, existem 5 candidatos; 
Para o terceiro traço, existem 6 candidatos; 
Para o quarto traço, existem 7 candidatos. 
Agora, basta multiplicar as possibilidades acima. 
Portanto, pelo Princípio Multiplicativo, existem 3.5.6.7 = 630 maneiras de escolher os candidatos 
para presidente, vice-presidente, secretário e tesoureiro. 
 
3) Calcule: 
 
𝐴6,2 + 𝐴4,3− 𝐴5,2 
a) 
𝐴9,2+ 𝐴8,1 
𝐴5,2+ 𝐴6,1− 𝐴5,3 
b) 
𝐴10,2 − 𝐴7,2 
RESP: 
a) 
 
 A = 
 
 
 
 
b) 
A = n! / (n -p)! 
 
A5,2 + A6,1 - A5,3 / A10,2 - A7,3 
 
20 + 6 - 60 / 90 - 210 
 
-34 / -120 (-1) 
 
 A = 
 
 
 
 
4) Quantas palavras de duas letras distintas podem ser formadas com as vogais de nosso 
alfabeto? 
RESP: 
Sabemos que o nosso alfabeto possui 5 vogais : , 
Neste caso, estamos trabalhando com Arranjos na área de Análise combinatória da matemática, 
pois, a ordem dos elementos importam ( Já que ele forma outra palavra), ou seja: , 
então temos que : 
, ou seja, estamos pegando os 5 elementos de 2 em 2, teremos que : 
 
, podemos cancelar os termos fatoriais iguais, logo : 
 
 
 
 
Portanto podemos formar 20 palavras de duas letras distintas com as vogais de nosso 
alfabeto. 
 
5) Calcule o valor das expressões: 
 
a) 𝑃5 − 3. 𝑃3 b) 𝑃 − 2. 
𝑃8−𝑃7) 
4 ( 
𝑃
 
4 
RESP: 
a) P5 = 5.4.3.2.1 = 
120 3.P3 = 3.2.1 = 6.3 
=18 
120 - 18 = 102 
b) 
(4.3.2.1) – 
2(
 
 
) = 
= −2916 
 
6) Quantos são os anagramas das palavras: 
 
a) CAFÉ b) BRASIL 
RESP: 
 
Cafe 
A fórmula de um anagrama é: Pn= n! 
n= elementos 
n!= fatorial 
café tem 4 letras 
P4 = 4!=4 x 3 x 2 x 1 = 24 anagramas 
 
Brasil 
P = 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x2 x 1 = 720 anagramas 
 
7) Quantos números de 5 algarismos distintos podem ser formados usando-se os algarismos 
1, 2, 3, 5 e 8? 
RESP: 
Podem ser formados 120 números. 
Vamos considerar que os traços a seguir representam os cinco algarismos dos números que queremos 
formar: _ _ _ _ _. 
Como os algarismos só podem ser 1, 2, 3, 5 ou 8, então temos que: 
Para o primeiro traço, existem 5 possibilidades; 
Para o segundo traço, existem 4 possibilidades, pois não podemos escolher o algarismo do primeiro 
traço; 
Para o terceiro traço, existem 3 possibilidades; 
Para o quarto traço, existem 2 possibilidades; 
Para o quinto traço, existe 1 possibilidade. 
Portanto, pelo Princípio Multiplicativo, existem 5.4.3.2.1 = 120 números possíveis de serem 
formados com os algarismos 1, 2, 3, 5 e 8. 
 
8) Encontre quantas maneiras podem ser dispostas 4 damas e 4 cavalheiros, numa fila, de 
forma que não fiquem juntos dois cavalheiros e duas damas. 
RESP: 
 
A disposição será CDCDCDCD ou DCDCDCDC. 
Iniciando com Cavalheiros, têm-se 4 opções para o 1º Cavalheiro, 4 para a 1ª Dama, 3 para o 2º 
Cavalheiro, 3 para a 2ª Dama e assim sucessivamente. Então, será multiplicado por 2, já que, tanto se 
pode começar com uma dama como por um cavalheiro. 
 
(4x4x3x3x2x2x1x1)x2 = 
 Permutação de 4!.4!.2 = 24.24.2 = 1152.
 
9) Calcule 𝐶6,3 . 
𝐶4,1+𝐶5,4+𝐶11,1 
RESP: 
[ Cn , p = n! / p! ( n! - p! ) ] 
 
C6 , 3 = 6! / 3! ( 6! - 3! ) = C6 , 3 = 6! / 3! . 3! = [ C6 , 3 = 20 ] 
C4 , 1 = 4! / 1! ( 4! - 1! ) = C4 , 1 = 4! / 1! . 3! = [ C4 , 1 = 4 ] 
C5 , 4 = 5! / 4! ( 5! - 4! ) = C5 , 4 = 5! / 4! . 1! = [ C5 , 4 = 5 ] 
C11 , 1 = 11! / 1! ( 11! -1 ) = C11 , 1 = 11! / 1! . 10! = [ C11 , 1 = 11] 
C6 , 3 / C4 , 1 + C5 , 4 + C11 , 1 
20 / 4 + + 11 
20 / 20 = 1 
10) Resolva as equações: 
 
a) 𝐶𝑚,3 − 𝐶𝑚,2 = 0 b) 𝐶𝑛+3,𝑛+1 = 28 
RESP: 
a) 
C(n,s) = n!/(s)!(n-s)! 
 
Cm,3 - Cm,2 = 0 
m!/3!(m-3)! - m!/2!(m-2)! = 0 
m*(m-1)(m-2)(m-3)!/6(m-3)! - m(m-1)(m-2)!/2(m-2)! = 0 
m(m-1)(m-2)/6 - m(m-1)/2 = 0-----------põe m(m-1) em evidência 
(m)(m-1)*((m-2)/6 - 3/6) = 0-----manda m(m-1) pra baixo do zero e 
(m-2-3)/6 = 0 
m-5 = 0 
m = 5 
 
b) 
C n+3,n+1 = 28 , usando as propriedades de fatoriais. 
 
28 = (n+3)!/(n+1)!.[(n+3)-(n+1)]! 
28 = (n+3)!/(n+1)!.[n-n+3-1]! 
28 = (n+3)!/(n+1)!.2! 
28 = (n+3).(n+2).(n+1)!/(n+1)!.2.1 
28 = (n+3).(n+2)/2 
28.2 = n² + 2n + 3n + 6 
56 = n² + 5n + 6 
 
n² + 5n + 6 - 56 = 0 
n² + 5n - 50 = 0 ( equação do segundo grau ) 
Δ = 25 + 200 
Δ = 225 
n = -5 +-√225/2 (como se trata de fatoriais desconsideramos o - √ ) 
n = - 5 + √225/2 
n = - 5 + 15/2 
n = 10/2 
n = 5 
 
11) Calcule o valor de 𝑥 na equação 𝐴𝑥,3 − 6. 𝐶𝑥,2 = 0 
RESP: 
 
12) Quantas comissões com 6 membros podemos formar com 10 alunos? 
RESP: 
C(10,6)=10!/6!(10,6) =10.9.8.7.6!/6!4! =10.9.8.7/24 = 210 comissões 
13) De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salão, dispondo de 8 
jogadores? Sabendo que um time de futebol de salão é composto por 5 jogadores. 
RESP: 
Pelo jeito, temos aqui uma combinação de 8, 5 a 5: 
 
C = 6*7*8 / 3*2 = 7*8 = 56 maneiras. 
 
14) No lançamento de um dado, determine a probabilidade de se obter: 
 
a) um número divisível por 2 b) um número menos que 5 c) um número maior que 6 
RESP: 
a) 
n(C)=={2,4 e 6} 
n(C)=3 
 
 
b) 
 
(1,2,3,4) = 4/6 = 2/3 
c) 
sair número maior do que 6, Esse evento é impossível, não existe solução, 
 
 
15) Jogando-se dois dados, qual a probabilidade de que a soma dos pontos obtidos seja menor 
que 4? 
RESP: 
(1,1) (1,2) (2,1) 
Temos só essas possibilidades da soma se menor que 4. 
Nosso espaço amostral é de 36 , pois o dado tem 6 números, ou seja , como são dois dados 
temos que o número de possibilidades é de 6*6=36 possibilidades no nosso espaço amostral. 
P=n/t 
n=número de possibilidades favoráveis 
t=total de possibilidades 
P=3/36 
P = 1/12 
 
16) De um baralho de 52 cartas tira-se ao acaso uma das cartas. Determine a probabilidade de 
que uma das cartas seja: 
a) uma dama b) uma dama de paus c) uma carta de ouros 
RESP: 
a - 4/52 pois existem 4 damas no baralho, ou seja, 1/13 
 
b - 1/52 pois existe apenas uma dama de paus no baralho, ou seja, 1/52 
 
c - 13/52 pois existem 13 cartas de ouro, ou seja, 1/4 
 
17) Considere o lançamento de dois dados. Determine: 
 
a) a probabilidade de se obter um total de 7 
pontos. 
 
RESP: 
a) 
(1,6)(6,1)(2,5)(5,2)(3,4)(4,3) ...são 6 em 36 
P = 6/36 = 1/6 
 
b) 
P =1 -1/6 = 5/6 
 
b) A probabilidade de não se obter um total de 
7 pontos. 
 
 
18) Seja 𝐴 o evento: retirada de uma carta de paus de um baralho de 52 cartas. Calcule 𝑃(𝐴) e 
𝑃(𝐴 ). 
RESP: 
Um baralho é composto de 4 naipes: paus, ouros, copas e espadas, sendo que cada naipe é composto 
de 13 cartas. Sendo assim, o evento A = retirar uma carta de paus é composto de 13 elementos. 
Portanto, 
. 
Agora, a probabilidade P(Ā) é definido da seguinte maneira: 
 
ou seja, P(Ā) é a probabilidade de se retirar qualquer um dos outros três naipes. Mais precisamente: a 
soma das probabilidades P(A) com P(Ā)tem que ser igual a 1 (número de casos possíveis). 
Portanto, 
 = 1/4 
. = 3/4 
 
19) Uma urna contém 3 bolas brancas e 4 bolas pretas. Tiramos, sucessivamente, 2 bolas. 
Determine a probabilidade de: 
a) as bolas terem a mesma cor. b) as bolas terem cores diferentes. 
RESP: 
a) 
Como E₁ e E₂ são mutualmente exclusivos, a probabilidade de E será a soma das probabilidades 
de E₁ e E₂: p(E) = p(E₁) + p(E₂) 
 • E₁: a 1ª é branca e a 2ª também é branca (dado que a 1ª foi branca). 
 3 3 – 1 
 p(E₁) = —— · ———— 
 7 7 – 1 
 
 3 2 
 p(E₁) = —— · —— 
 7 6 
 (3 brancas entre 7, e depois 2 brancas entre as 6 que sobraram) 
 6 
 p(E₁) = ——— <——— probabilidade de duas brancas. 
 42 
 • E₂: a 1ª é preta e a 2ª é também é preta (dado que a 1ª foi preta). 
 4 4 – 1 
 p(E₂) = —— · ———— 
 7 7 – 1 
 
 4 3 
 p(E₂) = —— · —— 
 7 6 
 (4 pretas entre 7, e depois 3 pretas entre as 6 que sobraram) 
 12 
 p(E₂) = ——— <——— probabilidade de duas pretas. 
 42 
Portanto, a probabilidade de as duas bolas terem a mesma cor é 
p(E) = p(E₁) + p(E₂) 
 6 12 
 p(E) = ——— + ——— 
 42 42 
 18 
 p(E) = ——— simplificando, 
 42 
 3 
 p(E) = —— 
 7 
 
b) Aqui novamente, temos dois eventos mutualmente exclusivos, e 
 E = E₁ U E₂. 
Calculando as probabilidades: 
 
 4 3 
 p(E₁) = —— · ———— 
 7 7 – 1 
 
 4 3 
 p(E₁) = —— · —— 
 7 6 
 
 (4 pretas entre 7, e depois 3 brancas entre as 6 que restaram) 
 
 12 
 p(E₁) = ——— <——— probabilidade de a 1ª preta e a 2ª branca. 
 42 
 
 3 4 
 p(E₂) = —— · ———— 
 7 7 – 1 
 
 3 4 
 p(E₂) = —— · —— 
 7 6 
 
 (3 brancas entre 7, e depois 4 pretas entre as 6 que restaram) 
 
 12 
 p(E₂) = ——— <——— probabilidade de a 1ª branca e a 2ª preta. 
 42 
Portanto, a probabilidade de as duas bolas terem cores diferentes é 
 
 p(E) = p(E₁) + p(E₂) 
 
 12 12 
 p(E) = ——— + ——— 
 42 42 
 
 24 
 p(E) = ——— simplificando, 
 42 
 
 4 
 p(E) = —— 
 7
20) Uma urna contém 40 cartões numerados de 1 a 40. Se retirarmos ao acaso um cartão dessa 
urna, qual a probabilidade de o número escrito no cartão ser um múltiplo de 4 ou múltiplo de 
3? 
RESP: 
Possibilidades totais = 40. 
De 1 a 40: 
Múltiplos de 3 = 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39. 
Múltiplos de 4 = 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40. 
Lembrando que os múltiplos repetidos devem ser contados apenas 1 vez, temos 20 múltiplos de 3 ou 
4. São vinte possibilidades. 
Probabilidade = possibilidades pedidas/possibilidades totais. 
P = 20/40 
20 : 40 = 0,5 x 100 = 50% 
 
21) Jogando-se dois dados, qual a probabilidade de que a soma dos pontos obtidos seja 4 ou 5? 
RESP: 
 
A probabilidade é igual à razão entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis. 
Ao jogarmos dois dados, podemos obter 6.6 = 36 resultados possíveis. 
São eles: 
(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6) 
(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6) 
(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6) 
(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6) 
(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6) 
(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6). 
Logo, o número de casos possíveis é igual a 36. 
O caso favorável é obtermos uma soma igual a 4 ou igual a 5. 
A soma é igual a 4 nos casos: (1,3)(2,2)(3,1). 
A soma é igual a 5 nos casos: (1,4)(2,3)(3,2)(4,1). 
Logo, o número de casos favoráveis é igual a 3 + 4 = 7. 
Portanto, a probabilidade é igual a: P = 7/36. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
 
1) 60 
2) 630 
3a) 17 
40 
4) 20 
 
 
3b) 17 
60 
5a) 102 5b) −2916 
6a) 24 6b) 720 
7) 120 
8) 1152 
9) 1 
10a) {5} 10b) {5} 
11) {5} 
12) 210 
13) 56 
14a) {
1
} 14b) {
2
} 14c) 0 
2 3 
 
15) 
1 
12 
16a) 1 
13 
 
17a) 1 
6 
18) 𝑃(𝐴) = 
1
 
4 
 
19a) 3 
7 
20) 50% 
 
21) 7 
36 
16b) 1 
52 
 
17b) 5 
6 
𝑃(𝐴 ) = 
3
 
4 
 
19b) 4 
7 
16c) 1 
4