2. Cinemática. 2. 1. Movimento Uniforme e Movimento Uniformemente Variado (MU e MUV)

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Aula 01 – Cinemática – Movimento Uniforme e Movimento Uniformemente Variado
Conceito de mecânica
Mecânica é a área da física que estuda o movimento dos corpos. Ela se divide em duas outras áreas: a cinemática e a dinâmica. A cinemática estuda o movimento dos corpos, sem se preocupar com as causas desse movimento; e a dinâmica, além de estudar o movimento, também estuda as causas desse movimento. 
Fundamentos: repouso e movimento
Repouso: é quando a posição de um não se altera em relação ao outro
Movimento: é quando a posição de um corpo se altera em relação ao outro. Portanto um movimento circular se configura como um movimento, mesmo a distância entre os corpos não variando.
O movimento é um conceito relativo, depende do referencial adotado.
Trajetória
Se um piloto, num avião, larga uma bomba, um observador do solo verá a bomba fazer uma trajetória parabólica. O piloto, porém verá a bomba fazer uma trajetória retilínea (a bomba será vista abaixo do avião até chocar-se com o chão). A trajetória, portanto, também é um conceito relativo, pois depende do referencial adotado. 
Distância e deslocamento
Distância é uma grandeza escalar que nos informa o valor absoluto percorrido entre dois instantes. Deslocamento, por sua vez, é um vetor que une o ponto de partida e o ponto de chegada.
Exercício 01
(IFCE) Uma partícula se move de A para B segundo a trajetória da figura abaixo.
Sabendo-se que cada divisão da trajetória corresponde a 1 m, o deslocamento resultante da partícula foi de
a) 43 m b) 10 m c) 7 m d) 5 m e) 4 m
Resolução
O exercício não pede a distância, pede o deslocamento. Portanto trata-se do vetor Δx abaixo.
Velocidade escalar média
A velocidade escalar média de um corpo é a razão entre o deslocamento escalar (posição final menos o posição inicial) e o tempo gasto para percorrer esse espaço:
 Vm = 
Sendo:
S: a variação de espaço
: a variação de tempo
Nota: A unidade padrão de velocidade no Sistema Internacional de Unidade (SI) é o metro por segundo (m/s), mas é muito recorrente utilizar a nomenclatura quilômentro por hora (km/h). Para converter m/s para quilômetro por hora, multiplico por 3,6 e para fazer o processo inverso (km/h para m/s) divido por 3,6. Ex.: para converter 5 m/s em km/h, muitiplico 5 por 3,6, que será igual a 18 (no caso 18 km/h).
Aceleração escalar média
É a variação de velocidade no decorrer do tempo.
Sempre que há uma aceleração há uma força sendo aplicada ao corpo que acelera.
 αm = 
Movimento progressivo e retrógrado - Conceitos
O movimento é progressivo quando o corpo se movimenta a favor da orientação da trajetória (a favor do eixo dos espaços). Nesse caso, diz-se que sua velocidade é positiva (V > 0).
O movimento é retrógrado (ou regressivo) quando o corpo se movimenta contra a orientação da trajetória. Nesse caso, diz-se que sua velocidade é negativa (V < 0). 
Movimento acelerado e retardado - Conceitos
O movimento é acelerado, quando sua velocidade aumenta no decorrer do tempo (a > 0). E o movimento é retardado quando sua velocidade diminui no decorrer do tempo (a < 0). 
Movimento acelerado progressivo
Esse movimento é progressivo porque o corpo está a favor da orientação da tragetória. E é acelerado porque a velocidade aumenta no decorrer do trajeto. 
A variação da velocidade (velocidade final menos a inicial) é positiva. A aceleração também é positiva.
∆v = 60 - 30 = 30 (v > 0)
αm = > 0
Movimento acelerado retrógrado
Na matemática -60 é menor que -30, porém, na física (no estudo dos movimentos), o sinal é apenas um indicativo de que o corpo está indo contra a orientação da tragetória. Logo, - 60 km/h, é uma velocidade maior do que -30 km/h. 
Como a velocidade aumenta o movimento é acelerado. Como o movimento ocorre contra a orientação da tragetória, o movimento será regressivo.
A variação de velocidade (velocidade final menos a inicial) será:
∆v = (-60) - (-30) = -60 + 30 = - 30 
Perceba que a velocidade será negativa. A aceleração também será.
V < 0
αm = < 0
Movimento retardado progressivo
O movimento é a favor da orientação da tragetória e a velocidade diminui no decorrer do trageto. Logo é um movimento progressivo retardado.
A variação de velocidade será:
 ∆v = 30 - 60 = -30 
Perceba que a velocidade será positiva (a favor da orientação da tragetória). Porém a aceleração será negativa.
V > 0
αm = < 0
Movimento retardado retrógrado 
O movimento é retrógrado porque está indo contra a orientação da tragetória. E é retardado porque a velocidade diminui.
A variação de velocidade será:
∆v = (-30) - (-60) = -30 + 60 = 30
Perceba que a velocidade será negativa (contra a orientação da tragetória), mas a aceleração será positiva. 
V < 0
αm = > 0
Cinemática, MU e MUV
Quando estudamos o movimento dos corpos, trabalhamos com quatro variáveis: velocidade, espaço, tempo e aceleração. O movimento pode ser uniforme, quando a velocidade é constante; ou uniformemente variado, quando a velocidade varia. 
Movimento Uniforme (MU)
No movimento uniforme a velocidade é constante, ou seja, não há aceleração, logo trabalhamos com apenas três váriáveis: a velocidade, o espaço e o tempo. 
Em termos de fórmulas, trabalhamos com apenas uma, a Equação Horária das Abscissas. 
 s = s0 + v . t (sorvete)
Sendo:
S: espaço final
S0 = espaço inicial
V = velocidade do corpo
t = o tempo gasto no percurso 
Exercício 01
Dois carrinhos de brinquedo de tamanho desprezível, percorrem uma mesma pista retilínea. O carrinho A, que vai à frente, tem velocidade escalar 10 m/s, e o carrinho B, 12 m/s.
Em determinado instante dispara-se um cronômetro (t=0) e mede-se a distância entre eles: 22 m.
Determine o instante em que B alcançará A.
Resposta
- O movimento é uniforme, então a equação que descreve cada um dos movimentos será s = s0 + v . t. 
Equação do carrinho A: s = s0 + v . t sA = 22 + 10t
Equação do carrinho B: s = s0 + v . t sB = 0 + 12t
- As distâncias que cada carrinho percorrerá serão diferentes, mas o ponto final (S) em que os dois se encontrarão será o mesmo. Sendo assim SA = SB
22 + 10t = 0 + 12t
22 = 12t – 10t
22 = 2t
t = 11
B alcançará A no instante de 11 segundos. 
Exercício 02
(UFSCAR) Um trem carregado de combustível, de 120 m de comprimento, faz o percurso de Campinas até Marília, com velocidade constante de 50 km/h. Este trem gasta 15 s para atravessar completamente a ponte sobre o rio Tietê. O comprimento da ponte é:
a) 100,0 m b) 88,5 m. c) 80,0 m. d) 75,5 m. e) 70,0 m
Resolução
O espaço a ser percorrido será o comprimento do trem, 120 m, mais o comprimento do rio. 
s = s0 + v . t 
Δs = v . t
LP + 120 = 50 km/h . 15 
LP + 120 = 13,9 m/s . 15 
Lp = 88,3
Gráfico no Movimento Uniforme (V x t)
Note que a velocidade é constante, logo o gráfico representa um movimento uniforme. O espaço percorrido, num determinado intervalo de tempo é dado pela área sob o gráfico (que nesse caso é a área do quadrado verde da imagem). 
Gráfico do Movimento Uniforme (S x t)
O ponto que o gráfico corta o eixo do tempo, é o ponto em que o corpo ultrapassa a abscissa 0. Ocorre quando ele está indo contra a orientação da trajetória.
Velocidade relativa
Defini-se velocidade relativa de A em relação a B como sendo a diferença entre as velocidades escalares do móvel A e do móvel B.
VAB = VA - VB
Isso significa que tudo se passa como se o móvel B estivesse parado e o móvel A, em relação a ele, estivesse se movendo com velocidade escalar vAB.
Nota: lembre-se que um corpo pode ser deslocar a favor ou contra a orientação do eixo das abscissas. Então se dois copos se movimentam um em direção ao outro quando eu efetuar o cálculo VA - VB, devo considerar que um deles possui velocidade negativa (nessa situação o módulo da velocidade relativa será maior que o módulo de cada uma das velocidades individualmente).
Exercício 02
Calcule, em cada uma das figuras abaixo, a velocidade relativa de A em relação a B.
a) 
VAB = vA - vB
VAB = 12 – 3
VAB = 9 m/s
b)
VAB = vA - vB
VAB = 7 – (-2)
VAB = 9 m/s
Note que o fatode as partículas estarem indo uma de encontro com a outra faz com que o encontro ocorra num intervalo de tempo menor. Tudo acontece como se a bartícula B estivesse parada, enquanto a A se move com velocidade de 9 m/s.
Exercício 03
(Fuvest) João está parado em um posto de gasolina quando vê o carro de seu amigo passando por um ponto P, na estrada, a 60km/h. Pretendendo alcançá-lo, João parte com seu carro e passa pelo mesmo ponto P, depois de 4 minutos, já a 80 km/h. Considere que ambos dirigem com velocidades constantes. Medindo o tempo, a partir de sua passagem pelo ponto P, João deverá alcançar seu amigo, aproximadamente, em
a) 4 min b) 10 min c) 12 min d) 15 min e) 20 min
Resolução:
João está inicialmente a uma distância d de seu amigo. João está a 80 km/h e seu amigo a 60 km/h, ambos indo na mesma direção. Tudo funciona então, como se o amigo de João estivesse parado, e João estivesse a 80 – 60 = 20 km/h (esta é portanto a velocidade relativa de João em relação ao seu amigo).
Como o amigo de João está a 60 km/h, e percorre com essa velocidade durante 4 minutos, a distância d entre João e seu amigo quando João alcança o ponto P é:
Vm = 60 km/h = d = 4 km
Como a velocidade de João em relação ao seu amigo é de 80 – 60 = 20 km/h, então os 4 km serão percorridos no tempo de:
20 km/h = Δt = 12 minutos
Exercício
(UECE) Dois trens de comprimento 60 m e 90 m correm em trilhos paralelos e em sentidos opostos. O trem menor move-se com o dobro de velocidade do maior, para um referencial fixo na Terra. Uma pessoa no trem menor observa que o trem maior gasta 2 s para passar por sua janela. Determine a velocidade, em m/s do trem menor.
Resolução 
V = 
 3V = 3V = 45 V = 15
O trem menor possui velocidade 2V, 30 m/s
Exercício
Filas de trânsito são comuns nas grandes cidades, e duas de suas consequências são: o aumento no tempo da viagem e a irritação dos motoristas. Imagine que você está em uma pista dupla e enfrenta uma fila. Pensa em mudar para a fila da pista ao lado, pois percebe que, em determinado trecho, a velocidade da fila ao lado é 3 carros/min. enquanto que a velocidade da sua fila é 2 carros /min.
Considere o comprimento de cada automóvel igual a 3 m.
Assinale a alternativa correta que mostra o tempo, em min, necessário para que um automóvel da fila ao lado que está a 15m atrás do seu possa alcançá-lo.
Resolução
Se cada carro tem 3 metros, podemos calcular a velocidade de cada carro.
3 carros/min = 3 (3 m)/min = 9 m/min
2 carros/min = 2 (3 m)/min = 6 m/min
A velocidade relativa será, portanto, de 3 m/min.
O espaço a ser percorrido é 15 m, para que um carro alcance o outro.
3 = 15/t t = 5 min
Exercício 04
Num determinado instante (t = 0), dois corpos móveis partem um contra o outro. A distância inicial entre eles é de 50 m, e os seus movimentos são uniformes. As velocidades escalares dos corpos, em valor absoluto, são 2,5 m/s e 7,5 m/s.
a) Calcule o instante do encontro.
Para resolver poderia proceder da mesma forma que no exercício 1. Entretanto irei usar o conceito de velocidade relativa.
Um dos corpos está com velocidade positivo (a favor da orientação da trajetória) e o outro corpo está com velocidade negativa (contra a orientação da trajetória). A velocidade relativa será 2,5 – (- 7,5) = 2,5 + 7,5 = 10 m/s. 
Vm = 10 = = 5 segundos
b) Calcule a distância que cada um percorreu até o encontro. 
O primeiro percorreu 2,5 . 5 = 12,5 m
O segundo percorreu 7,5 . 5 = 37,5 m
Movimento Uniformemente Variado (MUV)
No movimento uniformemente variado ocorrerá mudança de velocidade, logo a variável aceleração estará envolvida. Trabalhamos com três fórmulas: a Equação Horária das Abscissas para o MUV, a Equação Horária das Ordenadas e a Equação de Torricelli. 
 s = s0 + v0t + . t2
 v = v0 + α . t
 v2 = v0² + 2α . Δs
Sendo:
S: espaço final
S0 = espaço inicial
V = velocidade do corpo
t = o tempo gasto no percurso 
α = aceleração
Gráfico do Movimento Uniformemente Variado (v x t)
Note que a velocidade varia no decorrer do tempo, então o gráfico acima se refere a um movimento uniformemente variado. 
Para calcular o espaço percorrido (∆S), nos três primeiros segundos do movimento, devo calcular a área sob o gráfico. Como se trata de um trapézio, a área será = 36. Logo, o espaço percorrido pelo corpo nos três primeiros segundos será 36 m. 
Se o gráfico fosse prolongado poderia cortar o eixo x que representa o tempo. A partir desse ponto a velocidade ficaria abaixo do eixo x, ou seja, ela ficaria negativa. Isso significa que o corpo inverteu de sentido, veja esse outro gráfico:
Note que inicialmente a velocidade é positiva (acima do eixo do tempo) depois a velocidade se anula (circulado em azul – é o ponto em que ocorre inversão de sentido), depois a velocidade fica negativa (ou seja, o móvel passou a se movimentar contra a orientação da trajetória – circulado em laranja). 
Gráfico do Movimento Uniformemente Variado (s x t)
Como no MUV a velocidade é cada vez maior, o espaço percorrido para um mesmo intervalo de tempo será cada vez maior. Então o gráfico do espaço (s) em função do tempo (t) é curvo. Se trata de uma parábola.
O vértice da parábola é o ponto em que o corpo para e inverte o sentido.
Exercício
(UFPR) Assinale a alternativa que apresenta a história qe melhor se adapta ao gráfico.
a) Assim que saí de casa lembrei que deveria ter enviado um documento a um cliente por e-mail. Resolvi voltar a cumprir essa tarefa aproveitei para responder mais algumas mensagens e, quando me dei conta, já havia passado mais de uma hora. Saí apressada e tomei um taxi para o escritório.
b) Saí de casa e quando vi o ônibus parado no ponto corri para pegá-lo. Infelizmente o motorista não me viu e partiu. Após esperar algum tempo no ponto, resolvi voltar para casa e chamar um táxi. Passado algum tempo, o táxi me pegou na porta de casa e me deixou no escritório.
Exercício
(IFMG) Um objeto tem a sua posição (x) em função do tempo (t) descrito pela parábola conforme o gráfico. 
Analisando-se esse movimento, o módulo de sua velocidade inicial, em m/s, e de sua aceleração, em m/s2, são respectivamente iguais a 
a) 10 e 20.
b) 10 e 30.
c) 20 e 30.
d) 20 e 30.
e) 30 e 10.
Resolução
Para resolver eu vou pegar dois pontos do gráfico, vou substituir os valores na equação das abscissas e vou resolver o sistema de equações formado.
x = x0 + v0t + a . t2 . ½ 
20 = 2v0 + 2a
0 = 4v0 +8ª
Movimento Vertical Livre (MVL)
O Movimento Vertical Livre é um movimento acelerado que ocorre na vertical (é o movimento de queda livre).
Na queda livre a aceleração que atua sobre o corpo é a aceleração da gravidade, representada por g. Próximo a superfície da terra a aceleração da gravidade é próxima de 10 m/s2. 
Em termos de fórmulas, utilizarei as mesmas do MUV, visto que o movimento é acelerado.
y = y0 + v0. t + . g . t2
v = v0 + g . t
v2 = v0² + 2g . Δy
Sendo:
y: espaço final
y0 = espaço inicial
v = velocidade do corpo
t = o tempo gasto no percurso 
g = aceleração da gravidade
Nota: durante a subida de um corpo, o movimento é retardado, portanto a aceleração da gravidade terá sinal negativo. Durante a descida o movimento é acelerado, portanto a aceleração da gravidade, nas fórmulas, adquirirá valor positivo. 
Notas importantes
 O tempo de queda não depende da massa do corpo.
 Em alturas iguais as velocidades do corpo têm sempre o mesmo módulo.
Média harmônica
Se um corpo percorre espaços iguais com velocidades diferentes farei a média harmônica para calcular a velocidade média durante todo o percurso. 
Exemplo:
80 km/h
60 km/h
40 km/h
Vm = = = 3 . ≈ 55 km/h
Exercício 05
(ITA) Um automóvel faz metade de seu percurso com velocidade igual a 40 km/h e o restante com velocidade média de 60 km/h. Determine a velocidade média do carro no percurso total.
Resolução:
Vm = = = = 2 . = 48 km/h
Exercício 06
(Enem 2016) Dois veículos que trafegam com velocidade constante em uma estrada, na mesma direção e sentido, devem manter entre si uma distância mínima.Isso porque o movimento de um veículo, até que ele pare totalmente, ocorre em duas etapas, a partir do momento em que o motorista detecta um problema que exige uma freada brusca. A primeira etapa é associada à distância que o veículo percorre entre o intervalo de tempo de detecção do problema e o acionamento dos freios. Já a segunda se relaciona com a distância que o automóvel percorre enquanto os freios agem com desaceleração constante.
Considerando a situação descrita, qual esboço gráfico representa a velocidade do automóvel em relação à distância percorrida até parar totalmente?
Resolução
Durante o tempo de reação a velocidade escalar é constante.
Durante a freada o movimento é uniformemente variado, trata-se de um eixo de parábola.
Exercício 07
(Enem 2016 – segunda aplicação) Para um salto no Grand Canyon usando motos, dois paraquedistas vão utilizar uma moto cada, sendo que uma delas possui massa três vezes maior. Foram construídas duas pistas idênticas até a beira do precipício, de forma que no momento do salto as motos deixem a pista horizontalmente e ao mesmo tempo. No instante em que saltam, os paraquedistas abandonam suas motos e eles caem praticamente sem resistência do ar.
As motos atingem o solo simultaneamente porque
a) possuem a mesma inércia.
b) estão sujeitas à mesma força resultante.
c) têm a mesma quantidade de movimento inicial.
d) adquirem a mesma aceleração durante a queda.
e) são lançadas com a mesma velocidade horizontal.
Resolução
O tempo de queda não dependerá da velocidade horizontal nem da massa da motocicleta, apenas da aceleração da gravidade.
ΔS = v0. t + . g . t2
H = 0 + . t2
t = 
Exercício 08
(Enem 2017) Um motorista que atende a uma chamada de celular é levado à desatenção, aumentando a possibilidade de acidentes ocorrem em razão do aumento do seu tempo de reação. Considere dois motoristas, o primeiro atento e o segundo utilizando o celular enquanto dirige. Eles aceleram seus carros inicialmente a 1,00 m/s2. Em resposta a uma emergência, freiam com uma desaceleração igual a 5,00 m/s2. 
O motorista atento aciona o freio a uma velocidade de 14,0 m/s, enquanto desatento, em situação análoga, leva 1,00 segundo a mais para iniciar a frenagem. 
Que distância o motorista desatento percorre a mais do que o motorista atento, até a parada total dos carros?
a) 2,90 m b) 14,0 m c) 14,5 m 
d) 15,0 m e) 17,4 m
Resolução