2. Cinemática. 2. 2. Cinemática Angular

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Aula 02: Cinemática - Cinemática angular
A cinemática angular trabalha com o movimento circular. 
O ciclo trigonométrico
Na geometria usa-se duas unidades de ângulo: o grau e a revolução (ou volta). Na trigonometria é introduzida uma nova unidade: o radiano, cujo símbolo é rad.
No ciclo trigonométrico acima, nota-se que o ângulo de 90° 
vale rad; o de 180° vale π rad; o de 270° equivale ; e o de 360° é igual a 2π rad. Usando regra de três consigo descobrir o valor em radianos de qualquer ângulo, como no exemplo abaixo:
360° -------- 2π
45° ---------- ?
Deslocamento angular e deslocamento linear
Na figura abaixo ∆ϴ é o deslocamento angular e ∆S é o deslocamento escalar. 
A seguinte fórmula relaciona o deslocamento angular com o deslocamento escalar:
 ∆S = ∆ϴ . R
Sendo R o raio. 
Velocidade angular e velocidade escalar
Velocidade angular é a variação do ângulo dividido pela variação de tempo:
 ω = 
O símbolo ω (ômega) é a representação da velocidade angular.
A velocidade escalar é o produto da velocidade angular e o raio. Veja:
VM = = 
 VM = ωM . R
Nota: As equações “∆S = ∆ϴ . R”, “VM = ωM . R” só são válidas quando os deslocamentos angulares estiverem em radianos (caso não estejam é preciso converter). 
Exercício 01
Um pião que está girando executa 480 revoluções em 2 minutos. Calcule a velocidade angular média do pião nesse intervalo de tempo. 
Resolução:
ω = = = 240 rev/min = 240 rpm
Mas também posso converter o resultado para revoluções por segundo, ou ainda para radianos.
240 rev/min = 240 rev/60 s = 4 rev/s = 4(2π) rad/s = 8π rad/s
Relação entre o período, a frequência e as velocidades 
Periodo é o tempo de uma revolução (ou volta, ou rotação, etc.). Frequência é a quantidade de revoluções por unidade de tempo. Por exemplo, se uma roda leva 1 segundo para dar duas voltas, o período será 0,5 s e a frequência será 2. 
A frequência é o inverso do período:
f = e T = 
A unidade de frequência é o Hertz (Hz) (eu a uso quando a frequência estiver em segundos). Assim:
2 rps = 2Hz; 7 rps = 7 Hz; etc. 
Em cinemática angular, 2π rad/s é uma volta completa dada em um segundo, logo é 1 Hz. Da mesma maneira π rad/s equivale a 0,5 Hz (ou seja, em cada segundo eu dou meia volta). 
	
Na fórmula ω = , se for igual a 1 período (T), ∆ϴ será igual a 2π (um período equivale a uma revolução completa). Fica então que
 ω = = 2πf
Como a velocidade escalar é ω vezes R, também é válida a seguinte relação:
 V = = 2πfR
Nota:
Para um melhor entendimento eu poderia ter deduzido inicialmente a seguinte fórmula, considerando que uma volta completa é e considerando que uma volta completa tem como tempo um período.
V = = 2πfR (1)
Em seguida eu poderia ter deduzido a velocidade angular quando o tempo é um período (T), é 
ω = = 2πf (2)
Depois em substituiria (2) em (1) para deduzir a outra fórmula da velocidade linear
V 
V = ω . R
Exercício 
Uma roda d’água efetua 8 voltas em 25 segundos. Sabendo que o raio da roda d’água é de 0,5 m e utilizando π = 3, determine a velocidade linear da roda em m/s.
a) 0,96 m/s
b) 0,85 m/s
c) 0,20 m/s
d) 0,5 m/s
e) 0,55 m/s
Resolução
V = 2πRf
V = 2 . 3 . 0,5 . = 0,96 m/s
Exercício 02
(UF-GO) Uma partícula está em movimento circular uniforme, descrevendo uma circunferência de raio R = 1,0 m, com aceleração 0,25 m/s2. O período do movimento, em segundos, é:
a) 2π b) 4π c) 8π d) e) 
Resolução:
 |c| = 0,25m/s2 = v2 = 0,25 v = 0,5
 V = ω . R
0,5 = ω . 1
ω = 0,5 rad/s
 ω = f . 2π
0,5 = f . 2π
f = = . = 
 f = 
T = 4π
Resolução – Segundo modo
Uma vez obtido o valor da velocidade 0,5 m/s, temos que:
V = 0,5 = T = T = 4π
Transmissão do movimento circular
De modo geral, os vários casos de transmissão do movimento circular encaixam-se em um dos dois casos esquematizados abaixo: transmissão por contato ou por meio de correia (ou corrente). 
No caso do contato, as rodas giram em sentidos opostos e, no caso de correia, as duas giram no mesmo sentido.
Nos dois casos os pontos das periferias das rodas possuem a mesma velocidade (a menos que haja escorregamento), portanto VA = VB. Sabendo que V = ω . R, tem-se:
 ωA . RA = ωB . RB e fA . RA = fB . RB
Nota: Há um terceiro caso em que as polias estão unidas por eixo. Nessa situação as polias terão a mesma velocidade angular e diferentes velocidades lineares.
Exercício 03
Em 1979, o inglês Harry Lawson construiu a primeira bicicleta de correntes, a qual tinha rodas de tamanhos diferentes. Suponhamos uma bicicleta desse tipo, em que a roda da frente tenha diâmetro de 100 cm e a de trás de 70 cm. Quando a velocidade da bicicleta for 40 km/h, calcule.
a) A frequência de rotação da roda dianteira.
 A cada hora é percorrido 40 km, ou seja, a cada 3600 s é percorrido 4000000 cm
 Perímetro: RD = 2π . 50cm = 100π cm
 = cm/s
 cm -------- 1s
100π cm --------- T
T = = 100π cm . = 
A frequência será o inverso de que é 
 ≈ 3,5 Hz
b) A frequência de rotação da roda traseira.
T = 70π . = 
f = ≈ 5 Hz
Exercício 04
(Fuvest-SP) Uma cinta funciona solidária com dois cilindros de raios r1 = 10cm e r2 = 50cm. Supondo que o cilindro maior tenha uma frequência de rotação f2 igual a 60 rpm:
a) Qual a frequência de rotação f1 do cilindro menor?
ω 1 . R1 = ω2 . R2
2π f1 . R1 = 2π f2 . R2
f1 . R1 = f2 . R2
50 . 60 = f2 . 10
f2 = 300 rpm
b) Qual a velocidade linear da sinta?
A velocidade linear da sinta é igual a velocidade linear de qualquer ponto das circunferências.
Escolhendo a circunferência maior tem-se que f2 é de 60 rotações por minuto (ou uma rotação por segundo, sua frequência será de 1 Hz). Disso concluímos:
V = ω . R
V = 2πf2 . R2
V = 2π . 1 . 0,5
V = π rad/s
Exercício 05
(Unicamp-SP) Um vagão de trem parte do repouso, com aceleração escalar 2,0 m/s2, sobre trilhos horizontais, de modo que as rodas rolam sem escorregar. Sabendo que as rodas do vagão têm raio igual a 0,40 m, calcule a velocidade angular das rodas no instante t = 10 s.
Resolução
No instante t = 10 s, a velocidade escalar é calculada pela fórmula:
V = v0 + at
V = 2 . 10 = 20m/s
V = ω . R
20 = ω . 0,4
ω = 50 rad/s
Exercício 06
(Fuvest-SP) Um disco de raio r gira com velocidade angular constante ω. Na borda do disco está presa uma placa fina de material facilmente perdurável. Um projétil é disparado com velocidade em direção ao eixo do disco, conforme mostra a figura, e fura a placa.
Enquanto o projétil prossegue em sua trajetória sobre o disco, a placa gira meia volta, de forma que o projétil atravessa novamente a placa no mesmo orifício pela qual havia passado antes. Considere a velocidade do projétil constante e sua trajetória retilínea. O módulo da velocidade do projétil é:
a) ωr/π b) 2 ωr/π c) ωr/2π d) ωr e) π ω/r
Resolução
- Como sabemos, a velocidade escalar é a variação de espaço pela variação de tempo. No caso, o espaço percorrido pela bala é 2R. 
V = t = 
- A velocidade angular é a varição de ângulo, que no caso é meia volta (π), dividido pelo tempo.
ω = t = 
- O tempo que a bala leva para atravessar é igual ao tempo que o disco dá meia volta:
 = = V = 
Rolamento
Se uma roda se desloca no solo sem deslizamento, a distância percorrida pelo centro C em um período T, é igual ao perímetro da circunferência. 
d = 2πR
Sabemos que a velocidade é a razão da distância pelo tempo, então a distância é o produto da velocidade pelo tempo.
2πR = VC . T V = 
 VC = = 2πRf = R
Rotação pura e translação
Vamos supor que um ciclista esteja com sua bicicleta suspensa e pedalando com uma certa frequência. Nesse caso a roda terá uma rotação pura, e a velocidade de cada ponto da periferia dela será VC. 
Se o ciclista for colocado em contato com o solo, os pontos da periferia da roda irão adquirir outra velocidade, chamada velocidade de translação, que abaixo está para a direita. 
A sobreposição das duas velocidades resultará numa velocidade resultante. Essa velocidade é mostrada abaixo nos quatro pontos escolhidos.
Exercício07
(UFPI) Uma prancha está apoiada sobre dois cilindros paralelos, idênticos e dispostos sobre uma superfície horizontal.
Empurrando a prancha com velocidade constante e considerando inexistente qualquer tipo de deslizamento, seja entre a prancha e os cilindros, seja entre os cilindros e a superfície horizontal, a relação VP /VC, entre a velocidade da prancha, VP , e a velocidade do cilindro, VC, será: 
A) 2
B) 1,5 
C) 1 
D) 1/2 
E) ¼
Resolução:
A velocidade do ponto superior do cilindro que está em contato com a prancha vale 2VC e é igual a velocidade da prancha VP, ou seja, VP = 2VC.
Portanto: VP /VC = 2. 
Exercício
(Enem 2016) A invenção e o acoplamento entre engrenagens revolucionaram a ciência na época e propiciaram a invenção de várias tecnologias, como os relógios. Ao construir um pequeno cronômetro, um relojoeira usa o sistema de engrenagens mostrado. De acordo com a figura, um motor é ligado ao eixo e movimenta as engrenagens fazendo o ponteiro girar. A frequência do motor é de 18 rpm e o número de dentes das engrenagens está apresentado no quadro. 
 
A frequência de giro do ponteiro, em rpm é
a) 1 b) 2 c) 4 d) 81 e) 162