Prova Resmat P2 B - solu+º+úo

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1. Eixos e tubos com seção transversal circular são frequentemente empregados para 
transmitir a potência gerada por máquinas. Quando usados para essa finalidade, 
são submetidos a momentos de torção que dependem da potência gerada pela 
máquina e da velocidade angular do eixo. O motor da figura transmite 32 kW ao 
eixo de aço inoxidável 304 quando gira com frequência de rotação igual a 20 Hz. O 
eixo tem diâmetro de 18 mm e está apoiado em mancais lisos em A e B, que 
permitem a livre rotação do eixo. As engrenagens C e D presas ao eixo absorvem 
20 kW e 12 kW, respectivamente. 
Dado G (304) = 75 GPa. 
 
(Adaptado de R.C. Hibbeler, Resistência dos Materiais, Pearson) 
A tensão máxima absoluta de cisalhamento no eixo e o ângulo de torção da 
engrenagem D em relação ao motor, lembrando que  = 2f, sendo que f é a 
frequência em Hz, são respectivamente: 
A. 221 MPa e 0,11 rad 
B. 122 MPa e 0,01 rad 
C. 22,1 MPa e 0,11 rad 
D. 12,2 MPa e 0,01 rad 
E. 1,22 MPa e 1,1 rad 
 
Como entre o motor e a engrenagem C toda a potência do motor é transmitida e entre 
C e D, apenas, 12 kW são transmitidos, od momentos de torção para os dois trechos são: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A tensão máxima de cisalhamento irá ocorrer nas seções do trecho onde o momento é 
254,6 Nm. Ou seja: 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 O ângulo de torção entre a engrenagem D e o motor é: 
 (
 
 
)
 
 (
 
 
)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
2. Um elemento estrutural que possui seção transversal em forma de coroa circular com 
30 mm de diâmetro externo e 24 mm de diâmetro interno, é submetido ao momento 
de torção T=300Nm e a um momento fletor M=500 Nm. Para esta situação, 
considerando que exista um estado duplo de tensão, determinar para o ponto onde, 
na seção transversal ocorre a máxima tensão normal, o círculo de Mohr indicando os 
valores das tensões principais que irão ocorrer e determinar a tensão de cisalhamento 
máxima. 
 
 
 
 
 
 
 
 
(( ) ( ) )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(( ) ( ) )
 
 
A B
2
máx
(MPa)
(MPa)
26,59 346,01
1
8
7
,0
6
 
 
3. Uma barra circular de um metro de comprimento e 50 mm de diâmetro sujeita a 
um momento de torção T, deve ser substituída. Existe uma dúvida entre substitui-
la por uma de seção quadrada maciça ou por uma de seção tubular que possui 80 
mm de diâmetro externo. Sabendo-se que todas as barras são construídas com o 
mesmo material, determinar: 
a. As dimensões da seção quadrada maciça para que esta suporte o mesmo 
momento de torção com o mesmo coeficiente de segurança que a de seção 
circular 
b. Os diâmetros da seção tubular para que esta suporte o mesmo momento 
de torção com o mesmo coeficiente de segurança que as demais 
c. Verificar em qual delas ocorrerá o maior ângulo de deformação por torção 
em sua extremidade. 
 
a) 
 (
 
 
)
 
 (
 
 
)
 
 
Como o momento de torção é o mesmo, podemos escrever: 
 
 ( ) ( ) 
 
 ( ) 
 
 √
 ( ) 
 
 
 
b) 
 ( ) ( ) 
 ( ) 
 
 
 
 
(( ) ) 
 
 √( ) ( ) 
 
 
 
c) O maior ângulo de torção ocorre naquela de menor momento polar de inércia. 
 ( ) 
 ( ) 
 
 
 
 ( ) ( )
 
 
 ( ) 
 (( ) ( ) )
 
 
O maior ângulo de torção ocorre na barra de seção circular. 
 
 
4. Uma barra redonda, de 50 mm de diâmetro, é submetida a uma carga axial de 
tração P=200 kN. Considerando um estado duplo de tensão, o momento de torção 
T que, aplicado simultaneamente com a força de tração, faz com que a tensão de 
cisalhamento máxima fique igual a 100 Mpa é: 
A. 2,11 kNm 
B. 21,1 kNm 
C. 112 kNm 
D. 0,21 kNm 
E. 11,2 kNm 
 
 √(
 
 
)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 √(
 
 
)
 
 
 
 
√(
 
 
)
 
 
 
 
(
 
 
)
 
 
 
 
(
 
 
)
 
 
 
 
 
 √ 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
5. O tubo A-B mostrado na figura abaixo tem um diâmetro interno de 15 mm, um 
diâmetro externo de 20 mm e um metro de comprimento. Este recebe os esforços 
mostrados em B e é engastado em A. O deslocamento vertical da mão que está a 
direita da barra é: 
Dado G (304) = 80 GPa. 
 
Ø15
Ø20
 
A. 0,014mm 
B. 0,14mm 
C. 14mm 
D. 140 mm 
E. 1,4mm 
 
Vamos indicar por  o deslocamento vertical da mão direita. 
 
 
 
 
 
( ) 
 
 
 
 
 (( ) ( ) )
 
 
Corte C 
 
 
 
FORMULÁRIO 
 
 
s

   ressão[compmín    traçãomáx  
EA
N
A
N 
  
 
 
W
M
 
tW
T
 
tIG
LT


  
s

 
 
Seção Transversal Iy =Iz W It Wt 
y
z
d
 
64
4d
 
32
d3
 
32
4d
 
16
d3
 
y
z
dD
 
 
64
44 dD 
 
 
D32
dD 44


  44
32
dD 

  44
16
dD
D



 
y
z
b
b
 
12
b4
 
6
b3
 
4b14,0  
 
3b21,0  
G = 109 1m = 100cm M = 106 1cm = 10mm k = 103 1tf = 103kgf 
 
2
xy
2
yxyx
1
22







 


 2xy
2
yxyx
2
22







 


 
 
 2xy
2
yx
máx
2







 
