Controle de sistemas dinâmicos_ texto 2

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Transformada de Laplace e função de transferência 
 
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1. TRANSFORMADA DE LAPLACE E FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 
 
INTRODUÇÃO 
 
Olá! Vamos dar continuidade ao estudo do controle de sistemas dinâmicos. 
Os modelos matemáticos que foram desenvolvidos na aula 1 nem sempre são de fácil 
solução. Uma ferramenta matemática que pode ser utilizada para facilitar a solução das 
equações diferenciais obtidas na modelagem de sistemas elétricos e de sistemas 
mecânicos do tipo massa-mola-amortecedor é a transformada de Laplace. Além de 
transformar as equações originais do modelo em equações algébricas, o domínio das 
equações após a transformada de Laplace é bastante adequado para análises de 
estabilidade dos sistemas. Além disso, dessa maneira é possível prever o desempenho de 
sistemas dinâmicos sem ao menos resolver de fatos as equações (MAYA e LEONARDI, 
2014). 
A transformada de Laplace, que recebe esse nome em homenagem ao seu descobridor, 
Pierre-Simon Laplace, é uma integral que gera uma função de variável s (frequência) a 
partir de uma função variável com o tempo t. Dada uma descrição matemática de entrada 
de um sistema, a transformada de Laplace fornece uma descrição alternativa que diminui 
a complexidade do processo de análise do comportamento do sistema, ou seja, da solução 
do modelo matemático proposto. Basicamente, essa simplificação ocorre pela 
transformação de uma equação diferencial em uma equação algébrica. 
 
TRANSFORMADA DE LAPLACE 
 
Dada uma função 𝑓(𝑡), define-se sua transformada de Laplace, 𝐹 (𝑠) como: 
 
ℒ[𝑓(𝑡)] = 𝐹(𝑠) = ∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑓(𝑡)𝑑𝑡
+∞
0
 (1) 
 
em que ℒ[𝑓(𝑡)] representa a transformada de Laplace de 𝑓(𝑡) e 𝐹(𝑠) , a função de 
Laplace obtida. 
Vamos resolver um exemplo para entendermos como ocorre a transformação de uma 
função de acordo com a integral da transformada de Laplace. 
 Transformada de Laplace e função de transferência 
 
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Consideremos a função 𝑓(𝑡) = 𝑒−𝑎𝑡 para t ≥ 0. De acordo com a definição matemática, 
sua transformada de Laplace seria: 
 
 
𝐹(𝑠) = ∫ 𝑒−𝑠𝑡 ∙ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 =
+∞
0
∫ 𝑒−𝑠𝑡 ∙ 𝑒−𝑎𝑡𝑑𝑡 =
+∞
0
∫ 𝑒−(𝑠+𝑎)𝑡𝑑𝑡 =
+∞
0
 
𝑒−(𝑠+𝑎)𝑡
𝑠+𝑎
| variando de 0 a +∞ o que resulta em 𝐹(𝑠) =
1
𝑠+𝑎
. (2) 
 
A transformada de Laplace para as principais funções pode ser resumida na tabela 1. 
 
Tabela 1 – Transformadas de Laplace 
 
 
Fonte: Maya e Leonardi, 2014 
 
 
sendo as funções 𝛿(𝑡), ℎ(𝑡), 𝜔(𝑡), 𝛼(𝑡) , as funções impulso, degrau unitário, rampa 
unitária e parábola unitária respectivamente. 
As propriedades das transformadas de Laplace podem ser vistas na tabela 2. 
 Transformada de Laplace e função de transferência 
 
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Tabela 2 – Propriedades da transformada de Laplace 
 
 
Fonte: Maya e Leonardi, 2014 
 
Da mesma maneira que é possível a transformada de uma função no domínio do tempo 
para o domínio da frequência, também é possível a transformada de uma função no 
domínio da frequência (s) para o domínio do tempo (t). Chamamos essa transformada de 
transformada inversa de Laplace. 
A transformada inversa de Laplace é dada por: 
 
 Transformada de Laplace e função de transferência 
 
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𝑓(𝑡) =
1
2𝜋𝑗
∫ 𝐹(𝑠)𝑒𝑠𝑡𝑑𝑠
+∞
−∞
 (3) 
 
A maneira mais simples e prática para a obtenção de f(t) a partir de uma função F(s) é 
fazendo a decomposição da função original em frações parciais. Para entender como 
funciona essa metodologia matemática, vamos analisar o exemplo a seguir. 
O nosso objetivo é determinar a transformada inversa de Laplace de 
 
𝐹(𝑠) =
2𝑠+1
𝑠2+3𝑠+2
 (4) 
 
Podemos reescrever a função F(s) utilizando suas frações parciais. Vamos decompor a 
função original da seguinte maneira: 
 
𝐹(𝑠) =
2𝑠+1
𝑠2+3𝑠+2
=
2𝑠+1
(𝑠+1)(𝑠+2)
=
𝑟1
𝑠+1
+
𝑟2
𝑠+2
 (5) 
 
Nos resta determinar os valores de r1 e r2. Para isso, vamos multiplicar a equação original 
pelos denominadores em cada um dos casos e zerar este fator: 
 
𝑟1 = (𝑠 + 1) [
2𝑠+1
(𝑠+1)(𝑠+2)
] =
2(−1)+1
(−1)+2
= −1 (6) 
 
𝑟2 = (𝑠 + 2) [
2𝑠+1
(𝑠+1)(𝑠+2)
] =
2(−2)+1
(−2)+1
= 3 (7) 
 
Desta maneira, a equação original F(s) pode ser reescrita como: 
 
𝐹(𝑠) =
−1
𝑠+1
+
3
𝑠+2
 (8) 
 
E a sua transformada inversa de Laplace é simplesmente encontrada e dada por: 
 
𝑓(𝑡) = −𝑒−𝑡 + 3𝑒−2𝑡 (9) 
 
Vamos agora aplicar a transformada de Laplace em um modelo matemático, visto no 
primeiro tópico da disciplina, que descreve o comportamento de um circuito RC no qual 
 Transformada de Laplace e função de transferência 
 
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x(t) é a tensão de entrada aplicada sobre a associação e y(t) representa a tensão sobre o 
capacitor. A função que descreve o comportamento deste sistema é dada por 
 
𝑅𝐶�̇�(𝑡) + 𝑦(𝑡) = 𝑥(𝑡) (10) 
 
Nosso objetivo é determinar a resposta do sistema y(t) em função da sua condição inicial 
y (0) para uma entrada do tipo degrau unitário h(t). 
Para resolver este tipo de problema devemos aplicar a transformada de Laplace à função 
que descreve o modelo matemático. 
 
ℒ[𝑅𝐶�̇�(𝑡) + 𝑦(𝑡)] = ℒ[𝑥(𝑡)] (11) 
 
𝑅𝐶(𝑠𝑌(𝑠) − 𝑦(0)) + 𝑌(𝑠) = 𝑋(𝑠) (12) 
 
𝑋(𝑠) =
1
𝑠
 (13) 
 
𝑌(𝑠) =
𝑅𝐶
𝑅𝐶𝑠+1
𝑦(0) +
1
𝑠(𝑅𝐶𝑠+1)
=
1
𝑠+
1
𝑅𝐶
𝑦(0) + [
1
𝑠
−
1
𝑠+
1
𝑅𝐶
] (14) 
 
𝑦(𝑡) = 𝑦(0)𝑒−
𝑡
𝑅𝐶 + 1 − 𝑒−
𝑡
𝑅𝐶 (15) 
 
FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 
 
Agora que já definimos o conceito matemático da transformada de Laplace, podemos 
definir o conceito de função de transferência. Este tipo de função é muito utilizado para 
caracterizar as relações de entrada e de saída de componentes ou de sistemas que podem 
ser descritos através de equações diferenciais lineares invariantes com o tempo, caso dos 
sistemas LIT. 
A função de transferência de um sistema representado por uma equação diferencial linear 
invariante com o tempo é definida como a relação entre a transformada de Laplace da 
saída (função reposta) e a transformada de Laplace da entrada (função de excitação), 
admitindo-se todas as condições iniciais nulas (OGATA, 2010). 
 Transformada de Laplace e função de transferência 
 
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Vamos considerar o sistema LIT representado na figura 1 e admitir que as condições 
iniciais do sistema são nulas. 
Assim, seu modelo matemático pode ser descrito por: 
 
𝑎0 𝑦⏞
𝑛
+ 𝑎1 𝑦⏞
𝑛−1
+ ⋯ + 𝑎𝑛−1�̇� + 𝑎𝑛𝑦 = 𝑏0𝑢
𝑛
+ 𝑏1 𝑢⏞
𝑛−1
+ ⋯ + 𝑏𝑛−1�̇� + 𝑏𝑛𝑢 (16) 
 
 
Figura 1: sistema LIT (Fonte: Maya e Leonardi, 2014). 
 
sendo a e b constantes que dependem dos parâmetros do sistema. A função de 
transferência deste sistema, G(s), é dada por: 
 
𝐺(𝑠) =
ℒ[𝑠𝑎í𝑑𝑎]
ℒ[𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎]
=
𝑌(𝑠)
𝑈(𝑠)=
𝑏0𝑠
𝑚+𝑏1𝑠
𝑚−1+⋯+𝑏𝑚−1𝑠+𝑏𝑚
𝑎0𝑠𝑛+𝑎1𝑠𝑛−1+⋯+𝑎𝑛−1𝑠+𝑎𝑛
 (17) 
 
Utilizando o conceito matemático de função de transferência, foi possível representar a 
dinâmica de um sistema por meio de uma equação algébrica no domínio de s. 
De acordo com Ogata (2010), a função de transferência: 
 
➢ é um modelo matemático que constitui um método operacional para expressar a 
equação diferencial que relaciona a variável de saída com a variável de entrada; 
➢ é uma propriedade inerente ao sistema, independentemente da magnitude e da 
natureza da função de entrada ou de excitação; 
➢ inclui as unidades necessárias para relacionar a entrada com a saída, porém não 
fornece nenhuma informação relativa à estrutura física do sistema (sistemas 
análogos apresentam a mesma função de transferência); 
➢ pode ser determinada experimentalmente com o auxílio de entradas conhecidas e 
as respectivas repostas do sistema. 
 
 Transformada de Laplace e função de transferência 
 
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Vamos aplicar os conceitos de função de transferência para determinar a relação entre o 
sinal de saída e o sinal de entrada de um sistema mecânico do tipo massa-mola-
amortecedor (figura 2). 
Considerando que a massa do carro seja igual a zero, presumindo que tanto o carro como 
o sistema massa-mola-amortecedor estejam parados no instante t < 0, u representa o 
deslocamento do carro e é a entrada do sistema que se move com velocidade constante a 
partir de t = 0, e o sinal de saída é o deslocamento da massa, y, vamos determinar a função 
de transferência deste sistema. 
 
 
Figura 2: sistema massa-mola-amortecedor (Fonte: Ogata, 2010). 
 
Aplicando a segunda lei de Newton temos que: 
 
∑ 𝐹 = 𝑚 ∙ 𝑎 (18) 
 
𝑚
𝑑2𝑦
𝑑𝑡2
= −𝑏 (
𝑑𝑦
𝑑𝑡
−
𝑑𝑢
𝑑𝑡
) − 𝑘(𝑦 − 𝑢) (19) 
 
Rearranjando os termos: 
 
𝑚
𝑑²𝑦
𝑑𝑡
+ 𝑏
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 𝑘𝑦 = 𝑏
𝑑𝑢
𝑑𝑡
+ 𝑘𝑢 (20) 
 
Fazendo as transformadas de Laplace dos sinais de entrada e de saída: 
 
(𝑚𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝑘)𝑌(𝑠) = (𝑏𝑠 + 𝑘)𝑈(𝑠) (21) 
 
 Transformada de Laplace e função de transferência 
 
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Cuja função de transferência é: 
 
𝐺(𝑠) =
𝑌(𝑠)
𝑈(𝑠)
=
𝑏𝑠+𝑘
𝑚𝑠2+𝑏𝑠+𝑘
 (22) 
 
A função de transferência é uma relação entre polinômios da variável s (denominada 
frequência complexa). Supondo que o polinômio do numerador de uma função de 
transferência seja dado por B(s) e do denominador por A(s), e ambos sejam irredutíveis: 
 
➢ A(s) denomina-se o polinômio característico do sistema e o seu grau, n, é a ordem 
do sistema; 
➢ A equação A(s) = 0 é a equação característica do sistema. As raízes da equação 
característica são denominadas polos do sistema; 
➢ As raízes da equação B(s) = 0 são os zeros do sistema. 
 
Vamos resolver mais um exercício! 
Nosso objetivo agora é determinar a função de transferência do sistema massa-mola-
amortecedor da figura 3 e determinar os zeros e os polos do sistema. Os dados do sistema 
são: M = 2,0 kg, B = 1,6 Ns/m, K = 0,24 N/m. É aplicada uma força no bloco representada 
por f(t), variável de entrada, e a posição y(t) é a variável de saída. 
 
 
Figura 2: sistema massa-mola-amortecedor (Fonte: Maya e Leonardi, 2014). 
 
Aplicando a segunda lei de Newton temos que: 
 
∑ 𝐹 = 𝑚 ∙ 𝑎 (23) 
 
𝑀
𝑑2𝑦
𝑑𝑡2
= 𝑓(𝑡) − 𝐵 (
𝑑𝑦
𝑑𝑡
) − 𝐾(𝑦) (24) 
 Transformada de Laplace e função de transferência 
 
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Rearranjando os termos, substituindo os valores das constantes do sistema e dividindo 
tudo por 2, temos que: 
 
𝑀
𝑑²𝑦
𝑑𝑡
+ 𝐵
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 𝐾𝑦 = 𝑓(𝑡) (25) 
 
2,0
𝑑²𝑦
𝑑𝑡
+ 1,6
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 0,24𝑦 = 𝑓(𝑡) (26) 
 
1,0
𝑑²𝑦
𝑑𝑡
+ 0,8
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 0,12𝑦 = 0,5𝑓(𝑡) (27) 
 
Aplicando a transformada de Laplace no sinal de saída e no sinal de entrada do sistema: 
 
(𝑠2 + 0,8𝑠 + 0,12)𝑌(𝑠) = (0,5)𝑈(𝑠) (28) 
 
A função de transferência é dada pela razão dos polinômios que multiplicam o sinal de 
entrada e de saída do sistema. Desta maneira, a função de transferência resultante do 
problema proposto é: 
 
𝐺(𝑠) =
𝑌(𝑠)
𝑈(𝑠)
=
0,5
(𝑠2+0,8𝑠+0,12)
 (29) 
 
Falta determinarmos os polos e os zeros do sistema. Definimos como zeros do sistema as 
raízes do polinômio do numerador da função de transferência. Como o numerador da 
função se trata de um valor constante e igual a 0,5, este sistema não apresenta zeros. Já 
os polos são definidos como as raízes do polinômio característico (denominador da 
função de transferência). Determinando as raízes, temos que: 
 
𝑠2 + 0,8𝑠 + 0,12 = 0 (30) 
 
Cujas raízes, aplicando a fórmula de Bhaskara, são -0,2 e -0,6 e representam os polos do 
sistema. 
A função de transferência, também conhecida como modelo entrada-saída, uma vez que 
relaciona apenas estes dois sinais no seu equacionamento, é um dos modelos matemáticos 
 Transformada de Laplace e função de transferência 
 
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mais utilizados para o estudo dos sistemas LIT (lineares invariantes com o tempo). Pelo 
fato dessa modelo utilizar em sua metodologia a transformada de Laplace, diz-se que é 
um modelo definido no domínio da frequência. Nos sistemas LIT as funções de 
transferência são sempre funções racionais, uma vez que representam a relação entre dois 
polinômios em s. 
 Transformada de Laplace e função de transferência 
 
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
 
MAYA, Paulo Álvaro; LEONARDI, Fabrizio. Controle essencial. 2. ed. São Paulo: 
Pearson Education do Brasil, 2014. 
 
 
OGATA, Katsuhiko. Engenharia de controle moderno. 5. ed. São Paulo: Pearson 
Prentice Hall, 2010. 
 
 
PHILLIPS, Charles L.; HARBOR, Royce D. Sistemas de controle e realimentação. 1. 
ed. São Paulo: Makron Books, 1996.