Equação Diferencial Exata

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Nos itens a seguir, determine se a equação diferencial é exata. Se for, encontre a 
solução. 
1) (𝟐𝒙 − 𝟏)𝒅𝒙 + (𝟑𝒚 + 𝟕)𝒅𝒚 = 𝟎 
𝜕(2𝑥 − 1)
𝜕𝑦
= 0 =
𝜕(3𝑦 + 7)
𝜕𝑥
 
∴ 𝐴 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 é 𝑒𝑥𝑎𝑡𝑎. 
∫ 𝑑𝑓(𝑥, 𝑦) = ∫ 2𝑥 − 1 𝑑𝑥 = 𝑥2 − 𝑥 + 𝑔(𝑦) = 𝑓(𝑥, 𝑦) 
𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥
=
𝑑𝑔(𝑦)
𝑑
= 3𝑦 + 7 
∫ 𝑑𝑔(𝑦) = ∫ 3𝑦 + 7 𝑑𝑦 =
3
2
𝑦2 + 7𝑦 + 𝐶1 
∴ 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 − 𝑥 +
3
2
𝑦2 + 7𝑦 = 𝐶 
2) (𝟐𝒙 + 𝒚)𝒅𝒙 − (𝒙 + 𝟔𝒚)𝒅𝒚 = 𝟎 
(2𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥 + (−𝑥 − 6𝑦)𝑑𝑦 = 0 
𝜕(2𝑥 + 𝑦)
𝜕𝑦
= 1 
𝜕(−𝑥 − 6𝑦)
𝜕𝑥
= −1 
∴ 𝑛ã𝑜 é 𝑒𝑥𝑎𝑡𝑎 
3) (𝟓𝒙 + 𝟒𝒚)𝒅𝒙 + (𝟒𝒙 − 𝟖𝒚𝟑)𝒅𝒚 = 𝟎 
𝜕(5𝑥 + 4𝑦)
𝜕𝑦
= 4 =
𝜕(4𝑥 − 8𝑦3)
𝜕𝑥
 
∴ é 𝑒𝑥𝑎𝑡𝑎 
𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥
= 5𝑥 + 4𝑦 
∫ 𝑑𝑓(𝑥, 𝑦) = ∫ 5𝑥 + 4𝑦 𝑑𝑥 =
5
2
𝑥2 + 4𝑥𝑦 + 𝑔(𝑦) = 𝑓(𝑥, 𝑦) 
𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦
= 4𝑥 +
𝑑𝑔(𝑦)
𝑑𝑦
= 4𝑥 − 8𝑦3 
∫ 𝑑𝑔(𝑦) = ∫ −8𝑦3𝑑𝑦 = − 2𝑦4 + 𝐶1 
∴ 𝑓(𝑥, 𝑦) =
5
2
𝑥2 + 4𝑥𝑦 − 2𝑦4 = 𝐶 
4) (𝒔𝒆𝒏 𝒚 − 𝒚 𝒔𝒆𝒏 𝒙)𝒅𝒙 + (𝐜𝐨𝐬 𝒙 + 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒚 − 𝒚)𝒅𝒚 = 𝟎 
𝜕(𝑠𝑒𝑛 𝑦 − 𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑥)
𝜕𝑦
= cos 𝑦 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
𝜕(cos 𝑥 + 𝑥 cos 𝑦 − 𝑦)
𝜕𝑥
= −𝑠𝑒𝑛 𝑥 + cos 𝑦 
∴ 𝐴 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 é 𝑒𝑥𝑎𝑡𝑎 
𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥
= 𝑠𝑒𝑛 𝑦 − 𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
∫ 𝑑 𝑓(𝑥, 𝑦) = ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑦 − 𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦 + 𝑦 cos 𝑥 + 𝑔(𝑦) 
𝜕(𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦
= cos 𝑥 + 𝑥 cos 𝑦 −
𝑑𝑔(𝑦)
𝑑𝑦
= cos 𝑥 + 𝑥 cos 𝑦 − 𝑦 
→ 𝑑𝑔(𝑦) = −𝑦 𝑑𝑦 
∫ 𝑑𝑔(𝑦) = ∫ −𝑦 𝑑𝑦 = −
1
2
𝑦2 + 𝐶1 
∴ 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦 + 𝑦 cos 𝑥 −
1
2
𝑦2 = 𝐶