AULA 11_2020 6_DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES DISCRETAS (PARTE 02)

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Probabilidade e Estatística Profa. Kellen Carla Lima 
Profa. Kellen Carla Lima 
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABiLIDADES DISCRETAS 
Profa. Kellen Carla Lima 
01 
02 
Modelo Binomial 
Modelo Hipergeométrico 
Modelo de Poisson 03 
5.1 Objetivos da Aula 
5.6 Modelo Binomial 
 5.6.1 Definição 
Profa. Kellen Carla Lima 
Profa. Kellen Carla Lima 
Second 
Para construir o modelo 
binomial vamos 
introduzir uma 
sequência de ensaios de 
Bernoulli 
O Modelo de Bernoulli é 
aplicado em 
experimentos aleatórios, 
cujo espaço amostral é 
finito com dois possíveis 
resultados. 
O espaço amostral de um 
Ensaio de Bernoulli: 
Ω = {sucesso ou fracasso} 
A BINOMIAL é um dos 
modelos matemáticos de 
maior utilidade. 
A BINOMIAL é utilizada 
quando a variável 
discreta de interesse é o 
n° de sucessos em uma 
amostra de n 
observações. 
Profa. Kellen Carla Lima 
E
xe
m
pl
os
 : 
Uma fábrica classifica produtos como defeituosos ou aceitáveis. 
Uma firma em leilões por contratos ganha ou perde o contrato referente a 
cada leilão. 
Uma empresa de marketing recebe respostas de vários entrevistados para 
uma questão como “sim, compraria o produto” ou “não, não compraria o 
produto”. 
Candidatos entrevistados para uma vaga aceitam ou rejeitam a oferta de 
emprego. 
Seu time perde ou ganha um jogo de futebol. 
5.6 Modelo Binomial 
 5.6.2 Propriedades 
Profa. Kellen Carla Lima 
Profa. Kellen Carla Lima 
04 
03 
02 
01 
Há diversos experimentos que satisfazem exatamente ou aproximadamente 
a seguinte lista de requisitos: 
A amostra consiste em um n° fixo de observações, n. Onde n é 
estabelecido antes do experimento. 
Cada tentativa pode resultar em um de 2 resultados possíveis, chamados de 
sucesso (S) ou fracasso (F). 
 
As tentativas são independentes, de forma que o resultado de qualquer 
tentativa particular não influencia o resultado de qualquer outra 
tentativa. 
A prob. de sucesso é constante de uma tentativa para outra. 
Denominamos essa prob. de p. 
5.6 Modelo Binomial 
 5.6.3 Técnica de Contagem 
Profa. Kellen Carla Lima 
P
ro
fa
. K
ell
en
 C
ar
la 
 L
im
a 
E
xe
m
pl
o 
: 
Suponha que o sucesso é definido se “sairem 2 caras em 3 vezes ao jogarmos uma moeda”. O 
sucesso pode sair de quantas formas diferentes? 
Possibilidades de Sucesso: CCK, CKC, KCC. Logo, existem 3 possibilidades de sucessos. 
E, de forma geral? 
Sendo que: 
𝒏! = (𝒏)(𝒏 − 𝟏)… (𝟏)  𝒏 𝒇𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒂𝒍 
𝑿! = (𝑿)(𝑿 − 𝟏)… (𝟏) 
𝟎! = 𝟏 (𝒑𝒐𝒓 𝒅𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊çã𝒐) 
𝑪𝑿
𝒏 =
𝒏
𝑿
=
𝒏!
𝑿! 𝒏 − 𝑿 !
 
𝒏 = 𝟑 𝒆 𝑿 = 𝟐 
É o nº de combinações possíveis de selecionar X objetos de um total de n: 
Profa. Kellen Carla Lima 
E
xe
m
pl
o 
: 
Quantas combinações diferentes de um sorvete de 3 bolas você poderia criar se na 
loja existem 31 sabores? 
𝒏 = 𝟑𝟏 𝒆 𝒔𝒆𝒍𝒆𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒎𝒐𝒔 𝑿 = 𝟑 
𝑪𝟑
𝟑𝟏 =
𝟑𝟏
𝟑
=
𝟑𝟏!
𝟑! 𝟑𝟏 − 𝟑 !
=
𝟑𝟏!
𝟑! 𝟐𝟖!
=
𝟑𝟏 × 𝟑𝟎 × 𝟐𝟗 × 𝟐𝟖!
𝟑 × 𝟐 × 𝟏 × 𝟐𝟖!
= 𝟒𝟒𝟗𝟓 
5.6.1 Modelo Binomial 
 5.6.4 Fórmula 
Profa. Kellen Carla Lima 
Profa. Kellen Carla Lima 
Seja X o número de sucessos obtidos na realização de n ensaios de Bernoulli independentes. Diremos que X tem 
distribuição binomial com parâmetros n e p, onde p é a probabilidade de sucesso em cada ensaio, se sua função de 
probabilidade for dada por: 
Para X~Binomial (n,p) 
Sendo que: 
𝑷(𝑿) prob. de X sucessos, dados n e p 
n tamanho da amostra ou n° de tentativas (ensaios de Bernoulli independentes) 
𝑿 n° de “sucessos” na amostra (k= 0, 1, 2, ..., n) 
𝒑 prob. de sucesso em cada ensaio 
𝟏 − 𝒑 prob. de insucesso 
𝑷 𝑿 =
𝒏!
𝑿! 𝒏 − 𝑿 !
 . 𝒑𝑿. (𝟏 − 𝒑)𝒏−𝑿 
Média Desvio-padrão Variância 
𝑬 𝑿 = 𝒏𝒑 𝝈𝟐 = 𝒏𝒑(𝟏 − 𝒑) 𝝈 = 𝒏𝒑(𝟏 − 𝒑) 
Combinações de n elementos 
tomados de n a X 
A prob. de um espaço amostral com sucessos nos X 
primeiros ensaios e falhas nos n-X ensaios seguintes. 
Profa. Kellen Carla Lima 
E
xe
m
pl
o 
: 
Qual a prob. de observarmos um sucesso em 5 tentativas se a prob. de sucesso em 
cada tentativa é de 0,1? 
 𝑿 = 𝟏, 𝒏 = 𝟓, 𝒆 𝒑 = 𝟎, 𝟏 
𝑷 𝑿 = 𝟏 =
𝒏!
𝑿! 𝒏 − 𝑿 !
 . 𝒑𝑿. (𝟏 − 𝒑)𝒏−𝑿 
𝑷 𝑿 = 𝟏 =
𝟓!
𝟏! 𝟓 − 𝟏 !
 . 𝟎, 𝟏𝟏. (𝟏 − 𝟎, 𝟏)𝟓−𝟏 
𝑷 𝑿 = 𝟏 = 𝟓 × 𝟎, 𝟏 × 𝟎, 𝟗𝟒 
𝑷 𝑿 = 𝟏 = 𝟎, 𝟑𝟐𝟖𝟎𝟓 
Profa. Kellen Carla Lima 
E
xe
m
pl
o 
: 
Se a prob. de comprarmos um computador com defeito é de 0,02. Qual a prob. de 
comprarmos 2 computadores com defeitos em um lote de 10 computadores? 
𝑨𝒔𝒔𝒊𝒎: 
 
𝒑 = 𝟎, 𝟎𝟐 (𝒔𝒖𝒄𝒆𝒔𝒔𝒐) 
𝒏 = 𝟏𝟎 (𝒐𝒔 𝒆𝒏𝒔𝒂𝒊𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝑩𝒆𝒓𝒏𝒐𝒖𝒍𝒍𝒊 𝒔ã𝒐 𝟏𝟎 𝒄ó𝒑𝒊𝒂𝒔 𝒔𝒆𝒍𝒆𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒅𝒂𝒔 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆) 
𝑿 = 𝟐 
𝑃 𝑋 = 2 =
𝒏!
𝑿! 𝒏 − 𝑿 !
 . 𝒑𝑿. (𝟏 − 𝒑)𝒏−𝑿 
𝑃 𝑋 = 2 =
10!
2! 10 − 2 !
. 0,022. (1 − 0,02)10−2 
𝑃 𝑋 = 2 = 45 × 0,0004 × 0,8508 = 0,01531 
Profa. Kellen Carla Lima 
E
xe
m
pl
o 
: 
PROVA 2016.1 – A professora Kellen ministra, de segunda a sexta feira, aulas 
para uma turma com 30 homens e 20 mulheres (SQN!). Suponha que todos 
os 50 alunos estão presentes durante as cinco aulas. Durante uma dada 
semana, ela decide sortear um aluno por dia para ser examinado. Se X é a 
variável aleatória que representa o número de dias em que um homem foi 
selecionado, qual (a) (0,5 ponto) – a função de probabilidade. (b) (0,4 
ponto) – a média de X e (c) (0,5 ponto) – a variância de X? Considere a 
seguinte situação: o mesmo aluno pode ser selecionado mais de uma vez. 
 
(Dica: Em situações com população, uma distribuição binomial seleciona 
uma amostra com reposição a partir de uma população finita e uma 
distribuição hipergeométrica seleciona uma amostra sem reposição a partir 
de uma população finita). 
Profa. Kellen Carla Lima 
R
es
ol
uç
õo
: 
Observe que a forma como são selecionados os estudantes equivale a fazer 
uma amostragem ao acaso com REPOSIÇÃO. Em outras palavras, toda vez 
que um indivíduo é escolhido, ele é devolvido a população antes de se 
efetuar a próxima seleção. Deste modo, as probabilidades de seleção são 
mantidas sempre iguais. 
Então, a cada dia é realizado um ensaio de Bernoulli, com a probabilidade 
de sucesso (homem) 
𝑝 = 30 50 = 0,6 
E de fracasso, 
1 − 𝑝 = 1 − 0,6 = 0,4 
 
Profa. Kellen Carla Lima 
R
es
ol
uç
ão
: 
Se X é a variável que representa o número de dias em que um homem é selecionado, então X tem 
distribuição binomial com parâmetro 𝑛 = 5 e 𝑝 = 0,6. 
A função de probabilidade é dada por: 
𝑃 𝑋 = 
𝑛!
𝑋! 𝑛 − 𝑋 !
. 𝑝𝑥. (1 − 𝑝)𝑛−𝑥 
𝑃 𝑋 = 0 =
5
0
. (0,6)0. (0,4)5 = 0,0102 𝑃 𝑋 = 1 =
5
1
. (0,6)1. (0,4)4 = 0,0765 
𝑃 𝑋 = 2 =
5
2
. (0,6)2. (0,4)3 = 0,2304 𝑃 𝑋 = 3 =
5
3
. (0,6)3. (0,4)2 = 0,3456 
𝑃 𝑋 = 4 =
5
4
. (0,6)4. (0,4)1 = 0,2592 𝑃 𝑋 = 5 =
5
5
. (0,6)5. (0,4)0 = 0,0798 
Obs.: Note que a soma das probabilidades é 1. 
 
Para este modele, temos: 
𝐸 𝑋 = 𝑛 × 𝑝 = 5 × 0,6 = 3 
𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝑛𝑝 × 1 − 𝑝 = 5 × 0,6 × 1 − 0,6 = 1,2 
Profa. Kellen Carla Lima 
E
xe
m
pl
o 
: 
𝐸 𝑋 = 𝑛 × 𝑝 = 5 × 0,1 = 0,5 
𝜎 = 𝑛 × 𝑝 × (1 − 𝑝) = 5 × 0,1 × 1 − 0,1 = 0,6708 
𝐸 𝑋 = 𝑛 × 𝑝 = 5 × 0,5 = 2,5 
𝜎 = 𝑛 × 𝑝 × (1 − 𝑝) = 5 × 0,5 × 1 − 0,5 = 1,118 
5.6.1 Modelo Binomial 
 5.6.5 Formato 
Profa. Kellen Carla Lima 
P
ro
fa
. K
ell
en
 C
ar
la 
 L
im
a 
𝒏 = 𝟓 𝒑 = 𝟎, 𝟏 
 0 
.2 
.4 
.6 
0 1 2 3 4 5 X 
P(x) 
𝒏 = 𝟓 𝒑 = 𝟎, 𝟓 
.2 
.4 
.6 
0 1 2 3 4 5 X 
P(x) 
0 
𝒏 = 𝟓 𝒆 𝒑 = 𝟎, 𝟏 
𝒑 ≠ 𝟎, 𝟓 (𝒂𝒔𝒔𝒊𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂) 
 
 
𝒏 = 𝟓 𝒆 𝒑 = 𝟎, 𝟓 
𝑷 = 𝟎, 𝟓 (𝒔𝒊𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂  𝒊𝒏𝒅𝒆𝒑𝒆𝒏𝒅𝒆 𝒅𝒐 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝒏) 
𝑬𝒙: 𝑷𝒂𝒓𝒂 𝑿 = 𝟐 𝒂 𝑷(𝑿) = 𝟎, 𝟑𝟏𝟐𝟓 
𝑬𝒙: 𝑷𝒂𝒓𝒂 𝑿 = 𝟎 𝒂 𝑷(𝑿) = 𝟎, 𝟓𝟗𝟎𝟒𝟗 
O formato da distribuição binomial depende dos valores de n e de p 
5.6.1 Modelo Binomial 
 5.6.6 Tabela 
Profa. Kellen Carla Lima 
Profa. Kellen Carla
Lima 
n = 10 
X … p=.20 p=.25 p=.30 p=.35 p=.40 p=.45 p=.50 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
… 
… 
… 
… 
… 
… 
… 
… 
… 
… 
… 
0.1074 
0.2684 
0.3020 
0.2013 
0.0881 
0.0264 
0.0055 
0.0008 
0.0001 
0.0000 
0.0000 
0.0563 
0.1877 
0.2816 
0.2503 
0.1460 
0.0584 
0.0162 
0.0031 
0.0004 
0.0000 
0.0000 
0.0282 
0.1211 
0.2335 
0.2668 
0.2001 
0.1029 
0.0368 
0.0090 
0.0014 
0.0001 
0.0000 
0.0135 
0.0725 
0.1757 
0.2522 
0.2377 
0.1536 
0.0689 
0.0212 
0.0043 
0.0005 
0.0000 
0.0060 
0.0403 
0.1209 
0.2150 
0.2508 
0.2007 
0.1115 
0.0425 
0.0106 
0.0016 
0.0001 
0.0025 
0.0207 
0.0763 
0.1665 
0.2384 
0.2340 
0.1596 
0.0746 
0.0229 
0.0042 
0.0003 
0.0010 
0.0098 
0.0439 
0.1172 
0.2051 
0.2461 
0.2051 
0.1172 
0.0439 
0.0098 
0.0010 
10 
9 
8 
7 
6 
5 
4 
3 
2 
1 
0 
… p=.80 p=.75 p=.70 p=.65 p=.60 p=.55 p=.50 x 
𝑬𝒙𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐𝒔: 
𝒏 = 𝟏𝟎, 𝒑 = 𝟎, 𝟑𝟓, 𝑿 = 𝟑  𝑷(𝑿 = 𝟑|𝒏 = 𝟏𝟎, 𝒑 = 𝟎, 𝟑𝟓) = 𝟎, 𝟐𝟓𝟐𝟐 
𝒏 = 𝟏𝟎, 𝒑 = 𝟎, 𝟕𝟓, 𝑿 = 𝟐  𝑷(𝑿 = 𝟐|𝒏 = 𝟏𝟎, 𝒑 = 𝟎, 𝟕𝟓) = 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟒 
5.6.2 Modelo Hipergeométrico 
 5.6.2.1 Definição 
Profa. Kellen Carla Lima 
Profa. Kellen Carla Lima 
04 
03 
02 
01 
Há diversos experimentos que satisfazem exatamente ou aproximadamente 
a seguinte lista de requisitos: 
Também está relacionada com o número de sucessos em uma amostra 
contendo n observações. 
Os dados da amostra “n” são selecionados sem reposição de uma 
população finita de tamanho N, ou seja, resultado de uma observação é 
dependente dos resultados das observações anteriores. 
Há informações tanto da POPULAÇÃO como da AMOSTRA. 
Cada indivíduo da população é classificado como “Sucesso” ou “Fracasso”. 
A população possui A “Sucessos”. 05 
Profa. Kellen Carla Lima 
5.6.2 Modelo Hipergeométrico 
 5.6.2.1 Fórmula 
P
ro
fa
. K
ell
en
 C
ar
la 
 L
im
a 
Para X~Hipergeométrica(N,A,n) 
Sendo que: 
Lembrando que: 
Média Desvio-padrão 
𝑵 tamanho da população 
𝑨 n° de sucessos na população 
𝑵 – 𝑨 n° de fracassos na população 
𝒏 tamanho da amostra 
𝒙 n° de sucessos na amostra 
𝒏 – 𝒙 n° de fracassos na amostra 
“Fator de correção de 
população finita”, pelo fato 
de estarmos selecionando 
sem reposição a partir de 
uma população finita. 
𝑷 𝑿 =
𝑨
𝒙
𝑵−𝑨
𝒏−𝒙
𝑵
𝒏
 
𝑬 𝑿 =
𝒏𝑨
𝑵
 
𝑁 − 𝑛
𝑁 − 1
= 
𝒏
𝑿
=
𝒏!
𝑿! 𝒏 − 𝑿 !
 
𝝈 =
𝒏𝑨(𝑵 − 𝑨)
𝑵𝟐
×
𝑵− 𝒏
𝑵 − 𝟏
 
Mas: 
Profa. Kellen Carla Lima 
E
xe
m
pl
o 
: 
Em um departamento existem 10 computadores diferentes. Dentre estes, 4 têm 
programas ilegais instalados. A equipe de informática decide inspecionar 3 
computadores aleatoriamente. Qual a prob. de que 2 dos 3 computadores tenham 
programas ilegais instalados? 
𝑻𝒆𝒎𝒐𝒔: 𝑵 = 𝟏𝟎 𝒏 = 𝟑 𝑨 = 𝟒 𝒙 = 𝟐 
Portanto, a prob. de que 2 de 3 computadores tenham programas ilegais instalados 
é de 0,3 ou seja, 30%. 
𝑷 𝑿 = 𝟐 =
𝑨
𝒙
𝑵−𝑨
𝒏−𝒙
𝑵
𝒏
=
𝟒
𝟐
𝟔
𝟏
𝟏𝟎
𝟑
=
𝟔 × 𝟔
𝟏𝟐𝟎
= 𝟎, 𝟑 
Profa. Kellen Carla Lima 
5.6.3 Modelo Poisson 
 5.6.3.1 Definição 
Profa. Kellen Carla Lima 
04 
03 
02 
01 
05 
É empregada em experimentos, nos quais NÂO se está interessado no número de 
sucessos obtidos em n tentativas, como ocorre no caso da Distribuição Binomial, mas 
sim no número de sucessos ocorridos durante um intervalo contínuo, que pode ser um 
intervalo de tempo, espaço, etc 
EXEMPLOS: O n° de arranhões na pintura do carro. O n° de falhas na rede em um 
determinado dia. O n° de vezes que o computador trava em um dia. 
Note que nos exemplos acima, não há como determinar a probabilidade de ocorrência de 
um sucesso, mas sim a frequência média de sua ocorrência, por exemplo, dois suicídios 
por ano, a qual será que denominada ; 
LOGO, É UMA DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE DISCRETA QUE SE APLICA À 
OCORRÊNCIA DE EVENTOS AO LONGO DE INTERVALOS ESPECIFICADOS 
Os intervalos podem ser de tempo, distância, área, volume ou alguma unidade 
similar. 
Há diversos experimentos que satisfazem exatamente ou aproximadamente 
a seguinte lista de requisitos: 
Profa. Kellen Carla Lima 
04 
03 
02 
01 
Há diversos experimentos que satisfazem exatamente ou aproximadamente 
a seguinte lista de requisitos: 
APLICA-SE A DISTRIBUIÇÃO DE POISSON QUANDO: 
Deseja saber a prob. do n° de vezes que um evento pode ocorrer em uma área 
de oportunidade 
O n° de eventos que ocorre em uma área de oportunidade é independente 
do n° de eventos que ocorrem em outras áreas de oportunidade. 
O n° médio de eventos por unidade é dado por  (lambda). 
Profa. Kellen Carla Lima 
5.6.3 Modelo Poisson 
 5.6.3.2 Definição 
Profa. Kellen Carla Lima 
Para X~Poisson(λ) 
𝑷(𝑿) prob. de x ocorrências do evento na área de oportunidade. 
 (parâmetro da distribuição) = n° esperado de eventos. 
 𝒆 cte. matemática aproximada de 2,7182  base natural (número “e”). 
𝝁 = 𝝀 𝝈𝟐 = 𝝀 
Sendo que: 
Média Desvio-padrão Variância 
𝝈 = 𝝀 
𝑷 𝑿 =
𝒆−𝝀𝝀𝑿
𝑿!
 
Profa. Kellen Carla Lima 
E
xe
m
pl
o 
: 
Suponha que, na média, 5 carros entrem um em estacionamento por minuto. Qual 
a probabilidade de 7 carros entrarem no estacionamento em um dado minuto? 
Assim, X = 7 e λ = 5 
Portanto, existe uma chance de 10,4% de 7 carros entrarem no estacionamento no próximo 
minuto. 
𝑷 𝑿 =
𝒆−𝝀𝝀𝑿
𝑿!
=
𝒆−𝟓𝟓𝟕
𝟕
= 𝟎, 𝟏𝟎𝟒 
Profa. Kellen Carla Lima 
5.6.3 Modelo Poisson 
 5.6.3.2 Tabela 
Profa. Kellen Carla Lima 
 
 
X 
 
0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
0.9048 
0.0905 
0.0045 
0.0002 
0.0000 
0.0000 
0.0000 
0.0000 
0.8187 
0.1637 
0.0164 
0.0011 
0.0001 
0.0000 
0.0000 
0.0000 
0.7408 
0.2222 
0.0333 
0.0033 
0.0003 
0.0000 
0.0000 
0.0000 
0.6703 
0.2681 
0.0536 
0.0072 
0.0007 
0.0001 
0.0000 
0.0000 
0.6065 
0.3033 
0.0758 
0.0126 
0.0016 
0.0002 
0.0000 
0.0000 
0.5488 
0.3293 
0.0988 
0.0198 
0.0030 
0.0004 
0.0000 
0.0000 
0.4966 
0.3476 
0.1217 
0.0284 
0.0050 
0.0007 
0.0001 
0.0000 
0.4493 
0.3595 
0.1438 
0.0383 
0.0077 
0.0012 
0.0002 
0.0000 
0.4066 
0.3659 
0.1647 
0.0494 
0.0111 
0.0020 
0.0003 
0.0000 
𝑬𝒙𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐: 𝑬𝒏𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒆 𝑷(𝑿 = 𝟐) 𝒔𝒆  = 𝟎, 𝟓𝟎 
𝑷 𝑿 = 𝟐 =
𝒆−𝝀𝝀𝑿
𝑿!
=
𝒆−𝟎,𝟓𝟎 × 𝟎, 𝟓𝟎𝟐
𝟐!
= 𝟎, 𝟎𝟕𝟓𝟖 
Profa. Kellen Carla Lima 
5.6.3 Modelo Poisson 
 5.6.3.3 Formato 
Profa. Kellen Carla Lima 
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P
(x
)
x
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0 1 2 3 4 5 6 7
P
(x
)
x
 = 0,50  = 3,00 
O formato da distribuição de Poisson depende do parâmetro . 
PORTANTO... 
Profa. Kellen Carla Lima 
Profa. Kellen Carla Lima 
A prob. de cada item da amostra 
independe dos itens selecionados 
anteriormente e é constante. 
Amostra com reposição a partir de 
população finita. 
BINOMIAL 
HIPERG. 
POISSON 
Deseja saber a prob. do n° de vezes 
que um evento pode ocorrer em uma 
área de oportunidade (unidade 
contínua, ou intervalo de tempo, ou 
volume ou área). 
A prob. de um item da amostra depende dos 
itens que já foram selecionados anteriormente. 
 
Amostra sem reposição a partir de população 
finita. 
IMPORTANTE... 
Profa. Kellen Carla Lima 
IMPORTANTE... 
Profa. Kellen Carla Lima 
𝑃 𝑋 > 2 = 1 – 𝑃 𝑿 ≤ 𝟐 
𝑃 𝑋 > 2 = 1 − [𝑃(𝑋 = 0 + 𝑃 𝑋 = 1 + 𝑃 𝑋 = 2 ] 
 
𝑃 𝑋 ≥ 2 = 1 − 𝑃(𝑿 ≤ 𝟏) 
𝑃 𝑋 ≥ 2 = 1 − [𝑃(𝑋 = 0 + 𝑃 𝑋 = 1 ] 
 
𝑷𝒆𝒍𝒐 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒔  ≥ 
𝑷𝒐𝒊𝒔𝒔𝒐𝒏 
𝑬 𝑿 , 𝝈𝟐, 𝝈 
𝑯𝒊𝒑𝒆𝒓𝒈. 
𝑬 𝑿 ,𝝈𝟐, 𝝈 
𝑩𝒊𝒏. Binomial 
Hipergeométrica 
𝑬 𝑿 , 𝝈𝟐, 𝝈 
Resumo da aula 
Profa. Kellen Carla Lima 
Poisson 
Características da Binomial 
Características da Hipergeométrica 
Características
da Poisson 
𝑷 𝑿 =
𝒆−𝝀𝝀𝑿
𝑿!
 
𝝁 = 𝝀 𝝈𝟐 = 𝝀 𝝈 = 𝝀 
𝑷 𝑿 =
𝑨
𝒙
𝑵−𝑨
𝒏−𝒙
𝑵
𝒏
 
𝑷 𝑿 =
𝒏!
𝑿! 𝒏 − 𝑿 !
 . 𝒑𝑿. (𝟏 − 𝒑)𝒏−𝑿 
𝑬 𝑿 = 𝒏𝒑 
𝝈𝟐 = 𝒏𝒑(𝟏 − 𝒑) 
𝝈 = 𝒏𝒑(𝟏 − 𝒑) 
𝑬 𝑿 =
𝒏𝑨
𝑵
 𝝈 =
𝒏𝑨(𝑵 − 𝑨)
𝑵𝟐
×
𝑵 − 𝒏
𝑵 − 𝟏
 
Profa. Kellen Carla Lima 
P
ro
fa
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 C
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 L
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01_Exercício Final de Aula 
Distribuições de Probabilidades Discretas (Parte 1) 
Cinco indivíduos de uma população animal supostamente 
ameaçada de extinção de certa região foram capturados, 
marcados e liberados para se misturarem à população. Após 
terem uma oportunidade de cruzarem, foi selecionada uma 
amostra aleatória de 10 desses animais. Seja X o número de 
animais marcados na segunda amostra. Se, na verdade, houver 
25 animais desse tipo na região, qual será a probabilidade de 
X=2? 
 
Resposta: 0,385 
 
Faça os cálculos de maneira detalhada!!