TEXTO DE FUNÇÃO LIMITE E CONTINUIDADE PARA CALCULO 2 REMOTO

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FUNÇÃO REAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS REAIS 
 
ASPECTOS HISTÓRICOS 
 Todo o Cálculo Diferencial e Integral desenvolve-se em torno de dois conceitos 
fundamentais: o conceito de função e o conceito de limite. 
 Os conceitos de limite, derivada e integral, embora tenham sido utilizados com 
bastante intensidade desde fins do século XVII, foi só por volta de 1820 que os 
matemáticos começaram a encontrar o caminho para sua devida formalização. 
 O Cálculo desenvolveu-se consideravelmente, desde fins do século XVII até começo do 
século XIX, por obra de Leibniz, dos Bernouilli, de Euler e de Lagrange, sem que os 
conceitos fundamentais de função e de limite tivessem sido formalizados e essa 
formalização que começou com Bolzano e Cauchy, por volta de 1820, só foi possível 
graça à aquela evolução anterior de 150 anos antes. 
 Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz desenvolveram independentemente a teoria 
do cálculo (infinitesimal) no final do século XVII. 
 
Trataremos agora de alguns conceitos básicos que serão utilizados ao longo da disciplina. 
Definição: Seja nRA  . Se para cada ponto AP associamos um único elemento
RPfz  )( , temos uma função RAf : . Essa função é chamada função real de n 
variáveis reais. O conjunto A é chamado domínio da função f , denotado por )( fD . O 
conjunto imagem de f , denotado por )Im( f , é o conjunto  APPff  );()Im( . 
Notações: )(Pfz  ou ),,,( 21 nxxxfz  
 
Exemplo 1: Seja 224),( yxyxfz  . 
Neste caso,    4;),(04;),()( 222222  yxRyxyxRyxfD e 
  ]2,0[20;)Im(  zRzf . 
 
Exercícios: Fazer uma representação gráfica do domínio das seguintes funções: 
a) )ln(),( yxyxf  b) 
22216),,( zyxzyxg  c) 
22 yx
xy
w

 
Exemplo 2: Encontrar o domínio e a Imagem das seguintes funções: 
a) 22 yxz  b) 4 yxz 
Exercícios: Dada a função 
x
yx
z

 encontrar: 
a) A imagem do ponto 
*),,/1( Raaa 
b) )( fD 
 
GRÁFICOS 
Definição: O gráfico de uma função de duas variáveis ),( yxfz  , denotado por )( fGraf , é 
o conjunto de todos os pontos 3),,( Rzyx  tais que ),()(),( yxfzefDyx  . Em outras 
palavras 
  )(),),,(;),,()( 3 fDyxyxfzRzyxfGraf  
Exemplo 3: Fazer um esboço do gráfico da função 224),( yxyxfz  . 
 223 4;),,()( yxzRzyxfGraf  
Ver arquivo Gráfico 1 
Exemplo 4: A equação 332 zyx  é a equação de um plano que corta os eixos em
1,2/3,3  zyx . Resolvendo esta equação para z em função de ),( yx obtemos 
3
23 yx
z

 
Ver arquivo Gráfico 2 
 
Observação 1: Dada uma superfície S no espaço, nem sempre ela representa o gráfico de uma 
função ),( yxfz  . 
Ver arquivo Gráfico 3 
 
Definição: Seja k um úmero real. Uma curva de nível kC , de uma função ),( yxfz  é o 
conjunto de todos os pontos )(),( fDyx  tais que kyxf ),( . Em outras palavras 
 kyxffDyxCk  ),(;)(),( 
Exemplo 5: Se 224 yxz  então 
   4;),(04;),( 2222220  yxRyxyxRyxC 
   3;),(14;),( 2222221  yxRyxyxRyxC 
     )0,0(0;),(24;),( 2222222  yxRyxyxRyxC 
 
Ver arquivo Gráfico 4 
 
Observação 2: 
a) As curvas de nível são sempre subconjuntos do domínio da função ),( yxfz  , portanto 
são traçadas no plano yx . 
b) Cada curva de nível é a projeção sobre o plano yx , da interseção do gráfico de f com o 
plano horizontal kz  . 
c) Para obtermos uma visualização do gráfico de f podemos traçar diversas curvas de nível e 
imaginarmos cada uma dessas curvas deslocadas para a altura k correspondente. 
 
Ver arquivo Gráfico 4 anterior. 
Exercícios: Esboçar o gráfico das funções: 
a) 22),( xyyxf  b) 22 44 yxz  c) 2z 
d) 3x e) 1y f) xy  
 
 
LIMITE E CONTINUIDADE 
 
ALGUNS CONCEITOS BÁSICOS 
Definição: Dados 0,),( 2000  rRyxP , a bola aberta de centro 0P e raio r é definida por 
 ryyxxRyxrPB  202020 )()(;),(),( 
Geometricamente ),( 0 rPB é o conjunto de todos os pontos internos à circunferência de 
centro 0P e raio r . 
Observação 3: Em 3R a bola aberta de centro em ),,( 0000 zyxP e raio r é dada por 
 rzzyyxxRzyxrPB  20202030 )()()(;),,(),( 
 
 
Definição: Seja 2RA  ou 3RA  . Dizemos que um ponto AP é um ponto interior de A
se existir uma bola aberta centrada em P contida em A . 
Exemplo 6: 
a) Em 2R , o conjunto do pontos interiores a uma curva fechada simples é um conjunto aberto. 
b) O conjunto dos pontos interiores de um paralelepípedo, ou de um elipsoide são conjuntos 
abertos em 3R . 
c) 2R e 3R são conjuntos abertos. 
 
Definições: 
1)(Domínio conexo) Um domínio(conjunto aberto no plano ou no espaço) 32 RouRD  é 
chamado conexo, se dados dois pontos quaisquer em D , eles podem ser ligados por uma 
poligonal contida em D . 
 
2) Quando um domínio 2RD  não apresenta buraco, isto é, toda curva fechada simples C 
do domínio D circunda somente pontos de D , D é dito simplesmente conexo. 
3) Se D é um domínio em 3R dizemos que D é simplesmente conexo quando qualquer curva 
fechada simples em pode ser reduzida de maneira contínua a um ponto qualquer de D , sem 
sair de D . 
 Exemplos 7 
a) 2R e 3R são conjuntos simplesmente conexos. 
b) Em ;2R  164;),( 222  yxRyxD é um domínio conexo que não é 
simplesmente conexo. 
c) Em ;2R  1;),( 2  xRyxD não é um domínio conexo. 
d) O interior de uma esfera, com um número finito de pontos removidos é um domínio 
simplesmente conexo. 
e) O interior de um cubo com uma diagonal removida não é simplesmente conexo. 
 
Definições 
1) Seja 2RA  . Um ponto 2RP é dito um ponto de fronteira de A se toda bola aberta 
centrada em P contiver pontos de A e pontos que não estão em A . 
2) O conjunto de todos os pontos de fronteira do conjunto A é chamado fronteira de A . 
3) Se todos os pontos de fronteira de A pertencem ao conjunto A , dizemos que A é um 
conjunto fechado. 
Essa definição também é válida para um conjunto 2,  nRA n . 
Exemplo 8: Seja  2;),( 2  xRyxA . 
a) Determine o conjunto de pontos interiores de A , verificando se A é um conjunto aberto. 
b) Determinar a fronteira de A . 
Exemplo 9: Seja    )00(12;),( 2  xyRyxF . F não é um conjunto aberto, pois
F)0,0( e não é um ponto interior de F . 
Definição: Seja 2RA  . Um ponto P é dito ponto de acumulação de A se toda bola aberta 
de centro em P contiver uma infinidade de pontos de A . 
Observação: Intuitivamente, podemos dizer que P é um ponto de acumulação de A quando 
existirem pontos de A diferentes de P , que sejam tão próximo de P quanto desejarmos . 
 
Exemplo 10: Seja  1)2()1(0;),( 222  yxRyxA então: 
i) Todos os pontos de A são pontos de acumulação de A . 
ii) A)2,1( mas é ponto de acumulação de A . 
iii) Os pontos sobre a circunferência 1)2()1( 22  yx também não pertence ao conjunto 
A , mas são pontos de acumulação de A . 
iv) Os pontos no exterior do ciclo 1)2()1( 22  yx não são pontos de acumulação de A . 
No exemplo 9 F)0,0( mas não é ponto de acumulação de F . 
 
LIMITE DE FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS 
Definição: Sejam RRAf  2: e ),( 00 yx um ponto de acumulação de A . Dizemos que 
Lyxf
yxyx


),(lim
),(),( 00
 
Se, para todo 0 , existe um 0 , tal que  Lyxf ),( , sempre que,
 20
2
0 )()(),( yyxxeAyx . 
Exemplo 10: Usando a definição de limite, mostre que 7)23(lim
)2,1(),(


yx
yx
. 
Exemplo 11: Demonstre que 0
2
lim
22)0,0(),(

 yx
xy
yx
 
Observação: Quando Lyxf
yxyx


),(lim
),(),( 00
 temos que independentemente da forma 
(caminhos) pela qual ),( yx se aproxima do ponto ),( 00 yx através do domínio, temos que o 
resultado do limite é L . 
 
Proposição: Sejam 
1D e 2D subconjuntos de )( fD ambos tendo ),( 00 yx como ponto de 
acumulação. Se ),( yxf tem limites diferentes quando ),( yx tende a ),( 00 yx através de 
pontos de 
1D e 2D respectivamente então ),(lim
),(),( 00
yxf
yxyx não existe. 
Observação: Esta proposição pode é utilizada para mostrar que certos limites não existe, como 
exemplo a seguir . 
 
Exemplo 12: Mostre que 
22)0,0(),(
2
lim
yx
xy
yx 
 não existe. 
Exemplo 13: Verificar se existe
42
2
)0,0(),(
lim
yx
xy
yx 
. 
Propriedades dos limites 
1) Seja RRf 2: dada por baxyxf ),( sendo que Rba , constantes, então 
baxbax
yxyx


0
),(),(
)(lim
00 
e
 
baybay
yxyx


0
),(),(
)(lim
00
 
2) Se ),(lim
),(),( 00
yxf
yxyx 
 e ),(lim
),(),( 00
yxg
yxyx 
 existem e c é um número real, então 
a) ),(lim),(lim)),(),((lim
),(),(),(),(),(),( 000000
yxgyxfyxgyxf
yxyxyxyxyxyx 

 
b) ),(lim.)),(.(lim
),(),(),(),( 0000
yxfcyxfc
yxyxyxyx 
 
c ) ),(lim.),(lim)),(.),((lim
),(),(),(),(),(),( 000000
yxgyxfyxgyxf
yxyxyxyxyxyx 
 
d) ),(lim/),(lim)),(/),((lim
),(),(),(),(),(),( 000000
yxgyxfyxgyxf
yxyxyxyxyxyx 
 desde que
0),(lim
),(),( 00


yxg
yxyx
. 
e)
 
,)],(lim[)],([lim
),(),(),(),( 0000
n
yxyx
n
yxyx
yxfyxf

 para 1,  nZn 
f) ,),(lim),(lim
),(),(),(),( 0000
n
yxyx
n
yxyx
yxfyxf

 quando 0),(lim
),(),( 00


yxf
yxyx
 e n é um 
número inteiro positivo; ou se 0),(lim
),(),( 00


yxf
yxyx
 e n é um número inteiro positivo ímpar; 
Exemplo 14: Calcular: 
a) )42(lim 323
)1,2(),(


xyyxyx
yx
 
b) yx
yx

 )2,0(),(
lim 
c)
 2
4
lim
3
)1,1(),( 

 yx
yx
yx
 
Proposição: Se f é uma função de uma variável, contínua em a e ),,( yxg é uma função tal 
que ayxg
yxyx


),(lim
),(),( 00 
então )()),(lim()),((lim
),(),(),(),( 0000
afyxgfyxgf
yxyxyxyx


. 
Exemplo 15: Calcule: 
a) )12ln(lim 2
)2,1(),(


xyx
yx
 
b) )(lim
)
2
,0(),(
yxsen
yx



 
Proposição: Se 0),(lim
),(),( 00


yxf
yxyx 
e ),,( yxg é uma função limitada em uma bola aberta 
de centro ),,( 00 yx então 0),(),(lim
),(),( 00


yxgyxf
yxyx
. 
Exemplo 16: Mostre que 0lim
22
2
)0,0(),(

 yx
yx
yx
. 
 
Cálculo de limites envolvendo algumas indeterminações 
Sejam gef funções tais que 0),(lim),(lim
),(),(),(),( 0000


yxgyxf
yxyxyxyx
. 
Nestas condições nada podemos afirmar sobre 
),(
),(
lim
),(),( 00 yxg
yxf
yxyx 
. Neste caso temos uma 
indeterminação da forma
0
0
. 
Exemplo 17: Calcule 
22
4222
lim
223
)1,2(),( 

 yxxy
xxxyyxx
yx
. 
Exemplo 18: Calcule 
yx
yx
yx 

 1
1
lim
)1,0(),(
. 
Continuidade 
Definição: Sejam RRAf  2: e Ayx ),( 00 um ponto de acumulação de A . Dizemos 
que f é contínua em ),( 00 yx se ),(),(lim 00
),(),( 00
yxfyxf
yxyx


. 
Exemplo 19: Verificar se








)0,0(),(,0
)0,0(),(,
2
),( 22
yx
yx
yx
xy
yxf é contínua em )0,0( . 
Exemplo 20: Verificar se







)0,0(),(,0
)0,0(),(,
2
),( 22
yx
yx
yx
xy
yxf é contínua em )0,0( . 
Exemplo 21: Discutir a continuidade da função 






4,0
4,1
),(
22
2222
yx
yxyx
yxf . 
Exercício: Mostre que a função 








)0,0(),(,0
)0,0(),(,
22
2
),( 22
yx
yx
yx
xy
yxf é contínua em )0,0( . 
Propriedades das funções contínuas 
Proposição: Se as funções f e g são contínuas no ponto ),( 00 yx , então: 
a) gf  é contínua em ),( 00 yx ; 
b) gf  é contínua em ),( 00 yx ; 
c) gf . é contínua em ),( 00 yx ; 
d) gf / é contínua em ),( 00 yx ; desde que 0),( 00 yxg . 
Observações: 
1) Uma função polinomial é contínua em 2R . 
2) Uma função racional é contínua em todos os pontos do domínio. 
 
Proposição: Sejam ),()( yxgzeufy  . Suponha que g é continua em ),( 00 yx e f é 
contínua em ),( 00 yxg , então a função composta gf  é contínua no ponto ),( 00 yx . 
Exercícios: Discutir a continuidade das seguintes funções: 
a) 252),( 22  xyyxyxf 
b) 2233
1
),(
22 


yxxyxyx
yx
yxg 
c) )4ln(),( 22  yxyxh