Gabarito Geometria Analítica 2009/1

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Gabarito das Autoatividades
GEOMETRIA ANALÍTICA 
(MATEMÁTICA)
2009/1
Módulo IV
3UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
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UNIDADE 1
TÓPICO 1
1 Represente no Plano Cartesiano Ortogonal os seguintes pontos:
a) A (3,0)
b) P(5,0)
c) M(-2,0)
d) B(2,3)
e) C(-1,3)
R.:
2 Dê as coordenadas dos pontos assinalados no plano cartesiano a seguir:
R.: A (3, 4); B(-3, 0); C(0, 2); D(4, 0); E(0, -4); F(-2, -3).
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES DE 
GEOMETRIA ANALÍTICA
4 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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3 Em que quadrante se encontram os seguintes pontos:
a) (2,-5)
b) (-1,3)
c) (4,4)
d) (-5,-1)
e) (0,-3)
f) (2,0)
g) (-1,1)
R.:
a) IV quadrante.
b) II quadrante.
c) I quadrante.
d) III quadrante.
e) Sobre o eixo 0y.
f) Sobre o eixo 0x.
g) II quadrante.
4 Determine o valor de k, sabendo que o ponto A( 2k-1, - k+2 ) pertence à 
bissetriz dos quadrantes ímpares.
R.: k = 1
5 O ponto P( 3k+6, -k+2 ) pertence à bissetriz dos quadrantes pares, pergunta-
se:
a) Qual a ordenada do ponto P?
b) Em que quadrante encontra-se o ponto P?
R.: k = - 4, o ponto é P(-6 6)
a) A ordenada do ponto P é 6.
b) O ponto P se encontra no segundo quadrante.
TÓPICO 2
1 Encontre a distância entre os pontos A(-3, 1) e B(4, 3).
R.: d(A, B) ≅ 7,28
2 A distância entre os pontos A(-2, y) e B(6, 7) é 10. Encontre o valor de y.
R.: pode ser (-2, 13) ou (-2, 1), ambos estão a 10 unidades de distância do 
ponto B.
3. Encontre o ponto do eixo das ordenadas equidistante dos pontos A (2,-1) 
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e B(6, 3).
R.: Assim, o ponto C(0, 5)
4 Sendo A(1, 3) e B(7, 13) as extremidades do segmento AB, encontre seu 
ponto médio.
R.: M(4, 8)
5 Sendo A(-5, 2) uma das extremidades do segmento de reta AB e M(-2,4) o 
seu ponto médio, calcule as coordenadas do ponto B.
R.: B(1, 6)
6 Calcule a área do triângulo de vértices A(1,1), B(7,8) e C(1,10).
R.: 27 unidades quadradas.
7 Encontre o valor de x para que os pontos A(x,0), B(3,1) e C(-4,2) sejam 
colineares.
R.: x = 10
8 Encontre os três pontos de simetria do ponto A(-1,6).
R.: (-1, -6); (1, 6); (1, -6).
9 Num sistema de coordenadas cartesianas, com suas unidades em 
centímetros, localizamos três pontos: A(-2, 3), B(3, -3) e C (6, 3). Una os três 
pontos, formando um triângulo e calcule sua área em cm².
R.: O triângulo tem 24 cm² de área.
TÓPICO 3
1 Determine o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos:
a) A (-1, 3) e B(-4, -3).
b) C(2, -5) e D(2, 5).
c) E (9, -4) e F(1, -4).
d) G(-5, -3) e H(-4, 3).
R.:
a) 2.
b) Não existe.
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c) zero.
d) 6.
2 Encontre o valor de a para que a declividade (m) da reta que passa pelos 
pontos A(a, 5) e B(3, 8) seja 3.
R.: a = 2.
3 Dado α = 120o , obter o coeficiente angular da reta r.
R.: ou – 1,7
TÓPICO 4
1 Obtenha a equação da reta que passa pelo ponto P(4, 10) e tem coeficiente 
angular 3.
R.:
1. 3x – y – 2 = 0
2 Sabendo que uma reta tem uma inclinação de 45º e passa pelo ponto P(5, 
-3), determine sua equação.
R.: x – y – 8 = 0
3 Dados os pontos A (2, 3) e B(8, 5), determine a equação da reta que passa 
por estes dois pontos.
R.: Primeiro, encontramos o valor de m = 1/3, depois, calculamos a equação 
da reta: x – 3y + 7 = 0.
4 Encontre a equação geral da reta com coeficiente angular m = e passa 
pelo ponto P (2, -5).
R.: 4x + 5y + 17 = 0
5 Encontre a equação reduzida da reta que passa pelo ponto A (-3, 7) e tem 
coeficiente angular igual a 2.
R.: y = 2x + 13
6 Obtenha a equação reduzida da reta que passa pelos pontos A (2, 1) e B 
(4, 6).
R.: y = 5 2x – 4
7 Dada a equação da reta: 2x – 3y + 5 = 0, escreva-a na forma reduzida.
R.: y = 
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8 Dada a equação da reta 2x + 3y -6 = 0, determine seu coeficiente angular 
e linear.
R.: m = ; n = 2
9 Considere a equação 3x + 4y – 12 = 0 de uma reta r. Escreva esta equação 
na sua forma segmentária.
R.: 
10 Encontre a equação segmentária da reta que passa pelos pontos A (3, 2) 
e B (-1, - 6) e faça seu gráfico.
R.: , cujo gráfico é:
TÓPICO 5
1 Determine a posição da reta r, de equação: 6x + 7y + 3 = 0, em relação à 
reta s, de equação: 
12x + 14y – 21 = 0.
R.: As retas r e s são paralelas.
2 Qual a posição da reta r, de equação: 2x – y + 5 = 0, em relação à reta s, 
de equação 5x + 2y – 10 = 0.
R.: As retas r e s são concorrentes, pois possuem coeficientes angulares 
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diferentes.
3 Considere as equações r e s de equações: x + 5y – 35 = 0 e 3x + ky –27 
= 0, respectivamente. Encontre o valor de k para que as retas r e s sejam 
concorrentes.
R.: R. k ≠ 15
4 Encontre a equação da reta que passa pelo ponto A (11, 2) e é paralela à 
equação 2x – 3y + t
= 0.
R.: 2x – 3y –16 = 0
5 Dados dois pontos A (1, 3) e B (-3, 7), calcule a equação da reta que passa 
pelo ponto médio do segmento AB , e pela intersecção das retas r e s de 
equações: 2x + y – 10 = 0 e x – y – 2 = 0, respectivamente.
R.: 3x + 5y – 22 = 0
6 Verifique se as retas 7x – 4y + 5 = 0 e 4x + 7y – 9 = 0 são 
perpendiculares.
R.: Sim, as retas são perpendiculares.
7 Calcule o valor de k para que as retas 3x – 3y + 7 = 0 e kx + 12y – 15= 0 
sejam perpendiculares.
R.: k = 12.
8 Determine a equação da reta s que passa pelo ponto P (-1, -6) e é 
perpendicular à reta r de equação: x – 3y – 8 = 0.
R.: 3x + y + 9 = 0.
TÓPICO 6
1 Calcule a distância do ponto P(2, 6) à reta 3x – 4y – 2 = 0.
R.: dpr = 4
2 Determine a distância do ponto A (2, 3) à reta r de equação 3x – y – 17= 
0.
R.: dpr = 
3 Qual o valor positivo de k para que a distância do ponto P (0, 1) à reta de 
equação 12x + 16y + k = 0 seja 4,5?
R.: k = 74
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UNIDADE 2
1 Determine a equação reduzida da circunferência de centro C e raio.
a) b) 
R.: A equação reduzida de uma circunferência de centro C(a,b) e raio r é 
dada por .
a) 
b) 
2 Determine a equação reduzida da circunferência de centro em (3, 5) e raio 
igual a 4.
R.:
3 Determine a equação geral da circunferência de centro C(3, 5) e raio r = 
4.
R.: A equação geral de uma circunferência de centro C(a,b) e raio r é dada 
por .
Esse exercício, em particular, pode ser resolvido de duas formas diferentes: 
ou aplicando diretamente a fórmula acima, ou utilizando a equação reduzida 
encontrada no exercício 2 e desenvolvê-la. Faremos os dois processos.
(i) Substituição direta dos dados na fórmula:
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(ii) Através da equação reduzida:
Vimos no exercício 2 que a equação reduzida da circunferência de centro 
(3,5) e raio 4 é dada por . Vamos desenvolvê-la para 
encontrar a equação geral.
4 Determine o centro e o raio da circunferência x² + y² – 10x + 4y – 20 = 0.
R.: A equação geral de uma circunferência de centro C(a,b) e raio r é 
dada por . Assim, para encontrar 
as coordenadas do centro C e do raio r da circunferência cuja equação é 
, basta compará-la com a equação acima.
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Portanto, o centro da circunferência descrita pela equação acima é C(5, -2) 
e seu raio é 7.
5 Determine o valor de k para que a equação X2 + y2 + 4x – 2y + k = 0.represente 
uma circunferência.
R.: A equação geral de uma circunferência de centro C(a,b) e raio r é dada 
por . Assim, para encontrar o valor de 
k na equação , de tal forma ela represente uma 
circunferência, vamos compará-la com a equação acima.
 
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AAgora, para que os dados acima representem as coordenadas de 
uma circunferência, o raio precisa ser maior do que zero. Então 
 .
Portanto, para que a equação represente uma circunferência, k pode assumir 
qualquer valor real menor do que 5.
6 Verifique se a equação x² + y² – 6x – 8y + 25 = 0 é ou não equação de uma 
circunferência.
R.: A equação geral de uma circunferência de centro C(a,b) e raio r é dada 
por . Assim, para que a equação 
 represente uma circunferência, precisamos 
compará-la com a equação acima e encontrar as coordenadas do seu centro 
C e o seu raio r que, obrigatoriamente, tem que ser maior do que zero.
Portanto, a equação não é de uma circunferência, pois r = 0.
7 Verifique se a equação x² + y² – 6x – 8y - 49 = 0 é ou não equação de uma 
circunferência.
R.: A equação geral de uma circunferência de centro C(a,b) e raio r é dada 
por . Assim, para que a equação 
 represente uma circunferência, precisamos 
compará-la com a equação acima e encontrar as coordenadas do seu centro 
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C e o seu raio r que, obrigatoriamente, tem que ser maior do que zero.
 
 
Portanto, a equação descreve uma circunferência de centro C(3,4) e raio
.
TÓPICO 2
1 Determine as posições dos pontos P (1, 1); Q (-2, 3) e R( -1, 1) em relação 
à circunferência cuja equação é X2 + y2 + 5x + 7y – 14 = 0.
R.: Vamos substituir as coordenadas dos pontos P, Q e R na equação da 
circunferência e observar o resultado.
O ponto P pertence à circunferência, porque satisfaz a equação – a distância 
das coordenadas de P ao centro da circunferência é igual ao raio.
O ponto Q é exterior, porque a distância das coordenadas de Q ao centro da 
circunferência é maior do que o raio.
O ponto R é interior, porque a distância das coordenadas de Q ao centro da 
circunferência é menor do que o raio.
2 Qual é a posição do ponto P(3,2) em relação à circunferência (x – 1)2 +(y-
1)2 = 4?
R.: Vamos substituir as coordenadas do ponto P na equação da circunferência 
e observar o resultado.
 
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O ponto P é exterior, porque a distância das coordenadas de P ao centro da 
circunferência é 5, ou seja, maior do que o raio r=4.
3 Encontre a posição do ponto A(1, ) em relação à circunferência de 
equação: x² + y² – 4x – 4y + 4 = 0.
R.: Vamos substituir as coordenadas do ponto A na equação da circunferência 
e observar o resultado.
 
O ponto A é interior, porque a distância das coordenadas de A ao centro da 
circunferência é menor do que o raio.
4 Determine p de modo que o ponto A(7, 9) seja exterior à circunferência de 
equação x² + y² – 2x – 2y – p = 0.
R.: Vamos encontrar o valor de p para que o ponto A seja exterior a 
circunferência, seja, a distância entre o seu centro C e o ponto A tem que ser 
maior do que o raio. Para isso, temos que ter a seguinte situação: 
Portanto, p pode assumir qualquer valor real menor do que 98. 
5 Determine a posição do ponto P(-1, - 4) em relação à circunferência x² + 
y² – 6x + 4y + 3 = 0.
R.: Vamos substituir as coordenadas do ponto P na equação da circunferência 
e observar o resultado.
 
 
O ponto P é exterior, porque a distância das coordenadas de P ao centro da 
circunferência é maior do que o raio.
TOPICO 3
1 Determine a posição da reta y = x + 5 em relação à circunferência de 
equação X2 + y2 – 6y +5 = 0.
R.: Para saber a posição relativa de uma reta r em relação a uma circunferência 
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λ, temos que resolver o sistema composto pelas duas equações e observar 
as soluções: se houver duas soluções, r é secante à λ, pois a intercepta em 
2 pontos distintos; se houver apenas uma solução, r é tangente à λ, pois a 
intercepta em apenas um ponto; se não houver solução, r é exterior à λ, pois 
não há ponto em comum.
 
Substituindo y em λ,
 O sistema possui duas soluções distintas e, portanto, a 
circunferência e a reta são secantes, já que possuem dois 
pontos em comum.
2 Qual é a posição da reta 4x + 3y = 0 em relação à circunferência x² + y² + 
5x – 7y – 1 = 0 ?
R.: Para saber a posição relativa de uma reta r em relação a uma circunferência 
λ, temos que resolver o sistema composto pelas duas equações e observar 
as soluções: se houver duas soluções, r é secante à λ, pois a intercepta em 
2 pontos distintos; se houver apenas uma solução, r é tangente à λ, pois a 
intercepta em apenas um ponto; se não houver solução, r é exterior à λ, pois 
não há ponto em comum.
Substituindo y em λ,
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Multiplicando os dois lados da igualdade por 9.
Vamos calcular ∆:
Mesmo sem resolver completamente o sistema, como ∆ > 0, segue que o 
sistema apresenta duas soluções distintas. Portanto, a circunferência e a reta 
possuem dois pontos em comum, implicando em serem secantes.
3 Qual é a posição da reta 5x + 12y + 8 = 0 em relação à circunferência x² 
+ y² – 2x = 0.
R.: Para saber a posição relativa de uma reta r em relação a uma circunferência 
λ, temos que resolver o sistema composto pelas duas equações e observar 
as soluções: se houver duas soluções, r é secante à λ, pois a intercepta em 
2 pontos distintos; se houver apenas uma solução, r é tangente à λ, pois a 
intercepta em apenas um ponto; se não houver solução, r é exterior à λ, pois 
não há ponto em comum.
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Substituindo y em λ,
Multiplicando ambos os lados da igualdade por 144,
Vamos calcular ∆:
Mesmo sem resolver completamente o sistema, como ∆ = 0, segue que o 
sistema apresenta duas soluções iguais. Portanto, a circunferência e a reta 
possuem apenas um ponto em comum, implicando em serem tangentes.
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4 Encontre as coordenadas dos pontos onde a circunferência x² + y² + 2x + 
4y – 8 = 0 intercepta a reta cuja equação é 3x + 2y + 7 = 0.
R.: Para encontrar os pontos onde a circunferência λ é interceptada pela reta 
r, precisamos resolver o sistema formado pelas equações de ambas: 
Substituindo y em λ,
Multiplicando ambos os lados da igualdade por 4,
Vamos calcular ∆:
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Assim,
Substituindo agora os valores encontrados para x em y,
Portanto, os pontos em que a reta r intercepta a circunferência λ são (1, -5) 
e (-3, 1).
5 Determine o comprimento da corda, determinada pela reta x – y = 0 sobre 
a circunferência (x + 3)2 +(y-3)2 =36.
R.: Para determinar o comprimento da corda de uma reta r sobre uma 
circunferência λ, precisamos primeiramente encontrar os pontos em que r 
intercepta λ. Feito isso, calculamos a distância entre esses pontos.
Para encontrar os pontos onde a circunferência λ é interceptada pela reta r, 
precisamos resolver o sistema formado pelas equações de ambas: 
 
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Substituindo x em λ,
Substituindo agora os valores encontrados para y em x,
Encontramos os dois pontos onde r intercepta λ: A(-3,-3) e B(3,3). Vamos 
agora determinar a distância entre eles.
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Portanto, o comprimento da corda determinada pela reta r sobre a 
circunferência λ é de .
6 Encontre as coordenadas dos pontos de intersecção da reta x – 2y = 0 com 
a circunferência x² + y² = 5.
R.: Para encontrar os pontos onde a circunferência λ é interceptada pela reta 
r, precisamos resolver o sistema formado pelas equações de ambas: 
Substituindo x em λ,
Substituindo agora os valores encontrados para y em x,
Encontramos os dois pontos onde r intercepta λ: A (-2, -1) e B(2,1).22 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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7 Dada a reta x + y – 5 = 0 e a circunferência x² + y² = 25, obtenha os pontos 
de intersecção entre reta e circunferência e calcule o comprimento da corda 
que a reta determina sobre a circunferência.
R.: Para encontrar os pontos onde a circunferência λ é interceptada pela reta 
r, precisamos resolver o sistema formado pelas equações de ambas:
Substituindo x em λ,
Substituindo agora os valores encontrados para y em x,
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Encontramos os dois pontos onde r intercepta λ: A (5,0) e B(0,5). Vamos 
agora determinar o comprimento da corda determinada pela reta r sobre a 
circunferência λ. Para isso, basta calcularmos a distância entre os pontos A 
e B.
Portanto, o comprimento da corda determinada pela reta r sobre a 
circunferência λ é de .
TÓPICO 4
1 Determine a posição relativa da circunferência x² + y² - 4x - 6y - 3 = 0 em 
relação à circunferência x² + y² + 6x + 2y + 1 = 0
R.: Para determinar a posição relativa entre de uma circunferência em 
relação a uma circunferência precisamos calcular a distância entre os 
seus respectivos centros e , e compará-la com a soma dos 
raios e .
 secante em relação a ;
 tangente externamente a ;
 tangente internamente a 
 e não possuem pontos em comum.
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Vamos então encontrar os centros e e os raios e de e 
 respectivamente. Para isso, precisamos comparar as equações de ambas 
com a equação geral da circunferência .
Calculemos agora a distância entre os centros e . 
Lembre-se de que o raio é sempre 
positivo, pois é uma distância!
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Note que . Portanto, secante em 
relação à .
2 Determine as coordenadas dos pontos comuns, se existirem, entre as 
circunferências x² + y² - 16x + 48 = 0 e x2 + y2 -4x =0.
R.: Para determinar as coordenadas dos pontos comuns a e , basta 
resolver o sistema formado pelas suas equações.
Vamos multiplicar a primeira equação por -1 e, depois, somá-la à segunda 
equação:
Substituindo x na segunda equação,
Portanto, as duas equações só possuem um ponto em comum, de 
coordenadas (x,y)=(4, 0).
3 Qual é a posição relativa das circunferências x² + y² = 49 e x² + y² –6x – 8y 
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+ 21 = 0?
R.: Para determinar a posição relativa entre de uma circunferência em 
relação a uma circunferência precisamos calcular a distância entre os 
seus respectivos centros e , e compará-la com a soma 
dos raios e .
 secante em relação à ;
 tangente externamente à ;
 tangente internamente à ;
 e não possuem pontos em comum.
Vamos então encontrar os centros e e os raios e de 
e respectivamente. Para isso, precisamos comparar as equações de ambas com 
a equação geral da circunferência .
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Calculemos agora a distância entre os centros e . 
Note que
.
Por outro lado, . 
Portanto, as circunferências são internamente tangentes.
4 Encontre os pontos de intersecção das circunferências x² + y² – 2x – 3 = 0 
e x² + y² + 2x – 4y + 1 = 0.
R.: Para determinar as coordenadas dos pontos comuns a e , basta resolver 
o sistema formado pelas suas equações.
Lembre-se de que o raio é sempre 
positivo, pois é uma distância!
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Vamos multiplicar a primeira equação por -1 e, depois, somá-la à segunda 
equação:
Substituindo x na primeira equação,
Visto que , segue
 
Portanto, as duas equações possuem dois pontos em comum, cujas 
coordenadas são (-1,0) e (1,2).
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UNIDADE 3
TÓPICO 1
1 Determine a equação da elipse de focos F1 (3, 0) e F2 (-3, 0) e vértices, que 
são as extremidades do eixo maior A1 (5,0) e A2 (-5,0). 
A equação de uma elipse de centro , eixo maior a e eixo menor 2b é 
dada por . Quando não temos os valores de a e b, 
podemos determiná-los. Tendo os dois focos F1 e F2, os vértices (extremidades 
dos eixos maiores) A1 e A2, e as extemidades dos eixos menores B1 e B2,
 
1 R.: Vamos determinar a equação da elipse.
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Assim, a equação da elipse é dada por:
2 Determine as medidas dos eixos e as coordenadas dos focos das elipses 
de equações:
a) + =1
b) 4x2 +3y2=12
R.:
a) Vamos comparar a equação da elipse dada com a equação na forma 
geral:
Pelas contas feitas acima, temos que o eixo maior A1A2 da elipse mede 10 
unidades de medida, enquanto que o eixo menor B1B2 da elipse mede 8 
unidades de medida.
Vamos determinar a seguir as coordenadas dos fotos F1 e F2.
Os fatos do centro da elipse ser a origem e nos focos, nesta elipse, estarem 
no eixo OX, implicam em as abscissas de F1 e F2 serem zero. Além disso, 
como a distância do centro da elipse até F1 é igual à distância do centro até 
F2, basta determinarmos uma das ordenadas: se F1 (x,0), automaticamente, 
F1 (-x,0). Logo
Por outro lado, sabemos que . Desta forma, encontrando o 
valor de c, encontraremos as abscissas de ambos os focos.
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Portanto, as coordenadas dos focos são F1(- 3, 0) e F2(3, 0).
b) Vamos comparar a equação da elipse dada com a equação na forma 
geral. Para isso, temos que reescrever a equação dada de uma maneira 
mais conveniente:
Note que o número que aparece dividindo x² é menor do que o número que 
divide y². Isso significa que o eixo maior encontra-se no eixo das ordenadas 
e, portanto, os focos estão no eixo OY:
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Pelas contas feitas acima, o eixo maior da elipse é A1A2 e mede 4 unidades de 
medida, enquanto o eixo menor é B1B2 e mede 32 unidades de medida.
Vamos determinar a seguir as coordenadas dos fotos F1 e F2.
Os fatos do centro da elipse ser a origem e de, nesta elipse, os focos ficarem 
no eixo VERTICAL, implicam em as ordenadas de F1 e F2 serem zero. Além 
disso, como a distância do centro da elipse até F1 é igual à distância do centro 
até F2, basta determinarmos uma das abscissas: se F1 (0,y), automaticamente, 
F1 (0,-y). Logo 
Por outro lado, sabemos que . Desta forma, encontrando o 
valor de c, encontraremos as ordenadas de ambos os focos.
Portanto, as coordenadas dos focos são F1( 0,-1) e F2(0,1).
3 Calcule a excentricidade (e = ) das elipses:
a) 
b) 
R.: Para calcular a excentricidade de uma elipse, precisamos determinar os 
valores c e a.
a) 
.
Neste caso,
Agora podemos determinar a excentricidade desta elipse:
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.
b) .
Neste caso,
Agora podemos determinar a excentricidade desta elipse:
 .
4 Em uma elipse, o centro é (-2, 4), um dos focos é (-2, 7) e uma das 
extremidades do eixo menor é (-3, 4). Determine a equação dessa elipse.
R.: A equação de uma elipse de centro , eixo maior 2a e eixo menor 
2b é dada por 
 
ou , 
dependendo da posição da elipse.
O exercício nos fornece o centro da elipse (C(– 2,4)), um de seus focos 
(F(–2,7)) e a extremidade do eixo menor (B(–3,4)). Com esses dados, 
podemos esboçar a elipse:
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Neste caso, a o eixo maior da elipse é paralelo ao eixo OY. Logo, utilizaremos 
a equação
Dado que o centro é C(– 2,4), temos 
Quando não temos os valores de a e b, podemos determiná-los. 
Tendo uma das extremidades do eixo menor B, podemos encontrar a distância 
de B ao centro C, que é exatamente o valor de b:
Já conhecemos o centro da elipse e encontramos o valorde b. Para exibirmos 
a equação, falta-nos encontrar o valor de a: a distância da extremidade do eixo 
maior até o centro. Não foi dado pelo problema a extremidade do eixo maior 
A. Por outro lado, tendo um dos focos F, podemos encontramos a distância 
de F ao centro C, que é exatamente o valor de c:
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De posse desse valor, usamos o Teorema de Pitágoras para encontrar a:
Assim, a equação da elipse é dada por:
TÓPICO 2
1 Calcule a distância focal de uma hipérbole cujos eixos medem 30 cm e 
16 cm.
R.:
O exercício nos fornece as medidas dos eixos real 2a e imaginário 2b da 
hipérbole (30cm e 16cm), sem especificar quem é cada um. Para esse 
exercício, essa informação não será importante, uma vez que, para calcular 
a distância focal 2c, utilizaremos o teorema de Pitágoras:
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Assim c = 17cm e, portanto, a distância focal é igual a 34cm.
2 A distância focal de uma hipérbole mede 58 mm e seu eixo imaginário mede 
42 mm. Calcule a medida do semieixo real.
R.: O exercício nos fornece as medidas do eixo imaginário 2b da hipérbole 
(42mm) e da distância focal 2c (58mm). Vamos calcular a medida do 
semieixo real a através do teorema de Pitágoras:
3 Calcule a excentricidade de uma hipérbole cujos eixos, real e imaginário, 
medem 4cm e 6cm, respectivamente.
R.: Vamos calcular a excentricidade da hipérbole de eixos real 4cm e 
imaginário 6cm. Para isso, precisamos determinar a distância focal:
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Como a excentricidade é dada pela fórmula , segue que 
4 A excentricidade de uma hipérbole é igual a 3/2 e a medida de seu eixo 
imaginário é . Calcule a medida do eixo real dessa hipérbole.
R.: Se a excentricidade da hipérbole é igual a , segue que
 .
Queremos determinar o valor do eixo real desta hipérbole 2a. O problema 
não nos fornece o valor da distância focal 2c, mas sim o eixo imaginário 2b, que 
é igual a . Assim, 
Observe que temos duas equações com duas incógnitas. Vamos então 
resolver o sistema formado por elas:
Substituindo o valor de c na segunda equação,
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Note que nem precisamos encontrar o valor da variável c, uma vez que 
estamos procurando exatamente o valor de a. Portanto, o semieixo real da 
hipérbole mede 6 unidades de medida.
5 Determine as medidas dos eixos e as coordenadas dos focos das hipérboles 
de equações:
R.: Vamos encontrar as medidas dos eixos e as coordenadas dos focos das 
hipérboles a seguir, mas antes, faremos uma pequena recapitulação sobre 
o assunto.
Uma hipérbole com eixo real horizontal possui equação geral , 
onde a é o semieixo real e b é o semieixo imaginário.
Podemos determinar a distância focal 2c através da fórmula c² = a² + b².
O fato de 2c ser a distância focal significa que d (F1,F2) = 2c.
O ponto médio desta distância é exatamente o centro da hipérbole. Assim, 
se o centro for exatamente a origem (C(0,0)), segue que d (F1,C) = d (C,F2) = 
c. Mais:
Ainda, se a hipérbole tem eixo real horizontal, o valor da ordenada de F é 
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o mesmo da ordenada de C, neste caso, 
 
e 
F2 (x,0), para x > 0.
Segue que 
a) 
Esta hipérbole tem eixo real horizontal. Logo o eixo real mede 2a = 2.2 = 4 
e o eixo imaginário mede .
Vamos determinar as coordenadas dos focos 
Logo as coordenadas dos focos são F1(- , 0) e F2( , 0).
b) 
Note que esta hipérbole possui o eixo real vertical. Nesse caso, e sabendo 
que esta hipérbole Tb está centrada na origem do plano cartesiano, os focos 
possuem ordenada nula. Repetindo o procedimento feito no início do exercício 
(tente repetir os passos!), podemos concluir que 
 e F2 (0, y), para y > 0. 
Segue que 
Os eixos real e imaginário são dados automaticamente pela equação:
Eixo real: 
Eixo imaginário: 
Coordenadas dos focos: 
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Para determiná-las, precisamos encontrar o valor de c
Portanto, as coordenadas dos focos são F1(0,- ) e F2(0, ).
c) 4y² - 5x² = 20
Vamos reescrever a equação acima de uma maneira mais conveniente:
Agora sim! 
Esta hipérbole também possui o eixo real vertical. Logo
Eixo real: 
Eixo imaginário: 2b = 2.2 = 4
Coordenadas dos focos: 
Portanto, as coordenadas dos focos são F1(0, -3) e F2(0, 3).
TÓPICO 3
1 Determine a equação da parábola cujo foco é o ponto F(0, -2) e cuja diretriz 
é a reta y = 2.
R.: Parábola de foco F(0,-2) e diretriz y=2:
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2 Determine a equação da parábola cujo foco é o ponto F(0,5) e cuja diretriz 
é a reta y = 5.
R.: Parábola de foco F(0,-5) e diretriz y=5
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3 Obtenha a equação da parábola de foco F(-3, 0) e vértice V(0, 0).
R.: Parábola de foco F(-3,0) e vértice V(0,0):
Como a parábola tem o vértice na origem, segue que a diretriz da parábola 
é a reta x=3 (a distância da diretriz ao vértice é a mesma distância do foco 
ao vértice).
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4 Encontre as coordenadas do foco e a equação da diretriz da parábola de 
equação x2 – 8y = 0.
R.: Sabemos que, definindo o foco da parábola de vértice na origem como 
, a sua diretriz será e sua equação será . Por 
outro lado, se o foco da parábola for , a sua diretriz será e 
sua equação será .
Equação da parábola: x2 – 8y = 0
Reescrevendo-a de uma maneira mais conveniente, temos x2 – 8y = 0 ⇒ 
x2 = 8y
Portanto as coordenadas do foco são (0, 2) e a equação da diretriz é y = 
-2.
5 Determine as coordenadas do foco e a equação da diretriz de cada uma 
das seguintes parábolas de equações:
a) x2 = 10y
b) y2 = -7x
c) y2 – 6x = 0
R.:
a) Equação da parábola: x2 = 10y
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Portanto, as coordenadas do foco são e a equação da diretriz é y 
= - .
Equação da parábola: y2 = –7x
Portanto, as coordenadas do foco são e a equação da diretriz é 
x = .
Equação da parábola: y2 – 6x = 0 ⇒ y2 = 6x
Portanto, as coordenadas do foco são e a equação da diretriz é x 
= -
 
.
TÓPICO 4
1 Escolha um sistema de eixos coordenados adequado e resolva, usando a 
Geometria Analítica, o seguinte problema de Geometria Plana: Obtenha o raio 
da circunferência inscrita num triângulo retângulo cujos catetos 3 cm e 4 cm. 
(Dica: coloque o vértice do ângulo reto do triângulo retângulo na origem). 
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R.: A seguir, uma forma de resolução. Nada impede que você utilize outra, 
desde que o valor do raio da circunferência seja o mesmo que o encontrado 
a seguir!
Vamos chamar os lados do triângulo retângulo de a, b e c, onde a e b são os 
catetos e c é a hipotenusa. O problema nos dá os valores de a e b. Vamos 
determinar o valor de c através do Teorema de Pitágoras.
Assim, o perímetro do triângulo acima é dado por P=a+b+c=3+4+5=12
Chamamos de semiperímetro a p= P/2.
O raio da circunferência inscrita pode ser calculado pela fórmula